文档文本内容
专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型
常考题型·精准突破
题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难）
题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难）
题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难）
题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
1．
【答案】（1）解：∵
,
OB OC 平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，
60 ,
40
ABC
ACB
Ð
=
° Ð
=
° ，
∴
1
1
1
1
60
30 ,
40
20
2
2
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
Ð
=
Ð
=
´
° =
° Ð
=
Ð
=
´
° =
° ，
∴在
OBC
△
中，
180
BOC
OBC
OCB
Ð
=
°- Ð
- Ð
180
30
20
=
°-
°-
°
130
=
° ，
∴
BOC
Ð
的度数为130°；
（2）解：在
ABC
V
中，
180
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð ，
∵
,
OB OC 平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，
∴
1
1
,
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
∴在
OBC
△
中，
180
O
OBC
OCB
Ð
=
°- Ð
- Ð
1
1
180
2
2
ABC
ACB
=
°-
Ð
-
Ð
1
180
2
ABC
ACB
=
°-
Ð
+ Ð
1
180
180
2
A
=
-
°
°- Ð
1
180
90
2
A
=
-
°+
°
Ð
1
90
2
A
=
+
Ð
°
．
2．
【答案】（1）解：∵
120
BDC
Ð
=
° ，
∴
180
180
120
60
DBC
DCB
BDC
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
° ，
∵
30
ABD
Ð
=
° ，
40
ACD
Ð
=
° ，
∴
30
40
60
130
ABD
ACD
DBC
DCB
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°+
°+
° =
°，
∴
130
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
180
130
50
A
ABC
ACB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
° =
°；
（2）解：①∵
110
BDC
Ð
=
° ，
∴
180
180
110
70
DBC
DCB
BDC
Ð
Ð
Ð
+
=
°-
=
°-
° =
° ，
∵BD 和CD 分别平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，
∴
2
2
ABC
DBC
ACB
DCB
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
，
∴
2
140
ABC
ACB
DBC
DCB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
180
140
40
A
ABC
ACB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
° =
° ；
②∵
BDC
a
Ð
=
，
∴
180
180
DBC
DCB
BDC
a
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
，
∵BD 和CD 分别平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，
∴
2
2
ABC
DBC
ACB
DCB
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
，
∴
2
2 180
ABC
ACB
DBC
DCB
a
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°-
，
∴
180
180
2 180
2
180
A
ABC
ACB
a
a
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°-
=
-
°
（
）
．
3．
【答案】（1）解：∵当
2
n =
时，
1
1
1
1 180
2
2
G BC
G CB
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°- Ð
