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专题06 二次函数背景的特殊三角形问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、等腰三角形的存在性问题
题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题
题型3、等边三角形的存在性问题
题型4、直角三角形的存在性问题
题型5、特定边角的直角三角形存在性问题
题型6、等腰直角三角形的存在性问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决二次函数背景下的特殊三角形存在性问题，核心在于用坐标法把几何条件转化为代数方程；等腰
三角形要按“谁为底、谁为腰”分类讨论，等边三角形要同时满足三边相等和内角60°，直角三角形要按直角
顶点分类并用勾股定理或垂直条件；等腰直角三角形则需兼顾等腰与直角双重条件；解题中要注意利用二
次函数解析式设出动点坐标，通过距离公式、相似、全等、轴对称等工具建立方程，求出坐标后必须回代
检验是否符合题意．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、等腰三角形的存在性问题
典例1 （25-26 九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于A、B 两点( 点A 在点B
目 录
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的左侧) ，点A 的坐标为(
)
1,0
−
，与y 轴交于点
(
)
0,3
C
，作直线BC ，动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM
x
⊥
轴，交抛物线于点M，交直线BC 于点N，设点P 的横坐标为m ．
(1)求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；
(2)当点P 在线段OB 上运动时，求MBC
面积的最大值及取得最大值时点M 的坐标；
(3)当点P 在线段OB 上运动时，若CMN
是等腰三角形时，直接写出m 的值为______．
题型模版
1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，判断是否存在或求满足条件的动点坐标．
2.方法：按“哪两边相等”分三种情况讨论；用两点间距离公式列方程，结合二次函数解析式求解，注意去重
和回代检验．
变式1-1 （24-25 九年级上·广东韶关·期中）如图，直线
2
y
x
=
−
与抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
bx
a
=
+
+
相交于(
)
1, 1
A
−
和
(
)
,2
B m
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C 是线段AB 上的动点，过点C 作CD
x
⊥
轴，交抛物线于点D ．是否存在这样的C 点，使线段CD的
长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3) x 轴上是否存在点M ，使得ABM
为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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变式1-2 如图，抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
= −
+
+
交x 轴于点
( 4,0)
A −
和点B ，交y 轴于点
(0,2)
C
，点
( , )
P x y 在第二
象限的抛物线上．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当点P 的坐标为( 2,3)
−
时，求BCP
的面积；
(3)请过点P 作PQ
x
⊥
轴，交直线AC 于点Q ，是否存在点P ，使得四边形PQOC 是平行四边形？如果存在，
求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(4) x 轴上，是否存在一点M ，使
BCM
△
为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说
明理由．
变式1-3 （2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数
(
)
2
1
3
0
2
3
y
x
mx
m m
−
=
+
+
图象的顶点为A，与y 轴
交于点B ，对称轴与x 轴交于点C ．
(1)若该函数图象经过点(
)
0, 3 ，求点A的横坐标；
(2)若
3
m
，点
(
)
1
2,
P
y
和
(
)
2
4,
Q
y
在该函数图象上，证明：
1
2
y
y
；
(3)若ABC
是等腰三角形，求m 的值．
题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题
典例2 （25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、
(
)
3,0
B
两点，与y
轴交于点
(
)
0,3
C
．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)连接CB ，在直线CB 上方的抛物线上有一点M，使得
BCM
△
的面积最大，求出M 点的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在以PB为腰的点P，使得
PBC
△
是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条
件的点P 的坐标．
题型模版
1.特征：给定某一边、一角或顶点位置，求满足特定条件的等腰三角形．
2.方法：先固定已知边或角，再按等腰关系分类；利用三角函数、相似或坐标关系列方程求解．
变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 交x 轴于点(
)
4,0
A −
，
(
)
2,0
B
，交y 轴于点
(
)
0,6
C
，在y 轴上有一点
(
)
0, 2
E
−
，连接AE ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE
面积的最大值及此时D 点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP
为以AE 为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标即
可；若不存在，请说明理由．
变式2-2 如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于(
