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专题03 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾的三种模型
常考题型·精准突破
题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型（难）
题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型（难）
题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型
模型总结：如图，B、C 分别是∠DAE 两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC 中，∠1、∠2 分别为∠3、∠4 的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC 中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE 中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
1．（2025 八年级上·全国·专题练习）探索归纳：
(1)如图1，已知
ABC
V
为直角三角形，
90
A
Ð
=
°，若沿图中虚线剪去
A
Ð
，则
1
2
Ð + Ð = ________；
(2)如图2 ，已知
ABC
V
中，
60
A
Ð
=
°，剪去
A
Ð
后形成四边形，则
1
2
Ð + Ð = ________；
(3)如图2 ，根据上面的求解过程，猜想
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð
的数量关系，并证明；
(4)若
A
Ð
没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð
的数量关系，并说明理由．
2．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）实验与探究
某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC ，点M，N 分别是边AC ，
BC 上的点，若沿直线MN 折叠
ABC
V
，点C 的对应点为点D ．
(1)若如图1所示，点D 恰好在BC 边上，则
1
Ð 与
ACB
Ð
的数量关系是______；
(2)若如图2 所示，点D 在
ABC
V
内部，
35
ACB
Ð
=
°，求
1
2
Ð + Ð 的度数；
(3)若如图3所示，点D 在
ABC
V
外部，则
1
Ð ，
2
Ð 和
ACB
Ð
之间有怎样的数量关系？请证明．
3．（25-26 八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】
小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：
如图①，
1
Ð 与
2
Ð 分别为
ABC
V
的两个外角，求证：1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ．
【推理证明】
(1)补全证明过程．
证明：
1
Ð
Q
与
2
Ð 分别为
ABC
V
的两个外角，
1
A
Ð
Ð
\
=
+ _____，
2
A
Ð = Ð + _____
1
2
\Ð + Ð =_____
3
4
180
A
Ð + Ð + Ð
°
=
Q
，
1
2
180
A
\Ð + Ð =
°+ Ð ．
(2)如图②，在
ABC
V
纸片中剪去
AED
△
，得到四边形BCDE ．若
1
130
Ð =
°，则
2
A
Ð - Ð 的大小为_____度．
(3)如图③，在
ABC
V
中，BP
CP
，
分别为外角
DBC
Ð
，
ECB
Ð
的平分线，写出
P
Ð
与
A
Ð
之间的数量关系，
并说明理由．
◆题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型
模型总结：
1）8 字模型（基础型）
条件：如图，AD、BC 相交于点O，连接AB、CD；结论：①
A
B
C
D
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
；②
AB
CD
AD
BC
+
<
+
。
证明：在∆ABO 中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD 中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO 中，AB＜AO+BO；在∆COD 中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴AB
CD
AD
BC
+
<
+
。
2）8 字模型（加角平分线）
条件：如图，线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则
1
2
P
B
D
Ð
=
Ð + Ð
，即2∠P=∠B+∠D
4．（25-26 八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用：
(1)如图①，
,
AD BC 相交于点O，得到1 个“8”字ABCD ．求证：
A
B
C
D
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
．
(2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来．
(3)如图②，
ABC
Ð
和
ADC
Ð
的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：
1
2
E
A
C
Ð
=
Ð + Ð
．
5．（2025 八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ．
