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专题 01 相似三角形的常见类型
类型一：“A”字型
类型二：“8”字型
类型三：子母型
类型四：摄影定理型
类型五：一线三等角模型
类型六：手拉手模型
类型一：“A”字型
1．如图，在△ABC中，DE∥BC， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】由 ，可得 ，证明△ADE∽△ABC，则 ，然后作答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是
18，则四边形BCGF的面积为（ ）A．16 B．20 C．30 D．40
【分析】由题意可得EH∥BC∥FG，从而推出△AEH∽△AFG，△AFG∽△ABC，再由相似三角形的性
质求解即可．
【解答】解：△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，
∴EH∥BC∥FG，
∴△AEH∽△AFG，△AFG∽△ABC，
∴AE＝EF＝BF，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵图中阴影部分的面积是18，S△AFG ﹣S△AEH ＝S阴影 ，
∴ ，
∴ ，
∴S四边形BCGF ＝S△ABC ﹣S△AFG ＝54﹣24＝30，
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，F为BC上一点，连接AF，M为线段AF上一点，
作MN⊥AB，作HM∥AB，若HM＝2MN，则BF的长为（ ）
A．0.8 B．1 C．1.2 D．1.5
【分析】设MN＝x，则HM＝2x，延长NM交AC于点D，证明△ADN∽△ACB，从而得到 ，
再证明△DMH∽△DNA，得到 ，从而得出 ， ，证明△AMN∽△AFB，得出
．从而得出 ，再根据 ，即可求解．
【解答】解：∵HM＝2MN，
设MN＝x，则HM＝2x，
如图，延长NM交AC于点D，∵MN⊥AB，
∴∠MNA＝90°，
∴∠DNA＝∠CBA＝90°，
∵∠DAN＝∠CAB，
∴△ADN∽△ACB，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵HM∥AB，
∴∠DHM＝∠DAN，
∴△DMH∽△DNA，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠MNA＝FBA，∠MAN＝∠FAB，
∴△AMN∽△AFB，
∴ ．即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求AE的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证；
（2）根据相似三角形的性质解答即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△ACB∽△ADE；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴ ，
即 ，
∴ ．
5．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝60，AD＝40，作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，
顶点G，H分别在AC、AB上，AD与的HG交点为M，且矩形长HG是宽HE的3倍．
（1）求证： ；
（2）试求矩形EFGH的周长．
【分析】（1）由矩形的性质可得HG∥EF，即得HG∥BC，AM⊥HG，进而可得△AHG∽△ABC，再根
据相似三角形的性质即可求证；（2）设设HE＝x，HG＝3x，由相似三角形的性质可得 ，解方程求出x即可求解；
【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，
∴EF∥HG，
∴BC∥HG，
∵BC⊥AD，
∴HG⊥AM，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴ ；
（2）解：设HG＝3x，HE＝x，则MD＝HE＝x，
∵ ；
∴ ，
解得 ，
∴这个矩形EFGH的周长＝ ；
类型二：“8”字型
6．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，则△ABE与△CED的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】利用平行线证明三角形相似，得到相似三角形的周长比等于对应边的比求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴△EAB∽△ECD，
∴ ，
∵AE＝1，EC＝2，
∴ ，
∴△ABE与△CED的周长比1：2；故选：A．
7．如图，AB∥CD，AD∥BC，AE与CD交于点O，CO＝2OD，若BE＝18，则AD＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，再证明△AOD∽△EOC，得 ，
进而可以解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，AE与CD交于点O，CO＝2OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AD∥BE，
∴△AOD∽△EOC，
∴ ，
∴CE＝2AD，
∵BE＝18，
∴BC+CE＝AD+2AD＝3AD＝18，
∴AD＝6，
故选：D．
8．在平行四边形ABCD中， ，则S△ANM ：S△AND 为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．2：5
【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，可知△AMN∽△CMD，所以可得：AN：DC＝MN：
MD，根据 ，可得MN：MD＝1：5，当△ANM和△AMD分别以NM、DM为底边时，它们的高
相同，可知它们的面积比等于底边的比，从而可求结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AMN∽△CMD，
∴AN：DC＝MN：MD，
∵AN＝ NB，AN+NB＝AB，
∴AN：AB＝1：4，
∴AN：DC＝1：4，
∴AN：DC＝MN：MD＝1：4，
∴NM：ND＝1：5，
∴S△ANM ：S△AND ＝1：5．
故选：C．
9．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．
（1）若AB＝3，DE＝1，则DF＝ ；
（2）求证：CD2＝AE•CF．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可得△DEF∽△CBF，故 ，可解得DF的长为 ；
（2）由AB∥CD，可证△ABE∽△CFB，有 ，从而推导出CD2＝AE•CF．
【解答】（1）解：四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝3，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∵DE＝1，
∴ ，
解得DF＝ ；
故答案为： ；
（2）证明：AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，∵∠A＝∠C，
∴△ABE∽△CFB，
∴ ，
∵AB＝BC＝CD，
∴CD2＝AE•CF．
10．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝
∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF•BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AF的长．
