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第十三章 轴对称压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（
）
A．1+ B．1+ C．2- D． -1
【答案】B
【详解】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为 ；
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，所以周长为 .
故答案为B.
2．已知点M(2,2)，且OM=2 ，在坐标轴上求作一点P，使△OMP为等腰三角形，则点P
的坐标不可能是（ ）
A．(2 ,0) B．(0,4) C．(4,0) D．(0,8 )
【答案】D
【分析】分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO，分别计算出相应的P点，从而得出答案．
【详解】∵M(2,2),且OM=2 ,且点P在坐标轴上
当 时
P点坐标为： ，A满足；
当 时：
P点坐标为： ，B满足；
当 时：
P点坐标为： ，C满足
故答案选：D
【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝ ∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，则可得DB=DH，从而
BH=2BE，又可证明△HGB≌△FGD， 则DF=BH，从而可求得DF的长．
【详解】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，如图所示
∵DH∥AC
∴∠BDH=∠ACB
∵∠EDB＝ ∠ACB
∴∠EDB＝ ∠BDH
∴∠EDB=∠EDH
∵BE⊥DE
∴∠DEB=∠DEH
∴∠DBE=∠DHE
∴DB=DH
即△DBH是等腰三角形
∴BH=2BE=2×4=8
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠EDB=∠EDH= ∠ACB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=90°-∠EDB=67.5°
∴∠HBG=∠EBD-∠ABC=22.5°
∴∠HBG=∠EDH
∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°
∴GB=GD，∠BGD=90°
在Rt△HGB和Rt△FGD中∴△HGB≌△FGD
∴DF=BH=8
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助
线得到全等三角形是问题的关键．
4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣ ）和B（3，﹣ ）是图形上的一对
对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣ ） C．（﹣ ，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关
于直线y=-4的对称点即可．
【详解】解：∵A（3，﹣ ）和B（3，﹣ ）是图形上的一对对称点，
∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则
两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和
为2n．
5．如图， 的角平分线与 的垂直平分线 交于点 ，垂足
分别为 ，若 ，则 的周长为（ ）A．19 B．28 C．29 D．38
【答案】B
【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可
求周长．
【详解】解：连接BD、DC，
∵AD平分∠ BAC， ，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=9，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解
题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．
6．如图，等边 中， 、 分别为 、 边上的点， ，连接 、 交
于点 ， 、 的平分线交于 边上的点 ， 与 交于点 ，连接
下列说法： ； ； ； ；其
中正确的说法有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质，证明 ；即可得①正确；证明 ，
，再由 ，即可得
②正确；先证 ，得 ，再证 ，即可得
③正确；先证 ，得 ，再证 ，由 ，
即可得④正确；
【详解】解： 是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于 边上的点G，
，
，
，故②正确；
如下图，过点G作 于T， 于J， 于K，平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上：正确的有4个；
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性
质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等．
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等
边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五
个结论正确的是（ ）① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得
∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据
∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，
可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利
用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，③正确，∵AD=BE，AP=BQ，
∴ ，
即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判
定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
8．如图，已知，点A（0，0）、B（4 ，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角
形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA B ，第
1 1
2个△B A B ，第3个△B A B ，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
1 2 2 2 3 3
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据锐角三函数的性质，由OB= ，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三
角形的性质，可知∠A AB=60°，进而可得∠CAA =30°，∠CA O=90°，因此可推导出
1 1 1
∠A A B=30°，同理得到∠CA B =∠CA B =∠CA B =90°，∠A A B=∠A A B =∠A A B =30°，故可
2 1 2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 2 4 3 3
得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA =OCcos∠CAA =
1 1
，B A = ，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为： .
1 2
故选A.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.
