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专题 12.27 全等三角形几何模型分类专题（全章专项练习）
【模型目录】
【模型1】“共顶点等角”模型； 【模型2】“8字”模型；
【模型3】“一线三直角”模型； 【模型4】“一线三等角”模型；
【模型5】“手拉手”模型； 【模型6】“倍长中线”模型；
【模型7】“截长补短”模型； 【模型8】“半角”模型.
【模型1】“共顶点等角”模型；
1．（2024·陕西西安·二模）如图，点E在 外部，点D在 边上，若 ， ，
，求证： ．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知 ， ， ，试说明： ．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知 和 的位置如下图所示，
.
求证：(1) ． (2)【模型2】“8字”模型；
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在 中， ，点D在 延长线上，点E是 外
一点，连接 ．若 ， ，求证： ．
5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，点 在 的外部，点 边 上， 交 于点 ，
若 ， ， ．
求证： ．
6．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在 中， ， 为高，且 ，点
为 上一点， ，连接 ．
(1)求 的长；
(2)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；【模型3】“一线三直角”模型；
7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在 中， ， ，直线 经过点 ，且
于 ， 于 ．
(1)如图1的位置时，求证： ；
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 、 、 之间具有怎样的等量关系？请直接写出
这个等量关系．
8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图， ， ， ， ，垂足分别
是 ．
(1)求证： ；
(2)猜想线段 之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
9．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知： 于点B， 于点C，点E在线段上，且 ．
(1)请写一对相等的角： _________ _________．
(2)求证： ．
【模型4】“一线三等角”模型；
10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ，点 在线段
上运动（ 不与 、 重合），连接AD，作 ，DE交线段 于 ．
(1)当 时， ， ；
(2)当 等于多少时， ，请说明理由．
11．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图， 是经过 顶点C的一条直线， ，E、F分别是直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 的内部，且E、F在射线 上．
①如图1，若 ， ，试判断 和 的数量关系，并说明理由；
②如图2，若 ，请添加一个关于α与 关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说
明理由．
(2)如图3.若直线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量关系的合
理猜想，并说明理由．
12．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图， 是经过 顶点C的一条直线， ，E、F分
别是直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 内部，且E、F在射线 上，设 ：
①如图1，若 ， ，求证： ．
②如图2，若 ，①中结论是否成立？请说明理由．
(2)如图3，直线 经过 外部，若 ，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
【模型5】“手拉手”模型；
13．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知：如图，在 、 中， ，， ，点 、 、 三点在同一直线上，连接 ．
求证： (1) ； (2) ．
14．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图， ， ， ，求证：
．
15．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知 中， ，点 为
直线 上的一动点（点 不与点 、 重合），以AD为边作 ，连接CE．
(1)发现问题：如图①，当点 在边 上时．
①请写出 和 之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证： ；
(2)尝试探究：如图②，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、 、 之间存在
的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
(3)拓展延伸：如图③，当点 在 的延长线上且其他条件不变时，若 ，求线段 的长．并求 的面积．
【模型6】“倍长中线”模型；
16．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知 中， ， ， 是
的中线，求 的取值范围．
17．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，
常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
(1)如图①， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使 ，连接 ．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；②由已知和作图能得到 ，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得 的取值范围是______（直接填空）；
(2)如图②，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，若
为 的中线，猜想 与 的数量关系并说明理由．
18．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究
活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ，连接 ，求证： ．
【理解与运用】
（2）如图2， 是 的中线，若 ，求 的取值范围；
（3）如图3， 是 的中线， ，点 在 的延长线上， ，求证：
．【模型7】“截长补短”模型；
19．（14-15八年级上·四川自贡·期末）如图所示， ， ， 分别是 ， 的平
分线，点E在 上，求证： ．
20．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于
点O，求证： ．
21．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图， ， ， 分别平分 和 ， 经过
点 ．求证： ．【模型8】“半角”模型.
