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专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根据等边三角形的性质求角
题型二、根据等边三角形的性质求边
题型三、与等边三角形有关的多解题
题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题
题型五、等边三角形的性质和判定综合题
题型六、含30°角的直角三角形
题型七、斜边的中线等于斜边的一半
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。
- 解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三
角形；常作高线构造含30°的直角三角形。
- 易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件；忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定；30°直
角三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根据等边三角形的性质求角
典例1（25-26 七年级下·上海·阶段检测）如图，在
中，
，
是等边三角形，则
___________度．
【答案】
目 录
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【分析】根据等边三角形的性质可得
，根据三角形的外角性质得到
，
，结合
，推出
，在
中，
根据三角形的内角和定理求出
，即可求解．
【详解】解：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
题型模版
1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。
2.方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。
变式1-1（25-26 七年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形
中，
，则
的度数是_______．
【答案】
/75 度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得
，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵
为等边三角形，
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∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：
变式1-2（25-26 八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边三角形
中，
，
分别是
，
上的
动点（不在端点），且
，
交
于点
，则
的大小为_____．
【答案】
/120 度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键
是掌握以上性质．
根据等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明
，得出
，最后利用三角
形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵
为等边三角形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
变式1-3（25-26 八年级下·全国·周测）如图，
和
都是等边三角形，连接
，
相交于点
，
则
的度数是__________．
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【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键；
通过证明三角形全等得到角的关系，再利用三角形内角和定理求出
的度数．
【详解】解：如图，设
与
相交于点
．
和
都是等边三角形，
，
，
，
，
即
．
在
和
中
，
．
又
，
．
故答案为：
．
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题型二、根据等边三角形的性质求边
典例2（25-26 八年级下·四川达州·阶段检测）已知
为等边三角形，
为
的高，延长
至
E，使
，连接
，则
_____．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质得出
，
，即可得出
，最后根据
线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵
为等边三角形，
为
的高，
∴
，
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：已知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2 倍边长。
2.方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1:√3:2，列式求解。
变式2-1（25-26 八年级下·河南平顶山·期末）如图，点
、
、
分别在等边
的各边上，且
于点
，
于点
，
于点
，若
，
的长为________
．
【答案】5
【分析】利用等边三角形内角均为
的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均
为
和
，证明
为等边三角形，得到
，进而证明三个小直角三角形全等，设
的
长度为
，根据
直角三角形的边长关系，将
、
等线段用含
的表达式表示，结合
的条件，列关于
的方程求解．
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【详解】∵
是等边三角形，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
，
可得三个小直角三角形中
，
∴
，
同理可得
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
∴
，
∴
，
，
设
，
则
，
，
在
中，
角对的直角边是斜边的一半，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
．
变式2-2（25-26 七年级下·海南海口·期末）如图，在等边
中，点
是边
上的一点，
关于
成轴对称，则
的度数是________°；点
是边
上任意一点，点
是边
上任意一点，若
，则
的最小值是________．
【答案】 90 4
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【分析】①利用轴对称的性质即可求解；②先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的
面积公式求解．
【详解】解：∵
关于
成轴对称，
∴
．
如图，过点
作
于点
，交
于点
， 连接
，
∵
关于
成轴对称，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴当点
与点
重合，点
与点
重合时，
的长为
的最小值，
∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的最小值是4．
变式2-3（25-26 七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点
是等边三角形
内任意一点，过点
向三边作垂线，垂足分别是
，，
，若
，则
的值为________．
【答案】9
【分析】根据点
是等边三角形
内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点
为等边三角形的三条
高线的交点时，
的值即可.
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【详解】解：由题意，当点
为等边三角形的三条高线的交点时，
由三线合一可知：
为等边三角形
三边的中点，
∴
，
∴
的值为9.