评卷人 得分
二、填空题
9．如图， 中， 垂直 于点 ，且 ，在直线 上方有一动点 满足
，则点 到 两点距离之和最小时， 度．
【答案】45
【分析】由三角形面积关系得出点 在与 平行，且到 的距离为 的直线 上，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，则 ， ，此时点
到 两点距离之和最小，作 于 ，则 ，证明 是等腰
直角三角形，得出 ，由等腰三角形的性质得出 ，从而即可得
到答案．
【详解】解： ，
点 在与 平行，且到 的距离为 的直线 上，
，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，如图所示，
，
则 ， ，此时点 到 两点距离之和最小，
作 于 ，则 ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，， ，
，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形
的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，点B为x轴上一动点，以
为边在直线 的右侧作等边三角形 ．若点P为 的中点，连接 ，则 的长的
最小值为 ．
【答案】9
【分析】如图所示，在x轴上取 ，连接 ，证明
是等边三角形，得到 ，则 ，再证明
，得到 ，则点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F
且与直线 的夹角为60度），设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作
交直线 于 ，当点C运动到点 时， 的长有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，在x轴上取 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线 的夹角为60度），
设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作 交直线 于 ，
∴当点C运动到点 时， 的长有最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形，从而得
到点C的运动轨迹是直线是解题的关键．
11．如图， 和 都是等腰三角形，且 ，O是 的
中点，若点D在直线 上运动，连接 ，则在点D运动过程中，线段 的最小值为
．
【答案】2
【分析】取 的中点为点 ，连接 ，先证得 ，得出 ，根据点
到直线的距离可知当 时， 最小，然后根据 所对的直角边等于斜边的一半
求得 时的 的值，即可求得线段 的最小值．
【详解】解：取 的中点为点 ，连接 ，
，
，
即 ，
， 为 中点，
，
在 和 中，
，
，
，
点 在直线 上运动，
当 时， 最小，
是等腰三角形，，
，
，
线段 的最小值是为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、 所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等
的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会
利用垂线段最短解决最值问题．
12．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ADC=45°，若△BCD的面积是18，
则CD长为 ．
【答案】6
【分析】过点A作AE⊥AD，交DC延长线于点E，连接BE；可证△ACD≌△ABE，可得BE＝
CD， BE⊥CD，垂足为E，由三角形面积公式可求BE×CD＝36，可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥AD，交DC延长线于点E，连接BE；
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠DAE＝90°，∠ADC＝45°，
∴∠AED=∠ADC＝45°，
∴AE=AD，
在△BAE和△CAD中，
，∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC=45º，
∵∠AED＝45°，
∴∠BEC=∠AEB+∠AED＝90°，
∴S BCD＝ BE×CD＝18，
△
∵BE＝CD，
∴CD2＝36，
∵CD＞0
∴CD＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线
构造全等三角形是本题的关键．
13．如图，点 是等边 内部一点，以 为边，在 的左边作等边 ， 为
的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】将△ABE旋转至△ACF处， 延长EM至EM=MG，连接CG，通过依次证明
△ABE≌△△AFC、△BME≌△CMG、△EGC≌△ECF即可得出 ．
【详解】解：将△ABE旋转至△ACF处， 延长EM至EM=MG，连接CG
∴△ABE≌△△AFC，∴AF=AE，∠BAC=∠CAF，∠ABE=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°=∠BAE+∠EAC，
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC，
又∵EM=MG，∠EMB=∠GMC，
∴△BME≌△CMG（SAS），
∴∠EBC=∠BCG，BE=CG
∵∠BEC=120°，
∴∠EBC+∠ECB=60°，
∴∠ECG=60°，∠ACE=∠BCG=∠EBC，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ABE+∠EBC=60°，
∵CF=BE=CG，∠ECF=∠ECG=60°，EC=EC，
∴△EGC≌△ECF（SAS），
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转综合题，全等三角形的性质和判定，三
角形内角定理等．正确作出辅助，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
14．如图， 为等腰三角形， ， ， 为 的中点，点 在 上，
， 是等腰 腰上的一点，若 是以 为腰的等腰三角形，则
的大小为 ．
【答案】 或 或 或
【分析】根据题意，分为点P在 上和点P在 上两种情况，根据等腰三角形的定义，
