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专题 15.4 等边三角形的性质和判定（五大题型）
【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】.......................................................1
【题型2：根据等边三角形的性质求角度】.................................................................6
【题型3：等边三角形的判
定】.................................................................................12
【题型4：等边三角形的判定与性
质】........................................................................22
【题型5：含30°角的直角三角形的性质】................................................................36
【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】
1．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果
AB=8cm，则BE=（ ）cm．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，根据等边三角形的
1
性质可得∠BAC=∠B=60°，BD= BC，进而得到∠B=60° ∠BAD=30°，可得
2
∠BDE=30°，根据30°角的直角三角形的性质可求得BE的长，即可解题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC=8cm，
又∵AD⊥BC，DE⊥AB，1
∴∠BAD= ∠BAC=30°，∠BDE=30°，
2
1 1
∴BD= AB=4，BE= BD=2，
2 2
故选：D．
2．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，PA=CQ，连接PQ
交AC于D，若CD=3，BQ=10，则PA的长为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.5 D．2.4
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．过点P作
PF∥BC交AC于点F；得出△APF是等边三角形，进而证明△PDF≌△QDC(AAS )，
得到FD=CD，设AP=x，则有AF=PF=CQ=x，根据BQ=BC+CQ，列式计算即
可求解．
【详解】解：如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，
∵△ABC
是等边三角形，
∴ ∠B=∠ACB=60°，
∵ PF∥BC，
∴ ∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°，
∴ ∠APF=∠AFP=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠DFP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
∵在△PDF和△QDC中，{∠PDF=∠QDC
)
∠DFP=∠QCD
PF=QC
∴△PDF≌△QDC(AAS)，
∴FD=CD，
设AP=x，则有AF=PF=CQ=x，
∵CD=3，
∴DF=3，CF=CD+DF=6，
∴BC=AC=6+x，
∴BQ=BC+CQ=6+2x，
∵BQ=10，
∴6+2x=10，
解得：x=2，即PA=2，
故选：A．
3．如图△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点，以AD为边作等边△ADE，连接CE．
若CE=1，CD=3，则BC= ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由SAS可证
△BAD≌△CAE，可得BD=CE=1，即可求解．
【详解】解：∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△CBE中，
{
AB=BC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE=1，∴BC=BD+CD=1+3=4，
故答案为：4．
4．如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点
F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，根据在直角三角形
中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，再由等边三角形
ABC的边长为4，得出BE的长．掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关
键．
【详解】解：∵ △ABC为等边三角形，BC=8，
∴∠A=∠C=60°，AB=AC=BC=8，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD=∠CEF=90°，
∴∠ADF=∠CFE=30°，
1 1
∴AF= AD，CE= CF，
2 2
∵点D是AB的中点，
∴AD=4，
∴AF=2，
∴CF=6，
∴CE=3，
∴BE=8−3=5．
故答案为：5．
5．如图，等边△ABC中，F是AB上的点，EF⊥AC于点E，∠AFE= ．【答案】30°/30度
【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和
直角三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形和直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵等边△ABC，
∴∠A=60°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°−∠A=30°．
故答案为：30°．
6．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若AB=8，则AD的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，判断BD是AC的垂直平
分线是解答关键．
根据等边三角形的性质求出AC的长度，再利用三线合一得到BD是AC的垂直平分线
来求解．
【详解】解：∵在等边三角形ABC中，AB=8，
∴AC=AB=8．
∵BD⊥AC，
∴BD是AC的垂直平分线，
1
∴AD=CD= AC=4．
2
故答案为：4．
7．若等边△ABC的周长为12cm，则BC= cm．【答案】4
【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等是解题的关键．
设BC的长为x，即可得一元一次方程3x=12，解方程即可得解．
【详解】解：设BC的长为x，
∵△ABC是等边三角形，
∴3x=12，
解得，x=4，
即BC=4，
故答案为：4．
8．如图，在△ACD中，B为CD边上一点，连接AB，△ABC恰为等边三角形，
∠D=∠DAB,AB=7，则CD的长度为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质
求出BC=7，然后根据等角对等边得出AB=DB=7，即可求解．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，AB=7，
∴BC=AB=7，
∵∠D=∠DAB，
∴AB=DB=7，
∴CD=DB+BC=14，
故答案为∶14．
【题型2：根据等边三角形的性质求角度】
1．如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．55° C．58° D．60°【答案】B
