专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型
常考题型·精准突破
题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难）
题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难）
题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难）
题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
模型总结：
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P；结论：
1
90
2
P
A
.
证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCB
ACB
.
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°- 1
2
（180°-∠A）=90°+ 1
2
∠A.
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D.
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCB
DCB
.
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠DCB）=180°- 1
2
（360°-∠A-∠D）= 1
2
（∠A+∠D）.
即：2∠P=∠A+∠D.
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3 ，CP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：
2
180
P
A
B
E
.
证明：∵CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，∴
1
2
PCD
BCD
，
1
2
PDC
CDE
.
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- 1
2
（∠BCD+∠CDE）=180°- 1
2
（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠
E-90°.即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°.
1．（25-26 八年级上·广东肇庆·月考）在
ABC
V
中，
ABC
和
ACB
的平分线相交于点O．
(1)若
60 ,
40
ABC
ACB
，求
BOC
的度数；
(2)求证：
1
90
2
O
A
【答案】(1)
BOC
的度数为130
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，利用整体思想是解题的关键．
（1）首先根据
,
OB OC 平分
ABC
和
ACB
，可得
1
1
,
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
，再根据三角形内角
和定理即可算出
BOC
的度数；
（2）根据三角形的内角和定理把
ABC
ACB
表示出来，再根据角平分线的定义表示出
,
OBC
OCB
，
然后在OBC
V
中利用三角形的内角和定理列式整理即可得证．
【详解】（1）解：∵
,
OB OC 平分
ABC
和
ACB
，
60 ,
40
ABC
ACB
，
∴
1
1
1
1
60
30 ,
40
20
2
2
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
´
´
，
∴在
OBC
△
中，
180
BOC
OBC
OCB
180
30
20
130
，
∴
BOC
的度数为130；
（2）解：在
ABC
V
中，
180
ABC
ACB
A
，
∵
,
OB OC 平分
ABC
和
ACB
，
∴
1
1
,
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
，
∴在
OBC
△
中，
180
O
OBC
OCB
1
1
180
2
2
ABC
ACB
1
180
2
ABC
ACB
1
180
180
2
A
1
180
90
2
A
1
90
2
A
．
2．（25-26 八年级上·山东滨州·月考）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在
ABC
V
的内部有一点
D，分别连接BD 和CD ．”所形成的图形展开研究．
(1)如图1，若
120
30
40
BDC
ABD
ACD
，
，
，求
A
的度数；
(2)如图2，BD 和CD 分别平分
ABC
和
ACB
．
①若
110
BDC
，求
A
的度数；
②若
BDC
a
，请直接写出
A
的度数（用含α 的式子表示）．
【答案】(1)50
(2)①40；②2
180
a
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，运用以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得到
60
DBC
DCB
，结合已知条件，根据角的运算进而得到
130
ABC
ACB
，最后由三角形内角和定理即可求得答案；
（2）①根据三角形内角和定理得到
70
DBC
DCB
，然后根据角平分线的定义得到
140
ABC
ACB
，最后由三角形内角和定理即可求得答案；②同①的原理即可解答．
【详解】（1）解：∵
120
BDC
，
∴
180
180
120
60
DBC
DCB
BDC
，
∵
30
ABD
，
40
ACD
，
∴
30
40
60
130
ABD
ACD
DBC
DCB
，
∴
130
ABC
ACB
，
∴
180
180
130
50
A
ABC
ACB
；
（2）解：①∵
110
BDC
，
∴
180
180
110
70
DBC
DCB
BDC
，
∵BD 和CD 分别平分
ABC
和
ACB
，
∴
2
2
ABC
DBC
ACB
DCB
，
，
∴
2
140
ABC
ACB
DBC
DCB
，
∴
180
180
140
40
A
ABC
ACB
；
②∵
BDC
a
，
∴
180
180
DBC
DCB
BDC
a
，
∵BD 和CD 分别平分
ABC
和
ACB
，
∴
2
2
ABC
DBC
ACB
DCB
，
，
∴
2
2 180
ABC
ACB
DBC
DCB
a
，
∴
180
180
2 180
2
180
A
ABC
ACB
a
a
（
）
．
3．（25-26 八年级上·安徽阜阳·月考）在
ABC
V
中，已知
ABC
的n 等分线与
ACB
的n 等分线相交于点
1
n
G ，试猜想：
1
n
BG
C
与
A
的数量关系．（
2
n ³
且n 为整数）
(1)如图1，当
2
n
时，探究
1
BG C
与
A
的数量关系；
(2)如图2，当
3
n
时，
2
BG C
与
A
的数量关系：
2
BG C
________；
(3)如图3，猜想
1
n
BG
C
与
A
的数量关系：
1
n
BG
C
________．（用含n 的式子表示）
【答案】(1)
1
1
90
2
A
BG C
(2)
2
60
3
A
(3)180
1
n
A
n
n
【分析】本题考查的是三角形内角和定理．
（1）当
2
n
时，用
A
表示出
1
1
G BC
G CB
的度数，再由三角形内角和定理即可得出
1
BG C
的度数；
（2）当
3
n
时，用
A
表示出
2
2
G BC
G CB
的度数，再由三角形内角和定理即可得出
2
BG C
的度数；
（3）根据
2
n
与
3
n
的结论可得出猜想．
【详解】（1）解：∵当
2
n
时，
1
1
1
1 180
2
2
G BC
G CB
ABC
ACB
A
，
∴
1
1
1
1
1
180
180
180
90
2
2
BG C
G BC
G CB
A
A
；
（2）解：∵当
3
n
时，
2
2
2
2 180
3
3
G BC
G CB
ABC
ACB
A
，
∴
2
2
2
2
180
(
)
180
(180
)
60
3
3
3
BG C
ABC
ACB
A
A
；
故答案为：
2
60
3
A
；
（3）解：由
2
3
n
n
，
可知，
1
180
1
n
n
BG
C
A
n
n
．
故答案为：180
1
n
A
n
n
．
◆题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
模型总结：
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
1
2
P
A
．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCD
ACD
.
∴∠P=∠PCD-∠PBC=
1
2 （∠ACD-∠ABC）=
1
2 ∠A.
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2，
A
a
，∠ABC、∠ACD 的平分线相交于点
1P ，
1
1
,
PBC
PCD
的平分线相交于点
2P ，
2P BC
，
2PCD
的平分线相交于点
3P ……以此类推；结论：
nP
的度数是2n
a
．
证明：∵BP1、CP1 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCD
ACD
.
∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC= 1
2
（∠ACD-∠ABC）= 1
2
∠A= 1
2a .同理：∠P2= 1
2
∠P1=
2
1
2 a ，∠Pn=
2n
a
4．（25-26 八年级上·广东东莞·月考）如图1，在
ABC
V
中，
ABC
的平分线与
ABC
V
的外角
ACE
的平分
线相交于点D ．
(1)若
50
A
，则
D
______；
(2)判断
D
与
A
的数量关系，并加以证明；
(3)若
DBC
的平分线与
DBC
△
的外角
DCE
的平分线相交于点G （如图2），直接写出
G
与
A
的数量
关系．
【答案】(1) 25
(2)
1
2
D
A
，证明见解析
(3)
1
4
G
A
【分析】本题考查角平分线、三角形内角和、三角形的外角的性质：
（1）
（2）如图（见解析）利用三角形内角和定理、并结合角平分线和三角形的外角的性质即可得
1
2
D
A
；
（3）利用（2）中结论即可得到
1
2
G
D
，从而可得
1
4
G
A
．
【详解】（1）解：
1
25
2
D
A
，理由见（2）；
故答案为：25．
（2）解：
1
2
D
A
，证明如下：
如图，
5
6
Q
，
∴
1
3
A
D
，
∵
1
2,
3
4
，
∴
2
4
A
D
，
又∵
4
2
D
，
∴
2
2
A
D
D
，
∴
1
2
D
A
；
（3）解：由（2）结论可知：
1
2
G
D
，
又
1
2
D
A
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
4
G
D
A
A
´
，
即
1
4
G
A
．
5．（25-26 八年级上·吉林·月考）（1）【探究发现】如图①，在
ABC
V
中，点P 是内角
ABC
和外角
ACD
的平分线的交点．
①若
60
A
，求
P
的度数：
②试猜想
P
与
A
之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）：
（2）【迁移拓展】如图②，在
ABC
V
中，点P 是内角
ABC
和外角
ACD
的n 等分线的交点，即
1
1
,
PBC
ABC
PCD
ACD
n
n
，试猜想
P
与
A
之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【应用创新】如图③，AD
BE
、
相交于点C，
ABC
CDE
ACE
、
、
的平分线交于点P，若
36
A
，
40
E
，则
BPD
________度．
【答案】（1）①
30
P
，②
2
A
P
；（2）
1
P
A
n
，理由见解析；（3）38
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识．
（1）①根据角平分线定义得到
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
，根据三角形外角定理和角的代换即可
求出
1
30
2
P
A
；
②根据角平分线定义得到
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
，根据三角形外角定理和角的代换即可证明
1
2
P
A
；
（2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明
1
P
A
n
；
（3）根据（1）②分别求出
18
BPC
，
20
DPC
，即可求出
38
BPE
．
【详解】解：（1）①∵P 是
ABC
V
内角
ABC
和外角
ACD
的平分线的交点，
∴
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
，
∵
PCD
是
PBC
△
外角，
ACD
是
ABC
V
外角，
∴
1
1
30
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
；
②∵P 是
ABC
V
内角
ABC
和外角
ACD
的平分线的交点，
∴
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
，
∵
PCD
是
PBC
△
外角，
ACD
是
ABC
V
外角，
∴
1
1
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
；
（2）
1
P
A
n
．
证明：∵
PCD
是
PBC
△
外角，
ACD
是
ABC
V
外角，
∴
1
1
1
1
P
PCD
PBC
ACD
ABC
ACD
ABC
A
n
n
n
n
；
（3）∵P 是
ABC
V
内角
ABC
和外角
ACE
的平分线的交点，
∴由（1）②得
1
18
2
BPC
A
；
∵P 是CDE
V
内角
CDE
和外角
ACE
的平分线的交点，
∴由（1）②得
1
20
2
DPC
E
；
∴
38
BPD
BPC
DPC
．
故答案为：38．
6．（25-26 八年级上·山东临沂·月考）如图，在
ABC
V
中，点D 在AB 上，过点D 作DE
BC
∥
，交AC 于点
E，DP 平分
ADE
，交
ACB
的平分线于点P，CP 与DE 相交于点G，点F 在BC 的延长线上，ACF
的
平分线CQ 与DP 相交于点Q．
(1)若
40
A
，
60
B
，则
DPC
______，
Q
______；
(2)若
A
a
，当
B
的度数发生变化时，
DPC
、
Q
的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不
变化，求出
DPC
、
Q
的度数（用a 的代数式表示）．
【答案】(1)110；20
(2)
1
90
2
DPC
a
，
1
2
Q
a
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握
相关知识点是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出
80
ACB
，根据角平分线的定义得到
1
40
2
PCB
PCA
ACB
，
根据平行线的性质得到
60
ADE
B
，
40
PGD
PCB
，进而得到
1
2
30
ADE
PDG
，再利
用三角形内角和定理求出
DPC
的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到
90
PCQ
PCA
ACQ
，最后利用三角形外角的性质即可求出
Q
的度数；
（2）根据三角形内角和定理求出
180
B
ACB
a
，根据角平分线的定义得到
1
2
PCB
PCA
ACB
，
根据平行线的性质得到
ADE
B
，
PGD
PCB
，进而得到
1
1
2
2
PDG
ADE
B
，再利用三角形
内角和定理求出
DPC
的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到
90
PCQ
PCA
ACQ
，
最后利用三角形外角的性质即可求出
Q
的度数．
【详解】（1）解：∵
40
A
，
60
B
，
∴
180
40
60
80
ACB
，
∵CP 平分
ACB
，
∴
1
1
80
40
2
2
PCB
PCA
ACB
´
，
∵DE
BC
∥
，
∴
60
ADE
B
，
40
PGD
PCB
，
∵DP 平分
ADE
，
∴
1
1
60
30
2
2
PDG
ADE
´
，
∴
180
180
30
40
110
DPC
PDG
PGD
，
∵
80
ACB
，
∴
180
80
100
ACF
，
∵CQ 平分
ACF
，
∴
1
1 100
50
2
2
ACQ
ACF
´
，
∴
40
50
90
PCQ
PCA
ACQ
，
∴
110
90
20
Q
DPG
PCQ
，
∴综上所述，
110
DPC
，
20
Q
；
故答案为：110；20 ；
（2）解：∵
A
a
，
∴
180
B
ACB
a
，
∵CP 平分
ACB
，
∴
1
2
PCB
PCA
ACB
，
∵DE
BC
∥
，
∴
ADE
B
，
1
2
PGD
PCB
ACB
，
∵DP 平分
ADE
，
∴
1
1
2
2
PDG
ADE
B
，
∴
180
DPC
PDG
PGD
，
180
PDG
PGD
1
1
180
2
2
B
ACB
æ
ö
ç
÷
è
ø
1
180
2
B
ACB
1
180
180
2
a
1
90
2 α
，
∵CQ 平分
ACF
，
∴
1
2
ACQ
ACF
，
∴
1
1
1 180
90
2
2
2
PCQ
PCA
ACQ
ACB
ACF
´
，
∴
1
1
90
90
2
2
Q
DPG
PCQ
a
a
，
∴综上所述，
1
90
2
DPC
a
，
1
2
Q
a
．
◆题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
模型总结：
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，BO，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：
1
90
2
O
A
．
证明：∵BO、CO 平分∠CBE、∠BCF，∴
1
2
OBC
EBC
，
1
2
OCB
BCF
.
