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2022-2023 学年北京市十一学校八年级（上）诊断数学试卷（10 月
份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 第 届冬季奥林匹克运动会，将于 年 月 日 年 月 日在中华人民共和国北京市
和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽
图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】 、是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项正确，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
2. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
的
C. 三条角平分线 交点 D. 三条中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解： 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：B．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是
解答此题的关键．
3. 如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，以相同的长 大于 为半径作弧，两弧相交于点
和点 ，作直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 已知 的面积比 的面积小
，则 的面积为（ ）
A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据尺规作图可知点 是 的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知， 是线段 的垂直平分线，
点 是 的中点，
，
，
，即 的面积为4，
故选： ．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形的面积计算，掌握线段垂直平分线的概念、三角形
的面积公式是解题的关键．
4. 如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断 ABE ≌△ACD的是（
） △A. ∠B=∠C B. BE=CD
C. ∠BDC=∠CEB D. AD=AE
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识．
5. 如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等
腰三角形的为（ ）
A. △CDF B. △CDK C. △CDE D. △DEF
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.
故选：A
【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.
6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任
一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 组成，两根棒在 点相连并可绕 转动、 点固定，
，点 、 可在槽中滑动．若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ，可得 ，根据三角形的外角性质可知
，进一步根据三角形的外角性质可知 ，即可
求出 的度数，进而求出 的度数．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的
关键．
7. 如图， 是等边三角形，直线 过顶点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，
若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由轴对称的性质可得 ，由等腰三角形的性质可求 ，可求
，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵点 关于直线 的对称点 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
的
8. 如图，在 中， 和 平分线相交于点 ，过点 作 交 于点 ，
交 于点 ，过点 作 于点 ，下列四个结论中正确的结论有（ ）；
；
点 到 各边的距离相等；
设 ，则 ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在 中， 和 的平分线相交于点 ，根据角平分线的定义与三角形内角和
定理，即可求得 错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出 和 是
等腰三角形得出 故 正确；由角平分线的性质得出点 到 各边的距离相等，故
正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得 设 ，则
，故 正确．
【详解】解：在 中， 和 的平分线相交于点 ，，
，
；故 错误；
在 中， 和 的平分线相交于点 ，
，
，
，
，
，
，故 正确；
过点 作 于 ，作 于 ，
在 中， 和 的平分线相交于点 ，
，
；故 正确；
在 中， 和 的平分线相交于点 ，
点 到 各边的距离相等，故 正确，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性
质等知识，此题难度适中，解题的关键是添加适当的辅助线，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 在多边形中各内角度数如图所示，则其中 的值为___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】利用五边形的内角和为 ，可列出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
的值为
故答案为：
【点睛】本题考查了多边形内角和以及解一元一次方程，牢记“多边形内角和定理： （
且 为整数）”是解题的关键．
10. 如图，在长方形 中， 是对角线，将 沿直线 折叠，点A落在点 处， 交边
于点 ，若 ，则 的度数为___________ ．【答案】 ##40度
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质得到 ，可求出 的
度数，又由于 ，即求出答案．
【详解】解： 由 折叠得到，四边形 是长方形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换 折叠问题 ，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝_____°．
【答案】90
【解析】
【分析】先证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结
论．
【详解】在△DCE和△ABD中，∵ ，
∴△DCE△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∴∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为90．
【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角
形是关键．
12. 如图， 平分 ，点 为射线 上一点，过点 作 交 于点 ，
点 为 上一动点，连接 ，若 ，则线段 长的最小值为___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 于 ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，根据角平
分线的定义可得 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，两直线平行，同
位角相等可得 ，再求出 ，根据等角对等边可得 ，然后根据直角
三角形 角所对的直角边等于斜边的一半可得 ．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，当 时， 的长最小，
平分 ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