1
【分析】由折叠的性质得到∠BDE=∠B′DE= (180°+50°)=115°，根据外角的定
2
义得到∠BDE=∠2+∠A，即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
1
【详解】由折叠可知∠BDE=∠B′DE= (180°+50°)=115°，
2
又∵∠BDE=∠2+∠A， △ABC是等边三角形，
∴115°=∠2+60°，
∴∠2=55°．
故选：B．
2．如图，△ABC是等边三角形，在△ADE中，
AD=AE，∠DAE=80°，∠BAD=15°，则∠CDE=（ ）
A．30° B．20° C．35° D．25°
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟
练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题
意易得∠B=60°,∠ADE=50°，则有∠ADC=75°，然后问题可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD=AE，∠DAE=80°，∠BAD=15°，
180°−∠DAE
∴∠ADE= =50°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
2
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=25°；
故选：D．
3．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC=35°，
则∠ECA的度数为（ ）A．35° B．25° C．30° D．45°
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角
形的性质和SAS证明△BAD≌△CAE(SAS)得到∠ABD=∠ACE，再求出∠ABD的度
数即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠DAE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠EBC=35°，
∴∠ACE=∠ABD=∠ABC−∠EBC=25°，
故选：B．
4．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BOD的
度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的
性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键．
根据等边三角形的性质可得BC=AC，∠BCA=∠A=60°，再证明
△ABD≌△CAE(SAS)可得∠ACD=∠CBE，最后根据三角形外角的性质以及等量代换的性质即可解答．
【详解】解：∵ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=∠A=60°，
在△ACD和△CBE中，
{
AC=BC
)
BCA=∠A ，
AD=CE
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACD=∠CBE，
∴∠BOD=∠CBE+∠DCB=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°．
故选B．
5．如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形△≝¿，连接AF，则∠AFD
等于 °．
【答案】54
【分析】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟知
正五边形的性质是解答的关键．先根据正五边形和等边三角形的性质得到AE=EF，
∠AEF=168°，再根据等腰三角形的性质求得∠EFA=6°，进而利用角的和差求解
即可．
(5−2)×180°
【详解】解：在正五边形ABCDE中，AE=DE，∠AED= =108°，
5
在等边三角形△≝¿中，EF=DE，∠FED=∠EFD=60°，
∴AE=EF，∠AEF=60°+108°=168°，
1
∴∠EFA= ×(180°−168°)=6°，
2
∴∠AFD=∠EFD−∠EFA=60°−6°=54°，
故答案为：54．
6．如图，在等边△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AC于点E，若∠DAE=45°，则
∠ADC的度数为 ．【答案】75°/75度
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质，外角性质，先
运用∠DAE=45°，DE⊥AC，得出∠ADE=45°，结合等边三角形的性质，得出
∠BAC=∠B=60°，最后运用外角性质列式计算，即可作答．
【详解】解：∵∠DAE=45°，DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
则∠ADE=90°−45°=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，
则∠BAD=60°−45°=15°，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=75°，
故答案为：75°．
7．如图，已知等边△ABC，直线l ∥l ，∠1=45°，则∠2的度数为 °．
1 2
【答案】75
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性
质，先求解∠3=180°−45°−60°=75°，再求出∠2=∠3=75°即可．
【详解】解：如图，∵等边△ABC，
∴∠A=60°，
∵∠1=45°，
∴∠3=180°−45°−60°=75°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠2=∠3=75°．
故答案为：75．
8．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，则∠DFE=
°．
【答案】120
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，
由等边三角形的性质可得AB=CA，∠BAD=∠C=60°，进而可得
△ABD≌△CAE(SAS)，即得到∠ABD=∠CAE，进而由三角形外角性质可得
∠AED=∠BAD=60°，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAD=∠C=60°，
∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠AED=∠ABD+∠BAF=∠CAE+∠BAF=∠BAD=60°，
∴∠DFE=180°−∠AFD=180°−60°=120°，故答案为：120．
【题型3：等边三角形的判定】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．请用尺规作图法，在边BC，AC上
分别求作一点D，E，使△ADE为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了复杂作图，等边三角形的判定．作∠BAC平分线交BC于点D，
再以点D为圆心DA为半径作弧交AC于点E，连接AE，则△ADE为等边三角形．
【详解】解：作∠BAC平分线交BC于点D，再以点D为圆心DA为半径作弧交AC于
点E，连接AE，则△ADE为等边三角形．
1
由作图知∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°，
2
∵DA=DE，
∴△ADE为等边三角形．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，
BN⊥AC于点N，连接MN．
(1)证明：AB=BC；
(2)若∠CAB=30°，证明：△AMN是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAC=∠ACD，根据角平分线定义得到
