专题06反比例函数的特殊三角形、四边形的十一类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&

 
 
 
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专题06 反比例函数的特殊三角形、四边形的十一类综合题型 
 
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 
题型一、反比例函数中的全等三角形与k 型 
题型二、反比例函数中的等腰三角形 
题型三、反比例函数中的等边三角形 
题型四、反比例函数中的等腰直角三角形 
题型五、反比例函数中的直角三角形 
题型六、反比例函数中的平行四边形 
题型七、反比例函数中的菱形 
题型八、反比例函数中的矩形 
题型九、反比例函数中的正方形 
题型十、反比例函数中的角度与等角 
题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值 
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 
 
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 
类别 
具体
内容 
核心知识点 
易错点 
特殊
三角
形存
在性
问题 
等腰
三角
形存
在性 
1. 分类讨论：分别以三个顶点为
等腰三角形顶点，两腰相等；2. 利
用两点间距离公式列方程求解；3. 
结合反比例函数解析式验证点坐
标的有效性 
1. 漏解：未完整进行分类讨论，遗漏某一
种顶点情况；2. 增解：未验证求得的点是
否在反比例函数图象上，保留不符合条件
的解；3. 计算错误：两点间距离公式应用
时符号或平方运算出错 
直角
三角
形存
在性 
1. 分类讨论：分别以三个顶点为
直角顶点；2. 利用勾股定理逆定
理或斜率乘积为-1（垂直判定）列
方程；3. 结合反比例函数有意义
筛选结果 
1. 忽略直角顶点在原点或坐标轴上的特
殊情况；2. 混淆斜率垂直的条件，忽略斜
率不存在的特殊情形；3. 未考虑反比例函
数x≠0 的限制，得到无效点坐标 
目 录 
 
 
 
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等腰
直角
三角
形存
在性 
1. 结合等腰与直角的双重条件分
类；2. 利用全等三角形或坐标变
换确定点的位置关系；3. 代入反
比例函数解析式求解验证 
1. 分类重复或遗漏，同一位置重复计算；
2. 坐标变换时横纵坐标对应关系错误；3. 
未同时满足等腰和直角两个条件，只满足
一个就得出结论 
特殊
四边
形存
在性
问题 
平行
四边
形存
在性 
1. 分类讨论：已知边为平行四边
形的边或对角线两种情况；2. 利
用平行四边形对角线中点坐标重
合（中点公式）列方程；3. 利用
平移性质确定点坐标 
1. 只讨论已知边为边的情况，遗漏已知边
为对角线的情形；2. 中点坐标公式计算错
误，横纵坐标弄混；3. 平移方向考虑不全，
导致漏解 
矩形
存在
性 
1. 先满足平行四边形，再附加直
角或对角线相等条件；2. 分类讨
论已知顶点的位置关系；3. 利用
勾股定理或垂直条件验证 
1. 直接按平行四边形求解后未验证矩形
的特殊条件；2. 对角线相等条件应用时计
算错误；3. 忽略矩形四个顶点都在反比例
函数图象上的限制，保留不在图象上的点 
菱形
存在
性 
1. 先满足平行四边形，再附加邻
边相等或对角线垂直条件；2. 利
用两点间距离公式计算邻边长度
列方程；3. 结合反比例函数验证
点坐标 
1. 混淆菱形与平行四边形的判定条件，遗
漏邻边相等的验证；2. 对角线垂直条件应
用错误；3. 出现四个顶点共线的无效情况
未排除 
正方
形存
在性 
1. 同时满足矩形+菱形的判定条
件；2. 利用坐标变换或三垂直全
等求点坐标；3. 代入反比例函数
逐一验证 
1. 只满足矩形或菱形一个条件，未同时验
证两个要求；2. 三垂直全等模型中对应边
的坐标对应错误；3. 分类不全面，遗漏不
同位置的正方形情况 
通用
问题 
分类
讨论
原则 
按照已知点、未知点的角色分类，
保证不重不漏 
分类标准混乱，出现重复讨论或者漏解 
解的
验证 
所有求得的点必须满足反比例函
数解析式，同时满足点不重合、图
形不退化（不能三点共线等） 
求得方程的解后直接作为结果，未排除不
符合图形要求或不在反比例函数上的增根 
 