，
∴
1
1
1
1
1
180
180
180
90
2
2
BG C
G BC
G CB
A
A
°
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
- Ð
=
°+
Ð ；
（2）解：∵当
3
n =
时，
2
2
2
2 180
3
3
G BC
G CB
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°- Ð
，
∴
2
2
2
2
180
(
)
180
(180
)
60
3
3
3
BG C
ABC
ACB
A
A
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
=
°-
°- Ð
=
°+
Ð ；
故答案为：
2
60
3
A
°+
Ð ；
（3）解：由
2
3
n
n
=
=
，
可知，
1
180
1
n
n
BG
C
A
n
n
-
°
-
Ð
=
+
Ð ．
故答案为：180
1
n
A
n
n
-
+
°
Ð ．
◆题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
4．
【答案】（1）解：
1
25
2
D
A
Ð
=
Ð
=
° ，理由见（2）；
故答案为：25°．
（2）解：
1
2
D
A
Ð
=
Ð ，证明如下：
如图，
5
6
Ð = Ð
Q
，
∴
1
3
A
D
Ð + Ð
= Ð + Ð
，
∵
1
2,
3
4
Ð = Ð
Ð = Ð ，
∴
2
4
A
D
Ð + Ð
= Ð + Ð
，
又∵
4
2
D
Ð = Ð + Ð
，
∴
2
2
A
D
D
Ð + Ð
= Ð + Ð
+ Ð
，
∴
1
2
D
A
Ð
=
Ð ；
（3）解：由（2）结论可知：
1
2
G
D
Ð
=
Ð
，
又
1
2
D
A
Ð
=
Ð ，
∴
1
1
1
1
2
2
2
4
G
D
A
A
Ð
=
Ð
=
´
Ð
=
Ð ，
即
1
4
G
A
Ð
=
Ð ．
5．
【答案】解：（1）①∵P 是
ABC
V
内角
ABC
Ð
和外角
ACD
Ð
的平分线的交点，
∴
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
∵
PCD
Ð
是
PBC
△
外角，
ACD
Ð
是
ABC
V
外角，
∴
1
1
30
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
=
Ð
=
° ；
②∵P 是
ABC
V
内角
ABC
Ð
和外角
ACD
Ð
的平分线的交点，
∴
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
∵
PCD
Ð
是
PBC
△
外角，
ACD
Ð
是
ABC
V
外角，
∴
1
1
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
=
Ð ；
（2）
1
P
A
n
Ð
=
Ð ．
证明：∵
PCD
Ð
是
PBC
△
外角，
ACD
Ð
是
ABC
V
外角，
∴
1
1
1
1
P
PCD
PBC
ACD
ABC
ACD
ABC
A
n
n
n
n
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
-
Ð
=
Ð
- Ð
=
Ð ；
（3）∵P 是
ABC
V
内角
ABC
Ð
和外角
ACE
Ð
的平分线的交点，
∴由（1）②得
1
18
2
BPC
A
Ð
=
Ð
=
°；
∵P 是CDE
V
内角
CDE
Ð
和外角
ACE
Ð
的平分线的交点，
∴由（1）②得
1
20
2
DPC
E
Ð
=
Ð
=
° ；
∴
38
BPD
BPC
DPC
Ð
= Ð
+ Ð
=
° ．
故答案为：38．
6．
【答案】（1）解：∵
40
A
Ð
=
° ，
60
B
Ð
=
° ，
∴
180
40
60
80
ACB
Ð
=
°-
°-
° =
°，
∵CP 平分
ACB
Ð
，
∴
1
1
80
40
2
2
PCB
PCA
ACB
Ð
= Ð
=
Ð
=
´
° =
° ，
∵DE
BC
∥
，
∴
60
ADE
B
Ð
= Ð
=
° ，
40
PGD
PCB
Ð
= Ð
=
°，
∵DP 平分
ADE
Ð
，
∴
1
1
60
30
2
2
PDG
ADE
Ð
=
Ð
=
´
° =
°，
∴
180
180
30
40
110
DPC
PDG
PGD
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，
∵
80
ACB
Ð
=
° ，
∴
180
80
100
ACF
Ð
=
°-
° =
°，
∵CQ 平分
ACF
Ð
，
∴
1
1 100
50
2
2
ACQ
ACF
Ð
=
Ð
=
´
° =
°，
∴
40
50
90
PCQ
PCA
ACQ
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ，
∴
110
90
20
Q
DPG
PCQ
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
° ，
∴综上所述，