∠BCA=∠ACD
即可证明∠BAC=∠BCA，从而证明AB=BC；
1 1
（2）根据直角三角形的性质求出∠MAC=60°，AM= AC，AN= AC，得到
2 2
AN=AM，即可证明△AMN是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）证明：∵∠CAB=30°，
∴∠BAC=∠ACD=∠ACB=30°，
∵AM⊥CD于点M，
1
∴∠MAC+∠MCA=90°,AM= AC，
2
∴∠MAC=60°，
∵AB=BC，BN⊥AC，
1
∴AN= AC，
2
∴AN=AM，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的
性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键．
3．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC，垂足分别为D,E，连接DE．求
证：△CDE是等边三角形．【答案】见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一．
1 1
根据等边三角形三线合一推出CE= BC,CD= AC，进而推出CD=CE，结合
2 2
∠C=60°，即可证明结论．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠C=60°，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
1 1
∴CE= BC，CD= AC，
2 2
∴CE=CD，
∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形．
4．如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使
BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，
∠EAB=2∠BAC．
(1)求∠BDE的度数；
(2)点F在AB上，连接DF,DF=BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)40°
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等
边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）利用等边三角形的性质求出∠BAC的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角
形内角和定理即可求出∠ABC=∠C=∠BDC=80°，从而根据
∠BDE=180°−∠BDC−∠ADE求解即可；
（2）利用等腰三角形的性质求出∠ABD=60°，然后根据DF=BD证明△BDF是等边三角形即可．
【详解】（1）解：在等边 △ADE 中， ∠EAC=∠ADE=60° ，
∵∠EAB=2∠BAC ，
∴∠BAC=20° ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=80° ，
∵BD=BC ，
∴∠BDC=∠ACB=80° ，
∴∠BDE=180°−∠BDC−∠ADE=40° ．
（2）解：△BDF 是等边三角形． 理由如下：
由 （1）可得 ∠BDC=∠ACB=80° ，
∴∠CBD=180°−∠BDC−∠ACB=20° ，
∵∠ABC=80° ，
∴∠FBD=∠ABC−∠CBD=60° ，
∵DF=BD ，
∴△BDF是等边三角形．
5．如图，在△ABC中．
(1)尺规作图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，在BC的延长线上截取CE=CD，连接
DE．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件之下，若CE=CD=AD，且BD=ED，试判断△ABC的形状，并证
明你的结论．
【答案】(1)见解析；
(2)△ABC是等边三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据垂线的作法画出BD，再在BC的延长线上截取CE，连接DE即可；
（2）由题意可知BD垂直平分AC，得到AB=CB，再根据等边对等角和三角形外角
的定义，得出∠ACB=2∠CBD，从而得到∠CBD=30°，推出BC=2CD=AC，即可判断△ABC的形状．
【详解】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：△ABC是等边三角形，证明如下：
∵BD⊥AC，AD=CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AB=CB，
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
∵BD=ED，
∴∠DBE=∠E，
∴∠ACB=2∠CBD，
∵∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠CBD=30°，
∴BC=2CD=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了基本作图——作垂线和线段，垂直平分线的判定和性质，等腰三
角形的判定和性质，三角形外角的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知
识，掌握相关知识点是解题关键．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，AD=CD，E是DA延长
线上一点，且AE=AD，AB⊥ED，连接BE．(1)求∠ABC的度数；
(2)求证：△EBD为等边三角形．
【答案】(1)30°
(2)详见解析
【分析】（1）由等边对等角得∠CAD=∠C，从而∠ADB=2∠C，可得
∠ADB=2∠ABC，然后根据∠ADB+∠ABC=3∠ABC=90°即可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质得BE=BD，由三线合一求出
∠EBD=2∠ABD=60°，进而可证△EBD为等边三角形．
【详解】（1）解：∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ADB=2∠ABC，
∵AB⊥ED，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB+∠ABC=3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°；
（2）证明：∵AB⊥ED,AE=AD，
∴BE=BD，
∴△EBD为等腰三角形，BA平分∠EBD，
∴∠EBD=2∠ABD=60°，
∴△EBD为等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，
线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答
本题的关键．7．已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)作AC的垂直平分线MN，分别交AB、AC于点M、N，连接CM（要求：尺规作
图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)若∠A=30°，MN=2，求CM的长度；
(3)在（2）的条件下，判断△CMB的形状（直接写出结果，不需要说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)CM=4；
(3)△CMB是等边三角形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AM=CM，∠ANM=90°，再根据直角三角形的
性质即可求解；
（3）根据直角三角形的性质求得∠B=60°，∠BCM=60°，即可证明△CMB是等
边三角形．
【详解】（1）解：所作图形，如图，
