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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据角平分线的性质定理求解 题型二、角平分线的性质和判定综合 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结 合全等、对称或求周长/角度。 - 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等 或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 - 易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象；角平分线作 垂线时误作斜线；角平分线判定中未说明点在角的内部；作图题遗漏作图痕迹说明。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据角平分线的性质定理求解 典例1 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在 中，以顶点A 为圆心，以适当长为半径画弧， 分别交 于点M、N，再分别以M、N 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射 线 交边 于点D，作 于点E，若 ， ， 的面积为13，则 的长为 __________ 目 录 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2.方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式求 解。 变式1-1（25-26 八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 交 于点 ．若 ， ， 的面积为8，则 的面积为_________． 变式1-2（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， 的面积为12， 平分 交 于 ， ， 分别是 和 上的动点，连接 ， ，则 的最小值为________． 变式1-3（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， 是 的中线，动点 在 边上，连接 ．若 ， 的面积是3，则 的最小值为______________． 题型二、角平分线的性质和判定综合 典例2 （25-26 八年级下·山西运城·期末）如图，已知 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)连接 ， ，若 ，求 的周长； (2)若 ，求证： 平分 ． 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上）进行证明。 2.方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式2-1（25-26 八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示， 于点E， 于点F， ． (1)求证： ； (2)求证： 平分 ． 变式2-2（25-26 八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ， ， ，在边 上截取 ，连接 ． (1)求证： 平分 ； (2)若 ， ，求 的长． 变式2-3（24-25 八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P 为 内部一点， 于点E， 于点F，且 ，求证：点 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 P 在 的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在 中， ，点E 在边 上， ， 于点F， ． ①求证： 平分 ； ②若 ， ， 的面积是54，求线段 的长． 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 典例3 （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中，边 的垂直平分线 分别交边 于点E，F， 是线段 的垂直平分线，若 的周长为38， ，则 的长为________． 题型模版 1.特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2.方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 变式3-1（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图， 的边 的长为 ，面积为 ， 边 的垂直平分线 交 于点 ，若 为 边上的动点， 为线段 上一个动点，则 的最小值 为________ ． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-2（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中， ， l 是 边的中垂线，点E 是直线l上动点．点F是直线 上动点，当 ， ， 时，则 的最小值为___________． 变式3-3（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在 中，D 为 中点， 交 于F， ，则 的长为______ ． 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例4 （25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 上的一点，连接 ，作 交 于点 ， 交 于点 ，且 平分 ，连接 ． (1)证明： 垂直平分 ； (2)若 面积为 ，求 的周长． 题型模版 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 2.方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式4-1（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，射线 在 内，点 为射线 上一点，过点 作 ， ，且 ． (1)求证： 是 的平分线； (2)连接 ，求证： ． 变式4-2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中，直线垂直平分边 ，分别交 于点 ，连接 ． (1)若 ， 的周长为 ，则 的长为______； (2)已知点 在线段 上，且点 在边 的垂直平分线上，连接 ，试判断点 是否在边 的垂直平 分线上，并说明理由． 变式4-3（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如图1，四边形 中， ， ， ，则称四边形 为直角筝形． (1)连接对角线 、 交于点 ，得到图2，请证明： 垂直平分 ； (2)在图2 中，若 ，点 在射线 上（不与点 重合），点 是平面内一点，以 、 、 、 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的 的度数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1． （25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ， 点 到 的距离为 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，在 中，以点 为圆心， 的长为半径作圆弧交 于 点 ，再分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 和点 ，连接 交 于点 ．若 ， ，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形 底边 的长为 ，面积是 ，腰 的垂直平分线 交 于点 ，若 为 边上的动点， 为线段 上一动点，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．（25-26 七年级下·广东茂名·期末）如图，在 中，利用尺规作图作出了射线 交 于点P．根 据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A． 是 的平分线 B． C．点P 到 ， 的距离相等 D． 二、填空题 5．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ，点 是 边上的动点，连接 、 ，若 的最小值是3，则 的度数为_______ ． 6．（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）已知 中， ，分别以 、为圆心，以大于 为半径作弧，两弧相交于 ；作直线 交 于点D，连接 ， 平分 ，交 于点E， ， 的面积为12，则 的长为______． 7．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图， 中， ， ， ，点 为 上 一点，连接 ，将 沿着 翻折，使得点 的对应点 落在 边的垂直平分线上，连接 ，则 的周长为_________． 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形 中， ， 、 分别为 的角 平分线， 、 相交于点 ． （1）则 的度数为________； （2）若 平分 ，当 ， ， 的面积为 时，则 的面积为________． 三、解答题 9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ， 是边 的中点，点 ， 分别 在线段 ， 上，且 ． (1) 与 平行吗？请说明理由； (2)若 ，点 在线段 的垂直平分线上，求 的度数． 10．（2026 八年级下·山东青岛·专题练习）如图， ，点E 为 的中点， 平分 ， 过点E 作 ，垂足为F，连接 、 ． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： 是 的平分线． (2)求证：线段 垂直平分 ． 11．（26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）已知 中， 平分 ， 交 于点 ， 平分 ，交 于点D， 与 交于点 ． (1)如图1．求证： ； (2)如图2，连接 ，求证： 平分 ． 12．（25-26 八年级下·广东梅州·期中）图1 是一个平分角的仪器，其中 ， ． (1)如图2，将该仪器放置在 上，使点O 与顶点A 重合，点D，E 分别在边 ， 上，连接 并 延长，交 于点P．求证： 平分 ． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P 作 于点Q，若 ， ， 的面积为60，求 的长． 13． （25-26 七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形 中，对角线 平分 ， ， 求证： ． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ， 请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长 到 ，使 ，连接 请按小刚的思路 进行证明． (3)如图③，在四边形 中，对角线 平分 ， ， ，过点 作 ， 垂足为点 ，探究线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 14．（2026 八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图， 是 的角平分线． (1)如图①， 于点E， 于点F，连接 ．求证： 所在直线是 的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G 从点D 向点B 运动时， 于点E， 于点F，此时（1）中的结论是否 成立？请证明； (3)如图③，当点G 沿 方向从点D 沿 的延长线运动时， （或其延长线）于点E， （或 其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明． 15．（25-26 八年级上·湖北荆门·期末）（1）如图1， 中， ， 平分 交 于D，过C 点作 的垂线交 的垂直平分线于M，连 ，N 在 的延长线上．求证： 平分 ； （2）把（1）中的“ 平分 交 于D”换成“ 平分 的外角 交直线 于D”，其他 条件不变，请在图2 中补全图形，并直接写出 的度数（用含 的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若 （如图3），且 ，作 于 ，求 的长度． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