110
DPC
Ð
=
° ，
20
Q
Ð
=
° ；
故答案为：110；20 ；
（2）解：∵
A
a
Ð
=
，
∴
180
B
ACB
a
Ð
+ Ð
=
° -
，
∵CP 平分
ACB
Ð
，
∴
1
2
PCB
PCA
ACB
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵DE
BC
∥
，
∴
ADE
B
Ð
= Ð ，
1
2
PGD
PCB
ACB
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵DP 平分
ADE
Ð
，
∴
1
1
2
2
PDG
ADE
B
Ð
=
Ð
=
Ð ，
∴
180
DPC
PDG
PGD
Ð
=
°- Ð
+ Ð
，
180
PDG
PGD
=
°- Ð
+ Ð
1
1
180
2
2
B
ACB
æ
ö
=
°-
Ð +
Ð
ç
÷
è
ø
1
180
2
B
ACB
=
°-
Ð + Ð
1
180
180
2
a
=
°-
°-
1
90
2 α
=
°+
，
∵CQ 平分
ACF
Ð
，
∴
1
2
ACQ
ACF
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1 180
90
2
2
2
PCQ
PCA
ACQ
ACB
ACF
Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
´
° =
°，
∴
1
1
90
90
2
2
Q
DPG
PCQ
a
a
Ð
= Ð
- Ð
=
°+
-
° =
，
∴综上所述，
1
90
2
DPC
a
+
°
Ð
=
，
1
2
Q
a
Ð
=
．
◆题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
7．
【答案】（1）解：∵
80
A
Ð
=
° ，
∴
180
100
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°，
∵BG
CG
、
分别是
ABC
V
的内角
ABC
Ð
、
ACB
Ð
的平分线，
∴
1
1
,
2
2
GBC
ABC
GCB
ACB
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
50
2
2
GBC
GCB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
° ，
∴
180
130
BGC
GBC
GCB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ；
（2）解：
1
90
2
A
°-
Ð ，证明见解析：
∵
180
,
180
DBC
ABC
ECB
ACB
Ð
=
°- Ð
Ð
=
°- Ð
，
∴
180
180
360
DBC
ECB
ABC
ACB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+
°- Ð
=
°- Ð
+ Ð
，
∵
180
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð ，
∴
360
180
180
DBC
ECB
A
A
Ð
+ Ð
=
°-
°- Ð
=
°+ Ð ，
∵两外角
DBC
Ð
、
ECB
Ð
的平分线交于点F ，
∴
1
1
,
2
2
CBF
DBC
BCF
BCE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1
90
2
2
2
CBF
BCF
DBC
BCE
A
Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
°+
Ð ，
∴
1
180
90
2
BFC
FBC
FCB
A
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
Ð ．
8．
【答案】（1）解：∵
100
A
Ð
=
°，
∴
180
100
80
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°-
° =
°，
∵BP 、CP 分别平分
ABC
Ð
、
ACB
Ð
，
∴
1
2
CBP
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
BCP
ACB
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
40
2
2
CBP
BCP
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
°，
∴
180
140
BPC
CBP
BCP
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°；
故答案为：140°
②∵N 是
ABC
V
两外角平分线的交点，延长
,
BP NC 交于点M．
∴
1
1
2
2
ACM
DCM
BCN
FCN
ACD
BCF
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
