文档文本内容
专题03 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾的三种模型
常考题型·精准突破
题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型（难）
题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型（难）
题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型
模型总结：如图，B、C 分别是∠DAE 两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC 中，∠1、∠2 分别为∠3、∠4 的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC 中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE 中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
1．（2025 八年级上·全国·专题练习）探索归纳：
(1)如图1，已知
ABC
V
为直角三角形，
90
A
Ð
=
°，若沿图中虚线剪去
A
Ð
，则
1
2
Ð + Ð = ________；
(2)如图2 ，已知
ABC
V
中，
60
A
Ð
=
°，剪去
A
Ð
后形成四边形，则
1
2
Ð + Ð = ________；
(3)如图2 ，根据上面的求解过程，猜想
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð
的数量关系，并证明；
(4)若
A
Ð
没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)270°
(2)240°
(3) 1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ．证明见解析
(4)
1
2
2 BAC
Ð + Ð = Ð
．理由见解析
【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的
两个内角和、三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
(1)利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解；
( 2 )利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
(3)根据(1)、( 2 )中思路即可求解；
( 4 )根据折叠对应角相等，得到
AFE
PFE
Ð
= Ð
，
AEF
LPEF
Ð
=
，进而求出
1
180
2 AFE
Ð =
°- Ð
，
2
180
2 AEF
Ð =
°- Ð
最后利用
180
AFE
AEF
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð 即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
1
90
,
2
90
A
EFA
EFA
A
AEF
AEF
Ð = Ð + Ð
=
°+ Ð
Ð = Ð + Ð
=
°+ Ð
∴
1
2
90
90
180
EFA
AEF
EFA
AEF
Ð + Ð =
°+ Ð
+
°+ Ð
=
°+ Ð
+ Ð
∵ABC
V
为直角三角形，
90
A
Ð
=
°
∴
180
90
EFA
AEF
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
1
2
180
90
270
Ð + Ð =
°+
° =
° ，
故答案为：270°；
（2）如图所示：
在AEF
V
中，由外角性质可知：
1
,
2
A
EFA
A
AEF
Ð = Ð + Ð
Ð = Ð + Ð
；
∵
60
A
Ð
=
°
∴
1
2
A
EFA
A
AEF
A
EFA
AEF
A
Ð + Ð = Ð + Ð
+ Ð + Ð
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
180
60
=
°+
°
240
=
°
故答案为：240°
（3）解：由(1)、( 2 )中思路，由三角形外角性质可知：
1
A
EFA
Ð = Ð + Ð
，
2
A
AEF
Ð = Ð + Ð
；
∴
1
2
A
EFA
A
AEF
Ð + Ð = Ð + Ð
+ Ð + Ð
A
EFA
AEF
A
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
180
A
=
°+ Ð ，
∴
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð 的关系是：1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ，
故答案为：1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ；
（4）
1
2
2 A
Ð + Ð = Ð ．
理由：连接AP ．
∵EFP
V
是由EFA
V
折叠得到的，
∴
AFE
PFE
Ð
= Ð
，
AEF
PEF
Ð
= Ð
，
∴
1
180
2 AFE
Ð =
°- Ð
，
2
180
2 AEF
Ð =
°- Ð
，
∴
1
2
180
2
180
2
360
2
AFE
AEF
AFE
AEF
Ð + Ð =
°- Ð
+
°- Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
又∵
180
AFE
AEF
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð ，
∴
1
2
360
2 180
2
A
A
Ð + Ð =
°-
°- Ð
= Ð ，
∴
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð 的关系为：
1
2
2 A
Ð + Ð = Ð ．
2．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）实验与探究
某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC ，点M，N 分别是边AC ，
BC 上的点，若沿直线MN 折叠
ABC
V
，点C 的对应点为点D ．
(1)若如图1所示，点D 恰好在BC 边上，则
1
Ð 与
ACB
Ð
的数量关系是______；
(2)若如图2 所示，点D 在
ABC
V
内部，
35
ACB
Ð
=
°，求
1
2
Ð + Ð 的度数；
(3)若如图3所示，点D 在
ABC
V
外部，则
1
Ð ，
2
Ð 和
ACB
Ð
之间有怎样的数量关系？请证明．
【答案】(1)
1
2
ACB
=
∠
∠
(2)70°
(3)
2
1
2 ACB
Ð - Ð = Ð
，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅
助线构造三角形是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得
MDN
ACB
Ð
= Ð
，再由三角形外角的性质可得出数量关系．
（2）连接CD ，由折叠的性质可得
MDC
ACD
Ð
= Ð
、
NDC
NCD
Ð
= Ð
，再由三角形外角的性质可得出
1
2 ACD
Ð = Ð
、
2
2 BCD
Ð = Ð
，进行相加即可求解．
（3）连接CD ，由折叠的性质可得
MDC
MCD
Ð
= Ð
、
NDC
NCD
Ð
= Ð
，再由三角形外角的性质可得出
1
2 MCD
Ð = Ð
、
2
2 NCD
Ð = Ð
，进行相减即可证明其数量关系．