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形的性质求出EB＝4，再利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠EAF＝∠ABE，
∵∠AEF＝∠AEB，
∴△AEF∽△BEA，
∴ ＝ ，
∴AE2＝EF•BE；
（2）解：∵AE2＝EF•EB，AE＝2，EF＝1，
∴EB＝4，
∴FB＝EB﹣EF＝4﹣1＝3，
∵AE∥CB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AF＝ ．
类型三：子母型11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ADC＝∠ACB，则下列不能表示△ACD和△ABC相似比的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据∠ADC＝∠ACB，∠A为公共角得出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例
得出 ，即可进行判断．
【解答】解：∵∠ADC＝∠ACB，∠A为公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
故 不能表示△ACD和△ABC的相似比，
故选：A．
12．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，AC＝3，则BC的长为（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先证出△ACD∽△BCA，得到 ，代入数值计算即可．
【解答】解：已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，AC＝3，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，即 ，
解得：BC＝6，
故选：B．
13．如图，点D是△ABC边AC的上一点，且∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）如果AD＝1，AC＝4，求AB的值．【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C即可证明相似；
（2）由相似三角形的对应边成比例，代入数据即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB；
（2）解：∵△ABD∽△ACB，
∴ ，
∵AD＝1，AC＝4，
∴ ，
解得：AB＝2（负值舍去）．
14．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，∠B＝∠ACE．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）已知 ，AD＝15，试求DE的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，再根据∠B＝∠ACE，于是得到结论；
（2）根据△ABD∽△ACE得到，可求得AE的值，由DE＝AD﹣AE即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴ ，即 ，
解得AE＝6，
∴DE＝AD﹣AE＝15﹣6＝9．
15．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）若 ，且AE＝4，求AB的长．
【分析】（1）根据∠ADE＝∠C，∠A为公共角，即可证明△ADE∽△ACD；
（2）根据 可得 ，进而得到 ，由（1）知△ADE∽△ACD，可
得 ，求出 ，再根据AD＝AB，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知△ADE∽△ACD，
∴ ＝ ，
∵AE＝4，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵AD＝AB，
∴ ．
类型四：摄影定理型
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，BD＝1，那么线段CD的长
为 ．【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，
又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2＝AD•BD＝2×1＝2，
∴ ，
故答案为： ．
17．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，
E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（ ）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC＝ ＝5x，根据相似三角形的性质得到
AD＝ x，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝ x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
方法二：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝ x，过FH⊥AB于H，
∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC，
∴FH＝FD，
∵sin∠ABD＝ ，
∴ ＝ ．
故选：A．18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论，
①△AEF∽△CAB，②CF＝2AF；③CD＝CF； ．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①根据矩形的性质可证明∠ACB＝∠EAF，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可证明结论正确；②根
据AD∥BC可证明△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质即可证明结论正确；③过点D作DM∥BE，
分别交BC，AC于点M，N，可证明四边形BEDM平行四边形，则BM＝CM，进一步可证明DM垂直平
分CF，可得结论；④设AE＝a，AB＝b，证明△BAE∽△ADC，并利用相似三角形的性质列方程并求
解，即得 ，根据勾股定理求AC的长，计算 的值，即可判断结论是否正确．
【解答】解：在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴∠ACB＝∠EAF，
∴△AEF∽△CAB，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵E是AD边的中点，
∴ ，
∴CF＝2AF，
∴②正确；
如图，过点D作DM∥BE，分别交BC，AC于点M，N，则四边形BEDM平行四边形，
∴ ，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC，
∴DM⊥AC，
∴DM垂直平分CF，
∴DF＝DC，
∴③错误；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAF+∠DAC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠ADC＝90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴④错误；
故选：C．
19．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点H，AE交
CB于点E．求证：AC2＝CE•BC．
