文档文本内容
专题03 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾的三种模型
常考题型·精准突破
题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型（难）
题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型（难）
题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型
1．
【答案】（1）解：如图所示：
1
90
,
2
90
A
EFA
EFA
A
AEF
AEF
Ð = Ð + Ð
=
°+ Ð
Ð = Ð + Ð
=
°+ Ð
∴
1
2
90
90
180
EFA
AEF
EFA
AEF
Ð + Ð =
°+ Ð
+
°+ Ð
=
°+ Ð
+ Ð
∵ABC
V
为直角三角形，
90
A
Ð
=
°
∴
180
90
EFA
AEF
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
1
2
180
90
270
Ð + Ð =
°+
° =
° ，
故答案为：270°；
（2）如图所示：
在AEF
V
中，由外角性质可知：
1
,
2
A
EFA
A
AEF
Ð = Ð + Ð
Ð = Ð + Ð
；
∵
60
A
Ð
=
°
∴
1
2
A
EFA
A
AEF
A
EFA
AEF
A
Ð + Ð = Ð + Ð
+ Ð + Ð
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
180
60
=
°+
°
240
=
°
故答案为：240°
（3）解：由(1)、( 2 )中思路，由三角形外角性质可知：
1
A
EFA
Ð = Ð + Ð
，
2
A
AEF
Ð = Ð + Ð
；
∴
1
2
A
EFA
A
AEF
Ð + Ð = Ð + Ð
+ Ð + Ð
A
EFA
AEF
A
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
180
A
=
°+ Ð ，
∴
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð 的关系是：1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ，
故答案为：1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ；
（4）
1
2
2 A
Ð + Ð = Ð ．
理由：连接AP ．
∵EFP
V
是由EFA
V
折叠得到的，
∴
AFE
PFE
Ð
= Ð
，
AEF
PEF
Ð
= Ð
，
∴
1
180
2 AFE
Ð =
°- Ð
，
2
180
2 AEF
Ð =
°- Ð
，
∴
1
2
180
2
180
2
360
2
AFE
AEF
AFE
AEF
Ð + Ð =
°- Ð
+
°- Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
又∵
180
AFE
AEF
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð ，
∴
1
2
360
2 180
2
A
A
Ð + Ð =
°-
°- Ð
= Ð ，
∴
1
2
Ð + Ð 与
A
Ð 的关系为：
1
2
2 A
Ð + Ð = Ð ．
2．
【答案】（1）解：∵点D 恰好在BC 上，
∴C，D，N 三点在一条直线上，
∴
1
MDN
ACB
Ð = Ð
+ Ð
，
由折叠可知，MD
MC
=
，
MDN
ACB
Ð
= Ð
，
∴
1
2
ACB
=
∠
∠
，
故答案为：
1
2
ACB
=
∠
∠
．
（2）连接CD ，如下图所示：
由折叠可知，MD
MC
=
，
\
MDC
ACD
Ð
= Ð
，
又∵
1
MDC
ACD
Ð = Ð
+ Ð
，
∴
1
2 ACD
Ð = Ð
，
同理可得，
2
2 BCD
Ð = Ð
，
又∵
ACD
BCD
ACB
Ð
+ Ð
= Ð
，
∴
1
2
2
2
2
2
ACD
BCD
ACD
BCD
ACB
Ð + Ð = Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
= Ð
，
∵
35
ACB
Ð
=
°，
∴1
2
2 35
70
Ð + Ð =
° =
° ．
（3）
2
1
2 ACB
Ð - Ð = Ð
．
证明：连接CD ，如下图所示：
由折叠可知，MD
MC
=
，
∴
MDC
MCD
Ð
= Ð
，
又∵
1
MDC
MCD
Ð = Ð
+ Ð
，
∴
1
2 MCD
Ð = Ð
，
同理可得，
2
2 NCD
Ð = Ð
，
又∵
NCD
MCD
ACB
Ð
- Ð
= Ð
，
∴
2
1
2
2
2
2
NCD
MCD
NCD
MCD
ACB