点P在 上有两种情况，点P在 有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求
解．
【详解】解：①当点P在 上， 时，∵ ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当点P在 上， 时，
∵ ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③当点P在 上， 时，
连接 ，过点D作 于点M， 于点N，
∵ ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点， ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∴ ，
④当点P在 上， 时，
由③可得 ， ，
∴ ，
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等
边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为 ．
15．如图，在 中， ， 和 分别为 和 的角平分线，
若 的周长为 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】如图（见解析），过点P作 ，交AC于点D，先根据角平分线的定义、等
腰三角形的性质得出 ，从而得出 ，再根据平行线的性质、三角形的
外角性质得出 ，然后根据角平分线的定义、三角形全等的判定定
理与性质得出 ，从而得出 ，最后联立求解即可得．
【详解】由题意得：
为 的角平分线，过点P作 ，交AC于点D
为 的角平分线
在 和 中，
联立 ，解得
即 的长为8
故答案为：8．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形
全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E在线段AD上，∠ACE＝45°，∠ABC＝
2∠ECB，若BD﹣CD＝2，AE＝6，则AB＝ ．【答案】8
【分析】延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设∠ECB
＝α，则∠B＝2α，根据题意可求出∠DEC＝90°-α．根据作图结合线段垂直平分线的性质可
证明AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∠B＝∠F＝2α．由三角形外角性质可求出∠DAC＝45°-
α．由∠DAF＝90°-2α，从而得出∠CAF＝45°-α，即证明∠DAC＝∠FAC，从而易证
GAC≌△FAC（SAS），得出∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝2．再根据∠GCE＝180°-∠G-
∠DEC，即可求出∠GCE=90°-α，即得出∠GCE＝∠GEC，从而得出GC＝GE＝2，即可求
△
出AG＝AB＝8．
【详解】解：延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．
设∠ECB＝α，则∠B＝2α，
∵AD⊥BC，∴∠DEC＝90°-α，
∵BD＝DF，∴AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∴∠B＝∠F＝2α，
∵∠DEC＝90°-α，∠ACE＝45°，∴∠DAC＝90°-α-45°＝45°-α，
∵∠DAF＝90°-∠F＝90°-2α，∴∠CAF＝90°-2α-(45°-α)＝45°-α，∴∠DAC＝∠FAC，
在 GAC和 FAC中， ，∴△GAC≌△FAC（SAS），
△△ △
∴∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝DF-CD＝BD-CD＝2，∵∠GCE＝180°-∠G-∠DEC＝180°-2α- (90°-α)＝90°-α，∴∠GCE＝∠GEC，
∴GC＝GE＝2，∴AG＝AF=AB＝2+6=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，
三角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题
17．如图1， 是等边三角形 内一点， ，连结 ．
（1）证明 ．
（2）如图2，以 为斜边在 外作等腰直角 ，连结 ．请判断 的形状，
并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 ，求点 到 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，证明见解析；（3） ．
【分析】（1）依据题意先求出 ，得出 ，即可求出；
（2）先求出 ，得到 是等边三角形，求出 ，即可判断三角
形的形状；
（3）过 作 于点 ，过 作 于点 ，延长 交 于点 ，由题意得 由 得 再根据 是等边三角形、
和 是等腰直角三角形，得 ，△从而求得 ，
再根据等积法即可求得EH．
【详解】 是等边三角形，
，
在 和 中，
，
．
，
是等腰直角三角形，
是以 为斜边的等腰直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
由 得
，
，
是等腰三角形．
是等腰直角三角形， 是等腰三角形，，
由 得 ，
如图，过 作 于点 ，过 作 于点 ，延长 交 于点
是等边三角形， 是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得 ，
点 到 的距离为 ．
【点睛】此题考查等边三角形及等腰三角形的性质和判定，熟记概念是解题的关键，重点
是辅助线的正确添加．
18．已知在等腰 中， ，点D在 的延长线上，过点C作 于点E
与 交于点F．(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)在（1）的条件下，如图2，点G为 内一点， ， ，若
，求证： ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥CD于H，先根据三角形的内角和定理得 ，
由等腰三角形三线合一的性质得 ，由8字 形可知∠BAH＝∠DCF，由三角
形的外角的性质和角和和可得：∠CAF=∠AFC，由等腰三 角形的判定可得结论；
（2）如图2，连接FG并延长交CD于P，连接AP ，证明△ABG≅△CFG和
