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1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题06 全等三角形的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用SSS 证明两个三角形全等 题型02 利用SAS 证明两个三角形全等 题型03 利用ASA 证明两个三角形全等 题型04 利用AAS 证明两个三角形全等 题型05 三角形的稳定性 题型06 玻璃碎片问题 题型07 画出唯一的三角形 题型08 全等三角形的个数 题型09 全等三角形的判定 题型10 添加条件证明三角形全等 题型11 二次全等证明 ▌题型01 利用SSS 证明两个三角形全等 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 用数学语言表述： 在△ABC 和△DEF 中 AB=DE BC=EF CA=FD ∴ △ABC ≌△DEF（SSS） 【典例1】（2026•威信县一模）如图，已知点A、B、E、D 在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求 证：△ABC≌△DEF． F E D A B C 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E 是线段BC 的中点．求证：△ABE≌△DCE． 【变式1-2】（2026•保山二模）如图，C 是线段AF 的中点，BC＝EC，AB＝FE．求证：△ABC≌△FEC． 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026•楚雄州二模）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF． ▌题型02 利用SAS 证明两个三角形全等 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)。 用数学语言表述： 在△ABC 和△DEF 中 AB=DE ∠B=∠E CA=FD ∴ △ABC ≌△DEF（SAS） 【典例1】（2026•盘龙区校级模拟）如图，已知线段AC，BD 相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ ABE≌△DCE． F E D A B C 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026•越秀区校级二模）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ ADE． 【变式1-2】（2026•拉萨三模）已知：如图，点B，F，C，E 在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求 证：△ABC≌△DEF． 【变式1-3】（2026•呈贡区三模）如图，AC＝EC，BC＝DC，∠ECB＝∠ACD．求证：△ABC≌△EDC． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型03 利用ASA 证明两个三角形全等 两个角及夹边分别相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA”)。 用数学语言表述： 在△ABC 和△DEF 中 ∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E ∴ △ABC ≌△DEF（SAS） 【典例1】（2026•双柏县一模）如图，已知线段AC、BD 相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A ＝∠D． 求证：△ABE≌△DCE． 【变式1-1】（2026•四平二模）已知：如图，点A，D，B，E 在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF， ∠E＝∠ABC，求证：△ACB≌△DFE． F E D A B C 6 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026•鲤城区校级模拟）已知，如图，AC＝DE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：AD＝BC． 【变式1-3】（2025 秋•永吉县期末）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E 为CD 的中点，连接AE 并延 长交BC 的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． ▌题型04 利用AAS 证明两个三角形全等 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”)。 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 用数学语言表述： 在△ABC 和△DEF 中 ∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF ∴ △ABC ≌△DEF（AAS） 【典例1】（2026•五华区校级模拟）如图，AB 与CD 相交于点O，AC＝BD，AC∥BD，求证：△AOC≌△ BOD． 【变式1-1】（2026•天河区校级模拟）已知：AB∥CD，∠A＝∠C，DE＝BF，求证：△AEB≌△CFD． F E D A B C 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026•五华区校级模拟）如图，点E 为AB 的中点，∠D＝∠C，∠DEA＝∠CBE． 求证：△ADE≌△ECB． 【变式1-3】（2026•五华区校级模拟）如图，在△ABC 和△DEF 中，点A，C，D，F 在同一条直线上，AD ＝CF，AB∥DE，∠B＝∠E，求证：△ABC≌△DEF． ▌题型05 三角形的稳定性 1. 三角形稳定性：三边长度固定，形状、大小唯一确定，不易变形。 2. 四边形不稳定性：四边固定，角度可变，容易拉伸变形。 解题本质：构造三角形=加固；纯四边形=易晃动 9 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026•巴中）要使六边形木架（用6 根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2026•朝阳区校级二模）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026 春•南山区校级期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【变式1-3】（2026 春•北京期末）如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形 钢架结构，这是利用了三角形的 ． 