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- 1
2
（∠EBC+∠BCF）=180°- 1
2
（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- 1
2
（180°+∠A）=90°+ 1
2
∠A.
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD 平分∠CAD.
证明：如图3，过点D 作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD 平分∠CAD.
7．（25-26 八年级上·广东江门·月考）如图，BG
CG
、
分别是
ABC
V
的内角
ABC
、
ACB
的平分线，两外
角
DBC
、
ECB
的平分线交于点F ，
(1)若
80
A
，求
BGC
的度数．
(2)若用含有
A
的式子表示
BFC
，则
BFC
______，并给予证明．
【答案】(1)130
(2)
1
90
2
A
，证明见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，
是解题的关键．
E
D
C
B
A
（1）根据三角形的内角和定理求出
ABC
ACB
的度数，角平分线求出
GBC
GCB
的度数，再根据
三角形的内角和定理，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的定义，结合角平分线的定义，求出
FBC
FCB
的度数，进而求出
BFC
即可．
【详解】（1）解：∵
80
A
，
∴
180
100
ABC
ACB
A
，
∵BG
CG
、
分别是
ABC
V
的内角
ABC
、
ACB
的平分线，
∴
1
1
,
2
2
GBC
ABC
GCB
ACB
，
∴
1
1
50
2
2
GBC
GCB
ABC
ACB
，
∴
180
130
BGC
GBC
GCB
；
（2）解：
1
90
2
A
，证明见解析：
∵
180
,
180
DBC
ABC
ECB
ACB
，
∴
180
180
360
DBC
ECB
ABC
ACB
ABC
ACB
，
∵
180
ABC
ACB
A
，
∴
360
180
180
DBC
ECB
A
A
，
∵两外角
DBC
、
ECB
的平分线交于点F ，
∴
1
1
,
2
2
CBF
DBC
BCF
BCE
，
∴
1
1
1
90
2
2
2
CBF
BCF
DBC
BCE
A
，
∴
1
180
90
2
BFC
FBC
FCB
A
．
8．（25-26 八年级上·山东济宁·月考）如图，点 P 是
ABC
V
两内角平分线的交点，N 是
ABC
V
两外角平分线
的交点，延长
,
BP NC 交于点M．
(1)①若
100
A
，则
________;
BPC
②
,
A
M
的数量关系是 ；
(2)请探索证明
BPC
与
N
之间的数量关系；
(3)在
BMN
V
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍时，求
A
的度数．
【答案】(1)①140；②
2
A
M
(2)
180
BPC
N
(3)60或120或45或135．
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，关于角平分线的计算等知识；灵
活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据
100
A
，得出
180
100
80
ABC
ACB
，根据角平分线定义得出
1
2
CBP
ABC
，
1
2
BCP
ACB
，求出
1
1
40
2
2
CBP
BCP
ABC
ACB
，根据三角形内角和定理求出结果即可；②
求出
1
2
MCD
M
ABC
，
1
1
2
2
MCD
A
ABC
，即可得到答案；
（2）根据角平分线定义得出
1
2
CBP
ABC
，
1
2
CBE
CBN
，根据
1
1
1
1 180
90
2
2
2
2
CBP
CBN
ABC
CBE
ABC
CBE
´
，得出
90
PBN
，同理得出
90
PCN
，根据四边形内角和求出
360
180
BPC
N
PBN
PCN
即可；
（3）先证明
2
A
M
， 根据
90
EBQ
，得出
90
E
Q
，分四种情况分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
100
A
，
∴
180
100
80
ABC
ACB
，
∵BP 、CP 分别平分
ABC
、
ACB
，
∴
1
2
CBP
ABC
，
1
2
BCP
ACB
，
∴
1
1
40
2
2
CBP
BCP
ABC
ACB
，
∴
180
140
BPC
CBP
BCP
；
故答案为：140
②∵N 是
ABC
V
两外角平分线的交点，延长
,
BP NC 交于点M．
∴
1
1
2
2
ACM
DCM
BCN
FCN
ACD
BCF
，
∵
1
2
MCD
M
CBM
M
ABC
，
1
1
1
1
2
2
2
2
MCD
ACD
A
ABC
A
ABC
，
∴
1
2
M
A
，
即
2
A
M
，
故答案为：
2
A
M
（2）解：
180
BPC
N
；理由如下：
∵BP 、BN 分别平分
ABC
、
CBE
，
∴
1
2
CBP
ABC
，
1
2
CBE
CBN
，
∴
1
1
1
1 180
90
2
2
2
2
CBP
CBN
ABC
CBE
ABC
CBE
´
，
即
90
PBN
，
同理得：
90
PCN
，
∴
360
180
BPC
N
PBN
PCN
；
（3）解：∵CN 为
ABC
V
的外角
FCB
的角平分线，
∴CM 是
ABC
V
的外角
ACD
的平分线，
∴
2
ACD
MCD
，
∵BM 平分
ABC
，
∴
2
ABC
MBC
，
∵
MCD
MBC
M
，
∴2
2
2
MCD
MBC
M
，即
2
ACD
ABC
M
，
又∵
ACD
ABC
A
，
∴
2
A
M
，
根据解析（2）可知：
90
MBN
，
∴
90
M
N
，
如果BMN
V
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，那么分四种情况：
若
3
90
MBN
M
，则
30
M
，
∴
2
60
A
M
；
若
3
90
NBM
N
，则
30
N
，
∴
60
M
，
∴
2
120
A
M
；
若
3
N
M
，则
22.5
M
，
∴
45
A
；
若
3
M
N
，则
67.5
M
，
∴
135
A
；
综上所述，
A
的度数是60或120或45或135．
9．（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在
ABC
V
中，
ABC
与
ACB
的平分线相交于点P ．
(1)如果
80
A
，求
BPC
的度数；
(2)如图②，作
ABC
V
外角
MBC
，
NCB
的角平分线交于点Q ，已知
A
a
，求
Q
（用a 表示）．
(3)如图③，延长线段BP 、QC 交于点E ，当
A
___________时，
BQE
△
中存在一个内角等于另一个内角
的2 倍（直接写出
A
的度数）．
【答案】(1)130
(2)
1
90
2
Q
a
(3)90或60或120
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用
三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出
PBC
PCB
，进而求出
BPC
即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出
MBC
与