 
 
 
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题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 
题型一、反比例函数中的全等三角形与k 型 
典例1 如图，反比例函数
k
y
x
=
在第一象限内的图象与矩形OABC的两边相交于D ，E 两点，
2
2
CE
AD
=
=
．若矩形OABC的面积为9
2 ，则k 的值是（     ） 
 
A．6 
B．8 
C．4 
D．3 
【答案】D 
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用k 表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于k 的方程
求解． 
【详解】解：∵
2
2
CE
AD
=
=
， 
∴
2
CE =
，
1
AD = ， 
∵四边形OABC是矩形，点C 在y 轴上，点A在x 轴上， 
∴点E 的横坐标为2 ，点D的纵坐标为1， 
∵点D，E 在反比例函数
k
y
x
=
的图象上， 
∴点E 的纵坐标为2
k ，点D的横坐标为k ， 
∴
2
k
OC =
，OA
k
=
， 
∵矩形OABC的面积为9
2 ， 
∴
9
2
2
k
OA OC
k

=

=
， 
∴
2
9
k =
， 
∵图象在第一象限， 
∴
0
k ， 
 
 
 
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∴
3
k = ． 
 
变式1-1 如图，在平面直角坐标系中，ABC

的顶点A、C 均在函数
1 (
0)
y
x
x
=

的图象上，顶点B 在函数
3 (
0)
y
x
x
=

的图象上，且AB
x
轴，BC
y

轴．若
3
2
AB
BC =
，则线段AB 的长为（   ） 
 
A．1 
B．2 2
3
 
C．2 
D．2 
【答案】C 
【分析】设点B 的横坐标为(
)
0
a a 
，根据函数图像上点的坐标特征可得
3
,
B a a





，继而得到
3
,
3
a
A
a





，
1
,
C a a





，得出
2
3
AB
a
=
，
2
BC
a
=
，再根据
3
2
AB
BC =
，即可得解． 
【详解】解：延长BA交y 轴于点E ，延长BC 交x 轴于点F ， 
 
∴BE
x
∥轴，BC
y
∥
轴， 
设点B 的横坐标为(
)
0
a a 
， 
∵点B 在函数
(
)
3
0
y
x
x
=

的图像上， 
当x
a
=
时，得
3
y
a
=
， 
∴
3
,
B a a





， 
∴点A的纵坐标为3
a ，点C 的横坐标为a ， 
∵顶点A、C 均在函数
(
)
1
0
y
x
x
=

的图像上， 
 
 
 
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当
3
y
a
=
时，得
3
a
x =
；当x
a
=
时，得
1
y
a
=
； 
∴
3
,
3
a
A
a





，
1
,
C a a





， 
∴
2
3
3
a
AB
a
a
=
−
=
，
3
1
2
BC
a
a
a
=
−
=
， 
∵
3
2
AB
BC =
， 
∴
2
3
3
2
2
a
a
=
， 
∴
3 2
2
a =
或
3 2
2
a = −
（舍去）， 
∴
2
2
3 2
2
3
3
2
AB
a
=
=

=
． 
 
变式1-2 如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(
)
4,3 ，顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=

的
图象经过点B ，则k 的值为（     ） 
 
A．12 
B．24 
C．27 
D．32 
【答案】C 
【分析】由菱形OABC的顶点A的坐标为(
)
4,3 ，可求得
5
AB
OA
=
= ，继而求得点B 的坐标，然后由待定系
数法即可求得k 的值． 
【详解】解：点A的坐标为(
)
4,3 ， 
2
2
4
3
5
OA

=
+
=
， 
四边形OABC是菱形， 
5
AB
OA

=
=
，AB
OC
∥
， 
点B 的坐标为(
)
9,3 ， 
 
 
 
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反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=

的图象经过点B ， 
9 3
27
k
xy

=
= =
． 
 
变式1-3 如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点A、B 的坐标分别为(
)
1.5,3 、(
)
6.5,3 ，动点C 在双曲
线
k
y
x
=
上，且满足
90
ACB

