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专题06 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综
合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【一线三等角模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
=
= ，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
=
=
，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
目 录
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∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
=
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
=
+，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
=
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
【手拉手模型及证法】
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
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证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
典例1（25-26 八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在
中，
，
过点
在
外作直线，
于点
，
于点
．
(1)试说明：
；
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(2)如图②，将（1）中条件改为
，
，请问（1）中的结
论
是否还成立？请说明理由．
【答案】(1)
证明：
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
（
）
，
，
，
；
(2)
成立，理由如下，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
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（
）
，
，
，
．
【分析】（1）利用“
”，可得
，从而
，
，根据
，等
量代换即可说明
；
（2）利用“
”，可得
，从而
，
，再根据
，等量代换
即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
题型模版
1.特征：一条直线上出现三个相等角，构造全等或相似三角形，常用于求线段长度。
2.方法：利用同角的余角或补角相等，找出等角，再结合已知边角用ASA 或AAS 证明全等，从而得对应边
相等。
变式1-1（25-26 八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57 页C 组习题，如图
1，在
中，
，
，直线经过点C，且
于
，
于E．请直接写出
、
、
之间的数量关系．
（2）问题解决：在（1）的条件下，当直线
绕点C 旋转到图2 的位置时，求证：
．
（3）变式探究：如图3，
，
，
是经过
顶点C 的一条直线，并且经过
的
内部，点E、F 在射线
上，且
．请猜想
、
、
之间的数量关系，并说明理
由．
【答案】（1）
；
（2）证明：∵
，
，
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又 ∵
，
，
，
，
，
，
．
（3）
，
理由：∵
，
，
∵
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
∴
．
【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件
是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
（1）由已知推出
，因为
，推出
，根据
即可得到
，得到
，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出
，能推出
，得到
，代入已
知即可得到答案；
（3）与（1）（2）证法类似可证出
，能推出
，得到
，
代入已知即可得到答案；
【详解】解：（1）证明：∵
，
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，
，
，
，
在
和
中
，
，
，
，
．
（2）略
（3）略
变式1-2（25-26 八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在
中，
，
，
是
过点A 的直线，
于点D，
于点E，且
．求证：
．
（2）如图②，在
中，
，D，A，E 三点都在直线l 上，并且有
，且
，请问
是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E 是D，A，E 三点所在直线l 上的两动点（D，A，E 三点互不重合），点F
为
平分线上的一点，且
和
均为等边三角形，连接
，
．若
，
试判断
的形状．
【答案】
（1）证明：
直线l，
直线l，
，
，
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，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
；
（2）解：成立，证明如下：
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
；
（3）
为等边三角形
【分析】（1）只需要证明
，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答；
（2）运用类比的方法，同样可以证明
；
（3）结合（2）及已知条件，利用
可以证明
； 接下来根据全等三角形的性质可以得到
，
，至此问题即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2）可知，
，
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，
，
和
均为等边三角形，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
为等边三角形．
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
典例2（25-26 八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具
有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图
形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：如图1，若
和
均是顶角为
的等腰三角形，
、
分别是底边，求证：
；
(2)拓展探究：如图2，若
和
均为等边三角形，点B、D、E 在同一条直线上，连接
，则
的度数为__________；线段
与
之间的数量关系是__________；
(3)解决问题：如图3，若
和
均为等腰直角三角形，
，点B、D、E 在同一条
直线上，
为
中
边上的高，连接
．若等式
成立，请求出a 的值和b 的值．
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【答案】(1)
证明：
和
均是顶角为
的等腰三角形，
，
，
，
，即
，
在
和
中，
，
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直
角三角形的斜边中线等知识，掌握“手拉手”图形的解题思路是解题关键．
（1）结合等腰三角形的性质，证明
，即可得到结论；
（2）结合等边三角形的性质，同（1）理证明
，得到
，
，进而
得到
，即可求出
的度数；
（3）同（1）理证明
，得到
，根据等腰三角形三线合一的性质，以及直角三
角形斜边中线等于斜边一半，得到
，从而得出
，即可得出a 的值和b
的值．
【详解】（1）略
（2）解：
和
均为等边三角形，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
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；
（3）解：同（1）理可证，
，
，
为等腰直角三角形，
为
中
边上的高，
，
，
等式
成立，
，
．
题型模版
1.特征：两个等腰三角形共顶点，且顶角相等，通过旋转全等，证边角相等或求夹角。
2.方法：找到公共顶点，利用等腰性质及顶角相等，用SAS 证明两三角形全等，得对应边角相等。
变式2-1（25-26 八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
问题背景：
和
为等腰直角三角形，
，
，
，连接
．
问题初探：
（1）如图1，当B，E，C 三点在同一条直线上时，
①
与
的位置关系为_________．
②
与
的数量关系为_________．
拓展探究：
（2）如图2，当B，E，C 三点不在同一条直线上时，
与
交于点F，试判断（1）中
与
的位置
关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中