Ð - Ð = Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
= Ð
，
∴
2
1
2 ACB
Ð - Ð = Ð
．
3．
【答案】（1）证明：
1
Ð
Q
与
2
Ð 分别为
ABC
V
的两个外角，
1
4
A
Ð
Ð
\
=
+ Ð ，
2
3
A
Ð = Ð + Ð ，
1
2
4
3
A
A
\Ð + Ð = Ð + Ð + Ð + Ð
3
4
180
A
Ð + Ð + Ð
°
=
Q
，
1
2
180
A
\Ð + Ð =
°+ Ð ．
故答案为：
4
Ð ，
3
Ð ，
4
3
A
A
Ð + Ð + Ð + Ð ．
（2）解：∵1
2
180
A
Ð + Ð =
°+ Ð ，
1
130
Ð =
°，
∴
2
180
1
180
130
50
A
Ð - Ð
=
°- Ð =
°-
° =
° ．
故答案为：50．
（3）解：
1
90
2
P
A
Ð
=
°-
Ð ，理由如下：
∵BP
CP
，
分别为外角
DBC
Ð
，
ECB
Ð
的平分线，
∴
1
2
PBC
DBC
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
BCE
Ð
=
Ð
，
∴
1
180
180
2
P
PBC
PCB
DBC
BCE
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
∵
180
DBC
BCE
A
Ð
+ Ð
=
° + Ð ，
∴
1
1
180
180
90
2
2
P
A
A
Ð
=
°-
°+ Ð
=
°-
Ð ．
◆题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型
4．
【答案】（1）证明：
180
A
B
AOB
Ð + Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
C
D
COD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
AOB
COD
Ð
= Ð
，
A
B
C
D
\Ð + Ð
= Ð
+ Ð
．
（2）解：有3 个，分别是
,
,
ABCD ABED BEDC ．
（3）
BE
Q
平分
ABC
Ð
，DE 平分
ADC
Ð
，
,
ABE
CBE
CDE
ADE
\Ð
= Ð
Ð
= Ð
．
由（1），同理可证得
A
ABE
E
ADE
+
=
+
Ð
Ð
Ð
Ð
，
C
CDE
E
CBE
+
=
+
Ð
Ð
Ð
Ð
，
A
ABE
C
CDE
E
ADE
E
CBE
\Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
，
1 (
)
2
E
A
C
\Ð
=
Ð + Ð
．
5．
【答案】（1）证明：
180
A
D
AOD
C
B
BOC
Ð + Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð + Ð
=
°
Q
，
AOD
BOC
Ð
= Ð
，
A
D
C
B
\Ð + Ð
= Ð
+ Ð ；
（2）
ADC
Ð
Q
和
ABC
Ð
的平分线DE 和BE 相交于点E ，
ADE
CDE
\Ð
= Ð
，
ABE
CBE
Ð
= Ð
，
由（1）可得
A
ADE
E
ABE
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
，
C
CBE
E
CDE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
2
A
C
E
\Ð + Ð
= Ð
，
28
A
Ð
=
°
Q
，
32
C
Ð
=
° ，
30
E
\Ð
=
° ；
（3）
2
3
A
C
E
Ð + Ð
= Ð
．
理由：
1
3
CDE
ADC
Ð
=
Ð
Q
，
1
3
CBE
ABC
Ð
=
Ð
，
2
ADE
CDE
\Ð
= Ð
，
2
ABE
CBE
Ð
= Ð
，
由（1）可得
A
ADE
E
ABE
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
，
C
CBE
E
CDE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
2
2
2
2
C
CBE
E
CDE
\ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
2
2
3
2
A
C
ADE
CBE
E
ABE
CDE
\Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
．
6．
【答案】解：（1）
AOC
DOB
Ð
= Ð
Q
，
180
A
C
AOC
D
B
DOB
Ð + Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð + Ð
=
°，
A
C
B
D
\
+
=