（2）解：∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM，∠ANM=90°，
∵∠A=30°，MN=2，
∴AM=2MN=4，
∴CM=AM=4；
（3）解：△CMB是等边三角形，
∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠B=60°，
∵AM=CM，∠A=30°，
∴∠A=∠ACM=30°，
∴∠BCM=60°，
∴△CMB是等边三角形．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，
等边三角形的判定，熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于
点D，E．
(1)若AE=4cm，求CE的长度；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【答案】(1)2cm
(2)△BCD是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，30°角的直角三角形的性质．
（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在
Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可得出结果；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD=BD，且∠ABC=60°，可证明△BCD为等边
三角形．
【详解】（1）解：连接BE，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE，
∵AE=4cm，
∴CE=2cm；
（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴ △BCD是等边三角形．
9．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．
(1)求证：BD=CE；
(2)若∠BAC=120°，求证：△ADE是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形内角和定
理．
（1）证明△ABE≌△ACD(ASA)得BE=CD，进而得BE−DE=CD−DE，即可得
出结论；
（2）先由等腰三角形的性质得∠B=∠C=30°，再由三角形内角和定理得
∠ADE=∠AED=60°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠BAE=∠CAD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACD中，
{∠BAE=∠CAD
)
AB=AC ，
∠B=∠C
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE=CD，
∴BE−DE=CD−DE，
∴BD=CE；
（2）解：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
在△ABE和△ACD中，
∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BEA=∠CDA=60°，即∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形．
【题型4：等边三角形的判定与性质】
1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CD是边AB上的中线，BD的垂直平
分线EF交BC于点E，交AB于点F，点G是AC上一点，连接DG，∠CDG=15°．(1)求证：AG=BD；
(2)若CE=2，求AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）根据等腰三角形性质得∠A=∠B=30°，CD⊥AB，AD=BD，
∠ACD=∠BCD=60°，进而可得∠ADG=∠AGD=75°，得到AG=AD，即可求
证；
（2）根据线段垂直平分线性质得DE=BE，EF⊥BD，得到∠EDB=∠B=30°，
进而由三角形外角性质得∠CED=60°，即可得△CDE为等边三角形，得到CE=DE，
即可得BE=CE=2，求出BC即可求解；
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和
性质等，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，
180°−∠ACB
∴∠A=∠B= =30°，
2
∵CD是边AB上的中线，
1
∴CD⊥AB，AD=BD，∠ACD=∠BCD= ∠ACB=60°，
2
∴∠ADC=90°，
∵∠CDG=15°，
∴∠ADG=∠ADC−∠CDG=90°−15°=75°，
∴∠AGD=180°−(∠A+∠ADG)=180°−(30°+75°)=75°，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AG=AD，
∴AG=BD；
（2）解：∵EF是线段BD的垂直平分线，
∴DE=BE，EF⊥BD，∴∠EDB=∠B=30°，
∴∠CED=∠EDB+∠B=30°+30°=60°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCE=∠CED，
∴CD=DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，
∴BE=CE=2，
∴BC=CE+BE=2+2=4，
∴AC=BC=4．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，
AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别交AB，AC于点E，F，AF=1．
(1)求证：△ABD是等边三角形．
(2)求AE的长．
【答案】(1)见详解
(2)3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判
定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=60°，再由AD=AB，
即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，证出
∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，结合已知和
AE=AB−BE=AC−BE即可．
【详解】（1）证明： AB=AC，AD⊥BC，
1∵
∠BAD=∠DAC= ∠BAC．
2
∴
∠BAC=120°，
∵1
∠BAD=∠DAC= ×120°=60°．
2
∴
又 AD=AB，
△∵ABD是等边三角形．
∴（2）证明： △ABD是等边三角形，
∠ABD=∠∵ADB=60°，BD=AD．
∴∠EDF=60°，
∵∠ADB=∠EDF．
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF．
∴在△BDE与△ADF中，
{∠DBE=∠DAF=60°
)
BD=AD ，
∠BDE=∠ADF
△BDE≌△ADF(ASA)．
∴BE=AF，
∴又 AF=1，
B∵E=1，
∴AC=4，AB=AC，
∵AE=AB−BE=AC−BE=3．
3．如∴图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，点E在AD的延长线上，连接BE，EC，
且∠BAE=∠BCE．
(1)求证：∠AEC=60°；
(2)求证：BE+CE=AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定；（1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案；
（2）在线段EA上截取EH=EC，连接HC，证明△EHC是等边三角形
△AHC≌△BEC，可得BE=AH，结合AH+EH=AE，可得结论.