【详解】（1）解：∵点D 恰好在BC 上，
∴C，D，N 三点在一条直线上，
∴
1
MDN
ACB
Ð = Ð
+ Ð
，
由折叠可知，MD
MC
=
，
MDN
ACB
Ð
= Ð
，
∴
1
2
ACB
=
∠
∠
，
故答案为：
1
2
ACB
=
∠
∠
．
（2）连接CD ，如下图所示：
由折叠可知，MD
MC
=
，
\
MDC
ACD
Ð
= Ð
，
又∵
1
MDC
ACD
Ð = Ð
+ Ð
，
∴
1
2 ACD
Ð = Ð
，
同理可得，
2
2 BCD
Ð = Ð
，
又∵
ACD
BCD
ACB
Ð
+ Ð
= Ð
，
∴
1
2
2
2
2
2
ACD
BCD
ACD
BCD
ACB
Ð + Ð = Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
= Ð
，
∵
35
ACB
Ð
=
°，
∴1
2
2 35
70
Ð + Ð =
° =
° ．
（3）
2
1
2 ACB
Ð - Ð = Ð
．
证明：连接CD ，如下图所示：
由折叠可知，MD
MC
=
，
∴
MDC
MCD
Ð
= Ð
，
又∵
1
MDC
MCD
Ð = Ð
+ Ð
，
∴
1
2 MCD
Ð = Ð
，
同理可得，
2
2 NCD
Ð = Ð
，
又∵
NCD
MCD
ACB
Ð
- Ð
= Ð
，
∴
2
1
2
2
2
2
NCD
MCD
NCD
MCD
ACB
Ð - Ð = Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
= Ð
，
∴
2
1
2 ACB
Ð - Ð = Ð
．
3．（25-26 八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】
小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：
如图①，
1
Ð 与
2
Ð 分别为
ABC
V
的两个外角，求证：1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ．
【推理证明】
(1)补全证明过程．
证明：
1
Ð
Q
与
2
Ð 分别为
ABC
V
的两个外角，
1
A
Ð
Ð
\
=
+ _____，
2
A
Ð = Ð + _____
1
2
\Ð + Ð =_____
3
4
180
A
Ð + Ð + Ð
°
=
Q
，
1
2
180
A
\Ð + Ð =
°+ Ð ．
(2)如图②，在
ABC
V
纸片中剪去
AED
△
，得到四边形BCDE ．若
1
130
Ð =
°，则
2
A
Ð - Ð 的大小为_____度．
(3)如图③，在
ABC
V
中，BP
CP
，
分别为外角
DBC
Ð
，
ECB
Ð
的平分线，写出
P
Ð
与
A
Ð
之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)
4
Ð ，
3
Ð ，
4
3
A
A
Ð + Ð + Ð + Ð ．
(2)50
(3)
1
90
2
P
A
Ð
=
°-
Ð ，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关
知识是解答的关键．
（1）由三角形外角性质得
1
Ð ，
2
Ð ，再求
1
Ð 与
2
Ð 的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；
（2）由1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð 进行变形为
2
180
1
A
Ð - Ð
=
°- Ð 即可解答；
（3）由角平分线的定义得
PBC
Ð
、
PCB
∠
，再由三角形内角和定理得出
1
180
2
P
DBC
BCE
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
然后把
180
DBC
BCE
A
Ð
+ Ð
=
° + Ð 代入求解即可．
【详解】（1）证明：
1
Ð
Q
与
2
Ð 分别为
ABC
V
的两个外角，
1
4
A
Ð
Ð
\
=
+ Ð ，
2
3
A
Ð = Ð + Ð ，
1
2
4
3
A
A
\Ð + Ð = Ð + Ð + Ð + Ð
3
4
180
A
Ð + Ð + Ð
°
=
Q
，
1
2
180
A
\Ð + Ð =
°+ Ð ．
故答案为：
4
Ð ，
3
Ð ，
4
3
A
A
Ð + Ð + Ð + Ð ．
（2）解：∵1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ，
1
130
Ð =
°，
∴
2
180
1
180
130
50
A
Ð - Ð
=
°- Ð =
°-
° =
° ．
故答案为：50．
（3）解：
1
90
2
P
A
Ð
=
°-
Ð ，理由如下：
∵BP
CP
，
分别为外角
DBC
Ð
，
ECB
Ð
的平分线，
∴
1
2
PBC
DBC
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
BCE
Ð
=
Ð
，
∴
1
180
180
2
P
PBC
PCB
DBC
BCE
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
∵
180
DBC
BCE
A
Ð
+ Ð
=
° + Ð ，
∴
1
1
180
180
90
2
2
P
A
A
Ð
=
°-
°+ Ð
=
°-
Ð ．
◆题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型
模型总结：
1）8 字模型（基础型）
条件：如图，AD、BC 相交于点O，连接AB、CD；结论：①
A
B
C
D
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
；②
AB
CD
AD
BC
+
<
+
。
证明：在∆ABO 中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD 中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO 中，AB＜AO+BO；在∆COD 中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴AB
CD
AD
BC
+
<
+
。
2）8 字模型（加角平分线）
条件：如图，线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则
1
2
P
B
D
Ð
=
Ð + Ð
，即2∠P=∠B+∠D
4．（25-26 八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用：
(1)如图①，
,
AD BC 相交于点O，得到1 个“8”字ABCD ．求证：
A
B
C
D
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
．
(2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来．
(3)如图②，
ABC
Ð
和
ADC
Ð
的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：
1
2
E
A
C
Ð
=
Ð + Ð
．
【答案】(1)见解析
(2)有3 个，分别是
,
,
ABCD ABED BEDC
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是
掌握三角形的内角和定理,外角的性质.
（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决.
（2）根据题中的“8”字的概念解答即可.
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可.