+
∠
∠
∠
∠
（2）（i）根据（1）可得
C
CAE
E
CDE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
①，
B
BDE
E
BAE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
②，
由
+
①
②得
C
CAE
B
BDE
E
CDE
E
BAE
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
+
+
+
=
+
+
+
，
AE
Q
平分
CAB
Ð
，DE 平分
BDC
Ð
，
CAE
BAE
\Ð
= Ð
，
BDE
CDE
Ð
= Ð
，
2
C
B
E
Ð
Ð
Ð
\
+
=
，
30 ,
20
C
B
Ð
=
° Ð
=
°
Q
，
25
E
\Ð
=
°．
（ii）4
3
E
C
B
Ð
Ð
Ð
=
+
．理由如下：
根据（1）可得
C
CAE
E
CDE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
，
E
BAE
B
BDE
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
1
4
CAE
CAB
Ð
Ð
=
Q
，
1
4
CDE
BDC
Ð
Ð
=
，
3
4
BAE
CAB
Ð
Ð
\
=
，
3
4
BDE
BDC
Ð
Ð
=
，
1
1
4
4
C
CAB
E
BDC
Ð
Ð
Ð
Ð
\
+
=
+
③，
3
3
4
4
E
CAB
B
BDC
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
④，
由③3
- ④得
1
3
1
3
3
3(
4
4
4
4
C
CAB
E
CAB
E
BDC
B
BDC
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
æ
ö
æ
ö
ö
æ
ö
+
-
+
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ø
è
ø ，
3
3
C
E
E
B
Ð
Ð
Ð
Ð
\
-
=
-
，
4
3
E
C
B
Ð
Ð
Ð
\
=
+
．
◆题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型
7．
【答案】解：（1）如图1，连接AD 并延长至点H．
∴
BDC
BDH
CDH
Ð
= Ð
+ Ð
BAD
B
CAD
C
= Ð
+ Ð + Ð
+ Ð
BAC
B
C
= Ð
+ Ð
+ Ð
86
34
24
144
=
°+
°+
° =
° ；
（2）如图2，连接AG 并延长至点K．
∵BE
CF
，
分别平分
ABD
Ð
，
ACD
Ð
，
∴
1
1
34
17
2
2
ABE
ABD
Ð
=
Ð
=
° =
°，
1
1
24
12
2
2
ACF
ACD
Ð
=
Ð
=
° =
° ，
∴
BGC
BGK
CGK
Ð
= Ð
+ Ð
ABE
BAG
CAG
ACF
= Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
ABE
BAC
ACF
= Ð
+ Ð
+ Ð
17
86
12
115
=
°+
°+
° =
° ，
故答案为：144；115．
8．
【答案】（1）解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格
如图延长BC 交AD 于点E ．
84
A
Ð =
o
Q
，
35
B
Ð
=
o
CED
A
B
\Ð
= Ð + Ð
84
35
=
+
o
o
119
=
o ，
又
30
D
Ð
=
o
Q
119
30
149
150
BCD
CED
D
\Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
¹
o
o
o
o
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
方法2：李师傅制作的这一个模具不合格．
如图，连接AC 并延长AC 至E ．
则
BCE
B
BAC
Ð
= Ð + Ð
，
DCE
D
DAC
Ð
= Ð
+ Ð
．
又
84
BAD
Ð
=
o
Q
，
35
B
Ð
=
o ，
30
D
Ð
=
o
BCD
BCE
DCE
\Ð
= Ð
+ Ð
B
BAC
D
DAC
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
B
D
BAD
= Ð
+ Ð
+ Ð
35
30
84
=
+
+
o
o
o
149
150
=
¹
o
o ，
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
方法3：李师傅制作的这一个模具不合格．
如图，连接BD ．
Q在
ABD
△
中，
84
A
Ð
=
o，且
180
A
ABD