=
Ð
=
Ð
，
∵
1
2
MCD
M
CBM
M
ABC
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+
Ð
，
1
1
1
1
2
2
2
2
MCD
ACD
A
ABC
A
ABC
Ð
=
Ð
=
Ð + Ð
=
Ð +
Ð
，
∴
1
2
M
A
Ð
=
Ð ，
即
2
A
M
Ð
= Ð
，
故答案为：
2
A
M
Ð
= Ð
（2）解：
180
BPC
N
Ð
+ Ð
=
° ；理由如下：
∵BP 、BN 分别平分
ABC
Ð
、
CBE
Ð
，
∴
1
2
CBP
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
CBE
CBN =
Ð
Ð
，
∴
1
1
1
1 180
90
2
2
2
2
CBP
CBN
ABC
CBE
ABC
CBE
Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
° =
°，
即
90
PBN
Ð
=
° ，
同理得：
90
PCN
Ð
=
°，
∴
360
180
BPC
N
PBN
PCN
Ð
+ Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ；
（3）解：∵CN 为
ABC
V
的外角
FCB
Ð
的角平分线，
∴CM 是
ABC
V
的外角
ACD
Ð
的平分线，
∴
2
ACD
MCD
Ð
= Ð
，
∵BM 平分
ABC
Ð
，
∴
2
ABC
MBC
Ð
= Ð
，
∵
MCD
MBC
M
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴2
2
2
MCD
MBC
M
Ð
= Ð
+ Ð
，即
2
ACD
ABC
M
Ð
= Ð
+ Ð
，
又∵
ACD
ABC
A
Ð
= Ð
+ Ð ，
∴
2
A
M
Ð
= Ð
，
根据解析（2）可知：
90
MBN
Ð
=
° ，
∴
90
M
N
°
Ð
+ Ð
=
，
如果BMN
V
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，那么分四种情况：
若
3
90
MBN
M
Ð
°
= Ð
=
，则
30
M
Ð
=
°，
∴
2
60
A
M
=
=
°
Ð
Ð
；
若
3
90
NBM
N
Ð
°
= Ð
=
，则
30
N
Ð
=
°，
∴
60
M
Ð
=
°，
∴
2
120
A
M
Ð
= Ð
=
°；
若
3
N
M
Ð
= Ð
，则
22.5
M
Ð
=
°，
∴
45
A
Ð
=
° ；
若
3
M
N
Ð
= Ð
，则
67.5
M
Ð
=
°，
∴
135
A
Ð
=
°；
综上所述，
A
Ð
的度数是60°或120°或45°或135° ．
9．
【答案】（1）解：
80
A
Ð =
°
Q
．
100
ABC
ACB
\Ð
+ Ð
=
° ，
∵点P 是
ABC
Ð
和
ACB
Ð
的平分线的交点，
1
1
180
180
100
130
2
2
BPC
ABC
ACB
\Ð
=
°-
Ð
+ Ð
=
°-
´
° =
°；
（2）∵外角
MBC
Ð
，
NCB
Ð
的角平分线交于点Q，
1
2
QBC
QCB
MBC
NCB
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
，
1
=
360
2
ABC
ACB
°- Ð
- Ð
，
1 180
2
A
=
°+ Ð
，
1
90
2
A
=
°+
Ð ，
1
1
180
90
90
2
2
Q
A
A
æ
ö
\Ð
=
°-
°+
Ð
=
°-
Ð
ç
÷
è
ø
，
∵
A
a
Ð
=
，
1
90
2
\Ð
=
°-
Q
a ；
（3）延长BC 至F，
CQ
Q
为
ABC
V
的外角
NCB
Ð
的角平分线，
CE
\
是
ABC
V
的外角
ACF
Ð
的平分线，
2
ACF
ECF
\Ð
= Ð
，
BE
Q
平分
ABC
Ð
，
2
ABC
EBC
\Ð
= Ð
，
ECF
EBC
E
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
2
2
2
ECF
EBC
E
\ Ð
= Ð
+ Ð ，
即
2
ACF
ABC
E
Ð
= Ð
+ Ð ，
又
ACF
ABC
A
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
2
A
E
\Ð
= Ð ，即
1
2
Ð
=
Ð
E
A；
EBQ
EBC
CBQ
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
1
1
2
2
ABC
MBC
=
Ð
+
Ð
，
1
90
2
ABC
A
ACB
=
Ð
+ Ð + Ð
=
°．
如果
BQE
△
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况：
①
2
90
EBQ
E
Ð
= Ð
=
°，则
45
E
Ð
=
°，
2
90
A
E
Ð
= Ð
=
° ；
②
2
90
EBQ
Q
Ð
= Ð
=
° ，则
45
Q
Ð