【详解】（1）证明：
180
A
B
AOB
Ð + Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
C
D
COD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
AOB
COD
Ð
= Ð
，
A
B
C
D
\Ð + Ð
= Ð
+ Ð
．
（2）解：有3 个，分别是
,
,
ABCD ABED BEDC ．
（3）
BE
Q
平分
ABC
Ð
，DE 平分
ADC
Ð
，
,
ABE
CBE
CDE
ADE
\Ð
= Ð
Ð
= Ð
．
由（1），同理可证得
A
ABE
E
ADE
+
=
+
Ð
Ð
Ð
Ð
，
C
CDE
E
CBE
+
=
+
Ð
Ð
Ð
Ð
，
A
ABE
C
CDE
E
ADE
E
CBE
\Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
，
1 (
)
2
E
A
C
\Ð
=
Ð + Ð
．
5．（2025 八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ．
(1)如图1，求证：
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)如图2 ，ADC
Ð
和
ABC
Ð
的平分线DE 和BE 相交于点E ，并且与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，
28
A
Ð =
° ，
32
C
Ð
=
° ，求
E
Ð
的度数；
(3)如图3，
ADC
Ð
和
ABC
Ð
的三等分线DE 和BE 相交于点E ，并且与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，
1
3
CDE
ADC
Ð
=
Ð
，
1
3
CBE
ABC
Ð
=
Ð
，试探究
A
Ð
、
C
Ð
、
E
Ð
三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)30°
(3)
2
3
A
C
E
Ð + Ð
= Ð
；理由见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解
题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得
A
ADE
E
ABE
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
，
C
CBE
E
CDE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，得出
2
A
C
E
+ Ð
= Ð
，代入数据即可求解；
（3）由三等分线的定义可得
2
ADE
CDE
Ð
= Ð
，
2
ABE
CBE
Ð
= Ð
，由（1）可得
2
2
2
2
C
CBE
E
CDE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，代入即可求解．
【详解】（1）证明：
180
A
D
AOD
C
B
BOC
Ð + Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð + Ð
=
°
Q
，
AOD
BOC
Ð
= Ð
，
A
D
C
B
\Ð + Ð
= Ð
+ Ð ；
（2）
ADC
Ð
Q
和
ABC
Ð
的平分线DE 和BE 相交于点E ，
ADE
CDE
\Ð
= Ð
，
ABE
CBE
Ð
= Ð
，
由（1）可得
A
ADE
E
ABE
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
，
C
CBE
E
CDE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
2
A
C
E
\Ð + Ð
= Ð
，
28
A
Ð
=
°
Q
，
32
C
Ð
=
° ，
30
E
\Ð
=
° ；
（3）
2
3
A
C
E
Ð + Ð
= Ð
．
理由：
1
3
CDE
ADC
Ð
=
Ð
Q
，
1
3
CBE
ABC
Ð
=
Ð
，
2
ADE
CDE
\Ð
= Ð
，
2
ABE
CBE
Ð
= Ð
，
由（1）可得
A
ADE
E
ABE
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
，
C
CBE
E
CDE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
2
2
2
2
C
CBE
E
CDE
\ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
2
2
3
2
A
C
ADE
CBE
E
ABE
CDE
\Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
．
6．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，我们把形如
这样的图形称为“八字图形”．
(1)如图1，探究
A
Ð
，
B
Ð
，
C
Ð
，
D
Ð
之间的数量关系．
(2)如图2，AE 平分
CAB
Ð
，DE 平分
BDC
Ð
，AE ，DE 交于点E ．
①若
30
C
Ð
=
° ，
20
B
Ð
=
°，求
E
Ð
的度数；
②如图3，若将条件中角的关系改成“
1
4
CAE
CAB
Ð
Ð
=
，
1
4
CDE
BDC
Ð
Ð
=
”，试判断
E
Ð
与
B
Ð
，
C
Ð
之
间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
A
C
B
D
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
(2)①
25
E
Ð
=
°；②4
3
E
C
B
Ð
Ð
Ð
=
+
，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活
运用三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可；
（2）①根据（1）中的结论得
C
CAE
E
CDE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
①，
B
BDE
E
BAE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
②，将
+
①
②，
结合角平分线定义得出
2
C
B
E
Ð
+ Ð
= Ð
，最后将
,
C
B
Ð
Ð
代入即可求解；②类比①中的方法求解即可．
【详解】解：（1）
AOC
DOB
Ð
= Ð
Q
，
180
A
C
AOC
D
B
DOB
Ð + Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð + Ð
=
°，
A
C
B
D
\
+
=
+
∠
∠
∠
∠
（2）（i）根据（1）可得
C
CAE
E
CDE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
①，
B
BDE
E
BAE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
②，
由
+
①
②得
C
CAE
B
BDE
E
CDE
E
BAE
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
+
+
+
=
+
+
+
，
AE
Q
平分
CAB
Ð
，DE 平分
BDC
Ð
，
CAE
BAE
\Ð
= Ð
，
BDE
CDE
Ð
= Ð
，
2
C
B
E
Ð
Ð
Ð
\
+
=
，
30 ,
20
C
B
Ð
=
° Ð
=
°
Q
，
25
E
\Ð
=
°．
（ii）4
3
E
C
B
Ð
Ð
Ð
=
+
．理由如下：
根据（1）可得
C
CAE
E
CDE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
，
E
BAE
B
BDE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
1
4
CAE
CAB
Ð
Ð
=
Q
，
1
4
CDE
BDC
Ð
Ð
=
，
3
4
BAE
CAB
Ð
Ð
\
=
，
3
4
BDE
BDC
Ð
Ð
=
，
1
1
4
4
C
CAB
E
BDC
Ð
Ð
Ð
Ð
\
+
=
+
③，
3
3
4
4
E
CAB
B
BDC
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
④，
由③3
- ④得
1
3
1
3