=
，当OC 长度最小时，k 的值为（     ） 
 
A．2 
B．3 
C．4.5 
D．6 
【答案】B 
【分析】取AB 的中点D，连接
,
,
OD CD OC ，求出D 点坐标，斜边上的中线求出CD的长，根据OC
OD
CD

−
，
得到当O，C，D 三点共线时，OC 取得最小值，求出OD 的解析式，设点C 坐标为
3
, 4
m
m





，根据两点间
距离公式列出方程求出C 点坐标，即可得出结果． 
【详解】解：取AB 的中点D，连接
,
,
OD CD OC ，如图所示： 
 
∵线段AB 的端点A、B 的坐标分别为(
) (
)
1.5,3 , 6.5,3 ， 
∴点D 坐标为(
)
4,3 ，
5
AB =
， 
∵
90
ACB

=
， 
∴
1
2.5
2
CD
AB
=
=
， 
∵OC
OD
CD

−
， 
∴当O，C，D 三点共线时，OC 取得最小值， 
 
 
 
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设直线OD 的解析式为
(
)
0
y
ax a
=

，代入点(
)
4,3 ，得4
3
a =
， 
解得
3
4
a =
， 
∴直线OD 的解析式为
3
4
y
x
=
， 
设点C 坐标为
3
, 4
m
m





， 
∴
(
)
2
2
3
4
3
2.5
4
DC
m
m


=
−
+
−
=




， 
解得
2
m =
或
6
m =
（舍去）， 
∴点C 坐标为
3
2, 2





， 
将C 点坐标代入双曲线
k
y
x
=
，得
3
k = ． 
 
类型二、反比例函数中的等腰三角形 
典例2 如图，等边OAB

的边长为5，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=

的图象交OA于点C ，交AB 于点D ，且
3
OC
BD
=
，则k 的值为（   ） 
 
A．
9
3
8
−
 
B．9
3
4
 
C．15
3
4
 
D．
15
3
4
−
 
【答案】B 
【分析】过点C 、D分别作x 轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出C 、D 坐标，代入
反比例函数解析式求解． 
【详解】解：过点C 作CE
x
⊥
轴于点E ，过点D 作DF
x
⊥
轴于点F ． 
 
 
 
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设BD
a
=
，则
3
OC
a
=
． 
OAB

为边长为5 的等边三角形， 
60
AOB
ABO



=
=
，
5
OB =
． 
在Rt OCE

中，
60


=
COE
，
3
OC
a
=
， 
3
2
OE
a

=
，
3 3
2
CE
a
=
． 
点C 在第三象限， 
3
3 3
,
2
2
C
a
a



−
−






． 
在Rt DBF

中，
60
DBF

=
，BD
a
=
， 
1
2
BF
a

=
，
3
2
DF
a
=
． 
(
)
5,0
B −

，点D在第三象限， 
1
3
5
,
2
2
D
a
a



−+
−






． 
点C 、D在反比例函数
k
y
x
=
图象上， 
3
3 3
1
3
5
2
2
2
2
k
a
a
a
a







= −
−
= −+
−
















． 
2
2
9 3
5 3
3
4
2
4
a
a
a

=
−
． 
0
a 

， 
9
5
1
4
2
4
a
a

=
−
． 
5
5
2
2
a

=
，解得
1
a = ． 
2
9 3
9
1
3
4
4
k

=

=
． 
 
 
 
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变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，点A、C 关于坐标原点对称，且均在反比例函数 
6
y
x
−
=
图象上，AB
y
⊥
轴于点B，CD
y
⊥
轴于点 D，连结AD、BC ，则四边形ABCD的面积为_______． 
 
【答案】12 
【分析】设
6
,
A t
t


−



，由
,
A C 关于原点对称得
6
,
C
t t


−



由AB
y
⊥
轴得
6
0,
B
t


−



，由CD
y
⊥
轴得
6
0,
D
t





，
则AB
t
=
，高
12
BD
t
=
，再由四边形ABCD是平行四边形，则面积
12
S
AB BD
=

=
． 
【详解】解：由题意，可设
6
,
A t
t


−



， 

,
A C 关于原点对称， 
 ∴
6
,
C
t t


−



， 
AB
y
⊥
轴， 
6
0,
B
t



−



， 
CD
y
⊥

轴， 
6
0,
D
t






， 
0
,
0
AB
t
t CD
t
t
=
−
=
= −−
=

， 
∴AB
CD
=
，且
//
AB CD ， 
四边形ABCD是平行四边形，且AB
BD
⊥
， 
四边形ABCD的面积为
6
6
12
12
S
AB BD
t
t
t
t
t
=

