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专题06 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综
合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【一线三等角模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
=
= ，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
=
=
，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
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∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
=
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
=
+，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
=
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
【手拉手模型及证法】
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
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证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
典例1（25-26 七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系．
(1)如图（a），
90
MAN
=
，射线AE 在这个角的内部，点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，且AB
AC
=
，
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CF
AE
⊥
，垂足为F ，BD
AE
⊥
，垂足为D ，ABD
与CAF
全等吗？请说明理由；
(2)如图（b），点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，点E ，F 都在
MAN
内部的射线AD上．已知AB
AC
=
，
且1
2
BAC
= =
，ABE
与CAF
全等吗？请说明理由．
题型模版
1.特征：一条直线上出现三个相等角，构造全等或相似三角形，常用于求线段长度。
2.方法：利用同角的余角或补角相等，找出等角，再结合已知边角用ASA 或AAS 证明全等，从而得对应边
相等。
变式1-1（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角ABC
中，
90
ACB
=
，CA
CB
=
，直线l 经过点C，过点A 作AD
l
⊥于点D，过点
B 作BE
l
⊥于点E，求证：△
≌△
ADC
CEB ；
(2)在等腰直角ABC
中，
90
ACB
=
，CA
CB
=
，点D 是直线AB 上一动点，分别过点
,
A B 作直线CD的垂
线，垂足分别为点
,
E F ；
①如图2，点D 在线段AB 上，
AEC
△
与CFB
是否全等？请说明理由；
②如图3，点D 在线段AB 延长线上，若
1
BF = ，
3
AE = ，请直接写出线段EF 的长．
变式1-2（24-25 七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践：
(1)如图1，在ABC
中，
90
BAC
AB
AC
=
=
，
，直线l 经过点A，分别从点B，C 向直线l 作垂线，垂足分
别为D，E．求证：
ABD
CAE
≌
△
△
；
【变式探究】
(2)如图2，在ABC
中，AB
AC
=
，直线l 经过点A，点D，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
=
=
，
猜想DE
BD
CE
，
，
有何数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
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(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB
AC
，
为一边向外
作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
=
=
，AB
AD
AC
AE
=
=
，
，AG 是边BC 上的高．延长GA交DE 于
点H，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1
2
S
S
，
大小关系，并说明理由．
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
典例2（25-26 八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形ABC
和AEF
创作几何艺
术装置．其中AB
AC
=
，AE
AF
=
，
CAB
EAF
=
，BE交FC 于O点．请你解决以下关于这个艺术装置
的几何问题
(1)直角风格的装置
如图1，当
90
CAB
=
时，求证：BE
CF
=
，BE
CF
⊥
；
(2)六十度风格的装置
如图2 ，当
60
CAB
=
时，求
BOC
的度数；
(3)猜想：任意顶角的装置
当
CAB
=
时(0
90 )
，
BOC
的度数为________（直接用含的式子表示）
题型模版
1.特征：两个等腰三角形共顶点，且顶角相等，通过旋转全等，证边角相等或求夹角。
2.方法：找到公共顶点，利用等腰性质及顶角相等，用SAS 证明两三角形全等，得对应边角相等。
变式2-1（25-26 七年级下·山东济南·期中）ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
．
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(1)如图1，点
,
D E 在
,
AB AC 上，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点D在ABC
内部，点E 在ABC
外部，连接
,
BD CE ，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系和位置关
系？请说明理由．
(3)如图3，点
,
D E 都在ABC
外部，连接BD，CE ，CD，EB，BD与CE 相交于F 点．若
6
BD =
，求四
边形BCDE 的面积．
变式2-2（25-26 七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互
相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为
“手拉手模型”．
(1)【初步把握】如图1，ABC
与ADE
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
BAC
DAE
=
，则有
ABD
△
≌ ；线段BD和CE 的数量关系是 ；
(2)【深入研究】如图2，ABC
和ADE
是都是等腰三角形，即AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
90
BAC
DAE
=
=
，
B，C，D 在同一条直线上．请判断线段BD与CE 存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，直线1
2
l
l
⊥
，垂足为点O，2l 上有一点M 在点O 右侧且
4
OM =
，点N 是1l 上一个
动点，连接MN ，在MN 下方作等腰直角三角形NMP ，MN
MP
=
，
90
NMP
=
，连接OP ．请直接写出
线段OP 的最小值及此时ON 的长度．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．
（2026·重庆·模拟预测）如图，
90
9cm
3cm
AC
CE
ACE
AB
BD
ED
BD
AB
DE
=
=
⊥
⊥
=
=
，
，
，
，
，
，则BD
等于（ ）