3
3(
4
4
4
4
C
CAB
E
CAB
E
BDC
B
BDC
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
æ
ö
æ
ö
ö
æ
ö
+
-
+
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ø
è
ø ，
3
3
C
E
E
B
Ð
Ð
Ð
Ð
\
-
=
-
，
4
3
E
C
B
Ð
Ð
Ð
\
=
+
．
◆题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型
模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD； 结论：①
BCD
A
B
D
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
；②AB
AD
BC
CD
+
+
。
证明：连接AC 并延长至点P；在△ABC 中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD 中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC 交AD 于点P；在△ABQ 中，AB
AQ
BC
CQ
+
+
；在△CDQ 中，CQ
QD
CD
+
。
即：AB
AQ
CQ
QD
BC
CQ
CD
+
+
+
+
+
，故AB
AD
BC
CD
+
+
。
拓展模型1：条件：如图，BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC； 结论：∠O= 1
2
（∠A+∠C）。
证明：∵BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC；∴∠ABO= 1
2 ∠ABC；∠ADO= 1
2 ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= 1
2
∠ABC+ 1
2
∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= 1
2 （∠A+∠C）。
7．（25-26 八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形ABDC 中，
86
A
Ð
=
° ，
34
B
Ð
=
° ，
24
Ð
°
=
C
．
（1）
BDC
Ð
=
° ；
（2）如图2，
ABD
Ð
和
ACD
Ð
的角平分线BE 与CF 交于点G，BE ，CF 分别与AC ，AB 交于点E 和点F，
则
BGC
Ð
=
° ．
【答案】
144
115
【分析】本题考查了三角形的外角性质．
（1）连接AD 并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解；
（2）连接AG 并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解．
【详解】解：（1）如图1，连接AD 并延长至点H．
∴
BDC
BDH
CDH
Ð
= Ð
+ Ð
BAD
B
CAD
C
= Ð
+ Ð + Ð
+ Ð
BAC
B
C
= Ð
+ Ð
+ Ð
86
34
24
144
=
°+
°+
° =
° ；
（2）如图2，连接AG 并延长至点K．
∵BE
CF
，
分别平分
ABD
Ð
，
ACD
Ð
，
∴
1
1
34
17
2
2
ABE
ABD
Ð
=
Ð
=
° =
°，
1
1
24
12
2
2
ACF
ACD
Ð
=
Ð
=
° =
° ，
∴
BGC
BGK
CGK
Ð
= Ð
+ Ð
ABE
BAG
CAG
ACF
= Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
ABE
BAC
ACF
= Ð
+ Ð
+ Ð
17
86
12
115
=
°+
°+
° =
° ，
故答案为：144；115．
8．（25-26 八年级上·广西百色·期中）【问题背景】经历了第13 章的学习，我们知道三角形是由线段围成的
最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一
些几何问题．
小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中
三个角度数及模具合格的要求如图1 所示．
(1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程．
(2)【问题迁移】在平面内，AB
CD
∥
，点E ，F 分别为直线AB ，CD 上的点，连接EF ，若M 为直线AB
与CD 之间的一动点，
（点M 不在直线AB ，CD 上），且点M 在线段EF 的左侧（如图2 所示）EFM
Ð
与
FEM
Ð
两个角的平分线交于点N ．若
AEM
a
Ð
=
，
CFM
b
Ð
=
．求
ENF
Ð
的度数（用含a 、b 来表示）
【答案】(1)不合格，见解析
(2)
1
90
(
)
2 a
b
° +
+
【分析】（1）利用外角的性质求出
BCD
Ð
后即可判断模具是否合格；
（2）利用平行线的性质得到
180
AEF
CFE
Ð
+ Ð
=
o ，再利用角平分线的定义和平角的定义即可求解．
【详解】（1）解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格
如图延长BC 交AD 于点E ．
84
A
Ð =
o
Q
，
35
B
Ð
=
o
CED
A
B
\Ð
= Ð + Ð
84
35
=
+
o
o
119
=
o ，
又
30
D
Ð
=
o
Q
119
30
149
150
BCD
CED
D
\Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
¹
o
o
o
o
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
方法2：李师傅制作的这一个模具不合格．
如图，连接AC 并延长AC 至E ．
则
BCE
B
BAC
Ð
= Ð + Ð
，
DCE
D
DAC
Ð
= Ð
+ Ð
．
又
84
BAD
Ð
=
o
Q
，
35
B
Ð
=
o ，
30
D
Ð
=
o
BCD
BCE
DCE
\Ð
= Ð
+ Ð
B
BAC
D
DAC
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
B
D
BAD
= Ð
+ Ð
+ Ð
35
30
84
=
+
+
o
o
o
149
150
=
¹
o
o ，
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
方法3：李师傅制作的这一个模具不合格．
如图，连接BD ．
Q在
ABD
△
中，
84
A
Ð
=
o，且
180
A
ABD
ADB
Ð + Ð
+ Ð
=
o ，
96
ABD
ADB
\Ð
+ Ð
=
o ，
35
ABC
Ð
=
o ，
30
ADC
Ð
=
o ，
CBD
CDB
ABD
ABC
ADB
ADC
Ð
+ Ð
= Ð
- Ð
+ Ð
- Ð
ABD
ADB
ABC
ADC
= Ð
+ Ð
- Ð
- Ð
31
=
o ，
Q在四边形ABCD 中，
180
CBD
CDB
BCD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
o ，
149
150
BCD
Ð
=
¹
o
o ，
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
（2）
AB
CD
∥
Q
180
AEF
CFE
\Ð
+ Ð
=
o
又
AEM
a
Ð
=
Q
，
CFM
b
Ð
=
180
MEF
MFE
AEF
AEM
CFE
CFM
a
b
\Ð
+ Ð
= Ð
- Ð
+ Ð
- Ð
=
-
+
o
又
EFM
Ð
Q
与
FEM
Ð
两个角的平分线交于点N
1
2
NEF
MEF
\Ð
=
Ð
，
1
2
NFE
MFE
Ð
=
Ð
1
1
(
)
90
(
)
2
2
NEF
NFE
MEF
MFE
a
b
°
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
-
+
1
180
90
2
ENF
NEF
NFE
a
b
°
°
\Ð
=
- Ð
+ Ð
=
+
+
．
9．（25-26 八年级上·河北保定·期中）【问题背景】
研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1 的形状，我们把这个图形
形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
【解决问题】
（1）如图1，探究