(1)如图1，求证：
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)如图2 ，ADC
Ð
和
ABC
Ð
的平分线DE 和BE 相交于点E ，并且与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，
28
A
Ð =
° ，
32
C
Ð
=
° ，求
E
Ð
的度数；
(3)如图3，
ADC
Ð
和
ABC
Ð
的三等分线DE 和BE 相交于点E ，并且与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，
1
3
CDE
ADC
Ð
=
Ð
，
1
3
CBE
ABC
Ð
=
Ð
，试探究
A
Ð
、
C
Ð
、
E
Ð
三者之间存在的数量关系，并说明理由．
6．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，我们把形如
这样的图形称为“八字图形”．
(1)如图1，探究
A
Ð
，
B
Ð
，
C
Ð
，
D
Ð
之间的数量关系．
(2)如图2，AE 平分
CAB
Ð
，DE 平分
BDC
Ð
，AE ，DE 交于点E ．
①若
30
C
Ð
=
° ，
20
B
Ð
=
°，求
E
Ð
的度数；
②如图3，若将条件中角的关系改成“
1
4
CAE
CAB
Ð
Ð
=
，
1
4
CDE
BDC
Ð
Ð
=
”，试判断
E
Ð
与
B
Ð
，
C
Ð
之
间存在的数量关系，并说明理由．
◆题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型
模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD； 结论：①
BCD
A
B
D
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
；②AB
AD
BC
CD
+
+
。
证明：连接AC 并延长至点P；在△ABC 中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD 中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC 交AD 于点P；在△ABQ 中，AB
AQ
BC
CQ
+
+
；在△CDQ 中，CQ
QD
CD
+
。
即：AB
AQ
CQ
QD
BC
CQ
CD
+
+
+
+
+
，故AB
AD
BC
CD
+
+
。
拓展模型1：条件：如图，BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC； 结论：∠O= 1
2
（∠A+∠C）。
证明：∵BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC；∴∠ABO= 1
2 ∠ABC；∠ADO= 1
2 ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= 1
2
∠ABC+ 1
2
∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= 1
2 （∠A+∠C）。
7．（25-26 八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形ABDC 中，
86
A
Ð
=
° ，
34
B
Ð
=
° ，
24
Ð
°
=
C
．
（1）
BDC
Ð
=
° ；
（2）如图2，
ABD
Ð
和
ACD
Ð
的角平分线BE 与CF 交于点G，BE ，CF 分别与AC ，AB 交于点E 和点F，
则
BGC
Ð
=
° ．
8．（25-26 八年级上·广西百色·期中）【问题背景】经历了第13 章的学习，我们知道三角形是由线段围成的
最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一
些几何问题．
小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中
三个角度数及模具合格的要求如图1 所示．
(1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程．
(2)【问题迁移】在平面内，AB
CD
∥
，点E ，F 分别为直线AB ，CD 上的点，连接EF ，若M 为直线AB
与CD 之间的一动点，
（点M 不在直线AB ，CD 上），且点M 在线段EF 的左侧（如图2 所示）EFM
Ð
与
FEM
Ð
两个角的平分线交于点N ．若
AEM
a
Ð
=
，
CFM
b
Ð
=
．求
ENF
Ð
的度数（用含a 、b 来表示）
9．（25-26 八年级上·河北保定·期中）【问题背景】
研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1 的形状，我们把这个图形
形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
【解决问题】
（1）如图1，探究
180
ABC
ABC
Ð
Ð
<
° 与
A
Ð
，
D
Ð
，
C
Ð
三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是
ABC
A
D
C
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
，他的证明过程如下：
证明：连接DB，并延长到点P．
……
请你将小明的证明过程补充完整．
【类比探究】
（2）如图2，
90
A
C
E
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
150
B
D
Ð
+ Ð
=
°，求
AFE
Ð
的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，AM
EN
∥
，
150
B
D
Ð
+ Ð
=