=
−
−
=

=
． 
 
变式2-2 如图，菱形OABC的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是10 和6
（AC
OB

），反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象经过点C，则k 的值为______； 
 
 
 
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【答案】15
−
 
【分析】先根据菱形的性质得到点C 的坐标，再代入反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

中可求得k 值． 
【详解】解：设AC 与y 轴相交于点D， 
 
∵四边形OABC是菱形，
6
OB =
，
10
AC =
， 
∴
1
5
2
CD
AC
=
= ，
1
3
2
OD
OB
=
=
，AC
OB
⊥
，即AC
y
⊥
轴， 
∴点C 的坐标为(
)
5,3
−
， 
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象经过点C， 
∴
5 3
15
k = −= −
． 
 
变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为(
)
5,0 ，点C 在反比例函数
k
y
x
= （
0
k 
，
0
x 
）的图象上，连结OA、OC ，以OA、OC 为邻边构造菱形OABC．若菱形OABC的面积为20 ，则k 的
值为________． 
 
【答案】12
−
 
【分析】过点C 作CE
x
⊥
轴于点E ，根据菱形OABC的面积求出CE ，再根据勾股定理求出OE ，得到点C 的
 
 
 
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坐标从而求出k ． 
【详解】解：如图所示，过点C 作CE
x
⊥
轴于点E ， 
90
OEC

=
， 
由菱形的性质知
5
OC
OA
=
=
， 
菱形OABC的面积为20 ， 
5
20
OA CE
CE

=
=

， 
4
CE

= ， 
由勾股定理得
2
2
3
OE
OC
CE
=
−
=
， 
结合点C 在第四象限得
(
)
3, 4
C
−
， 
由点C 在反比例函数
k
y
x
=
上得
(
)
3
4
12
k = −
= −
． 
 
题型三、反比例函数中的等边三角形 
典例3 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x 轴的负半轴上，顶点B ，C ，D 都在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=

的图象上，且边BC 经过原点O，若平行四边形ABCD的面积为18，则k =__________． 
 
【答案】6 
【分析】设
, k
C b b





，根据反比例函数的中心对称性可得
,
k
B
b
b


−
−



，利用平行四边形性质表示出点D 的坐
标，代入反比例函数解析式得到,a b 的关系，再结合
1
2
AOD
ABCD
S
S
=

建立关于k 的方程求解． 
【详解】解：设
, k
C b b





，其中
0
b 
 ， 
 
 
 
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边BC 经过原点O，且
,
B C 在反比例函数
k
y
x
=
图象上 ， 
点B 与点C 关于原点对称 ， 
,
k
B
b
b



−
−



，且O为BC 中点  ． 
四边形ABCD是平行四边形， 
∴
,
AD
BC AD
BC
=
∥
， 
设
(
)
,0
A a
，其中
0
a 
， 
∴
,
D
A
C
B
D
A
C
B
x
x
x
x
y
y
y
y
−
=
−
−
=
−
， 
∴
(
),
0
D
D
k
k
x
a
b
b
y
b
b


−
=
−−
−
=
−−



， 
∴
2
D
x
a
b
=
+
，
2
D
k
y
b
=
， 
2
2 , k
D a
b b



+



． 
点D在反比例函数
k
y
x
=
图象上， 
(
) 2
2
k
a
b
k
b

+

=
， 
0
k 

， 
(
)
2
2
a
b
b

+
=
， 
2
3
a
b

= −
，即
2
3
b
a
=−
 ． 
连接OD ， 
四边形ABCD是平行四边形 
AD
BC

∥
，AD
BC
=
 
点O到AD的距离等于平行四边形ABCD边BC 上的高，设为h ，  
1
1
1
2
2
2
AOD
ABCD
S
AD h
BC h
S

=

=

=

 
18
ABCD
S
=


 
 
 
 