180
ABC
ABC
Ð
Ð
<
° 与
A
Ð
，
D
Ð
，
C
Ð
三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是
ABC
A
D
C
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
，他的证明过程如下：
证明：连接DB，并延长到点P．
……
请你将小明的证明过程补充完整．
【类比探究】
（2）如图2，
90
A
C
E
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
150
B
D
Ð
+ Ð
=
°，求
AFE
Ð
的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，AM
EN
∥
，
150
B
D
Ð
+ Ð
=
°，
50
C
E
Ð
+ Ð
=
°，则
MAB
Ð
的度数为
．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）100°．
【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问
题．
（1）连接DB ，并延长至点E ，利用三角形的外角求解即可；
（2）连接CF ，利用（1）中结论可得
B
A
AFC
BCF
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
，
D
E
EFC
DCF
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，结合已知可
求解；
（3）在直线EN 上取一点P ，连接AP ，利用（2）中结论可得
1
3
100
Ð + Ð =
°，再利用平行线的性质可得
2
3
Ð
Ð
=
，进而得到
1
2
100
Ð + Ð =
° 即可求解．
【详解】解：（1）
ABC
A
D
C
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
．
证明：如图，连接DB ，并延长至点E ，
∵
=
A
ADB
ABE
Ð + Ð
Ð
，
C
CDB
CBE
Ð
+ Ð
= Ð
，
∵
ABC
ABE
CBE
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
ABC
A
ADB
CDB
C
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
Ð
，
∴
ABC
A
ADC
C
= Ð + Ð
+ Ð
Ð
；
（2）如图，连接CF ，
由（1）可知
B
A
AFC
BCF
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
，
D
E
EFC
DCF
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，
∵
150
B
D
Ð
+ Ð
=
°，
90
A
BCD
E
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
∴150
A
AFC
BCF
E
EFC
DCF
° = Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
，
∴150
90
90
AFC
EFC
AFE
° =
°+ Ð
+ Ð
=
°+ Ð
，
∴
60
AFE
Ð
=
° ；
（3）如图，在直线EN 上取一点P ，连接AP ，
由（2）可知
150
1
3
B
D
C
E
Ð
+ Ð
=
° = Ð + Ð + Ð
Ð
＋
，
∵
50
C
E
Ð
+ Ð
=
°，
∴
1
3
100
Ð + Ð =
°，
∵AM
EN
∥
，
∴
2
3
Ð
Ð
=
，
∴
1
2
100
Ð + Ð =
° ，
∴
100
MAB
Ð
=
°．
故答案为：100°．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·河南周口·三模）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果
50
CDE
Ð
=
° ，那么
BAF
∠
的大小为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
【答案】C
【分析】由题意可确定DE
AF
P
，
30
ABC
Ð
=
°，再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵DE
AF
P
，
50
CDE
Ð
=
° ，
∴
50
AFC
CDE
Ð
= Ð
=
°，
∴
20
BAF
AFC
B
-
Ð
= Ð
Ð
=
°．
2．（2026 年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，AB 和CD交于点O ，AC
AB
^
于点
A ，连接BD ．若
40
B
Ð
=
°，
75
D
Ð
=
°，则
C
Ð
的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】A
【分析】先由三角形内角和定理求出
BOD
Ð
的度数，再由对顶角相等可得
AOC
Ð
的度数，然后根据垂直的
定义得到
90
A
Ð
=
°，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：在
BOD
△
中，
180
180
40
75
65
BOD
B
D
Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
° ，
65
AOC
BOD
\Ð
= Ð
=
°，
AC
AB
^
Q
，
90
A
\Ð
=
° ，
90
25
C
AOC
\Ð
=
°- Ð
=
°．
3．（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，已知
120
BDC
Ð
=
° ，
20
C
Ð
=
°，若BE 平分
ABD
Ð
，且
80
BEC
Ð
=
°，则
A
Ð 的度数为（ ）．
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】C
【分析】如图：连接BC ，利用三角形内角和定理可得
60
DBC
DCB
Ð
+ Ð
=
°、
100
EBC
ECB
Ð
+ Ð
=
°，进而
得到
20
EBD
Ð
=
°；利用角平分线的定义可得
20
ABE
EBD
Ð
= Ð
=
° ，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图：连接BC ，
∵在BDC
V
中，
120
BDC
Ð
=
° ，
∴
60
DBC
DCB
Ð
+ Ð
=
°，
∵在
BEC
V
中，
80
BEC
Ð
=
°，
∴
100
EBC
ECB
Ð
+ Ð
=
°，
∴
100
DBC
EBD
ECD
DCB
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
100
DBC
DCB
EBD
ECD
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∵
20
ECD
Ð
=
° ，
∴60
20
100
EBD
°+ Ð
+
° =
°，即
20
EBD
Ð
=
°，
∵BE 平分
ABD
Ð
，
∴
20
ABE
EBD
Ð
= Ð
=
° ，
∵
BEC
A
ABE
Ð
= Ð + Ð
，
∴
80
20
60
A
BEC
ABE
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°．
4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知
20 ,
60 ,
40
DAB
B
BCD
°
°
Ð
=
Ð
=
Ð
=
° ，要求出
ADC
Ð
的度数，现
有图2 中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出
ADC
Ð
度数的方案是（ ）
A．只有甲、乙能求出
B．只有甲、丙能求出
C．只有乙、丙能求出
D．甲、乙、丙都能求出
【答案】D
【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分
别求证即可解答．
【详解】解：甲：
ADC
Ð
Q
是DEC
V
的外角，
ADC
CED
C
\Ð
= Ð
+ Ð
，
CED
Ð
Q
是ABE
V
的外角，
CED
A
B
\Ð
= Ð + Ð ，
120
ADC
A
B
C
\Ð
= Ð + Ð
+ Ð
=
°；
乙：
360
CDA
CDF
ADF
Ð
=
- Ð
- Ð
°
，
DF
AB
Q