°，
50
C
E
Ð
+ Ð
=
°，则
MAB
Ð
的度数为
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·河南周口·三模）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果
50
CDE
Ð
=
° ，那么
BAF
∠
的大小为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
2．（2026 年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，AB 和CD交于点O ，AC
AB
^
于点
A ，连接BD ．若
40
B
Ð
=
°，
75
D
Ð
=
°，则
C
Ð
的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
3．（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，已知
120
BDC
Ð
=
° ，
20
C
Ð
=
°，若BE 平分
ABD
Ð
，且
80
BEC
Ð
=
°，则
A
Ð 的度数为（ ）．
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知
20 ,
60 ,
40
DAB
B
BCD
°
°
Ð
=
Ð
=
Ð
=
° ，要求出
ADC
Ð
的度数，现
有图2 中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出
ADC
Ð
度数的方案是（ ）
A．只有甲、乙能求出
B．只有甲、丙能求出
C．只有乙、丙能求出
D．甲、乙、丙都能求出
5．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C，且
A
Ð ，
B
Ð ，
D
Ð
保持不变．为了舒适，可调整
E
Ð
的大小，使
130
EFD
Ð
=
°，则图中
E
Ð
应________（填“增
加”或“减少”）________度．横线上的结果是（ ）
A．增加，5
B．增加，10
C．减小，5
D．减小，10
二、填空题
6．（24-25 七年级下·甘肃武威·期末）如图，DE
AB
^
，
30
A
Ð
=
°，
55
D
Ð
=
°，则
ACB
Ð
的度数为_____ ．
7．（25-26 七年级下·山东泰安·期末）如图，用剪刀把一张长方形纸片剪去一个角（虚线部分），则
1
2
Ð + Ð
的度数是___________
8．（25-26 七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，AE 与BD 的交点为C ，
50
CAB
Ð
=
°，
60
CBA
Ð
=
° ，
40
E
Ð
=
°．为了舒适，需调整
CDF
Ð
大小，使
140
EFD
Ð
=
° ，且
CAB
Ð
、
CBA
Ð
、
E
Ð
保持
不变，则图中
CDF
Ð
应调整为________度．
9．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，
ABE
Ð
、
ACE
Ð
的角平分线BF
CF
、
交于点F ，已知
130 ,
30
BEC
BAC
Ð
=
° Ð
=
° ，则
BFC
Ð
= ___________
10．（25-26 七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段AB 和线段CD交于点O ，连AC 、BD ，
1
4
CAP
CAB
Ð
=
Ð
，
1
4
CDP
CDB
Ð
=
Ð
，AP 、DP 分别交CD，AB 于M 、N ；则
C
Ð
、
B
Ð 、
P
Ð 之间数量
关系是____________
三、解答题
11．（25-26 八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D 在
BAC
Ð
的内部．求证：
(1)
BDC
A
Ð
Ð ；
(2)
BDC
B
C
A
Ð
= Ð + Ð
+ Ð ．
(3)如果点D 在线段BC 的另一侧，又会有怎样的结论？
12．（25-26 七年级下·河北承德·期末）已知线段AB 与CD相交于点O ，连接AD ，BC ．
(1)如图1，若
85
A
D
°
Ð + Ð
=
，则
BOC
Ð
的度数为__________，
B
C
Ð + Ð
的度数为__________；
(2)如图2．若
EAO
C
Ð
= Ð
，
EAD
D
Ð
= Ð
，求证：
2
B
D
Ð
= Ð
；
(3)如图3，若
DAP
BAP
Ð
= Ð
，
DCP
BCP
Ð
= Ð
，
90
B
D
Ð
+ Ð
=
° ，求
P
Ð 的度数．
13．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型．
【初步探索】
(1)如图1，已知1
40
Ð =
°，
2
25
Ð =
° ，
3
33
Ð =
°，求
4
Ð 的度数．
【归纳结论】
(2) 1
Ð 、
2
Ð 、
3
Ð 和
4
Ð 的数量关系是________．
【深入探究】
(3)如图2 ，若
5
46
Ð =
°，
6
96
Ð =
°，
1
2
Ð = Ð 且
3
4
Ð = Ð ，直接写出
7
Ð 的度数．
14．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图1，AB 与CD交于点E ，
(1)求证：
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)如图2 ，AD
BC
∥
，AF
CD
∥
，AE 平分
DAF
Ð
，AF
BF
^
，求证：
2
C
ABF
Ð
= Ð
；
(3)如图3，AD
BC
∥
，AN 平分
BAD
Ð
，CN 平分
BCD
Ð
，AN 与CN 交于点N ，DM
AB
^
，BM
CD
^
，
DM 与BM 交于点M ，试探究
M
Ð
与
N
Ð
的数量关系，并证明你的结论．