)
4,0
A −
，
(
)
2,0
B
两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物
线交于A，D 两点，与y 轴交于点E，点D 的坐标为(
)
1,5 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA、PD，求当PAD
面积最大时点P 的坐标及该面积的
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最大值；
(3)在y 轴上是否存在点Q，使CDQ
是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，
说明理由．
变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
C
两点，并与x 轴交于另
一点B．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求点B 坐标；
(3)设
(
)
,
P x y 是抛物线上的一个动点，过点P 作直线l
x
⊥
轴于点M．交直线BC 于点N．
①若点P 在第一象限内，试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；
若不存在，请说明理由；
②当点P 运动到某一位置时，能构成以BC 为底边的等腰三角形，求此时点P 的坐标及等腰BPC
的面积．
题型3、等边三角形的存在性问题
典例3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过原点
(0,0)
O
和点
(4,0)
A
，顶点为B，且顶点B 的纵坐标为2．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求证：ABO
是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形；
(3)设点P 是抛物线上一点（P 不与点O，A，B 重合），点Q 在x 轴上．是否存在正三角形APQ ？若存在，
请求出满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型模版
1.特征：在二次函数图象上找点，使其与两定点构成等边三角形．
2.方法：利用三边相等且内角60°，或旋转60°进行转化；列距离方程和角度关系，结合抛物线解析式求解．
变式3-1 已知二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ （b ，c 均为常数）．
(1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线
2
x =
，求二次函数表达式；
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(2)若函数图象上有两点(
)
1
2,
b
y
−
，(
)
2
,b y
，且
1
2
y
y
，求b 的取值范围；
(3)将二次函数的图象平移，使其顶点P 始终落在直线
1
y
x
=
+ 上，与该直线的另一个交点为Q ，在x 轴上是
否存在点
(
)
,0
A t
使得APQ
为等边三角形？若存在，求出t ；若不存在，说明理由．
变式3-2 如图，已知抛物线
1
C 与x 轴交于
(4,0),
( 1,0)
A
B −
两点，与y 轴交于点
(0,2)
C
．将抛物线
1
C 向右平
移
(
0)
m m
个单位得到抛物线
2
2
C
C
，
与x 轴交于D，E 两点（点D 在点E 的左侧），与抛物线
1
C 在第一象限
交于点M．
（1）求抛物线
1
C 的解析式，并求出其对称轴；
（2）①当
1
m = 时，直接写出抛物线
2
C 的解析式；
②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标；
（3）连接DM
AM
，
．在抛物线
1
C 平移的过程中，是否存在
ADM
△
是等边三角形的情况？若存在，请求出
此时m 的值；若不存在，请说明理由．
变式3-3 已知二次函数
2
2
4
8
y
x
mx
m
=
−
+
−．
（1）图象经过点1,1
（）时，则m = _________；
（2）当
2
x
时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；
（3）以抛物线
2
2
4
8
y
x
mx
m
=
−
+
−的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N 两点在抛
物线上），请问：AMN
的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
题型4、直角三角形的存在性问题
典例4 在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
5,m
−
，点(
)
1,n 在抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c
a
=
+
+
上，设抛物线的对称
轴为直线x
t
= ．
(1)当
2
c =
，
3
m
n
=
= −时，求抛物线与x 轴的交点坐标；
(2)当m
n
=
时，设抛物线与y 轴交于点A，顶点为B ，过点A作x 轴的平行线交抛物线另一点C ，ABC
能
否是直角三角形？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由．
(3)若<0
a
，点(
)(
)
0
0
,
5
x m
x −
也在抛物线上，若m
n
c
，求t 的取值范围及
0x 的取值范围．
题型模版
1.特征：动点与两定点构成直角三角形，需确定直角顶点位置．
2.方法：按直角顶点分类讨论；用勾股定理列方程，结合二次函数求解．
变式4-1 （25-26 九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线
(
)
(
)
0
y
a x
h
k a
=
−
+
称
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为抛物线
(
)
(
)
2
0
y
a x
h
k a
=
−
+
的伴随直线，如直线
(
)
1
2
y
x
= −
+
−
为抛物线
(
)
2
1
2
y
x
= −
+
−
的伴随直线．若
抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的伴随直线是
(
)
1
3
y
a x
=
+
−，则b = ________（用a 的代数式表示）；若该抛物
线经过定点Q ，且与x 轴交于点A和点B ．当ABQ
为直角三角形时，则a =__________．
变式4-2 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点A，C（点A在点C 的右侧），