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9
AOD
S

=

 
又
(
)
1
1
2
2
2
AOD
D
k
ak
S
OA y
a
b
b
=

=
−

= −


 
9
ak
b
−
=
 
将
2
3
b
a
=−
代入上式得
9
2
3
ak
a
−
=
−
 
3
9
2 k

=
 
6
k
= ． 
 
变式3-1 如图，在菱形ABCO中，点
(
)
10,0
A −
，点(
)
,8
B a
，AC 与BO交于点D ，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的
图象经过点D，则k 的值为________． 
 
【答案】8
− 
【分析】过点B 作BE
OA
⊥
于点E，利用菱形性质、坐标与图形、勾股定理求出点B 坐标，再根据点D 为BO
中点，求出点D 坐标，最后利用待定系数法求出k 值即可． 
【详解】解：过点B 作BE
OA
⊥
于点E，如图， 
点
(
)
10,0
A −
，点(
)
,8
B a
， 
10
OA

=
，
8
BE = ，OE
a
= −， 
(
)
10
10
AE
OA
OE
a
a

=
−
=
−−
=
+
， 
四边形ABCO为菱形， 
10
AB
OA

=
=
， 
90
AEB

=


， 
 
 
 
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2
2
2
28
6
10
AE
AB
BE

=
−
=
−
= ， 
10
6
a

+
=
 
解得
4
a = −， 
(
)
4,8
B

−
， 
∵AC 与BO交于点D，， 
∴点D 为BO中点， 
∴
(
)
2,4
D −
， 
∵反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点D， 
∴
2 4
8
k = −= −． 
 
变式3-2 已知点(
)
,
P m n 是反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
=

图形上的动点，PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴，分别交反比例函
数
(
)
3
0
y
x
x
=

的图像于点A、B ，点C 是直线
2
y
x
=
上的一点． 
  
(1)请用含m 的代数式表示P、A、B 三点坐标． 
(2)在点P 的运动过程中，联结AB ，三角形PAB的面积是否变化，若不变，请求出三角形PAB的面积；若
改变，请说明理由． 
(3)在点P 运动过程中，是否存在以AP 为直角边的三角形APC 和三角形PAB全等，如果存在，请求出关于
m 的方程（不必求解）． 
【答案】(1)点
6
( ,
)
P m m ，点
(
)
6
,
2
m
A
m ，点
3
( ,
)
B m m 
(2)三角形PAB的面积不变，3
4 
 
 
 
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(3)存在以AP 为直角边的三角形APC 和三角形PAB全等；
3
m =
或
3 2
2
m =
 
【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学
思想是解答本题的关键． 
（1）根据题意可得点
6
( ,
)
P m m ，由PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴，A、B 在反比例函数
3 (
0)
y
x
x
=

的图象上即可求
解； 
（2）由题意得
90
APB

=
，分别表示出PA，PB即可求解； 
（3）由题意分类讨论：①
90
CAP

=
，AC
PB
=
；②
90
CPA

=
，CP
PB
=
两种情况，求出点C 的坐标，
代入即可得到关于m 的方程． 
【详解】（1）解：点
( , )
P m n 是反比例函数
6 (
0)
y
x
x
=

图形上的动点， 

6
n
m
=
， 
点
6
( ,
)
P m m ， 
PA x

∥轴，PB
y
∥
轴， 

6
A
y
m
=
，
B
x
m
=
， 
A

、B 在反比例函数
3 (
0)
y
x
x
=

的图象上， 

6
3
2
A
m
x
m
= 
=
，
3
B
y
m
=
， 
即：点
(
)
6
,
2
m
A
m ，点
3
( ,
)
B m m ； 
（2）解：三角形PAB的面积不变；理由如下： 
PA x

∥轴，PB
y
∥
轴， 
90
APB

=
， 

6
( ,
)
P m m ，
(
)
6
,
2
m
A
m ，
3
( ,
)
B m m ， 

2
2
m
m
PA
m
=
−
=
，
6
3
3
PB
m
m
m
=
−
=
， 

1
3
2
4
PAB
S
PA PB
=


=

； 
（3）解：存在以AP 为直角边的三角形APC 和三角形PAB全等；理由如下： 
若以AP 为直角边的△APC 和△PAB全等， 
①
90
CAP

=
，AC
PB
=
，如图1 所示： 
 
 
 