题型三、与等边三角形有关的多解题
典例3（25-26 七年级下·四川成都·期末）在等边三角形
中，点
在直线
上，点
在直线
上，
且
．若
的边长为2，
，则线段
的长为________．
【答案】
或
【分析】点
在直线
上，需分两种情况讨论，分别是点
在线段
的延长线和点
在线段
的延长
线，过点
作
的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含
角的直角三角形的性质计
算
的长度．
【详解】解：当
在线段
的延长线上，
在线段
的延长线上时，
过
作
，垂足为
点，则
，
，
为
的中点，即
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
则
；
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当
在线段
的延长线上，
在线段
的延长线上时，
过
作
，垂足为
点，则
，
，
为
的中点，即
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
则
，
综上，
的值为
或
．
题型模版
1.特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。
2.方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。
变式3-1（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边
边长为
为
上一点，
．动
点
由
出发以
的速度沿
边向点
运动，同时动点
由点
出发以
的速度沿
边向点
运
动．若存在某一时刻使得
与
全等，则
_____
．
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【答案】
或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
设运动时间为
，用含有t 的式子将
表示出来，再根据题意，分为
和
两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：设运动时间为
，则
，
，
，
如图当
时，
可得
，
，
，
，
；
当
时，
可得
，
，
，
，
；
综上所述，
为
或．
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故答案为：
或．
变式3-2（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边
，点D 为射线
上一点，连接
，作
，交直线
于点E．若
，则
的长为_______．
【答案】4 或8/8 或4
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，
角直角三角形的性质．
过点
作
于点
，然后分两种情况讨论，点
在线段
上时或点
在线段
延长线上时，根
据
角直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：当点
在线段
上时，过点
作
于点
，
∵等边
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
当点
在线段
延长线上时，过点
作
于点
，
∵等边
，
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∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为：4 或8．
变式3-3（25-26 七年级下·江西九江·期末）在等边
中，点
是
的中线
上一点，
，
点
是
边上一点，若
，则
的度数为________．
【答案】
或
或
【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到
垂直平分
，结合三角形内角和定理求出相关角的度
数，分点
在
、
、
三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算
的度数.
【详解】解：
是等边三角形，
是中线，点
是
上一点，
，
平分
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
∴
，
分三种情况讨论：
①当点
在
边上时，
，
，
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；
当点
在
边上时，此时点
和点
重合，
∵
，
；
当点
在
边上时，
，
，
，
，
，
又
，
；
综上：
的度数为
或
或
.
题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题
典例4（25-26 八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB 的同一侧作
和
，
和
都是等边三角形，连接
、
交于点H，下列选项正确的序号是______．
①
；②
；③
；④连接
，则
平分
；
【答案】①②④
【分析】根据
和
都是等边三角形，得出
，可判断①②，根据
和
边
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上的高相等，可判断④．
【详解】解：
和
都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
又
，
，
即
，故②正确；
没有理由能证明
，故③错误；
，
和
边上的高相等，即点B 到
和
边的距离相等，
平分
，故④正确；
综上可知，正确的结论是①②④．
题型模版
1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。
2.方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等）逐一推理论证或排除。
变式4-1（25-26 七年级下·四川达州·阶段检测）分别以
的两边
、
向形外作等边
和等
边
，
、
分别交
、
于点H、G，
、
相交于点F，连接
并延长交
于M 点，
则下列结论中正确的是______．（填序号）
①
；②
；③
；④
平分
；⑤
平分
．
【答案】①②③⑤
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【分析】由等边三角形的性质可得
，
，
，从而可得
，再利用“
”证明
，即可判断①正确；由全等三角形的性质可得
，
即可判断②正确；由全等三角形的性质可得
，再由三角形内角和定理并结合对顶角相等即
可判断③正确；作
于
，
于
，则
，证明
，再
结合角平分线的定义即可判断⑤正确；由全等三角形的性质可得
，再结合三角形外角的定义
及性质即可判断④错误．
【详解】解：①
和
都为等边三角形，
∴
，
，
，
，即
，
在
和
中，
，
∴
，①正确；
②
，
，②正确；
③
，
，
又
，
，
，
，③正确；
⑤作
于
，
于
，如图所示：
则
，
，
，
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在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，⑤正确；
，
，
，
，只有
时，
，而
不一定
等于
，
不一定等于
，④不正确；
综上所述，正确的有①②③⑤．
变式4-2（25-26 八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知等边三角形
，点
在
上，
点
在
的延长线上，
于点
于点
交
于点
，则下列结论：①
；②
；③
；④
．其中一定正确的是____．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，可以证
，进而得出
，
据此可判断①，证明
，
，可知
，可得
，据
此可判断②④；根据现有条件无法证明
，则可判断③．
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【详解】解：∵