10 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型06 玻璃碎片问题 1. 核心依据 全等三角形判定定理：ASA、AAS、SAS、SSS、HL 题意本质：拿一块碎片去配一模一样的玻璃，碎片必须携带能唯一确定三角形的条件。 2. 解题总思路 （1）观察每块碎片保留的元素：角、边 （2） 匹配判定定理，满足其中一条就能复原原三角形 （3） 优先找：完整两个角 + 夹边（ASA） 的碎片，这是考试最常见答案 3. 分情况分析，一块三角玻璃打碎成①②③三块： 碎片①：只保留1 个角，无边长信息 → 不能配 碎片②：只有部分边，无完整两角 → 不能配 碎片③：保留完整两个内角 + 两角公共夹边 满足 ASA，两角及其夹边对应相等，三角形唯一确定，带这块去。 【典例1】（2025 秋•盐亭县期末）嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4 块带去商 店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是（ ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•奉贤区期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想 按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【变式1-2】丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全 一样的玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式1-3】一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一 样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（ ） A．带其中的任意两块 B．带1，4 或3，4 就可以了 C．带1，4 就可以了 D．带1，4 或2，3 或3，4 均可 ▌题型07 画出唯一的三角形 1. 核心本质 给定条件后，只存在一种大小、形状完全相同的三角形，即条件满足全等判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）； 反之条件不足，能画出多个不一样的三角形，就不唯一。 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2. 分两类判断标准 （1）能画出唯一三角形（5 种情况） ① SSS 三边确定 已知三条线段长度，只能画出1 个三角形。 思路：三边固定，三角形稳定，唯一。 ②SAS 两边及其夹角 两条边+中间夹的角固定，唯一。 易错：两边和其中一边对角（SSA）不唯一！ ③ASA 两角及其夹边 两个角+中间公共边固定，唯一（玻璃碎片题考点）。 ④AAS 两角及其中一角对边 两个角+任意一条完整边，唯一。 ⑤HL 直角三角形斜边+一条直角边 只针对直角三角形，条件足够，唯一。 （2）不能画出唯一三角形（两种高频坑） ①SSA：两边和一边对角，可画出2 种不同三角形 ②AAA：只给三个角，边长可大可小，是相似三角形，大小不固定 3. 典型例题快速判断 ①三边长3,4,5 → SSS，唯一 ②两边2、3，夹角60° → SAS，唯一 ③两角30°、60°，夹边长5 → ASA，唯一 ④两角45°、90°，一条对边4 → AAS，唯一 ⑤直角三角形斜边5，直角边3 → HL，唯一 ⑥两边2、3，2 所对的角30° → SSA，不唯一 ⑦三个角30°、60°、90° → AAA，不唯一 【典例1】（2026 春•青羊区期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．∠C＝90°，AB＝7 C．∠A＝60°，∠B＝55°，∠C＝65° D．AB＝4，BC＝6，CA＝8 【变式1-1】（2026 春•高新区期中）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（ ） 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．AB＝4，AC＝3，∠B＝30° B．AB＝4，BC＝4，AC＝8 C．∠A＝50°，∠B＝60°，AC＝8 D．∠C＝90°，AB＝6 【变式1-2】（2025 秋•晋江市期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC 的是（ ） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝4，AC＝6 C．AB＝5，BC＝5，∠B＝60° D．AB＝5，∠A＝30°，∠B＝60° 【变式1-3】（2026 春•河北区校级月考）根据下列已知条件，能确定△ABC 的形状和大小的是（ ） A．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° B．∠A＝50°，∠B＝50°，AB＝5cm C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30° D．AB＝6cm，BC＝4cm，AC＝1cm ▌题型08 全等三角形的个数 1. 核心原则：不重不漏 按固定顺序分类枚举，禁止乱找，避免漏数、重复数。 2. 标准分步流程 步骤1：标记相等条件 先圈出题给全等依据： ①边相等：公共边、中点、平行线、等腰、垂直平分线 ②角相等：对顶角、内错角、同位角、直角、角平分线 ③隐含：公共角、同角的余角/补角相等 步骤2：固定分类顺序 方法1：按三角形大小分类 ①最小的单个小三角形，两两配对找全等； ②两个小三角形拼成的大三角形，配对； ③三个/多个拼成的更大三角形，配对。 方法2：固定一个顶点，依次配对 选定一个△ABC，遍历图中所有其他三角形，判断是否与△ABC 全等； 再取下一个未统计过的三角形，重复，不重复算已标记的。 方法3：按全等判定定理分组。 步骤3：区分“一组”和“个数” 14 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 步骤4：标记去重 【典例1】（2026•淮滨县校级开学）如图，AC＝BD，AB＝CD，图中全等三角形的对数是（ ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 【变式1-1】（2025 秋•南昌期末）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE 和CD 交于点F，则图中的全等三角 形的对数是（ ） A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 【变式1-2】如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD 和BC 相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（ ） A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 【变式1-3】如图1，已知AB＝AC，D 为∠BAC 的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝ AC，D、E 为∠BAC 的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F 为 ∠BAC 的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，第n 个图形中有全等 三角形的对数是 ． 