=
° ，
45
E
Ð
=
°，
2
90
A
E
Ð
= Ð
=
° ；
③
2
Q
E
Ð
= Ð ，则
1
90
2
A
A
° -
Ð
= Ð ，解得
60
A
Ð
=
°；
④
2
E
Q
Ð
= Ð
，则1
1
2 90
2
2
A
A
æ
ö
Ð
=
°-
Ð
ç
÷
è
ø ，解得
120
A
Ð =
° ．
综上所述，
A
Ð
的度数是90°或60°或120°．
◆题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
10．
【答案】（1）证明：在
ABC
V
中，
180
BAC
B
C
Ð
Ð
Ð
=
°-
+
，
AE
Q
是
ABC
Ð
的平分线，
1
1
90
2
2
EAC
BAC
B
C
Ð
Ð
Ð
Ð
\
=
=
°-
+
，
AD
Q
是
ABC
V
的高，
90
ADC
\Ð
=
°，
在Rt
ACD
△
中，
90
CAD
C
Ð
Ð
=
°-
，
1
1
90
90
2
2
DAE
EAC
CAD
B
C
C
C
B
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
\
=
-
=
°-
+
-
°-
=
-
；
（2）解：
EFD
Ð
与
C
B
Ð
Ð
，
之间的等量关系是：
1
2
EFD
C
B
Ð
Ð
Ð
=
-
，理由如下：
过点A 作AH
BC
^
于点H ，如图2 所示：
由1
（）可知：
1
2
EAH
C
B
Ð
Ð
Ð
=
-
，
FD
BC
^
Q
于点D
AH
BC
^
，
于点H ，
FD
AH
\
P
，
EFD
EAH
Ð
Ð
\
=
，
1
2
EFD
C
B
Ð
Ð
Ð
\
=
-
；
（3）解：
EFD
Ð
与
C
B
Ð
Ð
，
之间的等量关系是：
1
2
EFD
C
B
Ð
Ð
Ð
=
-
，理由如下：
过点A 作AK
BC
^
于点K ，如图3所示：
由1
（）可知：
1
2
EAK
C
B
Ð
Ð
Ð
=
-
，
FD
BC
^
Q
于点D
AK
BC
^
，
于点K ，
FD
AK
\
P
，
EFD
EAK
Ð
Ð
\
=
，
1
2
EFD
C
B
Ð
Ð
Ð
\
=
-
．
11．
【答案】（1）如图1，
180
180
35
65
80
BAC
B
C
Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
°，
∵AD 平分
BAC
Ð
，
∴
1
40
2
BAD
BAC
Ð
=
Ð
=
°，
∵AE
BC
^
，
∴
90
AEB
Ð
=
° ，
∴
90
55
BAE
B
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
55
40
15
DAE
BAE
BAD
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°.
（2）如图2，作AH
BC
^
于点H，由（1）可得
15
DAH
Ð
=
°，
∵FE
BC
^
，
∴AH
EF
∥
，
∴
15
DFE
DAH
Ð
= Ð
=
°.
（3）如图3，作AH
BC
^
于点H，由（1）可得
15
DAH
Ð
=
°，
∵FE
BC
^
，
∴AH
EF
∥
，
∴
15
DFE
DAH
Ð
= Ð
=
°.
12．
【答案】（1）解：
70
A
Ð
=
°
Q
，
40
B
Ð
=
°，
180
70
ACB
A
B
\Ð
=
°- Ð - Ð
=
°，
CE
Q
平分
ACB
Ð
，
1
35
2
ACE
ACB
\Ð
=
Ð
=
° ，
CD
AB
^
Q
，
70
A
Ð
=
°，
90
20
ACD
A
\Ð
=
°- Ð
=
°，
15
DCE
ACE
ACD
\Ð
= Ð
- Ð
=
° ，
故答案为：15°；
（2）解：
1
2
DCE
A
B
Ð
=
Ð - Ð
，理由如下：
如图1，
180
ACB
B
A
Ð
+ Ð + Ð
=
°
Q
，
180
ACB
B
A
\Ð
=
°- Ð - Ð ，
CE
Q
平分
BCA
Ð
，
1
1 180
2
2
ACE
BCA
A
B
\Ð
=
Ð
=
°- Ð - Ð
，
CD
BA
^
Q
，
90
ADC
\Ð
=
°，
90
ACD
A
\Ð
=
°- Ð ，
DCE
ACE
ACD
\Ð
= Ð
- Ð
1 180
90
2
A
B
A
=
°- Ð - Ð
-
°- Ð
1
1
2
2
A
B
=
Ð -
Ð
1
2
A
B
=
Ð - Ð
；
（3）解：如图2 ，
A
a
Ð
=
，
B
b
Ð
=
，
180
ACB
B
A
Ð
+ Ð + Ð
=
°
Q
，
180
180
ACB
B
A
b
a
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
-
，
CE
Q
平分
ACB
Ð
，
1
1 180
2
2
ACE
ACB
b
a
\Ð
=
Ð
=
°-
-
，
1
1
1
180
90
2
2
2
DEC
A
ACE
a
b
a
a
b
\Ð
= Ð + Ð
=
+
°-
-
=
°+
-
，
DF
AB
^
Q
，
90
FDE =
\Ð
° ，
1
1
1
1
90
90
2
2
2
2
DFE
DEC