BCN
，再根据角平分线的性质可求得
CBQ
BCQ
，最
后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在
BQE
△
中，由于
1
90
2
Q
A
，求出
1
2
E
A，
90
EBQ
，所以如果
BQE
△
中，存在一个内
角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况进行讨论：①
2
90
EBQ
E
；②
2
90
EBQ
Q
；③
2
Q
E
；④
2
E
Q
；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：
80
A
Q
．
100
ABC
ACB
\
，
∵点P 是
ABC
和
ACB
的平分线的交点，
1
1
180
180
100
130
2
2
BPC
ABC
ACB
\
´
；
（2）∵外角
MBC
，
NCB
的角平分线交于点Q，
1
2
QBC
QCB
MBC
NCB
\
，
1
=
360
2
ABC
ACB
，
1 180
2
A
，
1
90
2
A
，
1
1
180
90
90
2
2
Q
A
A
æ
ö
\
ç
÷
è
ø
，
∵
A
a
，
1
90
2
\
Q
a ；
（3）延长BC 至F，
CQ
Q
为
ABC
V
的外角
NCB
的角平分线，
CE
\
是
ABC
V
的外角
ACF
的平分线，
2
ACF
ECF
\
，
BE
Q
平分
ABC
，
2
ABC
EBC
\
，
ECF
EBC
E
Q
，
2
2
2
ECF
EBC
E
\
，
即
2
ACF
ABC
E
，
又
ACF
ABC
A
Q
，
2
A
E
\
，即
1
2
E
A；
EBQ
EBC
CBQ
Q
，
1
1
2
2
ABC
MBC
，
1
90
2
ABC
A
ACB
．
如果
BQE
△
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况：
①
2
90
EBQ
E
，则
45
E
，
2
90
A
E
；
②
2
90
EBQ
Q
，则
45
Q
，
45
E
，
2
90
A
E
；
③
2
Q
E
，则
1
90
2
A
A
，解得
60
A
；
④
2
E
Q
，则1
1
2 90
2
2
A
A
æ
ö
ç
÷
è
ø ，解得
120
A
．
综上所述，
A
的度数是90或60或120．
◆题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
模型总结：
1）条件：如图1，在ABC
V
中，AD ，AE 分别是ABC
V
的高和角平分线，结论：
1
2
DAE
C
B
．
2）条件：如图2，F 为ABC
V
的角平分线AE 的延长线上的一点，FD
BC
^
于D，结论：
1 (
)
2
DFA
C
B
．
图1 图2
1）证明：∵AE 平分
BAC
，∴
1
2
EAC
BAC
，
∵
180
BAC
B
C
，∴
1
1
1
0
1
90
2
8
2
2
B
C
B
C
EAC
，
∴
EAD
EAC
DAC
1
1
0
90
9
2
2
B
C
C
1
2
C
B
；
2）证明：如图，过A 作AG
BC
^
于G ，由（2）可知：
1 (
)
2
EAG
C
B
，
AG
BC
^
Q
，
90
AGB
，
FD
BC
^
Q
，
90
FDC
\
，
AGD
FDC
\
，
FD
AG
\
∥
，
AFD
EAG
\
，
1 (
)
2
AFD
C
B
\
．
10．（25-26 八年级上·全国·期中）如图1，AD ，AE 分别是
ABC
的高和角平分线(
)
C
B
>
．
(1)求证：
1
2
DAE
C
B
；
(2)如图2 ，若点F 为AE 上一点，且FD
BC
^
于点D ，试推导
EFD
与
C
，
B
之间的等量关系；
(3)当点F 在AE 的延长线上时，且FD
BC
^
于点D ，其余条件都不变，请直接写出
EFD
与
C
，
B
之
间的等量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
1
2
EFD
C
B
，理由见解析
(3)
1
2
EFD
C
B
，理由见解析
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角
平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键．
1
（）由三角形内角和定理得
180
BAC
B
C
，由角平分线定义得
1
1
90
2
2
EAC
BAC
B
C
，再根据
90
CAD
C
即可得出
1
2
DAE
C
B
；
2
（）过点A 作AH
BC
^
于H ，由1
（）得
1
2
EAH
C
B
，再证明EF
AH
P
得
EFD
EAH
，由此可
得出
EFD
与
B
C
，
的大小关系；
3
（）过点A 作AK
BC
^
于K ，由1
（）得
1
2
EAK
C
B
，再证明EF
AK
P
得
EFD
EAK
，由此可
得出
EFD
与
B
C
，
的大小关系．
【详解】（1）证明：在
ABC
V
中，
180
BAC
B
C
，
AE
Q
是
ABC
的平分线，
1
1
90
2
2
EAC
BAC
B
C
\
，
AD
Q
是
ABC
V
的高，
90
ADC
\
，
在Rt
ACD
△
中，
90
CAD
C
，
1
1
90
90
2
2
DAE
EAC
CAD
B
C
C
C
B
\
；
（2）解：
EFD
与
C
B
，
之间的等量关系是：
1
2
EFD
C
B
，理由如下：
过点A 作AH
BC
^
于点H ，如图2 所示：
由1
（）可知：
1
2
EAH
C
B
，
FD
BC
^
Q
于点D
AH
BC
^
，
于点H ，
FD
AH
\
P
，
EFD
EAH
\
，
1
2
EFD
C
B
\
；
（3）解：
EFD
与
C
B
，
之间的等量关系是：
1
2
EFD
C
B
，理由如下：
过点A 作AK
BC
^
于点K ，如图3所示：
由1
（）可知：
1
2
EAK
C
B
，
FD
BC
^
Q
于点D
AK
BC
^
，
于点K ，
FD
AK
\
P
，
EFD
EAK
\
，
1
2
EFD
C
B
\
．
11．（25-26 八年级上·山西忻州·月考）（1）如图1，在
ABC
V
中，点D，E 在边BC 上，AD 平分
BAC
，
AE
BC
^
，
35
B
，
65
C
∠
，求
DAE
的度数；
（2）如图2，若把（1）中的条件“ AE
BC
^
”变成“点F 为DA 的延长线上一点，FE
BC
^
”，其他条件不变，
求
DFE
的度数；
（3）若把（1）中的条件“ AE
BC
^
”变成“点F 为AD 的延长线上一点，FE
BC
^
”，其他条件不变，请画出
相应的图形，并求出
DFE
的度数．
【答案】（1）15；（2）15；（3）图见解析，
15
DFE
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第
一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题．
（1）关根据角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度；
（2）作AH
BC
^
于H，由（1）的结论和平行的性质得到
DFE
DAH
；
（3）作AH
BC
^
于H，由(1)的结论和平行的性质得到
DFE
DAH
．
【详解】（1）如图1，
180
180
35
65
80
BAC
B
C
，
∵AD 平分
BAC
，
∴
1
40
2
BAD
BAC
，
∵AE
BC
^
，
∴
90
AEB
，
∴
90
55
BAE
B
，
∴
55
40
15
DAE
BAE
BAD
.