与
的位置关系和数量关系是否仍然成立．
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【答案】（1）①
；②
；
（2）由题意得
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
，
∴
，
设
与
交于点
；如图；
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
与
的位置关系和数量关系没有发生变化；
（3）
与
的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系；
【分析】
（1）根据题意证明
，再根据全等可得
，
，
即可求解；
（2）根据题意证明
，设
与
交于点
，再根据全等可得
，
，即可求解；
（3）根据题意证明
，设
与
交于点
，再根据全等可得
，
即可求解；
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【详解】解：（1）理由：延长
交
于点
，如图
在
和
中，
∴
∵
∴
∴
，
∴
故答案为： ①
；②
；
（2） 略
（3）设
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
，
∴
，
设
与
交于点
；如图；
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
不垂直
，
∴
与
的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系；
变式2-2（25-26 八年级上·河南新乡·期中）
（1）如图1，
和
都是等边三角形，连接
，
．若
，则
的度数是________．
（2）如图2，
和
都是等边三角形，点
，，在同一条直线上，连接
．求证：
．
（3）如图3，
和
均为等腰直角三角形，
，点
，
，在同一条直线上，
于点
，连接
，求
的度数以及线段
，
，
之间的数量关系．
【答案】（1）
；
（2）证明：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
；
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（3）
，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键；
（1）由题意得
，结合
即可求解；
（2）证
即可求解；
（3）证
，得
，
；推出
，
；根据
，得
；进而得
，即可求
解；
【详解】解：（1）∵
都是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）略
（3）由题意得：
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
；
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
∵点
，
，
在同一条直线上，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
；
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
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一、单选题
1．（25-26 八年级下·广东江门·期中）如图，
中，
，
，三角形的顶点在相互平
行的三条直线，、
、
上，且、
之间的距离为1，
、
之间的距离为3，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得
是解答本题的关键．作
于D，作
于E，再证明
，因此可得
，再结合勾股定理求得
，然
后再根据勾股定理求出
的长即可．
【详解】解：如图：作
于D，作
于E，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
在
中，根据勾股定理得：
，
在
中，根据勾股定理得：
．
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故选：A．
2．（25-26 八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在
，
中，
，
，
，C，D，E 三点在同一条直线上，连接
．以下四个结论：①
；②
；
③
；④
．其中错误的个数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握考查的知识点是
解题的关键．
先证明
和
为等腰直角三角形，推出
，再证明
，运用全等的
性质即可解题．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
和
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，故①正确，不符合题意；
∴
，
∵
，
∴
，故②正确，不符合题意；
∵
，
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，
，
，
，
∴
，
∴
，故③正确，不符合题意；
∵如图，延长射线
交
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，故④正确，不符合题意；
综上，符合题意共
个．
故选：A．
3．（25-26 八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在
中，
是
边上的高，
．连接
，交
的延长线于点E，连接
．则下列结论：
①
；②
；③
；④
，其中正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】先证
即可判断①，利用
及三角形内角和定理与对顶角即可判断
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②，点F 作
于点M，过点G 作
交
的延长线于点N，证明
，得出
，同理得到
，从而得出
，证明
，从而得到
，即
可判断③④，即可得到答案．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
在
与
中，
∵
，
∴
，
∴
，故①正确，
∵
，
∴
，
如图，记
交于点
，
的交点为
，
∵
，
∴
，
∴
，故②正确，
过点F 作
于点M，过点G 作
交
的延长线于点N，
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，
∵
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
同理
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
故③正确，④正确．
二、填空题
4．
（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）如图，
，
，
于E，
于D．
，
，
______
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【答案】2
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
证明
，根据全等三角形的对应边相等即可证得
，
，从而求解．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：2．
5．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，
，
，
，连接
，
，
且
于点F，
与直线
交于点G．若
，
，则
的面积为____．
【答案】
【分析】过点D 作
于P，过点E 作
交
的延长线于Q，证明
，
，得到
，
，
，
，证明
，
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得到
，根据
得到
，进而得到
，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D 作
于P，过点E 作
交
的延长线于Q，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
同理可证
∴
，
，
，
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
6．（2026·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1 所示摆放，将两个三角板抽象成
如图2 所示的
和
，其中
，点
、
、
依次在同一条直线上，连结
．若
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，
，则
的面积是____．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据
证明
，
由全等三角形的性质得出
，则可得出答案．
【详解】解：
，
，即
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·四川成都·期末）如图，
与
为等腰三角形，
，
，
，
为线段
上一个动点，
与
相交于点
．
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(1)如图1，求证：
平分
；
(2)如图2，在
延长线上取一点
，当
时，线段
与
有什么位置关系？并说明理由；
(3)如图3，若
，且
的面积为
，求
的长．