△AGP≅△CGB， 并得△BGH是等腰直角三角形，由三角形的中位线定理知：BP＝BD，
最后由等腰三角形的三线合一的性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点A作AH⊥CD于H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，AH⊥CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图2，连接FG并延长，交CD于P，连接AP，AG与CF交于点N，
∵∠AEC＝∠AGC＝90°，∠ANE=∠CNG，
∴∠BAN＝∠GCF，
∵AB=CF，AG=CG，
∴△ABG≅△CFG(SAS)，
∴FG=BG，∠CFG=∠ABG,，
∴∠BGF＝∠BEF＝90°，
∴∠BGP＝90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBG+∠ABG=∠BCG+∠ACG，
∵∠ABG＝∠BCG，
∴∠CBG＝∠ACG＝45° ，
∴∠CBG＝∠D，
∴AD∥BG，
∵△BGP是等腰直角三角形，
∴BG＝GP，
∴FG＝GP，
∴BD＝BP，
∵∠BGP＝∠AGC＝90° ，
∴∠BGC＝∠AGP，∵AG＝CG，BG＝GP，
∴△AGP≅△CGB(SAS)，
∴∠APG=∠CBG=45°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC，
∴BC＝2BP，
∴BC＝2BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关
键是正确作出辅助线，利用三角形全等解决问题．
19．如图，点 ，且a，b满足 ．若P为x轴上异于原点O
和点A的一个动点，连接 ，以线段 为边构造等腰直角 （P为顶点），连接 ．
(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接 ， ，证明 ；
(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若 所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的
坐标为___________，当 的值最小时，请直接写出此时 与 之间的数量关系
___________．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3) ，
【分析】（1）根据非负数的性质得到 ， ，得到 ， ，于是得到结果；
（2）过点 作 轴于 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
， ，由等腰直角三角形的性质得出 ，证出
，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出 ，则可得出 ；取点 ，连接 ，
， 与 关于直线 对称，连接 交 于 ，连接 ，则 ，根据三角
形的面积关系可得出 ．【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
、 ，
故答案为： ， ；
（2）证明：过点 作 轴于 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
；
（3） ，
，
，
，
，，
，
，
；
取点 ，连接 ， ，
， ，
与 关于直线 对称，连接 交 于 ，连接 ，则 ，
此时 最小， ，
到 ， 的距离相等， ， ，
，
，
．
故答案为： ， ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，
等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②：ME=BD，证明详见解析；③∠CNE的度
数为7.5°、15°、82.5°、150°．【分析】（1）根据中垂线的判定定理“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
垂直平分线上”可得出结论.
（2）①由∠CAD=15°，BD=AD与直角等腰三角形的性质可知，∠DBA=∠DAB=30°，则可
得∠BDE=30°+30°=60°，又根据SSS可证 ADC≌△BDC，则∠ACD=∠BCD=45°，可知
∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，故DE平分∠BDC.
△
②连接MC，由DC=DM，∠CDE=60°，可知 MCD为等边三角形，∠ECM=∠CMD-
∠CAD=45°则根据SAS可证 BDC≌△EMC，得出结论ME=BD.
△
③根据题意可知，分类：当EN=EC时；当EN=CN时；当CE=CN时三种情况求出∠CNE
△
的度数.
【详解】（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB，
故答案为CD⊥AB.
（2）①证明：∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵在 ADC和 BDC中，
△ △
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE平分∠BDC；
故答案为DE平分∠BDC.
②结论：ME=BD，
理由：连接MC，∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，∠CMD=60°，
又∵EC=CA，∠CAD=15°，
∴∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°,
在 BDC和 EMC中，
△ △
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD，
故答案为ME=BD.
③当EN=EC时，∠ENC=7.5°或82.5°；
当EN=CN时，∠ENC=150°；
当CE=CN时，∠CNE=15°，
故答案为∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
【点睛】本题考查了中垂线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、外角的性质
运用及动点问题.（1）熟悉垂直平分线的判定定理是解题关键.（2）灵活运用等腰三角形的
性质与外角的性质是解题关键.如果不确定等腰三角形的腰与底边（顶角与底角）的情况下，
要注意分类讨论.