∥
，
180
DAB
ADF
\Ð
+ Ð
=
° ，
CFD
B
Ð
= Ð
，
180
180
CDF
BCD
CFD
BCD
B
\Ð
=
- Ð
- Ð
=
°- Ð
- Ð
°
，
180
ADF
DAB
Ð
=
°- Ð
，
360
180
180
120
CDA
BCD
B
DAB
BCD
B
DAB
\Ð
=
°-
°- Ð
- Ð
-
°- Ð
= Ð
+ Ð + Ð
=
°；
丙：Q在ABC
V
中，
180
DAB
B
BCD
ACD
CAD
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
在ADC
V
中，
180
ADC
ACD
CAD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
120
ADC
DAB
B
BCD
\Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
=
°．
综上所述，甲、乙、丙都能求出．
5．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C，且
A
Ð ，
B
Ð ，
D
Ð
保持不变．为了舒适，可调整
E
Ð
的大小，使
130
EFD
Ð
=
°，则图中
E
Ð
应________（填“增
加”或“减少”）________度．横线上的结果是（ ）
A．增加，5
B．增加，10
C．减小，5
D．减小，10
【答案】B
【分析】延长DF ，交CE 于点G ，根据三角形的内角和求出
70
ACB
Ð
=
°，得到
90
DGE
DCE
D
Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，再根据三角形的外角，求出
40
E
Ð
=
°，由图中
30
E
Ð
=
°，得到
E
Ð
应增加10°，
即可解答．
【详解】解：延长DF ，交CE 于点G ，
180
50
60
70
ACB
Ð
=
° -
° -
° =
°
Q
70
ECD
ACB
\Ð
= Ð
=
°
70
20
90
DGE
DCE
D
\Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
°，
130
EFD
DGE
E
Ð
= Ð
+ Ð
=
°
Q
40
E
\Ð
=
°
而图中
30
E
Ð
=
°
E
\Ð
应增加10°．
二、填空题
6．（24-25 七年级下·甘肃武威·期末）如图，DE
AB
^
，
30
A
Ð
=
°，
55
D
Ð
=
°，则
ACB
Ð
的度数为_____ ．
【答案】
115°
【分析】先根据垂直的定义得
90
BED
Ð
=
° ，由三角形内角和定理求出
B
Ð ，再根据三角形内角和定理求出
ACB
Ð
的度数即可．
【详解】解：∵DE
AB
^
，
∴
90
BED
Ð
=
° ，
∵
55
D
Ð
=
°，
∴
180
35
B
BED
D
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
又∵
30
A
Ð
=
°，
∴
180
115
ACB
A
B
-
Ð
=
°
Ð + Ð
=
° ．
7．（25-26 七年级下·山东泰安·期末）如图，用剪刀把一张长方形纸片剪去一个角（虚线部分），则
1
2
Ð + Ð
的度数是___________
【答案】270°/270 度
【详解】解：如图，
∵
90
B
Ð
=
°
∴
90
BAC
BCA
Ð
+ Ð
=
°
∴
1
2
180
180
360
270
BAC
BCA
BAC
BCA
Ð + Ð =
°- Ð
+
°- Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°．
8．（25-26 七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，AE 与BD 的交点为C ，
50
CAB
Ð
=
°，
60
CBA
Ð
=
° ，
40
E
Ð
=
°．为了舒适，需调整
CDF
Ð
大小，使
140
EFD
Ð
=
° ，且
CAB
Ð
、
CBA
Ð
、
E
Ð
保持
不变，则图中
CDF
Ð
应调整为________度．
【答案】30
【分析】延长EF 交BD 于G ．根据三角形内角和公式求出
70
ACB
Ð
=
°，可得
70
DCE
Ð
=
° ，根据三角形外
角的性质得
EFD
CDF
E
DCE
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，然后代入数据求解即可．
【详解】解：延长EF 交BD 于G ．
50
CAB
Ð
=
°
Q
，
60
CBA
Ð
=
° ，
180
70
ACB
CAB
CBA
°
°
\Ð
=
- Ð
- Ð
=
，
70
DCE
ACB
\Ð
= Ð
=
° ．
EFD
CDF
DGF
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
DGF
E
DCE
Ð
= Ð
+ Ð
，
EFD
CDF
E
DCE
\Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
．
140
70
40
30
CDF
\Ð
=
°-
°-
° =
°．
9．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，
ABE
Ð
、
ACE
Ð
的角平分线BF
CF
、
交于点F ，已知
130 ,
30
BEC
BAC
Ð
=
° Ð
=
° ，则
BFC
Ð
= ___________
【答案】80°
【分析】连接BC ，根据三角形内角和为180°，在
BEC
V
和ABC
V
中得出
50
EBC
ECB
Ð
+ Ð
=
°，
150
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°，即可求出
ABE
ACE
Ð
+ Ð
，结合BF
CF
、
是
ABE
Ð
、
ACE
Ð
的角平分线，求出
50
FBE
FCE
Ð
+ Ð
=
° ，在
BFC
V
中，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接BC ，
在
BEC
V
中，
180
,
130
EBC
ECB
BEC
BEC
BEC
-
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
Ð
Ð
=
° ，
∴
180
180
130
50
EBC
ECB
BEC
-
-
Ð
+ Ð
=
°
Ð
=
°
° =
°，
在ABC
V
中，
180 ,
30
ABC
ACB
BAC
BAC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° Ð
=
°，
∴
180
180
30
150
ABC
ACB
BAC
-
-
Ð
+ Ð
=
°
Ð
=
°
° =
°，
又∵
ABC
ABE
EBC
Ð
= Ð
+ Ð
，
ACB
ACE
ECB
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
ABE
ACE
Ð
+ Ð
ABC
EBC
ACB
ECB
-
-
= Ð
Ð
+ Ð
Ð
ABC
ACB
EBC
ECB
= Ð
+ Ð
- Ð
+ Ð
150
50
100
-
=
°
° =
° ，
∵BF
CF
、
是
ABE
Ð
、
ACE
Ð
的角平分线，
∴
1
1
,
2
2
EBF
ABE
ECF
ACE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
∴
1
50
2
FBE
FCE
ABE
ACE
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°，
∴在
BFC
V
中：
50
50
100
FBC
FCB
FBE
FCE
EBC
ECB
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ，
∴
180
180
100
80
BFC
FBC
FCB
-
-
Ð
=
°
Ð
+ Ð
=
°
° =
°．
10．（25-26 七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段AB 和线段CD交于点O ，连AC 、BD ，
1
4
CAP
CAB
Ð
=
Ð
，
1
4
CDP
CDB
Ð
=
Ð
，AP 、DP 分别交CD，AB 于M 、N ；则
C
Ð
、
B
Ð 、
P
Ð 之间数量
关系是____________
【答案】4
3
P
C
B
Ð
= Ð
+ Ð
【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解.