（2）如图2，作AH
BC
^
于点H，由（1）可得
15
DAH
，
∵FE
BC
^
，
∴AH
EF
∥
，
∴
15
DFE
DAH
.
（3）如图3，作AH
BC
^
于点H，由（1）可得
15
DAH
，
∵FE
BC
^
，
∴AH
EF
∥
，
∴
15
DFE
DAH
.
12．（24-25 八年级上·河南信阳·期末）在
ABC
V
中，CE 平分
ACB
，
A
B
>
．
(1)如图1，若CD
AB
^
于点D ，
70
A
，
40
B
，则
DCE
的度数为______；
(2)如图1，若CD
AB
^
于点D ，猜想并写出
A
、
B
、
DCE
之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2 ，设
A
a
，
B
b
，当点F 在射线EF 上时( 不与点E 重合) ，且DF
AB
^
于点D ，直接写出
DFE
的度数为： ______.( 用含a 、b 的式子表示) ．
【答案】(1)15；
(2)
1
2
DCE
A
B
，理由见解析
(3)
1
2 a
b
．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角
形内角和定理是解题的关键．
（1）利用三角形内角和求出
ACB
，结合角平分线定义求出
ACE
，再结合垂直定义、以及三角形内角
和求出
ACD
，最后根据
DCE
ACE
ACD
求解，即可解题；
（2）根据题意，结合图形，用
A
、
B
表示出
ACB
，利用角平分线，表示出
ACE
，仿照第（1）题，
表示出
ACD
，即可得到结果；
（3）结合图形，用a ，b 表示出
ACB
，利用角平分线，表示出
ACE
，利用
DEC
是
AEC
△
的外角，
表示出
DEC
，同时
DEC
也是DEF
V
的外角，即可得到结果．
【详解】（1）解：
70
A
Q
，
40
B
，
180
70
ACB
A
B
\
，
CE
Q
平分
ACB
，
1
35
2
ACE
ACB
\
，
CD
AB
^
Q
，
70
A
，
90
20
ACD
A
\
，
15
DCE
ACE
ACD
\
，
故答案为：15；
（2）解：
1
2
DCE
A
B
，理由如下：
如图1，
180
ACB
B
A
Q
，
180
ACB
B
A
\
，
CE
Q
平分
BCA
，
1
1 180
2
2
ACE
BCA
A
B
\
，
CD
BA
^
Q
，
90
ADC
\
，
90
ACD
A
\
，
DCE
ACE
ACD
\
1 180
90
2
A
B
A
1
1
2
2
A
B
1
2
A
B
；
（3）解：如图2 ，
A
a
，
B
b
，
180
ACB
B
A
Q
，
180
180
ACB
B
A
b
a
\
，
CE
Q
平分
ACB
，
1
1 180
2
2
ACE
ACB
b
a
\
，
1
1
1
180
90
2
2
2
DEC
A
ACE
a
b
a
a
b
\
，
DF
AB
^
Q
，
90
FDE
\
，
1
1
1
1
90
90
2
2
2
2
DFE
DEC
FDE
a
b
a
b
æ
ö
\
ç
÷
è
ø
，
即
DFE
的度数为
1
2 a
b
，
故答案为：
1
2 a
b
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC
V
中，
110
A
，1
2
，
3
4
，则x 的值为（ ）
A．135
B．140
C．145
D．150
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到
70
ABC
ACB
，结合题意
得到
2
3
35
，由此三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在ABC
V
中，
110
A
，
∴
180
110
70
ABC
ACB
，
∵
1
2,
3
4, 1
2
,
3
4
ABC
ACB
，
∴2 2
2 3
70
ABC
ACB
，
∴
1
2
3
35
2
ABC
ACB
，
在PBC
V
中，
180
2
3
180
35
145
x
，
∴
145
x
，
故选：C ．
2．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC
V
中，
70
C
，F 在AB 延长线上，
CAB
的角平分
线与
CBF
的角平分线交于点E ，则
E
的度数为（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得
70
CBF
CAB
，
FBE
E
EAB
，利用角平分线的定义求得
1
35
2
A
BE
C B
F
，
1
2
EAB
CAB
，据此列式计算即可求解．
【详解】解：∵
70
C
，
∴
70
CBF
C
CAB
CAB
，
FBE
E
EAB
，
∵
CAB
的角平分线与
CBF
的角平分线交于点E ，
∴
1
35
2
1
2
C
B
FBE
BF
CA
，
1
2
EAB
CAB
．
∴
1
2
1
35
2
CAB
CAB
E
．
∴
35
E
．
故选：B．
3．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在ABC
V
中，AE 是
BAC
的平分线，F 是AE 延长线上一点，
且
^
FD
BC 于点D，
28
B
，
18
F
，则
BAC
（ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
【答案】A
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出
DEF
，根据对顶角相等得到
AEC
，再利用三角形外角性质求
出
BAE
，最后根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：
^
QFD
BC ，
90
FDE
\
，
18
F
Q
，
90
72
DEF
F
\
，
AEC
DEF
Q
，
72
AEC
\
，
AEC
B
BAE
Q
，
28
B
，
72
28
44
BAE
\
，
AE
Q
平分
BAC
，
2
88
BAC
BAE
\
．
4．（25-26 八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD 中，
230
D
C
o ，
DAB
的平分线与外角
CBE
的平分线相交于点F ，则
F
的度数为（ ）
A．10o
B．15o
C．25°
D．30o
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻
的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出
180
130
50
G
，再利用
1
2
F
G
即可求解．
【详解】解：如图，延长AD 和BC 交于点G，
∵
230
ADC
DCB
，
∴
GDC
GCD
180
180
ADC
DCB
360
ADC
DCB
360
230
130
，
∴
180
130
50
G
，
∵
DAB
的平分线与外角
CBE
的平分线相交于点F ，
∴
1
1
,
2
2
FBE
CBE
FAB
GAB
，
∴
1
1
1
1
25
2
2
2
2
F
FBE
FAB
CBE
GAB
CBE
GAB
G
故选：C．
5．（25-26 七年级下·重庆·期中）如图，直线AB CD
P
，E 、F 分别为直线AB 、CD上的点，P 为直线AB
上方一点．若
BEP
的角平分线与
DFP
的角平分线交于点H ，
EPF
的角平分线与
PFC
的角平分线交
于点G ，PG 交EH 于点M ，
55 ,
20
GFP
PMH
EHF
，则下列结论：
①
90
GFH
；②
PFH
PEH
EHF
；③
110
PGF
；④
PEM
EPM
．正确的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可．