21．在 中， ， ， 是 的角平分线， 于点
E．
(1)如图1，连接EC，求证： 是等边三角形；
(2)点M是AC边上一个动点（不与点D重合），以BM为一边，在BM的下方作
，MG交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的
关系，并说明理由．【答案】(1)见详解
(2)画图见详解，当分M点在线段 上时， ；当M点在线段 上时，
．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得 ， ，根据
是 的角平分线，可得 ，即有可得 是等腰三角形，结合
和 是 的中线，可得 ，问题随之得解；
（2）分M点在线段 上和M点在线段 上两种情况来补全图形：当分M点在线段
上时，延长 至N点，使得 ，连接 ，先证明 是等边三角形，再证明
，即可得解；当M点在线段 上时，延长 至H，使得
，连接 ， 与 交于点Q，先证明 是等边三角形，再证明
，即可得解．
【详解】（1）∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）补全图形如下：（分M点在线段 上和M点在线段 上两种情况）当分M点在线段 上时，延长 至N点，使得 ，连接 ，如图，
在（1）中求得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据（1）可知 ， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ；
当M点在线段 上时，延长 至H，使得 ，连接 ， 与 交于点
Q，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上：当分M点在线段 上时， ；当M点在线段 上时，
．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的
判定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键．
22．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象
限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变
化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合
∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得
AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，
从而求∠BAC的度数．
【详解】（1）证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
（2）证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
（3）解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”
的数学思想方法，综合性较强．
23．已知AB∥CD，且CB⊥AB于点B，AN⊥DC于点N，M是线段NC上的一点，点P是CB
延长线上的动点，连接AM，AP，
(1)如图1，若CB=PB，且C、P两点不重合，∠APB=60°，请用直尺在图中连接一条线段，
使图中存在一个等边三角形，并说明理由．
(2)如图2，若∠NAP=2∠AMN，
①请猜想此时∠APC与∠NAM的数量关系，并进行证明．
②若点M为NC的中点，且AN=BC，请探究BC、BP、AP之间的数量关系，并进行证明．
【答案】(1)图见解析，理由见解析
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）连接 ，先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据等边三角形的判
定即可得；
（2）①设 ，从而可得 ，再根据平行线的判定与
性质可得 ，然后根据平行线的性质即可得出结论；②延长 、 ，相交于点 ，延长 ，截取 ，连接 ，先根据三角形全等
的判定定理证出 ，根据三角形全等的性质可得 ，从而可得
，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得
，结合（2）①的结论可得 ，从而可得
，然后根据等腰三角形的判定与性质可得 ，最后根据线段
和差、等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接 ，则 是等边三角形．理由如下：
，
，
又 ，
是等边三角形．
（2）解：①猜想 ，证明如下：
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
；
②如图，延长 、 ，相交于点 ，延长 ，截取 ，连接 ，点 为 的中点，
，
由（2）①已得： ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）①已证： ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定与性质
等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
24．已知，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，将直角三角尺绕直角顶点 进行旋
转，两条直角边分别与 轴和 轴交于点A、点 ．
(1)如图 ，当 与原点 重合时，试说明： ；
(2)在旋转的过程中，当两条直角边分别相交于 轴、 轴正半轴时， 这个结论还
成立吗？请说明理由；
(3)在旋转的过程中，设 的坐标是 、 的坐标是 ，请用含 的代数式表示 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】 过点 作 轴于点 ，知 ，由点 坐标可得
，继而可得 ，即可得答案；
过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，根据点 坐标可得四边形 为正方
形，从而知 、 ，再证 ≌ 即可；
由 可知 ，即 ，即可得．
【详解】（1）如图 ，过点 作 轴于点 ，
由题意可知 ，
，，
，
，
；
（2）如图 ，当点 在 轴正半轴上时，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
，
又 ，
四边形 为正方形，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ， ；
如图 ，当点 在 轴负半轴时，与以上同理可得 ；
（3）由 知， ，即 ， ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌
握全等三角形的判定是解题的关键．