【答案】(1)证明：∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
平分
．
(2)解：
，理由如下：
如图所示，在
上截取
，使得
，连接
，在
上取点
，连接
，使得
，
，
，
，
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在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
(3)
【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明
，进而证明
，得到对应角相等证明结果；
（2）在
上截取
，使得
，连接
，在
上取点
，连接
，
使得
，证明
，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明
，最后根据等量代换证得
，从而得到答案；
（3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到
，利用
算出
，再利用三角形内角和为
和等量代换得出
，取线段
垂直平分线的
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交点
，连接
，过点
作
交
于点
，通过角度的换算得到
是等腰直角三角形，再证得
，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到
的面积，从而求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（1）知，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴设
，则
，
∵
，
∴
，解得
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
，
如图所示，取线段
垂直平分线的交点
，连接
，过点
作
交
于点
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，则
，
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又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
；
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
或
，
∵线段的长度为非负数，
∴
．
8．（25-26 七年级下·四川达州·期末）综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的
对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以
下问题：
【建立模型】：
(1)如图1，在等腰直角三角形
中，
，
，直线l 经过点C，过点A 作
于点D，
过点B 作
于点E，直接写出
、
、
之间的数量关系：_________________；
【实践探究】：
(2)如图2，在
中，
，点D、E 分别在边
、
上，且
，
．若
，
求
的长度．
【拓展应用】：
(3)如图3，在
中，
，
，点D、E 分别是边
、
上的动点，以
为腰向右作
等腰
，使得
，且
，连接
、
，
．
①线段
和
有何数量关系，并说明理由；
②在点D、E 运动过程中，点F 位置也随之发生改变，若
，当线段
取得最小值时，求
的
面积．
【答案】(1)
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(2)4
(3)①
，
证明：如图，在
上取一点
，使得
，连接
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
，即
，
∵
，
∴
，
在
和
中：
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
②64
【分析】（1）由
，
，
，通过等量代换得
．结合
，证
，得
，
，由
得
．
（2）
得
．由三角形外角性质得
，又
，且
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，故
．结合
，证
，得
，
．由
得
．
（3）①在
上取点
使
，连接
．由
，且
，结合
证
，得
，
．由
，得
，故
．于是
，代入得
．
②由
且
得
．由
得
，作
，则
为等
腰直角三角形，
．又
，
也为等腰直角三角形，
，故
，进而计算
的面积．
【详解】（1）解：
，理由如下：
，
，
，
，
，
．
在
和
中：
，
，
，
又
，
．
（2）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
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在
和
中：
，
，
∴
，
，
，
．
（3）①略；
②∵
，
∴
为定直线，
∴当
时，
最小，
如图，过点
作
于点
，
∴
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
，
的面积为
．
9．（25-26 七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题
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(1)如图1，
，
，
，
．点
在线段
上以
的速度由点
向点
运动，同时，点
以相同的速度在射线
上由点
向点
运动．它们运动的时间为
，当点
到达点
时，点
也停止运动．当
时，猜想：线段
与
之间的关系，并说明理由．
(2)【拓展】如图2，在
中，
，D，A，E 三点都在直线m 上，并且
猜
想：线段
、
、
之间的关系，并说明理由．
(3)【应用】如图3，在
中，
是钝角，
，
，
，
直线m 与
的延长线交于点F，若
，
的面积是12，则
与
的面积之和为 ．
【答案】(1)解：
且
理由:
当
时，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
又
，
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，
．
(2)解：
，理由如下：
，
，
，
又
，
，
三点在直线
上，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
．
(3)6
【分析】(1) 当
时，
，
，结合
，利用SAS 判定
，
得到
及
，再通过直角互余与平角关系证得
．
(2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到
，结合已知角等和
，利用AAS 判定
，从而得
，
，相加即得
．
(3) 由(2)的模型可得
，从而
，将面积和转化为
；再利用
及同高三角形面积比等于底边比，得
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由(2)同理可证
，
，
，
直线
与
的延长线交于点
，且
，
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与
有公共顶点
，且底边
与
在同一直线上，
，
，
，
即
与
的面积之和为
．
10．（25-26 七年级下·河南驻马店·阶段检测）根据题意，完成以下各题
(1)如图，
和
是等腰直角三角形，
，
，连接
，
，构建“手
拉手”模型，得到了
；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图
的划斜线部分，得到了
______ ．
(2)如图，
和
是等边三角形，
，连接
，
，
的延长线与
相交于点
．请
猜想
与
的大小关系，求
的度数；
(3)如图
，在
和
中，
，
，
，
，连接
，
．则
与
的数量关系为______，直线
与直线
的夹角为______；
(4)如图，
和
是等腰直角三角形，
，
，连接
，
，
是线段
的中点，连接
若
，请你直接写出
的长．
【答案】(1)
，
；
(2)
(3)
；直线
与直线
的夹角为
(4)2
【分析】（1）先通过
证得
，进而通过全等三角形性质可得到
；
（2）先证明
，再证明
可得
，再根据三角形内角和定理可得；
（3）方法同（2），需要先证
，然后再根据全等三角形性质即可求解．
（4）延长
到
使
，连接
，证明
得
，得
，进一步证
明
，再证明
即可得出结论
【详解】（1）解：∵
，
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∴
，即
，
∵
和
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
，
如图，
与
交点为
，
与
交点为
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
（2）解：∵
和
是等边三角形，
，
，即
，
，
，
设
与
相交于点
，则
，
；
（3）解：延长
交
于点F，设
交于点G，
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∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即直线
与直线
的夹角为
；
（4）解：延长
到
使
，连接
．
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
和
是等腰直角三角形，
，
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，
，
，
．