ADB
Ð + Ð
+ Ð
=
o ，
96
ABD
ADB
\Ð
+ Ð
=
o ，
35
ABC
Ð
=
o ，
30
ADC
Ð
=
o ，
CBD
CDB
ABD
ABC
ADB
ADC
Ð
+ Ð
= Ð
- Ð
+ Ð
- Ð
ABD
ADB
ABC
ADC
= Ð
+ Ð
- Ð
- Ð
31
=
o ，
Q在四边形ABCD 中，
180
CBD
CDB
BCD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
o ，
149
150
BCD
Ð
=
¹
o
o ，
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
（2）
AB
CD
∥
Q
180
AEF
CFE
\Ð
+ Ð
=
o
又
AEM
a
Ð
=
Q
，
CFM
b
Ð
=
180
MEF
MFE
AEF
AEM
CFE
CFM
a
b
\Ð
+ Ð
= Ð
- Ð
+ Ð
- Ð
=
-
+
o
又
EFM
Ð
Q
与
FEM
Ð
两个角的平分线交于点N
1
2
NEF
MEF
\Ð
=
Ð
，
1
2
NFE
MFE
Ð
=
Ð
1
1
(
)
90
(
)
2
2
NEF
NFE
MEF
MFE
a
b
°
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
-
+
1
180
90
2
ENF
NEF
NFE
a
b
°
°
\Ð
=
- Ð
+ Ð
=
+
+
．
9．
【答案】解：（1）
ABC
A
D
C
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
．
证明：如图，连接DB ，并延长至点E ，
∵
=
A
ADB
ABE
Ð + Ð
Ð
，
C
CDB
CBE
Ð
+ Ð
= Ð
，
∵
ABC
ABE
CBE
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
ABC
A
ADB
CDB
C
= Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
Ð
，
∴
ABC
A
ADC
C
= Ð + Ð
+ Ð
Ð
；
（2）如图，连接CF ，
由（1）可知
B
A
AFC
BCF
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
，
D
E
EFC
DCF
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，
∵
150
B
D
Ð
+ Ð
=
°，
90
A
BCD
E
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
∴150
A
AFC
BCF
E
EFC
DCF
° = Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
，
∴150
90
90
AFC
EFC
AFE
° =
°+ Ð
+ Ð
=
°+ Ð
，
∴
60
AFE
Ð
=
° ；
（3）如图，在直线EN 上取一点P ，连接AP ，
由（2）可知
150
1
3
B
D
C
E
Ð
+ Ð
=
° = Ð + Ð + Ð
Ð
＋
，
∵
50
C
E
Ð
+ Ð
=
°，
∴
1
3
100
Ð + Ð =
°，
∵AM
EN
∥
，
∴
2
3
Ð
Ð
=
，
∴
1
2
100
Ð + Ð =
° ，
∴
100
MAB
Ð
=
°．
故答案为：100°．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．A
3．C
4．D
5．B
二、填空题
6．115°
7．270°/270 度
8．30
9．80°
10．4
3
P
C
B
Ð
= Ð
+ Ð
三、解答题
11．
【答案】(1)证明：延长CD 交AB 于点E，如图，
BDC
B
BED
Ð
= Ð + Ð
Q
，
BDC
BED
\Ð
> Ð
，
BED
A
C
Ð
= Ð + Ð
Q
，
BED
A
\Ð
> Ð ，
BDC
A
\Ð
> Ð ；
(2)证明：延长CD交AB 于点E，如图，
BDC
B
BED
Ð
= Ð + Ð
Q
，
BED
A
C
Ð
= Ð + Ð
，
BDC
B
C
A
\Ð
= Ð + Ð
+ Ð ．
(3)
360
BDC
B
C
BAC
Ð
+ Ð + Ð
+ Ð
=
° ，证明如下：
连接AD ，如图，
180
B
BDA
BAD
Ð + Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
C
CDA
CAD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
360
B
BDA
BAD
C
CDA
CAD
\Ð + Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
