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1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题06 角平分线的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 利用角平分线性质求解（重） 题型2 角平分线的实际应用 题型3 角平分线性质和判定的综合问题（高频） 题型4 作垂线与角平分线（尺规作图） 题型5 与角平分线有关的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用角平分线性质求解 1．2 2．6 3． 30/30 度 40 21 / 19 121 ◆题型2 角平分线的实际应用 4．C 5．B 6．D ◆题型3 角平分线性质和判定的综合问题 7． 【答案】（1）证明：∵DF AB ⊥ ， ∴ 90 AFD BFD = = ， ∴ 90 C BFD = = ， ∵CE FB = ，DE BD = ， ∴ ( ) Rt Rt HL CDE FDB ≌ ， ∴CD DF = ， ∵ 90 C BFD = = ， 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴AD平分 BAC ． （2）解：AE BF AF + = ，理由如下： 在Rt ACD 与Rt AFD 中，CD FD = ，AD AD = ， ∴ ( ) HL Rt ACD Rt AFD ≌ ， ∴AC AF = ， ∴AE EC AC AF + = = ， ∴AE BF AF + = ． 8． 【答案】（1）解：∵EF AB ⊥ ， 50 AEF = ， ∴ 90 50 40 FAE = − = ， ∵ 100 BAD = ， ∴ 180 100 40 40 CAD = − − = ； （2）证明：过点E 作EG AD ⊥ 于G，EH BC ⊥ 于H， ∵ 40 FAE DAE = = ，EF BF ⊥ ，EG AD ⊥ ， ∴EF EG = ， ∵BE平分 ABC ，EF BF ⊥ ，EH BC ⊥ ， ∴EF EH = ， ∴EG EH = ， ∴DE 平分 ADC ； （3）解：∵ 12 ACD S = △ ， ∴ 1 1 · · 12 2 2 ADE CDE S S AD EG CD EH + = + = ， 即1 1 4 8 12 2 2 EG EG + = ， 解得 2 EG EH = = ， ∴ 2 EF = ， ∴ 1 1 · 6 2 6 2 2 ABE S AB EF = = = ． 9． 【答案】（1）证明：∵ , BC BD CBD = = ， ∴ BDC BCD = ， 3 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 BCD △ 中， 180 BDC BCD CBD + + = ， ∴2 180 BDC + = ， ∵2 180 + = ， ∴ BDC = ， ∴ BAC BDC = ； （2）①如图1，过点A 作 , AH CM AK BD ⊥ ⊥ ，垂足分别为H，K， ∴ 90 AKB AHC = = ， 在 ABC 中， 180 ABC ACB BAC + = − ， 在 BCD △ 中， 180 DBC DCB BDC + = − ， ∵ BAC BDC = ∴ ABC ACB DBC DCB + = + ， ∴ ABD DBC ACB DBC ACB ACD + + = + + ， ∴ ABD ACD = ； 在ABK 和ACH 中， AKB AHC ABK ACH AB AC = = = ， ∴ ( ) AAS ABK ACH ≌ ， ∴AK AH = ， ∵ , AH CM AK BD ⊥ ⊥ ， ∴AD平分 BDM ； ②如图2，连接AM ，设AC 与BD交于点G， 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 ABD △ 和 ACM △ 中， AB AC ABD ACM BD CM = = = ， ∴ ( ) SAS ABD ACM ≌ ， ∴ BAD CAM = ， ∴ BAC DAM = = ， ∵AB AC = ， 1 90 2 BCG = − ， 由（1）知 BDC = ，且AD平分 BDM ， 1 90 2 ADG = − ， ∴ BCG ADG = 又∵ , AGB CAD ADG AGB CBD BCG = + = + ， ∴ CAD CBD = = ， ∴ 2 180 BAC DAM CAD + + = + = ， ∴A，M，B 三点共线． ∴点M 在线段BA的延长线上． ◆题型4 作角平分线（尺规作图） 10． 【答案】(1)如图，AE 即为所求： （2）解：∵ 50 B = ∠ ，AD BC ⊥ ， ∴ 90 40 BAD B = −= ， ∵AE 平分 BAC ，且 90 BAC = ， ∴ 1 45 2 BAE BAC = = ， ∴ 5 DAE BAE BAD = − = ∠ ∠ ． 11． 【答案】(1)所作图形如图所示： 5 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：过点D 作DH BC ⊥ ，如图所示： 由作图可知：BD平分 ABC ， ∵ 90 A = ，DH BC ⊥ ， ∴ 4 DH AD = = ， ∴ 1 1 8 4 16 2 2 BCD S BC DH = = = ． 12． 