【详解】解：
55
GFP
Q
，GF 平分
PFC
，
55
PFG
GFC
\
180
70
PFD
PFC
\
HF
Q
平分
PFD
，
35
PFH
HFD
\
，
90
GFH
GFP
PFH
\
，①正确；
AB
CD
Q
∥
，
HFD
HNB
\
PFH
HNB
\
EH
Q
是
PEB
的角平分线，
PEH
HEN
\
PEH
EHN
HMB
\
，
PFH
PEH
EHF
\
；②正确；
EH
Q
是
PEB
的角平分线，PG 平分
EFP
，
70
PEN
EPF
，
35
PEH
EPM
PMH
\
，
Q
20
PMH
EHF
15
EHF
\
，
35
20
HEB
EHF
\
，
15
EPG
GPF
\
\
180
110
PGF
PFG
GPF
，③正确；
20 ,
15
PEM
EPM
Q
，故④错误；
二、填空题
6．（25-26 七年级下·山西晋中·期末）如图，在ABC
V
中，AD
BC
^
，AE 平分
BAC
，若
1
35
，
2
22
，则
B
________．
【答案】42/42 度
【分析】根据角平分线的定义，得到
1
2
EAD
，求出
EAD
的度数，再利用垂直的定义和三角形内
角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵AE 平分
BAC
，
∴
1
2
EAD
，
∵
1
35
，
2
22
，
∴
1
2
35
22
13
EAD
，
∴
1
35
13
48
BAD
EAD
，
∵AD
BC
^
，
∴
90
ADB
，
∴
90
90
48
42
B
BAD
．
7．
（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在ABC
V
中，BO 、CO 分别平分
ABC
和
ACB
，过点O作DE
BC
∥
，
分别交边AB 、AC 于点D 和点E，如果
70 ,
50
BAC
ABC
，那么
EOC
BOD
______ ．
【答案】5/5 度
【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得
25 ,
30
OBC
OCB
，再根据平行线的性质得
出
30 ,
25
EOC
OCB
BOD
OBC
，即可求解．
【分析】解：由条件可知
1
25
2
OBC
ABC
，
70
BAC
Q
，
180
60
ACB
ABC
BAC
\
，
CO
Q
平分
ACB
，
∴
1
30
2
OCB
ACB
，
∵DE
BC
∥
，
∴
30 ,
25
EOC
OCB
BOD
OBC
，
30
25
5
EOC
BOD
\
．
8．（2026 七年级下·江苏·专题练习）如图，在ABC
V
中，E 为ABC
V
角平分线AM 的延长线上一点，过点E
作ED
BC
^
于点D，若
45
B
，
2
CAE
E
，则
C
的度数为________ ．
【答案】75
【分析】由E 为ABC
V
角平分线AM 的延长线上一点，得
2
BAE
CAE
E
，则
4
BAC
E
∠
∠
，因为
45
B
，所以
45
2
DME
E
，由ED
BC
^
于点D，得
90
EDM
，则
45
2
90
E
E
，求得
15
E
，所以
4
60
BAC
E
，则
180
75
C
B
BAC
∠
∠
∠
，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵E 为ABC
V
角平分线AM 的延长线上一点，
2
CAE
E
，
∴
2
BAE
CAE
E
，
∴
2
4
BAC
CAE
E
，
∵
45
B
，
∴
45
2
DME
B
BAE
E
，
∵ED
BC
^
于点D，
∴
90
EDM
，
∴
90
E
DME
，
∴
45
2
90
E
E
，
∴
15
E
，
∴
4
60
BAC
E
，
∴
180
75
C
B
BAC
∠
∠
∠
．
9．（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图所示，ABC
V
中，
A
x
，BP ，CP ，BM ，CM 分别是
ABC
，
ACD
，
PBC
，
PCB
的平分线，则
M
的度数为_________（结果用x 表示）
【答案】
1
90
4 x
æ
ö
ç
÷
è
ø
【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出
1
1
2
2
P
A
x
，再根据三角形内角和定理及角
平分线的性质求出
1
90
2
M
P
．
【详解】解：∵
ACD
、
PCD
分别是ABC
V
、
PBC
△
的一个外角
∴
ACD
A
ABC
，
PCD
P
PBC
，
又 ∵BP 、 CP 分别是
ABC
、
ACD
的平分线，
∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
PCD
ACD
，
∴1
1
2
2
ACD
P
ABC
，
∴
1
2
ACD
ABC
P
，
∴
2
A
P
，
∵
A
x
，
∴
1
1
2
2
P
A
x
，
∵
PBC
△
中，BM 、CM 分别是
PBC
和
PCB
的平分线，
∴
1
2
MBC
PBC
，
1
2
MCB
PCB
，
∴
180
M
MBC
MCB
1
180
2
PBC
PCB
1
180º
180
2
P
1
90
2
P
1
90
4 x
æ
ö
ç
÷
è
ø ．
10．（25-26 七年级下·山东东营·期末）如图，在ABC
V
中，
90
C
，
CAB
的角平分线和外角
CBD
的平
分线交于
1P ，
1P AB
的平分线和外角
1PBD
的平分线交于
2P ，
2P AB
的平分线和外角
2P BD
的平分线交于
3P ，…，则
2026
P
____________________．
【答案】
2025
45
2
【分析】根据
CAB
的平分线和外角
CBD
的平分线交于
1P ，得出
1
1
2
P
C
，同理得出
2
2
1
2
P
C
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
3
3
2
1
1
2
2
P
P
C
æ
ö
ç
÷
è
ø
，依此类推出
2026
2026
1
2
P
C
æ
ö
ç
÷
è
ø
，即可求解．
【详解】解：∵
CAB
的平分线和外角
CBD
的平分线交于
1P ，
∴
1
1
2
PBD
CBD
，
1
1
2
P AD
CAB
，
∴
1
1
1
1
1
2
2
P
PBD
P AD
CBD
CAB
C
，
同理可得：
2
2
1
1
1
2
2
P
P
C
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
3
3
2
1
1
2
2
P
P
C
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
……
依此类推，
2
2
5
20 6
2026
2
0
6
2
02
1
1
90
2
2
45
2
P
C
æ
ö
æ
ö
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）在ABC
V
中，
C
B
> ，AE 是边BC 上的高，AD 是
BAC
的平
分线．
(1)如图①，若
20
DAE
，
30
B
，求
C
的度数；
(2)如图②，若F 是AD 的延长线上一点，FG
BC
^
于点G ，试探究
F
与
C
，
B
之间的数量关系，并说
明理由．
【答案】(1)70
(2)
2
C
B
F
，理由如下：
∵AE 是边BC 上的高，
∴AE
BC
^
，
90
AEB
，
∴
180
90
BAE
B
AEB
B
，
∴
90
BAD
BAE
DAE
B
DAE
，
∵AD 是
ABC
的平分线，
∴
2
180
2
2
BAC
BAD
B
DAE
，
∴
180
2
C
B
BAC
B
DAE
，
∵FG
BC
^
，AE
BC
^
，