是等边三角形，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
在
和
中，
,
∴
，
∴
，故①正确；
在
和
中，
，
∴
，故②正确；
∴
，
∵
，
∴
．
∵
∴
，即
．故④正确．
根据现有条件无法证明
，故③错误；
故答案为：①②④．
变式4-3（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图，在等边
中，
于
，
是线段
上一
点，
是边
上一点，且满足
，
是
的中点，连接
，则下列四个结论：①
；②
；③
；④
；⑤当
时，
．其中正确的结论是
________．（填序号）
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【答案】①②③④⑤
【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为
的直角三角形的性质，线段的垂直
平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接
，如图，根据等边三角形
的性质可得①符合题意；证明
，可得
，结合
，进一步可得②符合题意；证明
，可得
， 可得③
符合题意；证明
，进一步可得④符合题意；求解
，进一步可得⑤符合题意．
【详解】解：连接
，如图
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，故①符合题意；
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∵
，
∴
∵
，
∴
， 故②符合题意；
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
， 故③符合题意；
∵
，
是
的中点，
，
故④符合题意；
，
∴
，
又∵
∴
，
∴
，
∴
，故⑤符合题意．
故答案为：①②③④⑤．
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题型五、等边三角形的性质和判定综合题
典例5（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在
中，
，
，点
是
外
一点，连接
、
，
，过点
作
分别交
、
于点
、
．
(1)求证：
是等边三角形；
(2)连接
交
于点
，若
，
，求
的长．
【答案】(1)证明：在
中，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
是等边三角形；
(2)
【分析】（1）可证得
是等边三角形，由
，得到
，
，即可证得
是等边三角形；
（2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得
，由
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
，
，
∴
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。
2.方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。
变式5-1（25-26 八年级下·内蒙古·期末）如图，
是等边三角形，
是
的中点，
，垂
足为
，
是由
沿
方向平移得到的，连接
，已知
过点
，
交
于点
．
(1)求
的度数；
(2)若
，求
的长度；
(3)求证：
是等边三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)证明：
，
，
在
和
中，
，
，
，
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由（1）得
，即
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形的性质得
，由三线合一得到
，由
得
，则
．
（2）先求得
，由平移得
，则
，即可等量代换
，
则
．
（3）由
，求得
，可根据“
”证明
，得
，
而
，所以
，即可根据“有一个角等于
的等腰三角形是等边三角形”证明
是
等边三角形．
【详解】（1）解：
是等边三角形，
，
，
是
的中点，
，
，垂足为
，
，
，
的度数是
．
（2）解：
，
，
，
∵
是由
沿
方向平移得到的，
∴
∵
，
，
，
，
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∴
的长是
．
（3）略
变式5-2（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点
为线段
上一点．
，
是等
边三角形，线段
，
交于点
，线段
，
交于点
，连接
．
(1)求证：
；
(2)求证：
为等边三角形；
(3)将
绕点
按逆时针方向旋转
，其他条件不变，如图
．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否
仍然成立（不要求证明）．
【答案】(1)证明：
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
即
，
在
和
中，
，
，
．
(2)证明：
，
，
又
，
．
在
和
中，
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，
，
，
为等腰三角形．
又
，
为等边三角形．
(3)结论（1）成立，结论（2）不成立
【分析】（1）根据“
”证明
即可；
（2）先证明
，得出
，再根据有一个角为
的等腰三角形为等边三角形，即可
证明结论；
（3）证明
，得出
，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出
，从
而得出
，说明
不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立；
，
是等边三角形，
，
，
，
，即
在
和
中，
，
，
．
如图，
交
的延长线于点
，
交
的延长线于点
，
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将
绕点
按逆时针方向旋转
，
，
此时
，
不可能为等边三角形．
变式5-3（25-26 八年级上·辽宁大连·期末）在
中，
，
是高，E 是
上一
点．
(1)如图1，若
平分
，
①求
的度数；（用含
的式子表示）
②求证：
．
(2)如图2，当
，
时，若点F 在射线
上，且
，求
的值．
【答案】(1)①
；
②证明：如图1，在
上取点
，使得
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
；
(2) 或
．
【分析】（1）①求出
，
，根据
即可求出答案；②在
上取点
，使
得
，证明
，
，即可得到
；
（2）画出图形，分两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵
是高，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
；
②略
（2）如图，当
时，过点C 作
垂足分别为
，
∵
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
同理可得，
，
∴
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
当
时，∵
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
,
∴
，
综上可知，
的值为或
．
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题型六、含30°角的直角三角形
典例6（26-27 八年级上·全国·开学考试）如图，已知
，点P 在边
上，
，点M，N
在边
上，
．若
，则
的长是____．
【答案】3
【分析】过P 作
于点D，则
，从而得到
，根据含
角的
直角三角形的性质求出
，根据等腰三角形的“三线合一”求出
，从而根据线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过P 作