FDE
a
b
a
b
æ
ö
\Ð
= Ð
- Ð
=
°+
-
-
° =
-
ç
÷
è
ø
，
即
DFE
Ð
的度数为
1
2 a
b
-
，
故答案为：
1
2 a
b
-
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．B
3．A
4．C
5．B
二、填空题
6．42°/42 度
7．5°/5 度
8．75°
9．
1
90
4 x
æ
ö
+
°
ç
÷
è
ø
10．
2025
45
2
°
三、解答题
11．
【答案】（1）解：∵AE 是边BC 上的高，
∴
90
AEB
Ð
=
°，
∴
180
60
BAE
B
AEB
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
=
° ，
∵
20
DAE
Ð
=
° ，
∴
40
BAD
BAE
DAE
-
Ð
= Ð
Ð
=
°，
∵AD 是
BAC
Ð
的平分线，
∴
2
80
BAC
BAD
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
70
C
B
BAC
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
=
° ．
(2)
2
C
B
F
-
Ð
Ð
= Ð
，理由如下：
∵AE 是边BC 上的高，
∴AE
BC
^
，
90
AEB
Ð
=
°，
∴
180
90
BAE
B
AEB
B
-
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
=
°
Ð
，
∴
90
BAD
BAE
DAE
B
DAE
-
-
-
Ð
= Ð
Ð
=
°
Ð
Ð
，
∵AD 是
ABC
Ð
的平分线，
∴
2
180
2
2
BAC
BAD
B
DAE
-
-
Ð
= Ð
=
°
Ð
Ð
，
∴
180
2
C
B
BAC
B
DAE
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
= Ð + Ð
，
∵FG
BC
^
，AE
BC
^
，
∴FG
AE
∥
，
∴
F
DAE
Ð
= Ð
，
∴
2
C
B
F
Ð
= Ð + Ð
，即
2
C
B
F
-
Ð
Ð
= Ð
．
12．
【答案】（1）解：
AE
Q
平分
BAC
Ð
，BE 平分
CBD
Ð
，
2
BAC
BAE
\Ð
= Ð
，
2
CBD
DBE
=
∠
∠
．
DBE
Ð
=
Q
E
BAE
Ð
+ Ð
，
2
2
2
DBE
E
BAE
Ð
Ð
Ð
\
=
+
．
2
CBD
E
BAC
Ð
Ð
Ð
\
=
+
，
CBD
Ð
=
Q
C
BAC
Ð
+ Ð
，
∴2
E
BAC
C
BAC
Ð
Ð
Ð
+
= Ð
+
1
45
2
E
C
\Ð
=
Ð
=
度．
（2）解：
AE
Q
平分
BAC
Ð
，BE 平分
CBD
Ð
，
2
BAC
BAE
\Ð
= Ð
，
2
CBD
DBE
=
∠
∠
．
DBE
Ð
=
Q
E
BAE
Ð
+ Ð
，
2
2
2
DBE
E
BAE
Ð
Ð
Ð
\
=
+
．
2
CBD
E
BAC
Ð
Ð
Ð
\
=
+
，
CBD
Ð
=
Q
C
BAC
Ð
+ Ð
，
∴2
E
BAC
C
BAC
Ð
Ð
Ð
+
= Ð
+
1
1
2
2
E
C
m
\Ð
=
Ð
=
．
（3）解：∵
1
4
CAE
BAC
Ð
Ð
=
，
1
4
CBE
CBD
Ð
Ð
=
，
∴
3
4
BAE
BAC
Ð
Ð
=
，
3
4
DBE
CBD
Ð
Ð
=
，
DBE
Ð
=
Q
E
BAE
Ð
+ Ð
，
4
3
3
4
CBD
E
BAC
Ð
Ð
Ð
\
=
+
．
4
3
CBD
E
BAC
Ð
Ð
Ð
\
=
+
，
CBD
Ð
=
Q
C
BAC
Ð
+ Ð
，
∴4
3
E
BAC
C
BAC
Ð
Ð
Ð
+
= Ð
+
∴4
3
E
C
Ð
= Ð
，即
3
3
4
4
E
C
m
Ð
=
Ð
=
．
13．
【答案】（1）解：∵
80
ABC
Ð
=
°，
50
ACB
Ð
=
°，点P 是
ABC
Ð
和
ACB
Ð
的平分线的交点，
∴
1
40
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
=
° ，
1
25
2
BCP
ACB
Ð
=
Ð
=
°，
∵
180
BCP
P
PBC
Ð
+ Ð + Ð
=
° ，
∴
180
180
40
25
115
P
BCP
PBC
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
°．
（2）解：∵
A
a
Ð
=
，
∴
180
180
ABC
ACB
A
a
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
，
360
360
180
180
MBC
NCB
ABC
ACB
a
a
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°-
=
°+
，
①∵
ABC
Ð
与
ACB
Ð
的角平分线BP 与CP 相交于点P，
∴
1