∴FG
AE
∥
，
∴
F
DAE
，
∴
2
C
B
F
，即
2
C
B
F
．
【分析】（1）由AE
BC
^
可得
90
AEB
，利用三角形内角和定理可得
60
BAE
，从而得到
40
BAD
，由角平分线的定义可得
2
80
BAC
BAD
，最后使用三角形的内角和定理计算出
C
；
（2）仿照（1）的解法可得出
2
C
B
DAE
，容易判断FG
AE
∥
，则
F
DAE
，因此
2
C
B
F
．
【详解】（1）解：∵AE 是边BC 上的高，
∴
90
AEB
，
∴
180
60
BAE
B
AEB
，
∵
20
DAE
，
∴
40
BAD
BAE
DAE
，
∵AD 是
BAC
的平分线，
∴
2
80
BAC
BAD
，
∴
180
70
C
B
BAC
．
（2）略
12．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在ABC
V
中，CAB
的平分线AE 与外角
CBD
的平分线BE 交于点E ．若
90
C
，求
E
的度数．
【问题解决】
(1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程：
AE
Q
平分
BAC
，BE 平分
CBD
，
2
BAC
BAE
\
，
2
CBD
DBE
∠
∠
．
DBE
Q
______
BAE
，
2
2
2
DBE
E
BAE
\
．
CBD
Q
______
BAC
，
1
2
E
C
\
______度．
将小明的过程补充完整．
【应用】
(2)如图②，在ABC
V
中，
CAB
的平分线AE 与外角
CBD
的平分线BE 交于点E ．设
C
的度数为m ，求
E
的度数．（用含m 的代数式表示）
【拓展】
(3)如图③，在ABC
V
中，
C
为锐角，
BAC
内部的射线AE 与外角
CBD
内部的射线BE 交于点E （
E
为锐角）．若
1
4
CAE
BAC
，
1
4
CBE
CBD
，设
C
的度数为m ，则
E
的大小为______．（用含m
的代数式表示）
【答案】(1)
E
；
C
；45
(2) 1
2 m
(3) 3
4 m
【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可；
（2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可；
（3）先说明
3
4
BAE
BAC
，
3
4
DBE
CBD
，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可．
【详解】（1）解：
AE
Q
平分
BAC
，BE 平分
CBD
，
2
BAC
BAE
\
，
2
CBD
DBE
∠
∠
．
DBE
Q
E
BAE
，
2
2
2
DBE
E
BAE
\
．
2
CBD
E
BAC
\
，
CBD
Q
C
BAC
，
∴2
E
BAC
C
BAC
1
45
2
E
C
\
度．
（2）解：
AE
Q
平分
BAC
，BE 平分
CBD
，
2
BAC
BAE
\
，
2
CBD
DBE
∠
∠
．
DBE
Q
E
BAE
，
2
2
2
DBE
E
BAE
\
．
2
CBD
E
BAC
\
，
CBD
Q
C
BAC
，
∴2
E
BAC
C
BAC
1
1
2
2
E
C
m
\
．
（3）解：∵
1
4
CAE
BAC
，
1
4
CBE
CBD
，
∴
3
4
BAE
BAC
，
3
4
DBE
CBD
，
DBE
Q
E
BAE
，
4
3
3
4
CBD
E
BAC
\
．
4
3
CBD
E
BAC
\
，
CBD
Q
C
BAC
，
∴4
3
E
BAC
C
BAC
∴4
3
E
C
，即
3
3
4
4
E
C
m
．
13．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）在ABC
V
中，
ABC
与
ACB
的角平分线BP 与CP 相交于点P．
(1)如图1，若
80
ABC
，
50
ACB
，求
P
的度数；
(2)如图2，延长AB 至M，延长AC 至N，MBC
与
NCB
的角平分线相交于点Q，若
(0
180 )
A
a
a
<
<
．
①用含a 的代数式表示
P
的大小为__________°；
②用含a 的代数式表示Q 的大小为__________°；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长BP 、QC 交于点R．在BQR
V
中，除
RBQ
外，若一个内角是另一个内
角的3 倍，直接写出
A
的大小．
【答案】(1)115
(2)①
1
90
α
2
P
；②
1
90
α
2
Q
(3)
45
A
或135
【分析】（1）根据角平分线的定义可得
1
40
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
=
° ，
1
25
2
BCP
ACB
，再利用三角形内
角和定理求解即可；
（2）根据三角形内角和定理可得
180
ABC
ACB
a
，进而得到
=180
MBC
NCB
a
；①②利
用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
（3）如图：延长BC 至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得
1
2
R
A
，再结合
1
90
2
Q
A
，然后分
3
Q
R
和
3
R
Q
两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵
80
ABC
，
50
ACB
，点P 是
ABC
和
ACB
的平分线的交点，
∴
1
40
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
=
° ，
1
25
2
BCP
ACB
，
∵
180
BCP
P
PBC
，
∴
180
180
40
25
115
P
BCP
PBC
．
（2）解：∵
A
a
，
∴
180
180
ABC
ACB
A
a
，
360
360
180
180
MBC
NCB
ABC
ACB
a
a
，
①∵
ABC
与
ACB
的角平分线BP 与CP 相交于点P，
∴
1
2
PBC
ABC
，
1
2
BCP
ACB
，
∴
1
1
1
180
90
2
2
2
PBC
BCP
ABC
ACB
a
a
，
∵
180
BCP
P
PBC
，
∴
1
1
180
180
90
90
2
2
P
BCP
PBC
a
a
æ
ö
ç
÷
è
ø
．
②∵
MBC
与
NCB
的角平分线相交于点Q，
∴
1
2
QBC
MBC
，
1
2
BCQ
NCB
，
∴
1
1
1
180
90
2
2
2
QBC
BCQ
MBC
NCB
a
a
，
∵
180
QBC
Q
QCB
，
∴
1
1
180
180
90
90
2
2
Q
QBC
QCB
a
a
æ
ö
ç
÷
è
ø
．
（3）解：如图：延长BC 至D，
∵CQ 为ABC
V
的外角
NCB
的角平分线，
∴
BCQ
NCQ
,
∵
BCQ
DCR
，
NCQ
ACR
,
∴
ACR
DCR
,
∴CR 是ABC
V
的外角
ACD
的平分线，
∴
2
ACD
RCD
，
∵BR 平分
ABC
，
∴
2
ABC
RBC
，
∵
RCD
RBC
R
，
∴2
2
RCD
RBC
R
2
，即
2
ACD
ABC
R
，
又∵
ACD
ABC
A
，
∴
2
A
R
，即
1
2
R
A
；
由（2）可知
1
90
2
Q
A
∵在BQR
V
中，除
RBQ
外，若一个内角是另一个内角的3 倍，
∴①当
3
Q
R
时，即
1
1
90
3
2
2
A
A
´
，解得：
45
A
；
②当
3
R
Q
时，即1
1
3
90
2
2
A
A
æ
ö
´
ç
÷
è
ø ，解得：
135
A
；
综上所述，
A
的度数是45或135．