【详解】解：∵
CMA
PMD
Ð
= Ð
，
∴180
180
CMA
PMD
°- Ð
=
°- Ð
，
∴
C
CAP
P
CDP
Ð
+ Ð
= Ð + Ð
，
∴
CDP
CAP
C
P
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
同理：
P
PAB
B
BDP
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
BDP
PAB
P
B
Ð
- Ð
= Ð
- Ð ，
∵
1
4
CAP
CAB
Ð
=
Ð
，
1
4
CDP
CDB
Ð
=
Ð
，
∴
3
,
3
PAB
CAP
BDP
CDP
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
∴
3
CDP
CAP
P
B
Ð
- Ð
= Ð - Ð ，
∴
3
C
P
P
B
Ð
- Ð
= Ð - Ð ，
即：4
3
P
C
B
Ð
= Ð
+ Ð .
三、解答题
11．（25-26 八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D 在
BAC
Ð
的内部．求证：
(1)
BDC
A
Ð
Ð ；
(2)
BDC
B
C
A
Ð
= Ð + Ð
+ Ð ．
(3)如果点D 在线段BC 的另一侧，又会有怎样的结论？
【答案】(1)证明：延长CD 交AB 于点E，如图，
BDC
B
BED
Ð
= Ð + Ð
Q
，
BDC
BED
\Ð
Ð
，
BED
A
C
Ð
= Ð + Ð
Q
，
BED
A
\Ð
Ð ，
BDC
A
\Ð
Ð ；
(2)证明：延长CD交AB 于点E，如图，
BDC
B
BED
Ð
= Ð + Ð
Q
，
BED
A
C
Ð
= Ð + Ð
，
BDC
B
C
A
\Ð
= Ð + Ð
+ Ð ．
(3)
360
BDC
B
C
BAC
Ð
+ Ð + Ð
+ Ð
=
° ，证明如下：
连接AD ，如图，
180
B
BDA
BAD
Ð + Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
C
CDA
CAD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
360
B
BDA
BAD
C
CDA
CAD
\Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
360
BDC
B
C
BAC
\Ð
+ Ð + Ð
+ Ð
=
°．
【分析】（1）运用三角形外角的性质可得
BDC
BED
Ð
Ð
，
BED
A
Ð
Ð ，由此可证明．
（2）运用三角形外角的性质来进行推理即可．
（3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
12．（25-26 七年级下·河北承德·期末）已知线段AB 与CD相交于点O ，连接AD ，BC ．
(1)如图1，若
85
A
D
°
Ð + Ð
=
，则
BOC
Ð
的度数为__________，
B
C
Ð + Ð
的度数为__________；
(2)如图2．若
EAO
C
Ð
= Ð
，
EAD
D
Ð
= Ð
，求证：
2
B
D
Ð
= Ð
；
(3)如图3，若
DAP
BAP
Ð
= Ð
，
DCP
BCP
Ð
= Ð
，
90
B
D
Ð
+ Ð
=
° ，求
P
Ð 的度数．
【答案】(1)95°，85°
(2)证明：在
AOE
△
与
COB
△
中，
180
EAO
AEO
AOE
B
C
BOC
Ð
°
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
=
，
∵
AOE
BOC
Ð
= Ð
，
∴
EAO
AEO
C
B
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
EAO
C
Ð
= Ð
Q
，
AEO
B
\Ð
= Ð
，
EAD
D
Ð
= Ð
Q
，
AEO
EAD
D
Ð
= Ð
+ Ð
，
2
AEO
D
\Ð
= Ð
，
2
B
D
\Ð
= Ð
；
(3) 45°
【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解；
（2）根据三角形内角和及对顶角相等可得
EAO
AEO
C
B
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，则有
AEO
B
Ð
= Ð ，然后根据三角形
外角的性质可进行求证；
（3）由（1）得
1
3
D
P
Ð + Ð
= Ð + Ð ，
4
2
B
P
Ð + Ð
= Ð + Ð
，然后可得
2
B
D
P
Ð + Ð
= Ð
，进而问题可求解．
【详解】（1）解：在AOD
V
中，
180
A
D
AOD
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，且
85
A
D
°
Ð + Ð
=
，
∴
180
95
AOD
A
D
Ð
=
°- Ð + Ð
=
° ，
∴
95
AOD
BOC
°
Ð
= Ð
=
，
∵
180
B
C
BOC
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，
∴
85
B
C
Ð + Ð
=
°；
（2）略
（3）解：如下图，
DAP
BAP
Ð
= Ð
Q
，
DCP
BCP
Ð
= Ð
，
1
2
\Ð = Ð ，
3
4
Ð = Ð ，
由（1）得
1
3
D
P
Ð + Ð
= Ð + Ð ，
4
2
B
P
Ð + Ð
= Ð + Ð
，
两式相加，得1
4
2
3
2
B
D
P
Ð + Ð + Ð + Ð
= Ð + Ð + Ð ，
即
2
B
D
P
Ð + Ð
= Ð
，
1
1
90
45
2
2
P
B
D
\Ð
=
Ð + Ð
=
° =
°．
13．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型．
【初步探索】
(1)如图1，已知1
40
Ð =
°，
2
25
Ð =
° ，
3
33
Ð =
°，求
4
Ð 的度数．
【归纳结论】
(2) 1
Ð 、
2
Ð 、
3
Ð 和
4
Ð 的数量关系是________．
【深入探究】
(3)如图2 ，若
5
46
Ð =
°，