的最小值 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，直
角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
13. 如图， 中， 平分 ，点 是线段 延长线上一点，连接 ，点 在
的垂直平分线上，若 ，则 的周长是___________ ．【答案】
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ，根据等腰三角形三线合一
的性质可得 ，然后求出 即可解答．
【详解】解： 点 在 的垂直平分线上，
，
平分 ，
，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的
性质等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14. 如图，在 中， 面积为 于点 ，直线 垂直平分
交 于点 ，交 于点 为直线 上一动点，则 的周长的最小值为___________ ．【答案】13
【解析】
【分析】如图，连接 利用三角形的面积公式求出 ，由 垂直平分 ，推出 ，推出
，由 ，推出 ，推出 的最小值为8，然后再与
相加即可．
【详解】解：如图，连接 ．
，
，
，
，
垂直平分 ，
，
，
，
，
的最小值为8，
的最小值为 ．
故答案为：【点睛】本题主要考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识
你，正确作出辅助线、灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
15. 若三边均不相等的三角形三边 、 、 满足 为最长边， 为最短边 则称它为“不均
衡三角形” 例如，一个三角形三边分别为 ，因为 ，所以这个三角形为“不均衡三角
形”．
（1）以下 组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为___________ 填序号 ．
；
；
；
．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为 ，直接写出 的整数值为___________ ．
【答案】（1）
（2） 或 或 或
【解析】
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况， 为最长边、 不为最长也不为最短边、 为最短边进行讨论即可求解．
【小问1详解】
解： ，
∴ 不能组成三角形，也就不能组成“不均衡三角形”；
，
∴ 不能组成“不均衡三角形”；
，∴ 能组成“不均衡三角形”；
，
∴ 不能组成“不均衡三角形”．
【小问2详解】
解：当16为最长边， 为最短边时，
，
解得： ，
，
解得： ，
故不合题意，舍去；
当 为最长边， 为最短边时，
②
解得： ，
∵ ，
解得： ，
，
为整数，
，
经检验，当 时， 可构成三角形；
当 为最长边，16为最短边时，
③
解得： ，
∵ ，解得： ，
，
为整数，
或 或 ，都可以构成三角形；
综上所述， 的整数值为 或 或 或 ；
【点睛】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概
念“不均衡三角形”的定义是解题的关键．
16. 如图， 是 的角平分线， 于点 ，点 在 上，点 在 上，且
，若 和 的面积分别是 和 ，则 的面积为___________ ．
【答案】14
【解析】
【分析】过点 作 于 ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，再利用
“ ”证明 和 全等， 和 全等，然后根据全等三角形的面积相
等列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作 于H，∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 的面积分别为54和26，
∴ ，
∴ ，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并
作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
17. 如图，已知等边 中， ， ，若点 在线段 上运动，当 的值最
小时， 的长为___________ ．【答案】
【解析】
【 分 析 】 作 于 ， 交 于 ， 由 等 边 三 角 形 的性 质 得 到
， 推 出 ， 因 此 ， 此 时
有最小值，由等边三角形的性质推出 ，得到 ，由直角三角形的性质
推
【详解】解：如图，作 于 ，交 于 ，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴此时 有最小值等于 的长，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查等边三角形的性质，胡不归问题，关键是作 于 ，交 于 ，推出
．
18. 在等边 中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边 ，
下面四个结论中：
①存在无数个 是等腰三角形；
②存在无数个 是等边三角形；
③存在无数个 是等腰直角三角形；
④存在一个 在所有 中面积最小．
所有正确结论的序号是_____________．【答案】①②③
【解析】
【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题．
【详解】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，
∵ 是等边三角形
∴AB=BC=CA，∠A=∠C=∠B=60°
∴AB-AM=BC-BN=CA-CP
∴AP=CN=BM
又∠A=∠C=∠B=60°
∴△AMP≌△CNP≌△BMN
∴MP=PN=MN
∴△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．
如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图
3）．
故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值．
故答案为①②③．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 在△ABC中，∠ABC=45 ，BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F
（1）依题意补全图形
（2）求证：∠ABD=∠ACE
（3）求证：EF=AE
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）依据过点 作 于点 ，交 于点 作图即可；
（2）依据同角的余角相等，即可得出结论；
（3）依据全等三角形的对应边相等，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图所示， 即为所求；
（2） 于点 ，过点 作 于点 ，
，
；
（3） ， ，
， ，，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及基本作图，利用全等三角形的对应角相等是解决问
题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系 中， 的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题：
（1）分别写出点A，点 ，点 的坐标；
（2）画出 关于 轴的对称图形 注意标出对应点字母 ；
（3）求 的面积；
（4）在 轴上找一点 ，使 最小，在图中画出点 ，并写出点 坐标 不限作图工具,保留作图
痕迹,不写作法,写出结论 ．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）见解析，
【解析】【分析】（1）根据点的坐标的表示方法求解；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到 、 、 的坐标，然后描点连线即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算 的面积；
（4）作点A关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 点，利用两点之间线段最短可判断 点满足条件．
【小问1详解】
解：由图可知， ；
【小问2详解】
如图1， 为所作；
【小问3详解】
的面积 ；
【小问4详解】
如图 ，点 为所作，坐标为 ．【点睛】本题考查了作图 轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形