与y 轴交于点B ，直线
3
y
x
= −+
经过点A，B ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2) P 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PQ
x
∥
轴交直线AB 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ
的长为L．求L与m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为M ，问在y 轴上是否存在一点N ，使得
NAM
△
为直角三角形？若存在，直接写出点N
的坐标；若不存在，请说明理由．
题型5、特定边角的直角三角形存在性问题
典例5 （24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，
已知点A的坐标是(4,0) ，并且
4
OA
OC
OB
=
=
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上AC 之间的动点，过点P 作PE垂直于x 轴于点E ，交直线AC 于点D ，连接PA、PC ，
当PAC
的面积最大时，求出点P 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P ，使得ACP
是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P
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的坐标；若不存在，说明理由．
题型模版
1.特征：给定某一边、一角或直角边条件，求满足特定条件的直角三角形．
2.方法：固定已知边或角，按直角顶点分类；利用三角函数、勾股定理建立方程求解．
变式5-1 如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴相交于A，B 两点，与y 轴相交于点C，对称轴为直线
2
x =
，顶
点为D，点B 的坐标为(3 0)
, ．
(1)填空：点A 的坐标为______，点 D 的坐标为______，抛物线的解析式为______；
(2) P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使PAC
是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的自变量x 满足
2
m
x
m
+
时，函数y 的最小值为5
4 ，求m 的值．
变式5-2 定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵
坐标相等时，则称点N 为图形M 的“立信之点”．
(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是
(
)
1,2
A −
，
(
)
1, 1
B
−
−
，
(
)
3, 1
C
−
，
(
)
3,2
D
，在点
(
)
(
)
(
)
1
2
3
1,1 ,
2,2 ,
3,3
M
M
M
中，是矩形ABCD“立信之点”的是 ；
(2)如图②，已知点A，B 是抛物线
2
2
y
x
x
c
−
=
+
+ 上的“立信之点”，点C 是抛物线的顶点．连接AC ，AB ，
BC ，若ABC
是以点C 为直角顶点的直角三角形，求c 的值；
(3)在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，点Q 为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB 为对角线，
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以A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型6、等腰直角三角形的存在性问题
典例6 如图①，已知抛物线
2
:
L y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过点
(
)
(
)
0,3 ,
1,0
A
B
，过点A 作AC
x
∥轴交抛物线于点
C，
AOB
的平分线交线段AC 于点E，点P 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)将抛物线L 向上平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OAE
内（包括OAE
的边界），求
h 的取值范围；
(3)如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF
成为以点P 为直角顶点的
等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型模版
1.特征：动点与定点构成等腰直角三角形，需同时满足等腰和直角条件．
2.方法：按直角顶点分类，利用两腰相等且互相垂直列方程；结合二次函数解析式求解，注意多解取舍．
变式6-1 如图，在平面直角坐标系中，直线
4
y
x
=
+ 与x 轴，y 轴分别交于点A，C，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 过
点A 和点C，与x 轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
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(2)抛物线对称轴与直线AC 交于点D，若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点（点P 不与点A，C 重合），
求PAD
面积的最大值；
(3)点M 是抛物线对称轴上的一动点，x 轴上方的抛物线上是否存在点N，使得ANM
是以AN 为直角边的
等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N 坐标；若不存在，请说明理由．
变式6-2 （25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与直线
2
y
x
=
−
交于点
(
)
0, 2
A
−
和点
(
)
4,
B
n ，对称轴是直线
1
x = ，过B 平行于x 轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M 是抛物
线上任意一点，其横坐标是m．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)当点M 在直线AB 上方时，若
1
2
ABM
ABC
S
S
=
△
△
，求m 的值；