【分析】证明△ACE∽△BCA，根据相似三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝ AB＝AD，
∴∠CAD＝∠ACD．
∵AE⊥CD于点H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠CAH+∠ACD＝90°，
又Rt△ABC中，∠B+∠CAD＝90°，
∴∠CAH＝∠B．
∵∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴ ，
∴AC2＝CE•BC．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，延
长BE交边AC于点F．
（1）当D为AB的中点时，求证： ；
（2）当F为AC中点时，连结AE，求证：AE•FC＝EF•AB．
【分析】（1）先根据斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB，则∠DAC＝∠1，再证明△ABC∽△BCE，
利用相似三角形的性质得到 ＝ ，接着证明△FCE＝△FBC，根据相似三角形的性质得到 ＝ ，
则利用等量代换得到 ＝ ，然后根据比例的性质得到结论；
（2）先由△FCE＝△FBC得到FC：FB＝FE＝FC，用AF代换FC得到FA：FB＝FE：FA，接着证明
△FAE∽△FBA，根据相似三角形的性质得到AE：AB＝EF：AF，然后利用比例的性质和AF＝CF得到
结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴DA＝DC＝DB，
∴∠DAC＝∠1，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝∠CEF＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠2，
∵∠ACB＝∠BEC，∠BAC＝∠2，
∴△ABC∽△BCE，
∴ ＝ ，
∵∠1＝∠2，∠EFC＝∠CFB，
∴△FCE＝△FBC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
（2）∵△FCE＝△FBC，
∴FC：FB＝FE：FC，
∵F为AC中点时，
∴FC＝FA，
∴FA：FB＝FE：FA，
∵∠AFE＝∠BFA，
∴△FAE∽△FBA，
∴AE：AB＝EF：AF，
∴AE•AF＝EF•AB，
∵AF＝CF，
∴AE•CF＝EF•AB．
类型五：一线三等角模型
21．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝3，则CE的
长等于（ ）A．1 B． C． D．2
【分析】通过△ABD∽△DCE，可得 ，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝9，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝3，
∴CD＝6，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴CE＝2，
故选：D．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于6，则
△CDE的面积为（ ）
A． B．3 C． D．6
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得△ABD∽△DCE，再根据相似三角形
的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
∴ ，
∵△ABD的面积等于6，
∴△CDE的面积为： ，
故选：A．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），∠ADE＝∠B
＝ ，DE 交 AC 于点 E，下列结论：① AD2＝AE•AB；② 1.8≤AE＜5；③当 时，
△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD＝4或者6.25．其中正确的结论有（ ）个．
α
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图1：在线段DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，易证△ABD∽△ADF进而可得AD2＝
AB•AE即可判定①；结合①的结论可得 ，再确定AD的范围为3≤AD＜5，进而得到
1.8≤AE＜5，即②正确；分两种情况：当BD＜4时，可证明结论正确，当BD＞4时，结论不成立；故
③错误；△DCE为直角三角形，可分两种情况∠CDE＝90°或∠CED＝90°分别讨论求解即可④．
【解答】解：如图1，在线段 DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，则∠AFE＝∠AEF
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B＝a，
∴∠C＝∠ADE＝a，
∵∠AFE＝∠DAF+∠ADE，∠AEF＝∠C+∠CDE，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAD，∴△ABD∽△ADF，
∴ ，即AD2＝AB•AF
∴AD2＝AB•AE，故①正确；
∴ ，
当AD⊥BC时，由勾股定理可得： ，
∴3≤AD＜5，
∴ ，即1.8≤AE＜5，故②正确；
如图2，作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝5，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴BD＝3或BD′＝5，CD＝5或CD′＝3，
∵∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠ADE＝∠B＝a，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，DC＝AB，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
但△ABD′与△D′CE显然不是全等形，故③不正确；
如图3，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAE＝∠C+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠C＝∠B，
∴BD＝4，如图4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠ADH＝∠CAH，
∴△ADH∽△CAH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
故选C．
24．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝ ，求DC的长．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到
△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到 ＝ ，然后代入数值求得结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴ ＝ ，设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴ ＝ ，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动
过程中始终保持
∠1＝∠B．设BD的长为x（0＜x＜8）．
（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值；
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形．