6
96
Ð =
°，
1
2
Ð = Ð 且
3
4
Ð = Ð ，直接写出
7
Ð 的度数．
【答案】(1)98°
(2)
4
1
2
3
Ð = Ð + Ð + Ð
(3)146°
【分析】（1）连接AC 并延长到点E，由三角形外角的性质可得
2
BCE
BAE
=
+
∠
∠
∠
，
3
DCE
DAE
=
+
∠
∠
∠
，则可推出
4
1
2
3
Ð = Ð + Ð + Ð ，据此代入求解即可；
（2）由（1）可得答案；
（3）由（1）得
6
1
3
5
=
+
+
∠
∠
∠
∠，
7
2
4
6
Ð = Ð + Ð + Ð ，求出
1
3
Ð + Ð 的度数，则可得到
2
4
Ð + Ð 的度数，
据此可得答案．
【详解】（1）解：如图1 所示，连接AC 并延长到点E，
∴
2
BCE
BAE
=
+
∠
∠
∠
，
3
DCE
DAE
=
+
∠
∠
∠
，
∴
4
2
3
1
2
3
BCE
DCE
BAE
DAE
=
+
=
+
+
+
=
+
+
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠，
∵1
40
Ð =
°，
2
25
Ð =
° ，
3
33
Ð =
°，
∴
4
98
Ð =
°；
（2）解；由（1）可得
4
1
2
3
Ð = Ð + Ð + Ð ；
（3）解：由（1）得
6
1
3
5
=
+
+
∠
∠
∠
∠，
7
2
4
6
Ð = Ð + Ð + Ð ，
∵
5
46
Ð =
°，
6
96
Ð =
°，
∴
1
3
50
+
=
°
∠
∠
，
∵
1
2
Ð = Ð 且
3
4
Ð = Ð ，
∴
2
4
1
3
50
Ð + Ð =
+
=
°
∠
∠
，
∴
7
2
4
6
50
96
146
Ð = Ð + Ð + Ð =
° +
° =
° ．
14．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图1，AB 与CD交于点E ，
(1)求证：
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)如图2 ，AD
BC
∥
，AF
CD
∥
，AE 平分
DAF
Ð
，AF
BF
^
，求证：
2
C
ABF
Ð
= Ð
；
(3)如图3，AD
BC
∥
，AN 平分
BAD
Ð
，CN 平分
BCD
Ð
，AN 与CN 交于点N ，DM
AB
^
，BM
CD
^
，
DM 与BM 交于点M ，试探究
M
Ð
与
N
Ð
的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)∵
180
A
D
AED
Ð + Ð
=
°- Ð
，
180
B
C
BEC
Ð + Ð
=
°- Ð
，
又
AED
BEC
Ð
= Ð
，
∴
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)设
ABF
a
Ð
=
，设BF 与CD交于点G ，
∵AF
BF
^
，
∴
180
90
90
FAB
a
a
Ð
=
°-
°-
=
°-
，
∵AE 平分
DAF
Ð
，
∴
90
DAB
FAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∵AD
BC
∥
，
∴
90
ABC
DAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∴
90
2
CBF
ABC
ABF
a
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
，
∵AF
CD
∥
，
∴
90
BGE
F
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
90
BGC
BGE
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
180
90
2
C
CBF
a
Ð
=
°-
°- Ð
=
，即
2
C
ABF
Ð
= Ð
；
(3)
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°，理由如下：
设
1
DAN
Ð
= Ð ，
2
DCN
Ð
= Ð ，
∵AN 平分
BAD
Ð
，CN 平分
BCD
Ð
，
∴
2 1
DAE
Ð
= Ð ，
2 2
BCE
Ð
= Ð ，
∵AD
BC
∥
，
∴
2 2
ADE
BCE
Ð
= Ð
= Ð ，
由（1）的结论得
DAN
ADC
DCN
N
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，即
1
2 2
2
N
Ð + Ð = Ð + Ð
，
∴
1
2
N
Ð
= Ð + Ð ，
在AED
V
中，
180
180
2
1
2
AED
EAD
EDA
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð + Ð
，
∵DM
AB
^
，BM
CD
^
，
由四边形内角和定理知
360
90
90
180
M
AEC
AEC
AED
Ð
=
°-
°-
°- Ð
=
°- Ð
= Ð
，
∴
180
2
1
2
M
Ð
=
°-
Ð + Ð
，
∴
180
2
M
N
Ð
=
°- Ð
，
∴
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°．
【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明；
（2）设
ABF
a
Ð
=
，设BF 与CD交于点G ，求得
90
ABC
DAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
90
2
CBF
a
Ð
=
°-
，根据平行线
的性质结合三角形内角和定理求得
2
C
a
Ð
=
，据此计算即可证明；
（3）设
1
DAN
Ð
= Ð ，
2
DCN
Ð
= Ð ，利用（1）的结论得到
1
2
N
Ð
= Ð + Ð ，在AED
V
中，求得
180
2
1
2
AED
Ð
=
°-
Ð + Ð
，利用四边形内角和定理求得
M
AED
Ð
= Ð
，据此计算即可得到
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