于点D，
∴
，
∵
，
∴
，
∴在
中，
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1:√3:2。
2.方法：利用特殊角边比关系，已知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。
变式6-1（25-26 八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱
垂直于横梁
，
，
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，
，则
的长度为______m．
【答案】8
【分析】利用等边对等角得出
，再结合30 度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】解：
，
，
，
，
在
中，
，
，
．
变式6-2（2026·四川攀枝花·中考真题）在
中，
是
边上的中线，
，
则
的面积为_______．
【答案】
【分析】先根据中线定义求出
长度，再过
作
构造含
角的直角三角形，利用
直角三角
形性质求高
，最后用三角形面积公式计算
面积。
【详解】解：∵
是
边上的中线，
，
∴
，
过点
作
于
，
∴
，
∵
，
，
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∴
，
∴
变式6-3（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在
中，
，
，
，
的平分线
交
于点
，
、
分别是
和
上的动点，则
的最小值是__________．
【答案】
【分析】在
上取一点
，使得
，连接
，证明
，将
转化为
，根据垂线段最短可知当
、
、
三点共线且
时，
取得最小值，即点
到
的距离．
【详解】解：在
上取一点
，使得
，连接
，
平分
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当点
、
、
在同一条直线上且
时，
有最小值，
即
的最小值为点
到
的距离，
过点
作
于点
，则
即为所求最小值，
在
中，
，
，
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，
在
中，
，
，
，
，
的最小值为．
题型七、斜边的中线等于斜边的一半
典例7（26-27 八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：
）测量某三角形
部件的尺寸．已知
，点D 为边
的中点，点A，B 对应的刻度分别为2，8，则
的长为_____
【答案】
【分析】根据题意可得
的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：由题意得，
，
∵
，点D 为边
的中点，
∴
．
题型模版
1.特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。
2.方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。
变式7-1（25-26 八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，
的直角顶点
和
顶点
分别在
轴正半轴及
轴正半轴上运动，若
，
，则在运动过程中，线段
的最大值是
_____．
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【答案】
/
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解答此题的关键．取
的中点E，连接
，当O，E 及C 三点共线时，
最大，此时
，由勾股定理求出
，
，即可得出结论．
【详解】解：取
的中点E，连接
，
则
，
当O，E 及C 共线时，
最大，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
变式7-2（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，
中，
，
，
，
，
线段
的两个端点
，
分别在边
，
上滑动，且
，若点M，N 分别是
，
的中点，则
的最小值为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接
、
，则当C，M，N 三点在同一条直线
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上时，
取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得
，
，即可求得
的最小值．
【详解】解：如图，连接
、
，则当C，M，N 三点在同一条直线上时，
取最小值，
∵
，
，
，点M、N 分别是
，
的中点，
∴
，
，
∴
的最小值为
．
故答案为：
.
变式7-3（25-26 八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，
中，
，
，
的垂直平分
线相交于点P，分别交
于点E，F，与
，
分别交于点D，G．
，若
的周长是
，
则
________
．
【答案】6
【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定
及性质，掌握相关的知识是解题的关键．
连接
，
，
，由垂直平分线的性质得到
，
，从而由
的周长是
得到
，根据
，结合
，
，可得
，证明
，
，得到
，再由等腰
三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解．
【详解】解：连接
，
，
，
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∵
垂直平分
，
垂直平分
，
∴
，
，
∵
的周长是
，即
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
垂直平分
，
垂直平分
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，
∵
，
，
∴点H 是
的中点，
∴
．
故答案为：6．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
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一、单选题
1．（25-26 七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线
，等边三角形
的顶点
，分别在直线
，
上，直线与
的夹角为
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设直线
交
于点
，首先根据等边三角形的性质可得
，结合平行线的性质确定
，进而可得
，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案．
【详解】解：如下图，设直线
交
于点
，
∵
为等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
∴
．
2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧
面示意图（忽略材料的厚度），支架
与
交于点O，
．椅面
与地面水平线l 平行
，
，
，
，则支架
的长度为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】证明
为等边三角形，可得
，
，
，从而得
到
为等边三角形，进而得到
，即可求解．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
3．（25-26 八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边
，
，
与
交于点D，
于
点E，若
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