【分析】（1）根据等边对等角，可以证得∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质，证得∠2＝∠3，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可用列方程求得x的值；
（3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠1+∠2＝∠B+∠3，∠1＝∠B，
∴∠2＝∠3．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DCE∽△ABD；
（2）∵△DCE∽△ABD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝﹣ x2+ x，
∵CE＝2，
∴﹣ x2+ x＝2，
解得：x＝2或6．
解这个方程，得x ＝2，x ＝6；
1 2
（3）①当DA＝DE时，△DCE≌△ABD，∴DC＝AB＝6，即8﹣x＝6．解得 x＝2．
②当EA＝ED时，∠DAE＝∠1＝∠B＝∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴ ，即 ．
解得 x＝ ．
③当AD＝AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x＝0．
（或当AD＝AE时，∠1＝∠AED＞∠C，
∵∠1＝∠B＝∠C，
∴AD＝AE情况不成立．
综上所述，当x＝2或x＝ 时，△ADE为等腰三角形．
类型六：手拉手模型
26．如图，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，AB＝3，AD＝5，△ABC的周长为 15，则△ADE的周长为
（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
【分析】证明△ABC∽△ADE，得△ABC的周长：△ADE的周长＝AB：AD＝3：5，进而可以解决问题．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，
∴△ABC的周长：△ADE的周长＝AB：AD＝3：5，
∵△ABC的周长为15，
∴△ADE的周长为25，
故选：B．
27．如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（ ）
A．2：3 B． ：2 C．2 ： D．15：17
【分析】首先设GC＝x，根据G恰在CD边的四等分点及正方形性质推∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝
DC＝4x，根据勾股定理得，BD＝4 x，BG＝ x，进一步证明△BGH∽△BDG，推比例线段，把x
表示的线段代入求出BH＝ ，再根据线段之差求出DH＝ ，这样就可以求出DH：BH的
值．
【解答】解：连接BG，设GC＝x，
∵G恰在CD边的四等分点，
∴DG＝3x，DC＝4x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x，
∴在Rt△BCD中根据勾股定理得，BD＝4 x，
在Rt△BGC中根据勾股定理得，BG＝ x，
∵四边形BFGE是正方形，
∴∠BGH＝45°，
∴∠BGH＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠GBH，
∴△BGH∽△BDG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BH＝ ，
∴DH＝BD﹣BH＝4 x﹣ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故选：D．28．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，
连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，
③∠FDB+∠FBE＝90°，④ ，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②③④
【分析】根据△ABC∽△ADE，得∠ADO＝∠EBO，结合对顶角∠AOD＝∠EOB，证明
△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，根据△ABC∽△ADE，
得出 ，结合直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确，据此选择即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADO＝∠EBO，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴ ，
∴ ，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴△BOD∽△EOA，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，
∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，
∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，
∴FD＝FB＝FE，
∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，
故③正确；
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，
由勾股定理得： ，
∵△ABC∽△ADE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
∵∠ADO＝∠OBE，
∴∠ADO≠∠OBF，
根据现有条件无法判断△AOD∽△FOB，
故①错误，
综上所述，正确的是②③④．
故选：D．
29．如图，在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）若S△ABC ：S△ADE ＝4：9，BC＝6，求DE的长．
【分析】（1）首先推导出∠DAE＝∠BAC，再证明 ＝ ，得出△ABC∽△ADE；
（2）利用S△ABC ：S△ADE ＝4：9得出两个三角形的相似比，BC：DE＝2：3，代入数据即可得解．
【解答】（1）证明：∵在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE．
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
.∴∠DAE＝∠BAC，
∵AB•AD＝AC•AE，
∴ ＝ ，∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
又∵S△ABC ：S△ADE ＝4：9，
.∴BC：DE＝2：3，
∵BC＝6，
∴DE＝9．
30．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC， ．
（1）求证：△ABC∽△AFD；
（2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积．
【分析】（1）由∠AFD＝∠ABC， ＝ ，即可得出△ABC∽△AFD；
（2）证明△AED∽△BEC，得 ＝ ＝ ，从而可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DBC，
∴∠BAF+∠ABF＝∠DBC+∠ABF，
即∠AFD＝∠ABC，
∵ ＝ ，
∴△ABC∽△AFD；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△AFD，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∵AD＝2，BC＝5，
∴ ＝ ＝ ，
∵S△ADE ＝4，
∴S△BCE ＝25．