22．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， 中两边 、 上有两点M、N，D为 外一点，
且 ， ， ， ．
(1)猜想线段 、 、 之间的数量关系并证明；
(2)若 ， ，求 的周长．
23．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形 中， ， ，E、
F分别是边 、 上的点，若 ．求证： ；
（2）如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 、 延长线上的点，
且 ，试探究线段 、 、 之间的数量关系，证明你的结论．24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】
在四边形 中， ， ， ， 分别是 、 上的点，且
，试探究图 中线段 、 、 之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，
则可得到 、 、 之间的数量关系是______．
【探索延伸】
在四边形 中如图 ， ， ， 分别是 、 上的点， ，
上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图 ，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东
的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 海里 小时的
速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里 小时的速度，前进 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，此时两舰艇之间的距离是______海里．
若此时两个舰艇，同时接到命令，都以 海里 小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时．参考答案：
1．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，
， ， ， ， ．先证明 ，根据 证明 ，得出
结论即可．
【详解】证明： ，
，
，
∵ 和 中，
，
．
．
2．详见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
利用 证明 ，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（ ）证明 即可求证；（ ）证明 即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
4．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质先
证明 ，进而证明 ，则可证明 ．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
5．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全
等三角形解决问题．根据三角形内角和定理得到 ，再根据 ， ，，判定 ，即可得到 ．
【详解】证明： ，
，
，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
．
6．(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据 是 的高，可得 ，再结合 ， ，
即可证得 ，从而求得 的长；
（2）根据 ，可得 ，再根据三角形外角的性质可将 转
化为 的内角和，再根据 ，即可求得 ，从而证得 ．
【详解】（1）解： 是 的高，
，即 ，
又 ， ，
，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图，延长 交 于点 ，，
，
又 ，
，
又 ，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角
形外角的性质，四边形内角和，掌握以上知识是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题
目，对于学生的能力要求比较高．
（1）由于 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ，
于 ，由此即可证明 ，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ，
于 ，由此仍然可以证明 ，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线 绕点 旋转到图（3）的位置时，仍然 ，然后利用全等三角形的
性质可以得到 ．
【详解】（1）证明： 中， ，
，
又直线 经过点 ，且 于 ， 于 ，
，
，在 和 中，
，
，
， ，
；
（2）证明： 中， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（3）如图3，
中， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
、 、 之间的关系为 ．8．(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到 ，利用 定理证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，结合图形解答即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解： ，
理由如下：∵ ，
∴ ，
∴ ．
9．(1)A，2．（答案不唯一）
(2)证明见详解
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定以及性质．
（1）由直角三角形两锐角互余可得出 ， ，等量代换可得出 ．
（2）利用 证明 ，由全等三角形的性质可得出 ， ，由已知
等量代换可得出 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴ ，
又∵ ，∴ ，
故答案为：A，2．（答案不唯一）
（2）由（1）可得 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
10．(1) ，
(2)
【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理
解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
（ ）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（ ）当 时，利用 ， ，求出 ，再
利用 ，即可得出 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，理由如下：
，
，
又 ，
，
，
在 和 中，，
．
11．(1)①证明见解析；② ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由
， ，可得 ，从而可证 ，故
．
②若 ，则可使得 ．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，
便可得证．
（2）题干已知条件可证 ，故 ， ，从而可证明 ．
【详解】（1）解：①
证明：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
②解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ，即 ．
12．(1)①见解析；②成立，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练
掌握三角形全等的判定方法．
（1）①证明 ，得出 ， ，根据 即可得出结
论；
②先证明 ，再证明 ，得出 ， ，即可得出结论；（2）先证明 ，再证明 ，得出 ， ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：①由图知： ，
又 ，
在 中， ，
，
，
，
， ，
；
②结论成立，理由如下：
， ，
，
又∵在 中， ，
，
，
，
， ，
，
即①中两个结论还成立；
（2）解： ，
，
又 ，且 ，
，
， ，
，
， ，
．
13．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细
观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．（1）要证 ，现有 ， ，需它们的夹角 ，而由
