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1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题08 二次函数中的特殊三角形存在性问题的三类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足等腰、直角或等腰直角三角形的动点是否存在，需分类讨 论。 - 解题方法：等腰三角形用两腰相等（距离公式）列方程；直角三角形用斜率垂直（\(k_1k_2=-1\)）或勾股 定理；等腰直角结合两者，注意分类不重不漏。 - 易错提醒：忽视动点与顶点重合的临界情况；分类讨论时遗漏某种腰或直角对应情形；计算中根号开方 时丢负根；未检验所求点是否在抛物线或给定范围内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 典例1（2026·西藏林芝·二模）如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ． 目 录 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求这个抛物线的函数表达式； (2)点 的坐标为 ，点 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面积的最大值； (3)点 为抛物线对称轴上的点，是否存在点 使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，求动点坐标，常分三类（三边任一等）。 2.方法：设动点坐标，利用距离公式表示三边平方，分情况列方程（如两腰相等），解方程并验证。 变式1-1（2026·青海海东·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交 于点 ， ，与 轴交于点 ．一次函数的图象过点 、 ． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的 的取值范围； (3)若 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使得以 ， ， 三点为顶点的三角形是以 为腰 的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点 ， ，与y 轴交于点 C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是抛物线上的动点，过点P 作 轴于点D，交直线 于点E，当点P 在第一象限时，求线段 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的最大值； (3)在（2）的条件下，当 取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 为等腰三角形？ 若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 典例2（2026·甘肃定西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， ， 点 是抛物线与 轴的交点，连接 ， ． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点 ，使 是以点 为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． (3) ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ，当 时，求 的最小值 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成直角三角形，求动点坐标，常分三类（每个角为直角）。 2.方法：设动点坐标，利用斜率乘积为-1 或勾股定理列方程，分三种直角情况求解并检验是否在抛物线上。 变式2-1（2026·甘肃金昌·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于点 、 ， 顶点为 ． (1)求抛物线的解析式和点 的坐标； 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)点 是第一象限内抛物线上的一个动点，设 的面积为，求出的最大值，并求出此时点 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形，且 为斜边？ 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交x 轴于 ， 两点，交y 轴于点C． (1)求抛物线F 的函数表达式； (2)点P是线段 上的一个动点，沿 以每秒1 个单位长度的速度由点O 向点B 运动，过点P 作 轴， 交抛物线于点E，交直线 于点M．在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时， ？ (3)设抛物线F 顶点为D，点N 是y 轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N 为顶点的 三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 典例3（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，其 中点 ，对称轴为 ，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的表达式． (2)点 是抛物线对称轴上一动点． 5 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 a：当 的周长最小值时，求 的值． b：点 是对称轴右侧抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰直角三角形时，请求出所有 点的坐 标． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰直角三角形，求动点坐标，需同时满足等腰和直角。 2.方法：设动点坐标，分两类（直角顶点为动点或定点），用距离相等和垂直条件列方程组求解并验证。 变式3-1（25-26 九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，已知抛物线 与x 轴交于点 ， ，与y 轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若 时，二次函数 的最大值为m，求m 的值； (3)当点P 在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得 是以 为直角边的等腰直 角三角形，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）如图，已知二次函数的图像与x 轴交于点 两 点，与y 轴交于点C，其中点C 可由点B 绕原点逆时针旋转 得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G 为抛物线上一动点，连接 ，当点C 到直线 的距离最大时，求 的面积为多少； (3)当点P 在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得 是以 为直角边的等腰直 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 角三角形，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（25-26 九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD 在平面直角坐标系中， ， ， ， 抛物线 经过点A 和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E 在x 轴上方的抛物线上，连接 ，当 是以 为底的等腰三角形时，求点E 的坐标． 2．（25-26 九年级上·河南商丘·期末）如图，直线 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，已知二 次函数的图象经过点B，C 和点 ． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的 等腰三角形？如果存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线 经过 、 两点，D 是抛物线的顶点 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P 为抛物线上一点，若使得 ，求出点 的坐标； (3)E 在y 轴上，若 为直角三角形，直接写出点E 的坐标． 4．（25-26 九年级上·宁夏吴忠·期末）已知，抛物线 经过点 和 ． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 的周长最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在， 请说明理由； (3)设第一象限内的点 在抛物线的对称轴上，当 是直角三角形时，求点 的坐标．（不写过程，直 接写坐标） 5．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式及点 、 的坐标； (2)点 是抛物线上一动点，且在第三象限； 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①当 点运动到何处时， 的面积最大？求出 的最大面积及此时点 的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点 ，使 是以 为底的等腰直角三角形，请直接写出点 和点 的 坐标______． 6．（24-25 九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线 与直线相交于点 和点 ， 点 坐标为 ， 点横坐标为 ． (1)求抛物线的函数解析式和 点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线 函数解析式； (4)若点 是 轴上方抛物线上的一个动点， 轴交 于点 ，若 是等腰直角三角形，直接写 出 点坐标．