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
在△ABD中，∠ABC+∠ADB+∠BAE=180°，
在△CED中，∠AEC+∠EDC+∠BCE=180°，
又∵∠BAE=∠BCE，∠ADB=∠CDE，
∴∠AEC=∠ABC=60°；
（2）证明：在线段EA上截取EH=EC，连接HC，
∵△ABC是等边三角形
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∵EH=EC，∠AEC=60°，
∴△EHC是等边三角形
∴CE=EH=CH，∠ECH=60°，
∴∠ACB=∠ECH=60°，
∴∠ACB−∠HCB=∠ECH−∠HCB，
∴∠ACH=∠BCE，
∴△AHC≌△BEC，
∴BE=AH，
∵AH+EH=AE，
∴BE+CE=AE.
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交
AD于点F．(1)求证：AE=AC；
(2)若∠BAC=60°，AD=10，求DF的长．
【答案】(1)见解析
5
(2)
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角
的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．
（1）利用“AAS”证明出△AED≌△ACD(AAS)，即可得出结论；
（2）证明△ACE是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，得到
∠CAD=30°，AD⊥CE，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，
{∠EAD=∠CAD
)
∠AED=∠ACD ，
AD=AD
∴△AED≌△ACD(AAS)，
∴AE=AC
（2）解：∵∠BAC=60°，AE=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=30°，AD⊥CE，
∵∠ACB=90°，AD=10，
1
∴CD= AD=5，
2
在Rt△CFD中，∠DCF=∠ACB−∠ACE=30°，1 5
∴DF= CD= ．
2 2
5．如图，△ABD与△CDE都是等边三角形，若BE与AC相交于点F，BD与AC相交与点
G，BE与CD相交于点H．
(1)求证：AC=BE；
(2)求∠DHG的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，
正确寻找全等三角形是解决本题的关键．
（1）利用“边角边”证明△ADC≌△BDE全等，即可证明．
（2）证明∠CAD=∠EBD，∠BDC=180°−2×60°=60°=∠ADB，证明
△ADG≌△BDH，可得DG=DH，△DGH为等边三角形，从而可得答案.
【详解】（1）证明：∵△ABD和△ECD都是等边三角形，
∴AD=BD，CD=CE，∠ADB=∠CDE=60°
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，
即∠ADC=∠BDE，
在△ACD和△BDE中，
{
AD=BD
)
∠ADC=∠BDE ，
CD=ED
∴△ADC≌△BDE (SAS)，
∴AC=BE．
（2）解：∵△ADC≌△BDE，
∴∠CAD=∠EBD，
∵∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠BDC=180°−2×60°=60°=∠ADB，
∵AD=BD，∴△ADG≌△BDH，
∴DG=DH，
∴△DGH为等边三角形，
∴∠DHG=60°.