(3)设N 是直线BC 上的点，是否存在点M 和点N 的位置，使AMN
是以AN 为斜边的等腰直角三角形？若
存在，请求所有m 的值；若不存在，请说明理由．
变式6-3 我们约定：在平面直角坐标系中，对于两条抛物线M 和N ，若这两条抛物线有公共顶点，则称这
两条抛物线互为“同源”抛物线．
(1)下列选项中，与抛物线
2
3(
1)
2
y
x
= −
−
+
互为“同源”抛物线的是___________；
①
2
2
3
y
x
x
=
−
+ ；②
2
2
4
y
x
x
= −
+
；③
3
2
2
y
x
x
=
−
+
(
)(
)
(2)若点
2
2,
12
P k
k
−
−
(
)不在抛物线
2
6
13
M y
x
x
=
−
+
:
上，也不在其任意一条“同源”抛物线上，求出所有符合
题意的P 点坐标；
(3)已知抛物线
2
0
M y
ax
bx
c a
=
+
+
:
(
)及其“同源”抛物线
2
(
1
N y
pax
mx
n p
=
+
+
:
)．若抛物线M ，N 与直
线y
a
=
各有两个公共点，从左到右依次记为点A，B ，C ，D ，且以AB ，BC ，CD为边的三角形是等腰
直角三角形，求p 的值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
23．如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫做这个
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三角形的“智汇中线”．
(1)请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“”）
①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”．
②直角三角形若是“智汇三角形”，那么“智汇中线”一定是较长直角边上的中线．
(2)如图1，ABC
中，
90
ACB
=
，
7
AB =
，
3
BC =
，求证：ABC
是“智汇三角形”．
(3)如图2，点M ，N 在抛物线
2
2
y
x
=
上，且MN
x
轴，若
OMN
△
是“智汇三角形”，求
OMN
△
的“智汇中
线”的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于(
)
1,0
(3,0)
A
B
−
、
两点（点A在点B 的左
侧），与y 轴交于点C ，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P ，使得POB
是以OB 为底的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存
在，请说明理由；
(3)连接AC ，把抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 沿射线AC 方向平移5 个单位得新抛物线
,
y M
是新抛物线上一点，
N 是新抛物线对称轴上一点，当以M
N
B
C
、、、
为顶点的四边形是平行四边形时，求出N 点的坐标．
25．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
的对称轴是直线
1
x = ，拋物线与x 轴分别交于
点A、B，与y 轴交于点C，点A 的坐标是( 2,0)
−
．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1 所示，P 是第一象限抛物线上的一个动点，点D 是抛物线对称轴与x轴的交点，连接CD、CP 、PB．求
四边形PCDB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；
(3)如图2 所示，在（2）的条件下，点M 是直线BC 上一点，当POM
是以OP 为腰的等腰三角形时，请直
接写出点M 的坐标．
26．如图，已知抛物线
(
)
2
y
ax
bx
c a
0
=
+
+
的对称轴为
1
x = −，且抛物线经过
(
)
(
)
1,0 ,
0, 3
A
C
−
，
(1)若直线y
mx
n
=
+
经过B
C
、
两点，求直线BC 所在直线的解析式；
(2)抛物线的对称轴
1
x = −上找一点M ，使点M 到点A的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐
标；
(3)在抛物线的对称轴
1
x = −上的是否存在点N ，使BNC
为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点P 的
坐标？若不存在，请说明理由．
(4)在抛物线的对称轴
1
x = −上的是否存在点P ，使BPC
为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点P 的
坐标？若不存在，请说明理由．
27．已知二次函数
(
)
2 2
2
3
m
y
m
x
m
−
=
+
+
+ ．
(1)求m 的值．
(2)当x 为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x 如何取值时，y 随x 的增大而减小？
(3)若将此二次函数的图象向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，直接写出平移后新抛物线的
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顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q 与原抛物线的顶点P 及原点O 为顶点的三角
形是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图①，抛物线
2
3
4
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点A 和点
( 1,0)
C −
，与y 轴交于点
(0,3)
B
．连接AB ，BC ，
P 是抛物线上第一象限内的一个动点，设
(
)
,
P
P
P x
y
，过点P 作PD
x
⊥
轴于点D，交AB 于点E，作PF
PD
⊥
于点P，使
1
2
PF
OA
=
且点F 在PD左侧，以PE，PF 为邻边作矩形PEGF ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点F 落在抛物线上时，则
P
x =________；
(3)当矩形PEGF 的面积是BOC
的面积的3 倍时，求点P 的坐标；
(4)如图②，当点P 运动到抛物线的顶点时，点Q 在直线PD上，若以点Q，A，B 为顶点的三角形是锐角三
角形，请直接写出点Q 纵坐标n 的取值范围．
29．如图，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
、
(
)
3,0
B
，顶点为M ．
(1)求抛物线的解析式和点M 的坐标；