【答案】(1)证明：连接PE、PF ，如图， 由作法得AE AF = ，PE PF = ， 而AP AP = ， ( ) SSS AEP AFP ≌ ， EAP FAP = ， 即AP 平分 CAB ； （2） CD AB ∥ ， 180 BAC ACD + = ， 180 114 66 BAC = − = ， AP 平分 CAB ， 1 33 2 MAB BAC = = ； (3)证明： CD AB ∥ ， BAM CMA = ， CAM BAM = ， 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 CAM CMA = ， CA CM = ， CN AM ⊥ ， CNA CNM = ， 在 CAN △ 和CMN 中 CAN CMN ANC MNC AC CM = = = ( ) CAN CMN AAS ≌ ． ◆题型5 与角平分线有关的新定义型问题 13． 【答案】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2） AC 平分 BAD ， BAC DAC = ， AC AC = ，AD AB ，ABC 与ACD 是友谊三角形， BC CD = ， 在AD上取一点H ，使得AH AB = ，连接CH ，如图 在BAC 和 HAC △ 中， AB AH BAC HAC AC AC = = = ， ( ) SAS BAC HAC ≌ ， BC CH = ， B AHC = ， BC CD = ， CD CH = ， DHC D = ， 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 AHC DHC + = ， 180 B D + = ； 14． 【答案】解：（1）正确，理由如下： 作AE BC ⊥ 交CB 延长线于点E ，作AF CD ⊥ 于点F ， 90 DFA AEB = = ， 已知 1 180 D += ，1 2 180 += ， 2 D = ． 在ADF 和ABE 中， 2 DFA AEB D AD AB = = = ， ( ) AAS ADF ABE ≌ ， AE AF = ， 又AE EC ⊥ ，AF CF ⊥ ， CA 为 BCD 的角平分线． （2）EF BE FD = + ，理由如下： 延长EB至F使BF DF = ，连接AF， AD CD ⊥ ，AB BC ⊥ ， 在ADF 和ABF 中， FD BF D ABF AD AB = = = ， ( ) SAS ADF ABF ≌ ， AF AF = ， 1 2 = ， 8 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又 1 2 EAF BAD = ， 1 1 4 2 BAD += ， 1 2 4 2 EAF BAD EAF += = = ， 在EAF 和EAF 中， AE AE EAF EAF AF AF = = = ， ( ) SAS EAF EAF ≌ ， EF EF = ， 又EF BE BF BE FD = + = + EF BE FD = + ． 15． 【答案】（1）解：∵BD平分 ABC ， 90 BAD = ， 90 BCD = ， ∴DA DC = ， ∴根据角平分线的性质定理可知AD CD = ， 故答案为：③； （2）解：DA DC = ，理由如下： 如图2 中，作DE BA ⊥ 交BA延长线于点E，DF BC ⊥ 于点F， ， ∵BD平分 EBF ，DE BE ⊥ ，DF BF ⊥ ， ∴DE DF = ， ∵ 180 BAD C + = ， 180 BAD EAD + = ， ∴ EAD C = ， ∵ 90 E DFC = = ， ∴ ( ) AAS DEA DFC ≌ ， ∴DA DC = ； （3）证明：如图3，在BC 上截取BG BD = ，连接DG ， 9 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AB AC = ， 100 A = ， 180 ABC C A ++= , ∴ 40 ABC C = = ， ∵BD平分 ABC ， ∴ 1 20 2 DBG ABC = = ， ∵BD BG = ， ∴ ( ) 1 180 80 2 BGD BDG DBG = = − = ， 即 180 A BGD + = ， 由（2）的结论得AD DG = ， ∵ BGD C GDC =+ ， ∴ 40 GDC C = = ， ∴DG CG = ， ∴AD DG CG = = ， ∴BD AD BG CG BC + = + = ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．B 3．B 4．B 5．C 二、填空题 6．120 7．20 13 / 7 113 10 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．2 9．2 10． 120/120度 4 三、解答题 11． 【答案】（1）解：∵ 25 BAD = ， 140 BEA = ， ∴ 180 180 140 25 15 ABE BEA BAD = − − = − − = ， ∵BE为ABD 的角平分线， ∴ 2 30 ABD ABE = = ． （2）解：∵AD为ABC 的中线， 64 = ABC S ， ∴ABD 的面积为32， ∵BE为ABD 的角平分线，EN AB ⊥ ，EM 为BED 的高， ∴NE ME = ， ∵ 32 ABD ABE BDE S S S = + = ， ∴1 1 32 2 2 AB NE BD ME + = ， ∵ 16 AB = ， 8 BD = ，NE ME = ， ∴1 1 16 8 32 2 2 ME ME + = ， 解得： 8 3 ME = ． 