360
BDC
B
C
BAC
\Ð
+ Ð + Ð
+ Ð
=
°．
12．（25-26 七年级下·河北承德·期末）已知线段AB 与CD相交于点O ，连接AD ，BC ．
(1)如图1，若
85
A
D
°
Ð + Ð
=
，则
BOC
Ð
的度数为__________，
B
C
Ð + Ð
的度数为__________；
(2)如图2．若
EAO
C
Ð
= Ð
，
EAD
D
Ð
= Ð
，求证：
2
B
D
Ð
= Ð
；
(3)如图3，若
DAP
BAP
Ð
= Ð
，
DCP
BCP
Ð
= Ð
，
90
B
D
Ð
+ Ð
=
° ，求
P
Ð 的度数．
【答案】(1)95°，85°
(2)证明：在
AOE
△
与
COB
△
中，
180
EAO
AEO
AOE
B
C
BOC
Ð
°
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
=
，
∵
AOE
BOC
Ð
= Ð
，
∴
EAO
AEO
C
B
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
EAO
C
Ð
= Ð
Q
，
AEO
B
\Ð
= Ð
，
EAD
D
Ð
= Ð
Q
，
AEO
EAD
D
Ð
= Ð
+ Ð
，
2
AEO
D
\Ð
= Ð
，
2
B
D
\Ð
= Ð
；
(3) 45°
【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解；
（2）根据三角形内角和及对顶角相等可得
EAO
AEO
C
B
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，则有
AEO
B
Ð
= Ð ，然后根据三角形
外角的性质可进行求证；
（3）由（1）得
1
3
D
P
Ð + Ð
= Ð + Ð ，
4
2
B
P
Ð + Ð
= Ð + Ð
，然后可得
2
B
D
P
Ð + Ð
= Ð
，进而问题可求解．
【详解】（1）解：在AOD
V
中，
180
A
D
AOD
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，且
85
A
D
°
Ð + Ð
=
，
∴
180
95
AOD
A
D
Ð
=
°- Ð + Ð
=
° ，
∴
95
AOD
BOC
°
Ð
= Ð
=
，
∵
180
B
C
BOC
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，
∴
85
B
C
Ð + Ð
=
°；
（2）略
（3）解：如下图，
DAP
BAP
Ð
= Ð
Q
，
DCP
BCP
Ð
= Ð
，
1
2
\Ð = Ð ，
3
4
Ð = Ð ，
由（1）得
1
3
D
P
Ð + Ð
= Ð + Ð ，
4
2
B
P
Ð + Ð
= Ð + Ð
，
两式相加，得1
4
2
3
2
B
D
P
Ð + Ð + Ð + Ð
= Ð + Ð + Ð ，
即
2
B
D
P
Ð + Ð
= Ð
，
1
1
90
45
2
2
P
B
D
\Ð
=
Ð + Ð
=
° =
°．
13．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型．
【初步探索】
(1)如图1，已知1
40
Ð =
°，
2
25
Ð =
° ，
3
33
Ð =
°，求
4
Ð 的度数．
【归纳结论】
(2) 1
Ð 、
2
Ð 、
3
Ð 和
4
Ð 的数量关系是________．
【深入探究】
(3)如图2 ，若
5
46
Ð =
°，
6
96
Ð =
°，
1
2
Ð = Ð 且
3
4
Ð = Ð ，直接写出
7
Ð 的度数．
【答案】(1)98°
(2)
4
1
2
3
Ð = Ð + Ð + Ð
(3)146°
【分析】（1）连接AC 并延长到点E，由三角形外角的性质可得
2
BCE
BAE
=
+
∠
∠
∠
，
3
DCE
DAE
=
+
∠
∠
∠
，则可推出
4
1
2
3
Ð = Ð + Ð + Ð ，据此代入求解即可；
（2）由（1）可得答案；
（3）由（1）得
6
1
3
5
=
+
+
∠
∠
∠
∠，
7
2
4
6
Ð = Ð + Ð + Ð ，求出
1
3
Ð + Ð 的度数，则可得到
2
4
Ð + Ð 的度数，
据此可得答案．
【详解】（1）解：如图1 所示，连接AC 并延长到点E，
∴
2
BCE
BAE
=
+
∠
∠
∠
，
3
DCE
DAE
=
+
∠
∠
∠
，
∴
4
2
3
1
2
3
BCE
DCE
BAE
DAE
=
+
=
+
+
+
=
+
+
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠，
∵1
40
Ð =
°，
2
25
Ð =
° ，
3
33
Ð =
°，
∴
4
98
Ð =
°；
（2）解；由（1）可得
4
1
2
3
Ð = Ð + Ð + Ð ；
（3）解：由（1）得
6
1
3
5
=
+