很易证得 ，即可得出 ．
（2） 、 有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证 ，
需证 ，需证 可由直角三角形提供．
【详解】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
．
∴ ；
（2）解：∵ ，
，
，
，
，
则 ．
14．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理．
由 ，推导出 ，即可证明 ，得 ，即可
由 ， ，又 ，证明
．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
又 ，
∴ ．
15．(1)① ， ；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为 ，理由见解析
(3) ，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质：
（1）①根据条件 ， ， ， ，判定
，即可得出 和 之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到
；
（2）根据已知条件，判定 ，得出 ，再根据 ，即可得到
；
（3）根据条件判定 ，得出 ，进而得到 ，最
后根据 ， ，即可求得线段 的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性
质得出 ，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）①如图1，由题意， ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，， ，
，即 ；
故答案为： ， ；
②由①得 ，
，
；
（2）不成立，存在的数量关系为 ．
理由：如图 ，由 同理可得，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，由(1)同理可得，
在 和 中，
，
，
，
，
， ，
．
，
，即．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长 到 ，使 ，
连接 ，证明 ，得出 ，再根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，即 ，
．
17．(1)①见解析；② ；③(2) ，理由见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构
造出全等三角形．
（1）①根据题意补全图形即可；
②由 是中线得到 ，又 ， ，通过“ ”可证
．据此可解答；
③由 ， ，根据三角形的三边关系有 ，即
，因此 ；
（2）延长 ，使得 ，连接 ，证明 ，可得 ，再证明
即可．
【详解】（1）解：①根据题意画出图形：
；
②解： 是中线，
，
在 和 中，
，
．
故答案为： ；③解： ，
，
，
，即 ，
，
，
．
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
如图，延长 ，使得 ，连接 ，
根据（1）中原理可得 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
∴
．
18．（1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三
角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到
，从而根据全等三角形性质即可得证；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到
，设 ，在 中，由三边关系即可得到答案；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示，得到 ，再由三角形全等的
判定与性质得到 ，进而可确定 ，再由全等性质即可
得证．
【详解】（1）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中，由三边关系可得 ，即 ，
∴ ；
（3）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
19．见解析
【分析】运用截长补短的方法，在 上取点F，使 ，由角平分线定义得 ，
，可证 ，得 ，结合平行线的性质可证 ，
进一步证得 ，所以 ，得证结论 ．
【详解】在 上取点F，使
∵ ， 分别是 ， 的平分线
∴ ，
∵
∴
在 和 中
∴
∴
∴∵
∴
在 和 中，
∴
∴
∵
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方
法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到 ， ，
在 上截取 ，连接 ，分别证明 ， ，得到
，即可证明结论．
【详解】证明： ，
，
、 分别平分 、 ，
， ，
，
，
，
如图，在 上截取 ，连接 ，在 和 中，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构
造全等三角形是解题关键．
21．证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通
过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在 上截取 ，连接 ，证明 和 ，然后根据全等三角形的
性质即可得出结论．
【详解】证明：如图，在 上截取 ，连接 ，， 分别平分 和 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
22．(1) ；理由见解析
(2)13
【分析】（1）延长 ，则 的延长线上取 ，连接 ，证明 ，得出
， ，证明 ，得出 ，根据
，即可得出答案；（2）根据 ，得出 求出结果即可．
【详解】（1）解： ；理由如下：
延长 ，则 的延长线上取 ，连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
23．（1）见解析；（2） ，见解析
【分析】（1）延长 至M，使得 ，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在 上截取 ，使 ，连接 ．
可得出 ， ，那么 ．
【详解】证明：（1）延长 至M，使得 ，连接 ，
， ，
在 与 中
，
，
， ，
，
在 与 中
，
，
，
，
即 ；
（2）线段 、 、 之间的数量关系是 ，
在 上截取 ，连接 ，， ， ，
，
在 与 中
，
，
， ，
又∵ ，
，
在 与 中
，
，
，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关
键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．24．初步探索： ；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；结论运用： ， ．
【分析】【初步探索】延长 到 ，使 连接 ， 先证明 ，再证明
则可得到结论；
【探索延伸】延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，再证明
则可得到结论；
【结论运用】连接 ，延长 交于点 ， 利用已知条件得到四边形 中 ，
且 符合具备的条件,则 ；
本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角
形的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】【初步探索】延长 到 ，使 连接 ，如图，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
【探索延伸】结论仍然成立： ，
证明：延长 到 ，使 ，连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
在△ABE和△ADG中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【结论运用】连接 ，延长 交于点 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 中， ， 且
∴四边形 符合探索延伸中的条件，
∴结论 成立，
即 （海里），
此时两个舰艇，同时接到命令，都以 海里 小时的速度前进并尽快汇合，最短需要
（小时），
故答案为： ； ．