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A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
2．
（25-26 八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：AC
BC
=
，DC
EC
=
，
90
ACB
ECD
=
=
，
38
EBD
=
，
现有下列结论：①
BDC
AEC
△
≌△
；②
135
AEB
=
；③BD
AE
=
；④AE
BD
⊥
．其中正确的有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（25-26 八年级上·四川遂宁·期末）如图，在OAB
和OCD
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，OA
OC
，
30
AOB
COD
=
=
，连接AC ，BD交于点M ，AC 与OD 相交于E ，BD与OA相交于F ，连接OM ．则
下列结论中：①AOC
BOD
≌
；②AC
BD
=
；③
30
AMB
=
；④OEM
OFM
≌
．正确的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二、填空题
4．
（25-26 八年级下·山西晋中·期末）如图，在ABC
与ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，BAC
DAE
=
=
，
连接BD和CE 交于点P ，连接AP ，则
BPC
= _______（用含的代数式表示）．
5．
（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在ABC
中，
90
ABC
=
，BE
AC
⊥
于点F ，
2
EF
BF
=
，ED
BC
⊥
交BC 的延长线于点D ，AB
BD
=
．若
2cm
BF =
，则AC =______ cm．
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6．（25-26 七年级下·江西萍乡·期末）如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，
2
AB
AC
=
，点D 是线段AB 的中点，
将一块锐角为45的直角三角板按如图（ADE
）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，
连接BE、CE ，CE 与AB 交于点F，则
AEC
DBE
+
=______．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·山西运城·期末）已知：如图，ABC
和
CDE
△
都是等腰三角形（CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCE
=
=
），点B 、C 、E 不在同一条直线上，连接AE 和BD．试探究线段AE 与BD的数量关系
并说明理由．
8．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）综合与探究
问题情境：
小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进
行了如下操作：
如图1，在ABC
和ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAE
=
，连接BD、CE ．
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【问题发现】
(1)小明发现图1 就是手拉手模型，拉手线BD、CE 存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②
处的理由；
解：
BAC
DAE
=
BAD
DAC
CAE
DAC
+
=
+
BAD
CAE
=
（理由：①）
在ABD
和
ACE
△
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
(
)
ABD
ACE SAS
≌
BD
CE
=
（理由：②）
(2)如图2，在图1 的基础上，ABC
不动，将ADE
绕着点A逆时针旋转至点B ，点B 、D 、E 在一条直线
上，BE交AC 于点O．小明发现ABD
与
ACE
△
依然全等．当
BAC
DAE
=
=
时，求
BEC
；
【拓展探究】
(3)在图2 的基础上，延长CE 至点F ，如图3．判断
AED
∠
与
AEF
的数量关系，并说明理由．
9．
（25-26 八年级上·山东日照·阶段检测）
（1）如图1，C、A、E 在一条直线上，
90 ,
,
BAD
AB
AD BC
CA
=
=
⊥
于点C，DE
AE
⊥
于点E．求证：BC
AE
=
．
（2）如图2，EA
AB
⊥
且
,
AE
AB BC
CD
=
⊥
且BC
CD
=
，计算图中实线所围成的图形ABCDE 的面积．
（3）如图3，
90 ,
,
BAD
CAE
AB
AD AC
AE
=
=
=
=
，连接BC 、DE ，且BC
AF
⊥
于点F，DE 与AF 交
于点G，若
21,
12
BC
AF
=
=
，求
ADG
△
的面积．
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10．（25-26 七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点D 为直线BC 上一动点，
以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角ADE
，使
90 ,
DAE
AD
AE
=
=
．
(1)当点D 在线段BC 上时，如图1，请判断CE 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，判断
,
,
BC CD CE 三条线段数量关系，并说明理由；
(3)当点D 在线段CB 的延长线上时，直接判断CE 与BC 的位置关系，并直接写出
,
,
BC CD CE 三条线段的数
量关系．
11．（25-26 八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】
（1）如图1，在ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，直线l 经过点A，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂
足分别为D，E ．求证：
ABD
CAE
△
△
≌
；
【变式探究】
（2）如图2，在ABC
中，AB
AC
=
，直线l 经过点A，点D ，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
=
=
，
求证：ED
BD
CE
=
+
；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB ，AC 为一边
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向外作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
=
=
，AB
AD
=
，AC
AE
=
，AG 是边BC 上的高．延长GA交
DE 于点H ，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1S ，
2
S 大小关系，并说明理由．
12．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基
本图形．
(1)如图①，在ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，直线l 经过点A，BD ⊥直线l，CE ⊥直线l，垂足分别为
D、E．可证得：DE 、BD、CE 的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件
改为：在ABC
中，AB
AC
=
，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有
BDA
AEC
BAC
=
=
=
，其中α
为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC
的边AB 、AC
为腰向外作等腰直角ABE
和ACG
，其中
90
BAE
CAG
=
=
，若AH
BC
⊥
，垂足为点H，延长HA交EG
于点M．求证：点M 是EG 的中点．