12． 【答案】(1)解：PC PD = ，理由： OM 是 AOB 的平分线， , PC OA PD OB ⊥ ⊥ ， PC PD = ； (2)解：成立，理由： 如图，过点P 作PE OA ⊥ 于E ，PF OB ⊥ 于F ， 90 PEC PFD = = ， OM 是 AOB 的平分线， PE PF = ． 90 AOB = ， 90 CPD = ∠ ， 360 90 90 180 PCE PDO + = − − = ． 11 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 PDF PDO + = ， PCE PDF = ． 在PCE 和PDF 中， PCE PDF PEC PFD PE PF = = = ( ) AAS PCE PDF ≌ ， PC PD = ． 13． 【答案】（1）PD PE = ． 证明：在Rt PDO △ 和Rt PEO 中， PD PE = ，OP OP = ， ( ) HL Rt PDO Rt PEO ≌ ， DOP EOP = ， OC 是 AOB 的平分线． （2）证明：如图，过点E 作EF AD ⊥ 于F ， 90 B C = = ， BE AB ⊥ ，EC CD ⊥ ， AE 平分 BAD ， EB EF = ， E 是BC 的中点， EC EB = ， EC EF = ， 又 EF AD ⊥ ，EC CD ⊥ ， DE 是 ADC 平分线． （3）解：过点E 作EF BA ⊥ 交BA延长线于F ，作EG AD ⊥ 于G ，作EH CD ⊥ 于H ，如图， BE 平分 ABC ，DE 平分 ADC ， 12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 EF EH = ，EG EH = ， EF EH EG = = ， ( ) 1 1 1 2 2 2 ACD ADE CDE S S S AD GE CD EH EF AD CD = + = + = + △ △ △ ， 3 AD = ， 5 CD = ， 16 ACD S = △ ， 4 EF = ， 1 12 2 ABE S AB EF = = △ ． 14． 【答案】（1）①证明：过点M 作ME AD ⊥ 交于E ， DM 平分 ADC ， 90 C = ， CM EM = ， 点M 为BC 的中点， CM BM = ， EM BM = ， 90 B = ，ME AD ⊥ ， AM 平分 BAD ； ②AD CD AB = + ， 证明： EM CM = ，DM DM = ， Rt Rt DEM DCM ≌ △ △ （HL）， ED CD = ， 同理可证AE AB = ， AD AE ED = + CD AB = + ； （2）解： 105 C = ， 理由如下：在AD上截取DF DC = ，连接MF ，过点M 作MH AD ⊥ 交于H ，作MG AB ⊥ 交于G ， 13 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 90 MHF MGB = = ， DM 平分 ADC ， MDF MDC = ， DM DM = ， MDF MDC ≌ （SAS）， MF MC = ，FD CD = ， 105 DFM C = = ， 180 105 75 AFM = − = ， AFM B =， 点M 为BC 的中点， CM MB = ， MF MB = ， MHF MGB ≌ （AAS）， MH MG = ， AM 平分 BAD ， FAM BAM = ， AM AM = ， AFM ABM ≌ （AAS）， AF AB = ， AD FD AF = + CD AB = + ． 故 105 C = 时，能使得（1）②中结论依然成立． 15． 【答案】(1) 证明：∵ BAC DAE = ， . EAC BAC BAE DAE BAE DAB = − = − = 在EAC 与 DAB △ 中， 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 , , , AE AD EAC DAB AC AB = = = (SAS) EAC DAB △ ≌△ CE BD = ； (2) ① 证明：分别过点A 作AM EC ⊥ 于点M，AN DB ⊥ 于点N， 由（1）得 EAC DAB ≌ △ △ ，CE BD = ， EAC DAB S S = △ △ ， 1 1 2 2 CE AM BD AN = ， AM AN = ， 又∵AM EC ⊥ ，AN DB ⊥ ， ACF ACB = ； ② ACF 与 ACB 的数量关系不变， ACF ACB = ，理由如下： ∵ DAE BAC = ， EAC DAE CAD BAC CAD DAB = − = − = . 在EAC 与 DAB △ 中， AE AD EAC DAB AC AB = = = ， (SAS) EAC DAB △ ≌△ ， CE BD = ， EAC DAB S S = △ △ ， 分别过点A 作AM CE ⊥ 于点M，AN BD ⊥ 于点N， 1 1 2 2 CE AM BD AN = ， 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AM AN = ， 又∵AM CE ⊥ ，AN BD ⊥ ， ACF ACB = ， 即 ACF 与 ACB 的数量关系不变.