6．如图，点D在AC上，∠A=∠E，∠CBD=∠ABE，且AC=ED．
(1)求证：BD=BC；
(2)取CD的中点F，连接BF．若∠BDE=60°，求∠DBF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先证明∠ABC=∠EBD，再利用AAS证明△ABC≌△EBD，即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得∠BCA=∠BDE=60°，由（1）可得BD=BC，证明
△BCD为等边三角形，得出∠DBC=60°，再由等边三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵∠CBD=∠ABE，
∴∠CBD+∠ABD=∠ABE+∠ABD，即∠ABC=∠EBD，
∵∠A=∠E，AC=ED，
∴△ABC≌△EBD(AAS)，
∴BD=BC；
（2）解：∵△ABC≌△EBD，
∴∠BCA=∠BDE=60°，
由（1）可得BD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠DBC=60°，
∵取CD的中点F，连接BF．
1
∴∠DBF= ∠DBC=30°．
27．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长
ED和CA，交于点F．
(1)求证：△ADF是等腰三角形：
(2)若∠F=30°，BD=4，EC=4，求AC的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含30°角
的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC，可知
∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90，然后余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据
对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；
（2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到BE，再由AB=AC可证明
△ABC是等边三角形，最后可得答案．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠F=30°，∴∠BDE=30°，
∵BD=4，
1
∴BE= BD=2，
2
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴∠B=90°−∠BDE=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=BE+EC=6．
8．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A
出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相
同．连接CD、DE．
(1)如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE=DC．
(2)如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关系，
并说明理由．
(3)如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．
【答案】(1)见解析
(2)DE=DC，证明见详解
(3)45°
【分析】本题考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够
作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键．
（1）由题意可知AD=DB=BE，所以∠DEB=∠BDE，由等边三角形及中点可知
∠DCB=30°，而∠BED=30°，所以可证∠BED=∠DCB，进一步可证DE=DC；
（2）猜测DE=DC，在射线AB上截取BF=BE，利用等边三角形的性质及AD=BE
可知△BEF为等边三角形，再利用边角边即可证明△≝≌△CDA，最后根据全等三角形的性质即可证明DE=DC；
（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取BF=BD，用同样
的方法证明△≝≌△CDB，再根据ED⊥DC，证出△DCE为等腰直角三角形，即可
求出∠DEC的度数．
【详解】（1）解：DE=DC，
证明过程如下：由题意可知AD=BE，
∵D为AB的中点，
∴AD=DB，
∴DB=BE，
∴∠BED=∠BDE．
∵△ABC为等边三角形，AD=DB，
∴∠ABC=60°,∠DCB=30°．
∵∠ABC=2∠BED，
1
∴∠BED= ∠ABC=30°，
2
∴∠BED=∠DCB=30°，
∴DE=DC．
（2）解：DE=DC，
理由如下：在射线AB上截取BF=BE，连接EF，如图所示，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC=AC．
∵∠EBF=∠ABC=60°，BF=BE，
∴△BEF为等边三角形，
∴EF=BF=BE，∠EFB=60°．
由题意知AD=BE，
∴AD=BF=EF，
∴AD+DB=BF+DB．即AB=DF．
∵AB=AC，
∴DF=AC．
{
DF=AC
)
在△≝¿和△CDA中， ∠EFB=∠A=60° ，
EF=AD
∴△≝≌△CDA(SAS)，
∴DE与DC之间的数量关系是DE=DC．
（3）如图，在射线CB上截取BF=BD，连接DF，如图所示，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC=AC．
∵∠DBF=∠ABC=60°，BF=BD，
∴△BDF为等边三角形，
∴DF=BF=BD，∠DFB=∠DBF=60°，
∴∠DFE=∠DBC=120°．
由题意知AD=BE，
∵BD=BF=DF，
∴AD−DB=BE−BF，
即AB=EF．
∵AB=BC，
∴EF=BC．
{
DF=BD
)
在△≝¿和△DCB中， ∠DFB=∠DBC=120° ，
EF=BC
∴△≝≌△DCB(SAS)，
∴DE=DC．
∵ED⊥DC，
∴△DEC为等腰直角三角形，∴∠DEC=45°．
9．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结
论：AE_________DB（填“>”，“<”或“=”）．
(2)如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明
理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）
(3)如图3，在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且
ED=EC，若△ABC的边长为3，AE=6，求线段CD的长．
【答案】(1)=
(2)AE=DB，理由见解析；
(3)CD=9．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质：
（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得
1
∠ECD= ∠ACB=30°，然后证∠DEB=∠D，得DB=BE，即可得出结论；
2
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再