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
BCP
ACB
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1
180
90
2
2
2
PBC
BCP
ABC
ACB
a
a
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°-
=
°-
，
∵
180
BCP
P
PBC
Ð
+ Ð + Ð
=
° ，
∴
1
1
180
180
90
90
2
2
P
BCP
PBC
a
a
æ
ö
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°-
=
°+
ç
÷
è
ø
．
②∵
MBC
Ð
与
NCB
Ð
的角平分线相交于点Q，
∴
1
2
QBC
MBC
Ð
=
Ð
，
1
2
BCQ
NCB
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1
180
90
2
2
2
QBC
BCQ
MBC
NCB
a
a
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°+
=
°+
，
∵
180
QBC
Q
QCB
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
1
1
180
180
90
90
2
2
Q
QBC
QCB
a
a
æ
ö
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°+
=
°-
ç
÷
è
ø
．
（3）解：如图：延长BC 至D，
∵CQ 为ABC
V
的外角
NCB
Ð
的角平分线，
∴
BCQ
NCQ
Ð
= Ð
,
∵
BCQ
DCR
Ð
= Ð
，
NCQ
ACR
Ð
= Ð
,
∴
ACR
DCR
Ð
= Ð
,
∴CR 是ABC
V
的外角
ACD
Ð
的平分线，
∴
2
ACD
RCD
Ð
= Ð
，
∵BR 平分
ABC
Ð
，
∴
2
ABC
RBC
Ð
= Ð
，
∵
RCD
RBC
R
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴2
2
RCD
RBC
R
Ð
= 2Ð
+ Ð ，即
2
ACD
ABC
R
Ð
= Ð
+ Ð ，
又∵
ACD
ABC
A
Ð
= Ð
+ Ð ，
∴
2
A
R
Ð
= Ð
，即
1
2
R
A
Ð
=
Ð ；
由（2）可知
1
90
2
Q
A
Ð
=
°-
Ð
∵在BQR
V
中，除
RBQ
Ð
外，若一个内角是另一个内角的3 倍，
∴①当
3
Q
R
Ð
= Ð
时，即
1
1
90
3
2
2
A
A
°-
Ð
= ´
Ð ，解得：
45
A
Ð
=
° ；
②当
3
R
Q
Ð
= Ð
时，即1
1
3
90
2
2
A
A
æ
ö
Ð
= ´
°-
Ð
ç
÷
è
ø ，解得：
135
A
Ð
=
°；
综上所述，
A
Ð 的度数是45°或135° ．
14．
【答案】（1）解：∵
90
AOB
Ð
=
o ，
40
BAO
Ð
=
o ，
∴
180
180
90
40
50
ABO
AOB
BAO
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，
∵BC 平分
ABO
∠
，
∴
1
25
2
ABC
ABO
Ð
=
Ð
=
° ；
(2)
45
ADO
BCE
Ð
=
°+ Ð
，证明如下：
∵BC 平分
ABO
∠
，
∴
1
2
ABC
OBC
ABO
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵CE
OB
∥
，
∴
1
2
BCE
OBC
ABO
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵AC 平分
BAO
Ð
，
∴
1
2
BAD
DAO
BAO
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵
90
AOB
Ð
=
o ，
∴
180
90
BAO
AOB
ABO
ABO
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°- Ð
，
∴
ADO
ABO
BAD
Ð
= Ð
+ Ð
1
2
ABO
BAO
= Ð
+
Ð
1 90
2
ABO
ABO
= Ð
+
°- Ð
1
45
2
ABO
=
°+
Ð
45
BCE
=
°+ Ð
；
（3）解：如下图，
∵
90
AOB
Ð
=
o ，
∴
180
90
BOK
AOB
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∵ON 平分
BOK
Ð
，
∴
1
45
2
BON
BOK
Ð
=
Ð
=
°，
∵AM
AN
^
，
∴
90
MAN
Ð
=
° ，
∵
M
N
Ð
> Ð
，且
180
90
M
N
MAN
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
N
M
MAN
Ð
< Ð
< Ð
，
当
3