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【分析】根据等边三角形的性质，结合
，可以证出
，从而得到
．利
用等量代换和外角的性质，求得
．根据直角三角形的性质，得到
，代入
的值，
求出答案．
【详解】解：∵
是等边三角形，
∴
，
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∵
是
的一个外角，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴在
中，
．
4．
（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
和
中，
，
，
，
点P 在
的延长线上，
的延长线交
于点M，连接
，则下列结论错误
．．的是（ ）
A．
B．
C．
D．点B 到
的距离不相等
【答案】D
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【分析】先说明
是等边三角形，可得
即可解答A；再根据“边角边”证明
，
解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得
，再说明
是等边三角形，可得
，然后求出
说明C 即可．
【详解】解：∵
，
∴
是等边三角形，
∴
∴
，则A 正确；
∵
∴
，
∴点B 到
的距离相等，
则B 正确，D 不正确；
∵
，
∴
．
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，则C 正确．
5．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期末）如图，
和
均是等边三角形，A，C，B 三点共线，
与
相交于点P，
与
分别与
，
交于点M，N．有下列结论：①
；②
；
③
；④
；⑤
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可．
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【详解】解：①∵
和
均是等边三角形，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，故①正确，符合题意；
②∵
和
均是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，故②正确，符合题意；
③由①得
，
∴
，
由②得
，
又
，
∴
，
∴
，故③正确，符合题意；
④由③得
，
∴
，故④正确，符合题意；
⑤由③得
，由②得
，
∴
为等边三角形，
∴
，故⑤正确，符合题意；
故①②③④⑤五个结论全部正确．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）如图，在
中，
，点
为
上的一点，
，
在
的右侧作
，使得
，
，连接
，
交
于点
，若
，则
的度数为________．
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【答案】
/88 度
【分析】先证明
，进而可依据“
”判定
和
全等，则
，再根据
得
，则
，进而得
，由此可判定
是等边三角形，则
，从而得
是等边三角形，则
，再求出
即可得出
的
度数．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
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，
．
7．
（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形
中，
，
，
，
连接
、
相交于点
，点
在边
上，连接
交
于点
，
．若
，则
的长为
________．
【答案】2
【分析】首先根据
、
，可证
是等边三角形，再证
是线段
的垂直平分
线，根据等边三角形的三线合一定理可证
，根据平行线的性质可证
，
从而可得
，根据平行线的性质可证
是等边三角形，根据等边三角形的性质可知
．
【详解】解：∵
、
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
．
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8．（25-26 七年级下·海南海口·期末）如图，在等边
中，点
是边
上的一点，
关于
成
轴对称，则
的度数是________°；点
是边
上任意一点，点
是边
上任意一点，若
，
则
的最小值是________．
【答案】 90 4
【分析】①利用轴对称的性质即可求解；②先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的
面积公式求解．
【详解】解：∵
关于
成轴对称，
∴
．
如图，过点
作
于点
，交
于点
， 连接
，
∵
关于
成轴对称，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴当点
与点
重合，点
与点
重合时，
的长为
的最小值，
∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的最小值是4．
9．（25-26 七年级下·山东东营·期末）如图，
，点
、
、
…在射线
上，点
、
、
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在射线
上，
、
、
均为等边三角形，从左起第1 个等边三角形的边长记
为
，第2 个等边三角形的边长记为
，以此类推，若
，则
_____________．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出
，以及
，得出
，
，
…进而得出答案．
【详解】解：如图，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
、
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
以此类推：
．
10．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，已知
，
，点
是射线
上一动
点（P 与
不重合），当以
、
、
三点中某两点与
点构成的三角形是等腰三角形时，
的度数为
______．
【答案】
或
或
【分析】分三种情况讨论（1）
是等腰三角形（2）
是等腰三角形（3）
是等腰三角形，
在此基础上再分别讨论三角形三条边中哪两条边相等，留下符合题意的情况．
【详解】解：（1）
是等腰三角形：
（i）
，
由外角性质可求得
，
，
又
点
在射线
上，
点
与点
重合，与题意不符故舍去；
（ii）
，如图所示，
∴
，
则
；
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（iii）
，如图所示，
∴
，
则
；
（2）
是等腰三角形：
三点共线，
不可能构成三角形，故舍去；
（3）
是等腰三角形：
，
有
角的等腰
是等边三角形，
，
，
示意图如下：
综上所述，
或
或
．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·山东烟台·期中）如图，
是
的高，点
是
的中点，过点
作
的垂
线交
于点
，交
的延长线于点
，
．
(1)求证：
是等边三角形；
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(2)若
，求
的长．
【答案】(1)证明：
，点
是
的中点，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得
垂直平分
，得出
，再求出
，即可得证；
（2）由等边三角形的性质可得
，再由直角三角形的性质得出
，再由点
是
的中
点得到
的长．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
∵点
是
的中点，
．
12．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在