14．（25-26 七年级下·北京·期末）已知，在AOB
V
中，
90
AOB
o ，AC ，BC 分别平分
BAO
与
ABO
∠
．
(1)如图1，当
40
BAO
o 时，则
ABC
___________；
(2)如图2，延长AC 与OB 交于点D ，过C 作CE
OB
∥
交AB 于点E ，用等式表示
ADO
与
BCE
的数量关
系，并证明；
(3)如图3，AOB
V
的外角平分线ON 与AC 的延长线交于点N ，过点A 作AM
AN
^
交ON 的反向延长线于点
M ，
M
N
>
．在AMN
V
中，如果有一个角的度数是另一个角的3 倍，请直接写出
BAO
的度数．
【答案】(1)25
(2)
45
ADO
BCE
，证明如下：
∵BC 平分
ABO
∠
，
∴
1
2
ABC
OBC
ABO
，
∵CE
OB
∥
，
∴
1
2
BCE
OBC
ABO
，
∵AC 平分
BAO
，
∴
1
2
BAD
DAO
BAO
，
∵
90
AOB
o ，
∴
180
90
BAO
AOB
ABO
ABO
，
∴
ADO
ABO
BAD
1
2
ABO
BAO
1 90
2
ABO
ABO
1
45
2
ABO
=
°+
Ð
45
BCE
；
(3)30或45
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理确定
50
ABO
° ，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）首先根据角平分线的定义以及平行线的性质可得
1
2
ABC
OBC
ABO
，
1
2
BAD
DAO
BAO
，
1
2
BCE
ABO
，再由三角形内角和定理可得
90
BAO
ABO
，然后根据三角形外角的定义和性质，
即可确定答案；
（3）首先确定
45
BON
，
N
M
MAN
<
<
，然后分
3
MAN
N
、
3
M
N
和
3
MAN
M
三
种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵
90
AOB
o ，
40
BAO
o ，
∴
180
180
90
40
50
ABO
AOB
BAO
，
∵BC 平分
ABO
∠
，
∴
1
25
2
ABC
ABO
；
（2）略
（3）解：如下图，
∵
90
AOB
o ，
∴
180
90
BOK
AOB
，
∵ON 平分
BOK
，
∴
1
45
2
BON
BOK
，
∵AM
AN
^
，
∴
90
MAN
，
∵
M
N
>
，且
180
90
M
N
MAN
，
∴
N
M
MAN
<
<
，
当
3
MAN
N
时，则
1
30
3
N
MAN
，
∴
30
45
75
ADO
N
BON
，
∴
180
15
DAO
ADO
AOB
∴
2
30
BAO
DAO
；
当
3
M
N
时，则
3
90
M
N
N
N
，
∴
22.5
N
∴
22.5
45
67.5
ADO
N
BON
，
∴
180
22.5
DAO
ADO
AOB
∴
2
45
BAO
DAO
；
当
3
MAN
M
时，则
1
30
3
M
MAN
，
∴
90
60
N
M
，
∴
N
M
>
，不合题意，舍去．
综上所述，
BAO
的度数为30或45．
15．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93 页第4、5、6
题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧．
(1)如图①，在ABC
V
中，BP 平分
ABC
，CP 平分
ACB
．若
80
A
，则
P
____________；如图
②，BM 平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，则
A
与
M
的数量关系是____________；
【继续探索】
(2)如图③，BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
．请探索
A
与
N
之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图④，点P 是ABC
V
两内角平分线的交点，点N 是ABC
V
两外角平分线的交点，延长BP 、NC 交于点
M ．在BMN
V
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，求
A
的度数．
【答案】(1)130；
2
A
M
(2)
1
90
2
N
A
(3)60或90或120
【分析】（1）如图①，由角平分线可得
1
1
2
2
ABP
CBP
ABC
ACP
BCP
ACB
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，由三角形
内角和可求
180
ABC
ACB
A
，根据
1
180
180
2
P
CBP
BCP
ABC
ACB
，计算
求解即可；如图②，由角平分线与外角可得
2
2
2
DCM
A
CBM
M
CBM
，整理即可；
（2）由角平分线可得
1
1
2
2
CBN
EBN
CBE
BCN
FCN
BCF
，
，由
180
ABC
ACB
A
，可得
180
CBE
BCF
A
，则根据
180
N
CBN
BCN
，计算
求解即可；
（3）由题意知，
1
1
90
2
2
NBM
CBN
CBP
CBE
ABC
，
1
90
2
N
A
，
2
A
M
，当在
BMN
V
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，分①
2
NBM
M
，②
2
NBM
N
，③
2
M
N
，
④
2
N
M
，四种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图①，∵BP 平分
ABC
，CP 平分
ACB
，
∴
1
1
2
2
ABP
CBP
ABC
ACP
BCP
ACB
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，
∵
180
180
80
100
ABC
ACB
A
，
∴
1
180
180
130
2
P
CBP
BCP
ABC
ACB
；
如图②，∵BM 平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，
∴
1
1
2
2
CBM
ABM
ABC
DCM
ACM
ACD
，
，
∵
ACD
A
ABC
，
DCM
M
CBM
，
∴
2
2
2
DCM
ACD
A
CBM
M
CBM
，
整理得，
2
A
M
；
（2）解：∵BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
，
∴
1
1
,
2
2
CBN
EBN
CBE
BCN
FCN
BCF
，
∵
180
ABC
ACB
A
，
∴
180
180
360
180
CBE
BCF
ABC
ACB
ABC
ACB
A
，
∴
1
1
180
180
90
2
2
N
CBN
BCN
CBE
BCF
A
，
∴
1
90
2
N
A
；
（3）解：由题意知，
1
1
1
90
2
2
2
NBM
CBN
CBP
CBE
ABC
CBE
ABC
，
1
90
2
N
A
，
2
A
M
，
∴当在BMN
V
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，分①
2
NBM
M
，②
2
NBM
N
，③
2
M
N
，④
2
N
M
，四种情况求解：
①当
2
NBM
M
时，
2
90
A
M
NBM
；
②当
2
NBM
N
时，2
90
N
，则
2 90
90
A
N
；
③当
2
M
N
时，1
1
2 90
2
2
A
A
æ
ö
ç
÷
è
ø ，解得，
120
A
；
④当
2
N
M
时，
1
90
2
A
A
，解得，
60
A
；
综上所述，
A
的度数为60或90或120．