(2)点E 是第一象限内抛物线上的一个动点，设
BEC
的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以A、P 、C 为顶点的三角形是直角三角形，且AC 为斜边？
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
1y
x
bx
c
= −
+
+
的图象与x 轴交于点B ，(
)
3,0
A −
，与y 轴交于
点
(
)
0,3
C
．一次函数的图象过点A、C ．
(1)求一次函数和二次函数的解析式；
(2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；
(3)若M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M ，使得以M ，A，C 三点为顶点的三角形是以AM 为腰
的等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
31．研究发现，二次函数
2
y
ax
=
（
0
a
）图象上任何一点到定点（0，1
4a ）和到定直线
1
4
y
a
−
=
的距离相
等．我们把定点（0，1
4a ）叫做抛物线
2
y
ax
=
的焦点，定直线
1
4
y
a
−
=
叫做抛物线
2
y
ax
=
的准线．
（1）写出函数
2
1
4
y
x
=
图象的焦点坐标和准线方程；
（2）等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数
2
1
4
y
x
=
图象上，O 为坐标原点，求等边三角形的边长；
（3）M 为抛物线
2
1
4
y
x
=
上的一个动点，F 为抛物线
2
1
4
y
x
=
的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF 的最
小值．
32．
（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点(
)
3,0
B
、(
)
0, 6
C
−
，与直线
3
y
x
=
−
交于B、D 两点，点P 是抛物线上一动点，记点P 的横坐标为t．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 位于直线BD下方时，求BDP
面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点H，若AHP
是等腰直角三角形，求点P 的坐标．
33．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x 轴交于点(
)
1,0
A −
和点(
)
3,0
B
，点D 为抛物线
的顶点，直线AC 与抛物线交于点
(
)
5,6
C
．
(1)求抛物线的解析式，并求出D 点坐标；
(2)若在x 轴上有一点P ，使得ACP
的三条高所在直线交于三角形外一点，设点P 的横坐标为m ，求m 的
取值范围；
(3)若直角坐标平面中的点E 和点A、C 、D 构成直角梯形，且面积为13.2，直接写出点E 的坐标．
34．【定义】若点P 与平面内的A，B 两点构成以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则称点P 是ABP
关于
点A，B 的斜方点．
如图，二次函数
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C ．
(1)如图1，若函数
k
y
x
=
上存在一点P 是ABP
关于点A，B 的斜方点，则k 的值为_____．
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(2)如图2，过点B 作BE
AC
∥
交抛物线于点E ，点P 是抛物线上A，C 之间的一个动点，设
ABC
APCE
S
S
S
=
−
△
四边形
，当S最大时，求P 点坐标．
(3)在（2）的条件下，连接OP 交AC 于点F ，点N 是直线AC 上的一个动点，点G 在线段ON 上，且点G 是
OFG
△
关于点O，F 的斜方点，求N 点的坐标．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
:
3
F y
ax
bx
=
+
+ 的图象交x 轴于
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
两点，交y 轴于
点C．
(1)求抛物线F 的函数表达式；
(2)点P 是线段OB 上的一个动点，沿OB 以每秒1 个单位长度的速度由点O 向点B运动，过点P作EP
x
⊥
轴，
交抛物线于点E，交直线BC 于点M．在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，MC
ME
=
？
(3)设抛物线F 顶点为D，点N 是y 轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N 为顶点的
三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
36．如图，若二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
和点
(
)
3,0
B
，与y 轴交于点C，P 为该函数
图象上不与顶点重合的任意一点，且点P 的横坐标为m．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点P 在第一象限内的图象上，且
PBC
△
的面积
3
S = ，求点P 的坐标；
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(3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P 作对称轴的垂线，垂足为E，设PE
n
=
．
①求DE 的长（用含n 的式子表示）；
②定义：对于平面内两点M，N，若点Q 满足QM
QN
=
，则称点Q 为线段MN 的中垂点．若点F 是线段DE
的中垂点，且DEF
为直角三角形，求直角DEF
的直角顶点不在二次函数图象内部的m 的取值范围．
37．如图，直线
3
2 3
y
x
= −
+
与x 轴，y 轴分别交于点A，点B，两动点D，E 分别从点A，点B 同时出发
向点O 运动（运动到点O 停止），运动速度分别是1 个单位长度/秒和3 个单位长度/秒，设运动时间为t 秒．以
点A 为顶点的抛物线经过点E，过点E 作x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB 相交于点F．
(1)求点A，点B 的坐标；
(2)用含t 的代数式分别表示EF 和AF 的长；
(3)是否存在t 的值，使AGF
是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