MAN
N
Ð
= Ð
时，则
1
30
3
N
MAN
Ð
=
Ð
=
° ，
∴
30
45
75
ADO
N
BON
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
°，
∴
180
15
DAO
ADO
AOB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°
∴
2
30
BAO
DAO
Ð
= Ð
=
° ；
当
3
M
N
Ð
= Ð
时，则
3
90
M
N
N
N
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
∴
22.5
N
Ð
=
°
∴
22.5
45
67.5
ADO
N
BON
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ，
∴
180
22.5
DAO
ADO
AOB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°
∴
2
45
BAO
DAO
Ð
= Ð
=
°；
当
3
MAN
M
Ð
= Ð
时，则
1
30
3
M
MAN
Ð
=
Ð
=
°，
∴
90
60
N
M
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
N
M
Ð
> Ð
，不合题意，舍去．
综上所述，
BAO
Ð
的度数为30°或45°．
15．
【答案】（1）解：如图①，∵BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，
∴
1
1
2
2
ABP
CBP
ABC
ACP
BCP
ACB
=
=
=
=
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，
∵
180
180
80
100
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°，
∴
1
180
180
130
2
P
CBP
BCP
ABC
ACB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð
+ Ð
=
°；
如图②，∵BM 平分
ABC
Ð
，CM 平分外角
ACD
Ð
，
∴
1
1
2
2
CBM
ABM
ABC
DCM
ACM
ACD
Ð
= Ð
=
Ð
Ð
= Ð
=
Ð
，
，
∵
ACD
A
ABC
Ð
= Ð + Ð
，
DCM
M
CBM
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
2
2
2
DCM
ACD
A
CBM
M
CBM
Ð
= Ð
= Ð + Ð
=
Ð
+ Ð
，
整理得，
2
A
M
Ð
= Ð
；
（2）解：∵BN 平分外角
EBC
Ð
，CN 平分外角
FCB
Ð
，
∴
1
1
,
2
2
CBN
EBN
CBE
BCN
FCN
BCF
Ð
= Ð
=
Ð
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵
180
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð ，
∴
180
180
360
180
CBE
BCF
ABC
ACB
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+
°- Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°+ Ð ，
∴
1
1
180
180
90
2
2
N
CBN
BCN
CBE
BCF
A
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð
+ Ð
=
°-
Ð ，
∴
1
90
2
N
A
Ð
=
°-
Ð ；
（3）解：由题意知，
1
1
1
90
2
2
2
NBM
CBN
CBP
CBE
ABC
CBE
ABC
Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
1
90
2
N
A
Ð
=
°-
Ð ，
2
A
M
Ð
= Ð
，
∴当在BMN
V
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，分①
2
NBM
M
Ð
= Ð
，②
2
NBM
N
Ð
= Ð
，③
2
M
N
Ð
= Ð
，④
2
N
M
Ð
= Ð
，四种情况求解：
①当
2
NBM
M
Ð
= Ð
时，
2
90
A
M
NBM
Ð
= Ð
= Ð
=
° ；
②当
2
NBM
N
Ð
= Ð
时，2
90
N
Ð
=
° ，则
2 90
90
A
N
Ð
=
°- Ð
=
° ；
③当
2
M
N
Ð
= Ð
时，1
1
2 90
2
2
A
A
æ
ö
Ð
=
°-
Ð
ç
÷
è
ø ，解得，
120
A
Ð
=
°；
④当
2
N
M
Ð
= Ð
时，
1
90
2
A
A
° -
Ð
= Ð ，解得，
60
A
Ð
=
°；
综上所述，
A
Ð 的度数为60°或90°或120°．