证△DBE≌△EFC(AAS)，得DB=EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF∥BC，交AC于点F，同（2）得△AEF是等边三角形，
△DBE≌△EFC(AAS)，则AE=EF=6，DB=EF=6，即可得出答案．
【详解】（1）解：AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，1
∴∠ECD= ∠ACB=30°，AE=BE，
2
∴∠D=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30°，
∴∠DEB=∠D，
∴DB=BE，
∴AE=DB；
故答案为：=；
（2）解：AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，
则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120° ,
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
{∠DBE=∠EFC=120°
)
∠D=∠FEC ，
ED=EC
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB；（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
同（2）得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
∴AE=EF=6，DB=EF=6，
∵BC=3，
∴CD=BC+DB=3+6=9．
【题型5：含30°角的直角三角形的性质】
1．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BC=4，则AC的长为（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．2❑√3
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，由三角形内角和
1
定理求出∠B=30°，在根据含30度直角三角形的性质即可得出AC= BC=2．
2
【详解】解： △ABC中，∠A=90°，∠C=60°，
∠B=30°，∵
∴ 1
AC= BC=2，
2
∴
故选：C
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．以点C为圆心，任意长为半径画弧，
交CB、CA于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点
P，作射线CP交AB于点H．CH=8，Q是边AC上一动点，则点H、Q之间的最小距离
为（ ）A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】过点H作HQ⊥AC于点Q，则当HQ⊥AC时，HQ最小，由角平分线的定义得
∠A=∠HCA=∠HCB=30°，再由直角三角形的性质得BH=4，最后根据角平分线的性
质求解即可．
【详解】解：过点H作HQ⊥AC于点Q，则当HQ⊥AC时，HQ最小，
由题意得，CH平分∠ACB，
∴∠A=∠HCA=∠HCB=30°，
∵CH=8，
1
∴BH= CH=4，
2
∵∠B=∠HQC=90°，
∴HQ=BH=4，
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图—角平分线、角平分线的性质、直角三角形的性质、垂线段最
短，理解题意得CH平分∠ACB是解题关键．
二、填空题
3．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图
1）．已知停车场入口的栏杆AO的长度为3米（如图2所示），栏杆AO从水平位置绕点O
顺时针旋转到A′O的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角∠AOA′为30°时，栏杆端点
A升高了 米．3 1
【答案】 /1.5/1
2 2
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟悉掌握此性质是解题的关键．过点A′
作A′B⊥AO于点B，即可根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半解
答．
【详解】解：过点A′作A′B⊥AO于点B，如图所示：
∵∠A′BO=90°，∠A′OA=30°，A′O=AO=3米，
1 1 3
∴A′B= A′O= ×3= （米），
2 2 2
3
故答案为： ．
2
4．舂(chōng)米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、
提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图
1所示），一口石臼(jiù)上架着用一根木头做成的“碓(duì)身”，“碓”的头部下面有杵
（(chǔ)），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作
时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点O处测得碓头B所在位置仰角为30°，已知
坑深32cm，碓身AB长180cm，则碓头B离地面的高度是 m．【答案】0.58
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，作AG⊥OC交CO的延长线于点G，
作BH⊥OC于点H，则△OGA和△OHB均为含30度角的直角三角形，根据30度角所对
的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图，作AG⊥OC交CO的延长线于点G，作BH⊥OC于点H，
由题意知∠AOG=∠BOC=30°，AG=32cm，
∴ OA=2AG=64cm，
∵ AB=180cm，
∴ OB=AB−OA=180−64=116(cm)，
∵ BH⊥OC，∠BOC=30°，
1
∴ BH= OB=58cm，
2
∴碓头B离地面的高度是58cm，即0.58m．
故答案为：0.58．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，图中所作直线MN与射线BP交于点D，点D在
AC边上，直线MN交AB于点G，根据图中尺规作图痕迹，若AC=6，则DG的长为
．【答案】2
【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等边
对等角，由作图可得DG垂直平分AB，BD平分∠ABC，从而可得BD=AD，DG⊥AB，
∠ABD=∠CBD，进而得出∠A=∠ABD，CD=DG，求出
∠A=∠ABD=∠CBD=30°，再由直角三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作图可得：DG垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∴BD=AD，DG⊥AB，∠ABD=∠CBD，
∴∠A=∠ABD，CD=DG，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°，
1 1
∴CD= BD= AD，
2 2
∵AC=CD+AD=6，
∴CD=2，
∴DG=CD=2，
故答案为：2．
1．如图，△ABC是等边三角形，点E在AB的延长线上，ED⊥AC交AC于点D，若
AD=4，则AE的长为（ ）
A．12 B．8 C．4❑√3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形的性质得到∠A=60°，再求出∠AED=30°，即可得到