时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
21. （1）阅读理解：
我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助
如图 所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为 ，“宽臂”的宽度 ．这个
条件很重要哦 勾尺的一边 满足 三点共线 所以 ．
下面以三等分 为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
第一步：画直线 使 ，且这两条平行线的距离等于 ；
第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点 落在 上，使勾尺的 边经过点 ，同时让点 落在
的 边上；
第三步：标记此时点 和点 所在位置，作射线 和射线 ．
请在图 中完成第三步操作，图中 的三等分线是射线___________ 、___________ ．
（2）在（1）的条件下补全三等分 的主要证明过程：，
． ___________ 填写依据,定理文字语言
___________ ___________ ___________ 填写依据
，
． ___________ 填写依据
．
（3）在（1）的条件下探究： 是否成立？如果成立，请说明理由：如果不成立，请在图
中 的外部画出 不能使用量角器,简述画法,并保留作图痕迹 ．
【答案】（1） ， 射线
（2） 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ； ， ，等腰三角形的顶角平分
线、底边上的中线、底边上的高相互重合 ； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
（3）不成立，见解析
【解析】【分析】（1）作射线 和射线 ，射线 和射线 就是 的三等分线；
（2） 由线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、角平分线的判定定理，即可得出结论；
（3）等式不成立，作点 关于射线 的对称点 ，连接 即可．
【详解】解：（1）如图 ，作射线 和射线 ，射线 和射线 就是 的三等分线，
故答案为： 、射线 ；
（2） ，
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ，
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 ，
，
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 ，
．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ，等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线、底边上的高相互重合，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
（3）在（1）的条件下探究： 不成立，如图 ，作点 关于射线 的对称点 ，连接
垂直平分 ，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、轴对称等知识，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称构造角相等，属于中考常考题型．
22. 在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的 倍，所以等腰直角三角形的底边长是腰长
的 倍 例如，图 中的四边形 是正方形， 是等腰直角三角形，则 ．
小 明 遇 到 这 样 一 个 问 题 ： 如 图 ， 在 等 腰 三 角 形 中 ，
于点 ，求 的长．
小明发现：如图 ，分别以 为对称轴，分别作出 的轴对称图形，点 的对称点分
别为 ，延长 交于点 ，可以得到正方形 ，根据轴对称图形的性质和正方形四条边都相等就能求出 的长，请直接写出： 的长为___________ ， 的长为___________ ， 的长
为___________ ；
参考小明思考问题的思路和方法，解决问题：
如图 ，在平面直角坐标系 中,点 ，点 是 两外角的角平分线 和
的交点，求点 的坐标．
【答案】 ， ，
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质和折叠的性质得出四边形 是正方形，设未知数，根据勾股定理
列出方程，求出方程的解即可；
作 轴， 轴， ，求出四边形 是正方形，求出
即可．
【详解】解： ，2， ；
理由 是：如图 ，
∵ ， ， ，
∴ .
，
，分别以 为对称轴，分别作出 ， 的轴对称图形，点 的对称点分别为 ，
∴ ， ， ， ， .
∵ ，
，
四边形 是正方形，
∴ ， ，
设 则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： 负值舍去 ，
即 ， ，
故答案为： ；2； ；
如图 ，过点 分别作 轴于点C， 轴于点D， 于点 ，
则 ，
和 是 的外角的角平分线，
∴ ， ， ，
∴四边形 是正方形， ， ，
∴ .∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
所以 点坐标为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的综合题，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的性质和
判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，用了方程思想．
23. （1）操作实践： 中， ，请画出一条直线把 分割成两个等腰三角
形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数； 要求用两种不同的分割方法
（2）分类探究： 中，最小内角 ，若 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相
应示意图并写出 最大内角的所有可能值； 以下为备用图（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？ 请你至少写出两种
不同情况的条件,无需证明
【答案】（1）见解析；（2）见解析， 或 或 或 ；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先对 角分类讨论， 为等腰三角形的顶角时； 为等腰三角形的底角时；利用三角形内角和
及外角定理推出另一个等腰三角形中的内角度数再进行顶角和底角的分类讨论．
根据（1）（2）中的图形总结即可．
【详解】解： 如图所示：
方法一：两个底角的度数分别为： ；方法二：两个底角的度数分别为： ；
设分割线为 ，相应用的角度如图所示：图 的最大角 ，图 的最大角 ，
图 的最大角 ，图 的最大角 ，
故 的最大内角可能值是 或 或 或 ；
若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：
该三角形是直角三角形；
该三角形有一个角是最小角的 倍；
该三角形有一个角是其中一个角的 倍．
【点睛】此题主要考查作图——应用与设计作图及等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本
题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道可以
体现从性质到应用的好题．
24. 如图，在等边 中，点 是线段 上一点．作射线 ，点 关于射线 的对称点为 ．连
接 并延长，交射线 于点 ．（1）根据题意，补全图形；
（2）设 ，求 的度数 用 表示 ；
（3）用等式表示线段 、 、 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，见解析
【解析】
【分析】（1）依照题意画出图形即可；
（2）根据 ，求出 即可；
（3）结论： ，如图，作 交 于点 ，连接 ，证明 即
可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示：
；
【小问2详解】
解：连接 ，
，
点 关于射线 的对称点为 ，
，
是等边三角形，
，
，，
；
【小问3详解】
解：结论： ，
证明：如图，作 交 于点 ，连接 ，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
点 关于射线 的对称点为 ，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，
三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