+
∠
∠
∠
∠，
7
2
4
6
Ð = Ð + Ð + Ð ，
∵
5
46
Ð =
°，
6
96
Ð =
°，
∴
1
3
50
+
=
°
∠
∠
，
∵
1
2
Ð = Ð 且
3
4
Ð = Ð ，
∴
2
4
1
3
50
Ð + Ð =
+
=
°
∠
∠
，
∴
7
2
4
6
50
96
146
Ð = Ð + Ð + Ð =
° +
° =
° ．
14．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图1，AB 与CD交于点E ，
(1)求证：
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)如图2 ，AD
BC
∥
，AF
CD
∥
，AE 平分
DAF
Ð
，AF
BF
^
，求证：
2
C
ABF
Ð
= Ð
；
(3)如图3，AD
BC
∥
，AN 平分
BAD
Ð
，CN 平分
BCD
Ð
，AN 与CN 交于点N ，DM
AB
^
，BM
CD
^
，
DM 与BM 交于点M ，试探究
M
Ð
与
N
Ð
的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)∵
180
A
D
AED
Ð + Ð
=
°- Ð
，
180
B
C
BEC
Ð + Ð
=
°- Ð
，
又
AED
BEC
Ð
= Ð
，
∴
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)设
ABF
a
Ð
=
，设BF 与CD交于点G ，
∵AF
BF
^
，
∴
180
90
90
FAB
a
a
Ð
=
°-
°-
=
°-
，
∵AE 平分
DAF
Ð
，
∴
90
DAB
FAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∵AD
BC
∥
，
∴
90
ABC
DAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∴
90
2
CBF
ABC
ABF
a
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
，
∵AF
CD
∥
，
∴
90
BGE
F
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
90
BGC
BGE
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
180
90
2
C
CBF
a
Ð
=
°-
°- Ð
=
，即
2
C
ABF
Ð
= Ð
；
(3)
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°，理由如下：
设
1
DAN
Ð
= Ð ，
2
DCN
Ð
= Ð ，
∵AN 平分
BAD
Ð
，CN 平分
BCD
Ð
，
∴
2 1
DAE
Ð
= Ð ，
2 2
BCE
Ð
= Ð ，
∵AD
BC
∥
，
∴
2 2
ADE
BCE
Ð
= Ð
= Ð ，
由（1）的结论得
DAN
ADC
DCN
N
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，即
1
2 2
2
N
Ð + Ð = Ð + Ð
，
∴
1
2
N
Ð
= Ð + Ð ，
在AED
V
中，
180
180
2
1
2
AED
EAD
EDA
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð + Ð
，
∵DM
AB
^
，BM
CD
^
，
由四边形内角和定理知
360
90
90
180
M
AEC
AEC
AED
Ð
=
°-
°-
°- Ð
=
°- Ð
= Ð
，
∴
180
2
1
2
M
Ð
=
°-
Ð + Ð
，
∴
180
2
M
N
Ð
=
°- Ð
，
∴
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°．
【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明；
（2）设
ABF
a
Ð
=
，设BF 与CD交于点G ，求得
90
ABC
DAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
90
2
CBF
a
Ð
=
°-
，根据平行线
的性质结合三角形内角和定理求得
2
C
a
Ð
=
，据此计算即可证明；
（3）设
1
DAN
Ð
= Ð ，
2
DCN
Ð
= Ð ，利用（1）的结论得到
1
2
N
Ð
= Ð + Ð ，在AED
V
中，求得
180
2
1
2
AED
Ð
=
°-
Ð + Ð
，利用四边形内角和定理求得
M
AED
Ð
= Ð
，据此计算即可得到
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