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型09 全等三角形的判定 根据全等三角形的判定定理进行选择。 【典例1】（2026 春•历城区校级月考）如图，已知△ABC 六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是（ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【变式1-1】（2025 秋•湖北期末）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（ ） A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′ B．∠B＝∠B′，BC＝B′C′，AB＝A′B′ C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，AB＝A′B′ D．∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′ 【变式1-2】（2025 秋•龙泉市期末）如图，已知△ABC 的两条边和两个角，甲图形的一条边和两个角，乙 图形的两条边和一个角，则下列说法正确的是（ ） A．只有甲和△ABC 全等 B．只有乙和△ABC 全等 C．甲和乙均与△ABC 全等 D．甲和乙均不与△ABC 全等 【变式1-3】（2025 秋•晋江市期末）如图，已知△ABC 的3 条边和3 个角，则能判断和△ABC 全等的是 （ ） 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．乙和丙 B．甲和丙 C．甲和乙 D．只有丙 ▌题型10 添加条件证明三角形全等 第1 步：找出图中已有相等条件（圈出来） 1. 公共边：两个三角形共用一条边，天然相等 2. 公共角：共用同一个角，天然相等 3. 对顶角：相交形成，两角相等 4. 题干给出：中点、角平分线、平行、垂直、等腰、相等线段/角度 5. 推导隐含：平行线得内错/同位角；同角余角/补角相等 第2 步：整理已有条件，判断还差哪种 把现有条件归类： - 已有一组边+一组夹角 → 缺一条夹边（凑SAS） - 已有一组边+这条边上两个角 → 直接ASA，不用加 - 已有一组边+一组对角 → 再补一组角（凑AAS） - 只有三条边相关 → 补边凑SSS - 两个都是直角三角形，已有斜边相等 → 补一条直角边（HL） 第3 步：按判定定理写可添加的条件（优先最简） 同一个题通常有多个答案，选最简单的： 1. 凑SAS：加夹角相等 或 加夹的另一条边 2. 凑ASA：加已知边另一侧的角 3. 凑AAS：加任意一组非夹边的角 4. 凑SSS：加剩余一组对应边 5. Rt△专用：斜边/直角边二选一 第4 步：验证，避开SSA 陷阱（关键避坑） 添加后检查： 不能出现“两边+其中一边的对角”，这种条件不能证全等。 例：AB=DE，BC=EF，∠A=∠D → SSA，无效。 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•市北区期末）如图，在△ACE 和△BDF 中，∠C＝∠D，点C、F、E、D 在同一直线 上，CF＝DE． （1）请你添加一个条件，使得△ACE≌△BDF，则这个条件可以是 ；（只写一个即可） （2）根据（1）中你所添加的条件，请说明△ACE≌△BDF． 【变式1-1】（2026 春•南山区期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠AED＝90°． （1）请你添加一个条件，使△ABE 与△ECD 全等，这个条件可以是 （写出一个合理的即可）． （2）根据你所添加的条件，求证：△ABE≌△ECD． 【变式1-2】如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF，并写出证 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 明过程． 【变式1-3】（2025 秋•嘉峪关校级期末）课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD＝AE，再添加一 个条件，可以证明△ADB≌△AEC． （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一， 同学甲添加的条件是：AB＝AC，则△ADB≌△AEC 的理由是 SAS ； 同学乙添加的条件是：∠B＝∠C，则△ADB≌△AEC 的理由是 AAS ； 同学丙添加的条件是：∠ADB＝∠AEC，则△ADB≌△AEC 的理由是 ASA ； （2）若添加的条件是OE＝OD，证明：△ADB≌△AEC． ▌题型11 二次全等证明 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1. 什么是二次全等 无法一步直接证目标三角形全等，需要先证第一组全等，利用第一组全等得出的边/角相等，当作新条件， 再证第二组全等。 2. 通用四步解题流程 步骤1：拆分目标，分清“先证谁、后证谁” 看结论要证的是哪两个三角形（第二组全等），观察这组三角形缺什么条件： 缺边相等 / 缺角相等 → 这个缺失的条件，就要靠第一次全等推导出来。 步骤2：寻找第一组能直接证明全等的三角形 从题干给的原始条件（平行、中点、角平分线、垂直、公共边、对顶角等），找不用间接推导、直接凑齐 判定的一对三角形。 步骤3：由第一次全等，写出推导结论 若△①≌△②，可得：对应边相等、对应角相等，这是连接两次全等的桥梁条件。 步骤4：代入桥梁条件，证第二次全等 把第一步全等得到的等边/等角，和原图原有条件结合，凑齐SSS/SAS/ASA/AAS/HL，完成最终证明。 【典例1】如图，已知A，B，C，D 在一条直线上，AB＝CD，BE⊥AD，CF⊥AD，AE＝DF，则AF＝DE， 为什么？ 【变式1-1】如图，点A，C，D，B 在同一条直线上，点E，F 分别在直线AB 的两侧，AE＝BF，DE＝CF， 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AC＝BD．猜想CE，DF 的数量和位置关系，并说明理由． 【变式1-2】如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F． 求证：CE＝DF． 【变式1-3】如图，AD＝AE，OE＝OD，求证：△ADB≌△AEC．