中，
，
，
于点
，
且
，
，
分别是边
，
上的点，且
．
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(1)求证：
是等边三角形；
(2)若
，
，求
的长．
【答案】(1)证明：在
中，
，
，
于点
，
，
，
是等边三角形，
(2)
的长为
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知
，又因为
，则题目可证；
（2）由已知可证
，则
即可求解．
【详解】（1）略；
（2）解：
，
，
，
由（1）可知：
是等边三角形，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
即
的长为．
13．（25-26 八年级上·四川南充·期中）如图，在等边
中，
，
与
交于点P，
，
垂足为Q．
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(1)求
的度数；
(2)若
，
，求
的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】
（1）先根据等边三角形的性质证明
，可得
，再证明
，
然后根据三角形外角的性质求出
；
（2）先根据直角三角形的性质求出
，进而得出
，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】（1）解：∵
是等边三角形，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
是
的外角，
∴
；
（2）解：在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
14．（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）如图①，已知
是等边三角形，点E 在线段
上，点D
在直线
上，且
，以
为边作等边三角形
，连接
．
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(1)求证：
；
(2)写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图②，若点E 在线段
的延长线上，其它条件不变，直接写出
，
，
之间的数量关系．
【答案】(1)证明：
是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，即
，
在
和
中，
，
；
(2)
；理由如下：
为等边三角形，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
；
(3)
【分析】（1）由
和
均为等边三角形，可得
，
，
，两边同
时减去公共角
，推得
，根据
判定定理即可证明
；
（2）先借助第一问的全等结论得
，再结合
推导角相等，结合等边三角形的角度性质证得
、
，利用
证明
，得到
，由
等量代换
得
；
（3）先同理由
证
，得
；再结合
推导对应角相等，用
证
，得
．此时点
在
延长线上，
，代入变形后可得
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：
，
，
是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，即
，
在
和
中，
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，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，即
．
15．
（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）等边三角形
中，
为
边上的高，点
，分别为线段
，
上一点（点
不与点
，
重合，点
不与点
，
重合），
所在直线交
于点
，将图形沿
翻折，得到点
的对应点
；
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(1)如图1，若点
落在
上，则
的度数为______；如图2，若点
落在
上，则
的度数为
_____；
(2)如图3，若
，求
的度数；
(3)若点
落在
延长线上时，请直接
．．写出
，
和
之间的等量关系．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知
，根据等边三角形的三线合一定理可知
；由折叠的性质可知
，根据三角形内角和定理可知
，
由折叠的性质可知
；
（2）根据等边三角形的性质和折叠的性质可知
，
，根据折叠的性质可知
，根据三角形外角的性质可得：
；
（3）延长
交
于点
，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得
，根据三角形
外角的性质可得
．
【详解】（1）解：
是等边三角形，
，
当点
落在
上时，
由折叠可知
，
，
，
；
是等边三角形，
，
，
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，
由折叠可知，
，
，
，
；
（2）解：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
由折叠可知
，
；
（3）解：如下图所示，延长
交
于点
，
是等边三角形，
，
，
，
由折叠可知
，
是
的外角，
，
，
，
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是
的外角，
．
16．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相
同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形．
【模型初现】
(1)如图1，
与
都是等腰三角形，其中
，
，
，则
，即
，所以
，以上判定全等的依据是 ．
A．
B．
C．
D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，已知
、
、
三点共线，分别以
、
为边向外作等边
和等边
，
、
交
于点
，证明：
，并求出
的度数；
【模型深化】
(3)如图3，
、
是等腰直角三角形，
，
，
，连接
、
，
探究
、
的数量关系与位置关系，并给出证明；
【拓展延伸】
(4)如图4，
是等腰直角三角形，其中
，
，
，连接
，请直接写出
、
、
之间的数量关系．
【答案】(1)C
(2)
证明：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，即
，
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在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
；
(3)
，且
，
证明：∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
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如图，设
交
于点
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
(4)
【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用
判定三角形全等；
（2）先利用等边三角形的边、角性质证
得
，再通过角的等量代换结合三角
形内角和求出
；
（3）由角的和差得夹角相等证
得
，再通过角的转化证明两线夹角为
，得
出
；
（4）利用“同角的余角相等”推出
，再代入
的内角和定理得到三个角的数量关系．
【详解】（1）解：
，
，
，符合“两边及其夹角对应相等”的
全等判
定定理；
（2）略
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（3）略
（4）解：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