AE=2AD=8．
【详解】解；∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵ED⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=180°−∠A−∠ADE=30°，
∴AE=2AD=8，
故选：B．
2．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长BC
至点F，使CF=AD，连接DF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．2AE=CF B．DG=GF
C．AC=2EG D．DF⊥AB
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练
掌握等边三角形的性质是解题的关键；过D做DH∥BC，交AC于H，根据题意判定
△ADH是等边三角形，判定△DGH≌△FGC，进而根据等边三角形的性质逐一分析
即可求解；
【详解】解：过D做DH∥BC，交AC于H，
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠ACB=60°，∵ DH∥BC，
∴ ∠ADH=∠B=60°，∠AHD=∠ACB=60°，
∴ △ADH是等边三角形，
∵ DE⊥AC，所以E为AH中点，
1
∴ AE=EH= AH，
2
∵ △ADH为等边三角形，
∴ AD=DH=AH，
∵ AD=CF，
∴ DH=CF，
∴2AE=CF，故A不符合题意；
∵ DH∥BC，
∴ ∠HDF=∠F，
∵ ∠DGH=∠CGF，
∴ △DGH≌△FGC(AAS)，
∴ HG=GC，DG=FG，故B不符合题意；
∵ AE=EH，
∴ EH+HG=AE+GC，
1
∴ EG= AC，即AC=2EG，故C不符合题意；
2
当DF⊥AB时，而∠ABC=60°，
∴∠F=30°，题干没有这个条件，故D错误符合题意；
故选：D
3．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和
等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、
OC，以下结论：①AD=BE；②△CPQ为等边三角形；③∠AOE=120°；④CO平
分∠AOE；正确的有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由△ABC和等边△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平
角的定义和角的和差得∠ACD=∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结
论①正确；根据等边三角形的判定得△CPQ是等边三角形，结论②正确；根据全等三
角形的性质和三角形内角和定理即可得结论③正确；角角边证明△ACM≌△BCN，其
性质和角平分线性质定理的逆定理求出点C在∠AOE的平分线上，结论④正确．
【详解】解：∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°，
又 ∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
)
∠ACD=∠BCE ，
DC=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
∴结论①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=60°，
在△ACP和△BCQ中，
{∠CAP=∠CBQ
)
AC=BC ，
∠ACP=∠BCQ
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，∴AP=BQ,PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，故②正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
又∵∠ADC+∠DQO+∠DOQ=180°，∠QCE+∠CQE+∠QEC=180°，
∠DQO=∠CQE，
∴∠DOQ=∠QCE=60°，
∴∠AOE=180°−∠DOQ=120°，结论③正确；
过点C分别作CM⊥AD,CN⊥BE于点M、N两点，如图2所示：
∵CM⊥AD,CN⊥BE
，
∴∠AMC=∠BNC=90°，
在△ACM和△BCN中，
{∠CAM=∠CBN
)
∠AMC=∠BNC ，
AC=BC
∴△ACM≌△BCN(AAS)，
∴CM=CN，
又 ∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴结论④正确；
综合所述，共有 4个结论正确．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定，三角形的内角和
定理，角平分线性质定理的逆定理等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等
边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角
的角平分线上．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<90°),D为射线BC上一动点（不
与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC连接
CE．
(1)若∠ABC=45°，则∠ADE=______．
(2)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
(3)若点D运动到线段BC上某一点时，恰好有AB=CD+CE，问：线段CE与线段AB
有什么位置关系并说明理由．
【答案】(1)45°
(2)见解析
(3)CE∥AB．理由见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定
和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）等边对等角，求出∠BAC，进而得到∠DAE的度数，再根据等边对等角进行求
解即可；
（2）利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可；
（3）根据△BAD≌△CAE，得到BD=CE,∠ACE=∠ABC，推出△ABC为等边三
角形，进而推出∠ACE=∠BAC=60°，进而得到CE∥AB即可．
【详解】（1）解：∵∠ABC=45°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°；
（2）证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中．
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)；
（3）CE∥AB．理由如下：
由（2）知△BAD≌△CAE，
∴BD=CE,∠ACE=∠ABC．
∵AB=CD+CE，
∴AB=CD+BD=BC．
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC．
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACE=∠ABC=60°，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴CE∥AB．