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此时
9
,
2
C
A
C
A
m
x
x
y
y
PB
m
=
=
=
+
=
， 
即：点
(
)
9
,
2
m
C
m ， 
点C 是直线
2
y
x
=
上的一点， 
9
2
2
m
m
= 
， 
整理得：
2
9
m =
， 
3
m

= 或3
−（舍去）； 
②
90
CPA

=
，CP
PB
=
，如图2 所示： 
  
此时
9
,
C
P
C
A
x
x
m y
y
PB
m
=
=
=
+
=
， 
即：点
9
( ,
)
C m m ， 
点C 是直线
2
y
x
=
上的一点， 
9
2
m
m
= 
， 
整理得：
2
9
2
m =
， 
 
 
 
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
3 2
2
m =
或
3 2
2
−
（舍去）， 
综上所述：存在以AP 为直角边的三角形APC 和三角形PAB全等；
3
m =
或
3 2
2
m =
． 
 
变式3-3 已知点
( , )
P m n 是反比例函数
6 (
0)
y
x
x
=

图形上的动点，PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴，分别交反比例函
数
3 (
0)
y
x
x
=

的图像于点A、B，点C 是直线
2
y
x
=
上的一点． 
   
(1)请用含m 的代数式表示P、A、B 三点坐标． 
(2)在点P 的运动过程中，连接AB ，PAB

的面积是否变化，若不变，请求出PAB

的面积，若改变，请说
明理由． 
(3)在点P 运动过程中，是否存在以AP 为直角边的
APC
△
和PAB

全等，如果存在，请求出m 的值． 
【答案】(1)
6
( ,
)
P m m ，
(
)
6
,
2
m
A
m ，
3
( ,
)
B m m ； 
(2)不变，3
4 
(3)
3
m =
或
3 2
2
m =
 
【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学
思想是解决第三问的关键． 
（1）根据题意可得点
6
( ,
)
P m m ，由PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴，A B
、在反比例函数
3 (
0)
y
x
x
=

的图像上即可求
解； 
（2）由题意得
90
APB

=
，分别表示出PA，PB即可求解； 
（3）由题意分类讨论
90
CAP

=

①
，AC
PB
=
90
CPA

=

②
，CP
PB
=
两种情况，求出点C 的坐标即可． 
 
 
 
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【详解】（1）解：∵点
( , )
P m n 是反比例函数
6 (
0)
y
x
x
=

图形上的动点， 
∴
6
n
m
=
， 
∴点
6
( ,
)
P m m ， 
∵PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴， 
∴
6
A
y
m
=
，
B
x
m
=
， 
∵A B
、在反比例函数
3 (
0)
y
x
x
=

的图像上， 
∴
6
3
2
A
m
x
m
= 
=
，
3
B
y
m
=
， 
即：点
(
)
6
,
2
m
A
m ，点
3
( ,
)
B m m ； 
（2）解：PAB

的面积不变，为3
4 ，理由如下： 
∵PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴， 
∴
90
APB

=
， 
∵
6
( ,
)
P m m ，
(
)
6
,
2
m
A
m ，
3
( ,
)
B m m ， 
∴
2
2
m
m
PA
m
=
−
=
，
6
3
3
PB
m
m
m
=
−
=
， 
∴
1
3
2
4
PAB
S
PA PB
=


=

； 
（3）解：若以AP 为直角边的
APC
△
和PAB

全等， 
90
CAP

=

①
，AC
PB
=
，如图所示： 
   
此时
9
,
2
C
A
C
A
m
x
x
y
y
PB
m
=
=
=
+
=
， 
 
 
 
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即：点
(
)
9
,
2
m
C
m ， 
∵点C 是直线
2
y
x
=
上的一点， 
∴9
2
2
m
m
= 
， 
解得：
3
m =
，
3
m
−
=
（舍）， 
90
CPA

=

②
，CP
PB
=
，如图所示： 
   
此时
9
,
C
P
C
A
x
x
m y
y
PB
m
=
=
=
+
=
， 
即：点
9
( ,
)
C m m ， 
∵点C 是直线
2
y
x
=
上的一点， 
∴9
2
m
m
= 
，解得：
3 2
2
m =
，
3 2
2
m = −
（舍）， 
综上所述：
3
m =
或
3 2
2
m =
时，以AP 为直角边的
APC
△
和PAB

全等． 
 
题型四、反比例函数中的等腰直角三角形 
典例4 【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI 技术已悄然
渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生
一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 
 
 
 
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【条件设置】将图1 放置在直角坐标系中（图2），设点O 为坐标原点，水平直线OC 为横轴，过点O 的铅
垂线为纵轴．小球从y 轴上的A 点出发，到达x 轴上的B 点后改变方向运动到挡板CG 上D 点处，其中DC
x
⊥
轴，垂足为C，
90
ABD

=
，小球运动都为直线型路径． 
【初步发现】 
(1)如图2，若AB 的函数关系式为
4
4
3
y
x
= −
+
． 
①则点A 坐标为________；点B 坐标为________； 
②聪明的小宛发现当AB
BD
=
时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D 的坐标为________； 
【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个
全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 
【应用探究】 
(2)已知直线1 :
2
2
l
y
x
=
+
与x 轴交于点B，与y 轴交于点A，过反比例函数
k
y
x
=
图象一点E，在第二象限构
造等腰直角ABE

，使得
90
BAE

=
，求反比例函数的表达式； 
【拓展延伸】 
(3)如图4，将直线1 :
2
2
l
y
x
=
+
绕点A 旋转45得到2l ，直接写出2l 的函数表达式． 
【答案】(1)①(
)
0,4 ；(
)
3,0 ；②(
)
7,3 
(2)
6
y
x
−
=
 
(3)
1
2
3
=
+
y
x
或
3
2
y
x
= −
+ 
【分析】本题考查了一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等三角形的性质与判定，学会作垂线
构造全等三角形是解题的关键． 
（1）①利用一次函数的性质即可求解；②通过证明BCD
AOB

≌
，得出BC
AO
=
，
=
CD
OB，代入数据
即可得出点D 的坐标； 
 
 
 
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（2）作EF
y
⊥
轴于点F ，利用一次函数的性质求出点
,
A B 的坐标，再通过证明AEF
BAO

≌
，得到AF
BO
=
，
EF
AO
=
，代入数据得到点E 的坐标，再利用待定系数法求反比例函数表达式即可； 
（3）根据题意，分两种情况讨论：①直线1l 绕点A 顺时针旋转45得到2l ；②直线1l 绕点A 逆时针旋转45
得到2l ，过点B 作BM
AB
⊥
交2l 于点M ，作MN
x
⊥
轴于点N ，通过证明MNB
BOA

≌
，得到MN
BO
=
，
BN
AO
=
，代入数据得到点M 的坐标，再利用待定系数法求直线2l 的函数表达式即可． 
【详解】（1）解：①令
0
x =
，则
4
y =
， 
令
0
y =
，则
4
4
0
3 x
−
+
=
，解得
3
x =
， 
点A 坐标为(
)
0,4 ；点B 坐标为(
)
3,0 ． 
故答案为：(
)
0,4 ；(
)
3,0 ． 
②
90
ABD

=


， 
90
ABO
CBD

+
=
， 
DC
x
⊥

轴， 
90
BCD

=
， 
90
BDC
CBD

+
=
， 
BDC
ABO

= 
， 
又
90
BCD
AOB

= 
=


，BD
AB
=
， 
(
)
AAS
BCD
AOB

≌
， 
BC
AO

=
，
=
CD
OB， 
由①得，
(
)
0,4
A
，(
)
3,0
B
， 
4
BC
AO

=
=
，
3
CD
OB
=
=
， 
3
4
7
OC
OB
BC

=
+
= +
= ， 
点D 的坐标为(
)
7,3 ． 
故答案为：(
)
7,3 ． 
（2）解：如图，作EF
y
⊥
轴于点F ， 
 
 
 
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令
0
x =
，则
2
y =
， 
令
0
y =
，则2
2
0
x +
=
，解得
1
x = −， 
(
)
0,2
A

，
(
)
1,0
B −
， 
2
AO

= ，
1
BO = ， 
90
BAE

=


， 
90
BAO
EAF

+
=
， 
EF
y
⊥

轴， 
90
AFE

=
， 
90
AEF
EAF

+
=
， 
AEF
BAO

= 
， 
又
90
AFE
BOA

= 
=


，AE
BA
=
， 
(
)
AAS
AEF
BAO

≌
， 
1
AF
BO

=
= ，
2
EF
AO
=
=
， 
2 1
3
OF
AO
AF

=
+
=
+ = ， 
(
)
2,3
E

−
， 
代入
(
)
2,3
E −
到反比例函数
k
y
x
=
，得
2 3
6
k = −= −， 
反比例函数的表达式为
6
y
x
−
=
． 
（3）解：由（2）得，
(
)
0,2
A
，
(
)
1,0
B −
， 
①若直线1l 绕点A 顺时针旋转45得到2l ， 
如图，过点B 作BM
AB
⊥
交2l 于点M ，作MN
x
⊥
轴于点N ， 
 
 
 
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BM
AB
⊥

， 
90
ABM


=
， 
90
MBN
ABO

+
=
， 
MN
x
⊥

轴， 
90
MNB

=
， 
90
MBN
BMN

+
=
， 
BMN
ABO

= 
， 
45
BAM

=


， 
90
45
45
AMB

=
−
=
， 
BAM
AMB

=
， 
BM
AB

=
， 
又
90
MNB
BOA

= 
=


， 
(
)
AAS
MNB
BOA

≌
， 
1
MN
BO

=
= ，
2
BN
AO
=
=
， 
1 2
3
ON
BO
BN

=
+
= +
= ， 
(
)
3,1
M

−
， 
设直线2l 的函数表达式为
2
y
kx
=
+ ， 
代入
(
)
3,1
M −
，得3
2
1
k
−
+
= ， 
解得：
1
3
k =
， 
直线2l 的函数表达式为
1
2
3
=
+
y
x
； 
②若直线1l 绕点A 逆时针旋转45得到2l ， 
如图，过点B 作BM
AB
⊥
交2l 于点M ，作MN
x
⊥
轴于点N ， 
 
 
 
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同理①的方法可得，
1
MN
BO
=
= ，
2
BN
AO
=
=
， 
2 1 1
ON
BN
BO

=
−
=
−= ， 
(
)
1, 1
M

−
， 
设直线2l 的函数表达式为
2
y
k x
=
+
， 
代入
(
)
1, 1
M
−
，得
2
1
k+
= −， 
解得：
3
k= −， 
直线2l 的函数表达式为
3
2
y
x
= −
+ ； 
综上所述，直线2l 的函数表达式为
1
2
3
=
+
y
x
或
3
2
y
x
= −
+ ． 
 
变式4-1 探究下列问题： 
【模型建立】 
(1)如图，在ABC

中，
90 ,
ACB
CB
CA

=

=
，直线ED经过点C ，过点A作AD
ED
D
⊥
于
，过点B 作BE
ED
⊥
于E ．求证：AD
CE
=
； 
 
【模型应用】 
(2)直线1
3
4
4
l
y
x
=
+
：
与,x y轴分别交于点
,
A B ，将直线1l 绕点B 顺时针旋转45得到直线2l ，求直线2l 的函数
表达式； 
【拓展探究】 
(3)一次函数
3
8
4
y
x
=
+ 的图象与,x y轴分别交于点
,
A B ，点C 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象上，若ABC

 
 
 
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为等腰直角三角形，请直接写出k 的所有可能的值． 
【答案】(1)如图1， 
 
∵
90 ,
ACB
CB
CA

=

=
， 
∴
90
ACD
BCE

+
=
． 
又∵AD
ED
⊥
，BE
ED
⊥
， 
∴
90
D
E

= 
=
，
90
EBC
BCE

+
=
， 
∴
ACD
EBC

= 
， 
在ACD

与△CBE 中 
D
E
ACD
EBC
CA
CB

= 


= 


=

， 
∴
(
)
ACD
CBE AAS

≌
 
∴AD
CE
=
； 
(2)
1
4
7
y
x
= −
+
 
(3) 1792
9
−
或
448
3
−
或
784
9
−
 
【分析】（1）根据ABC

为等腰直角三角形，AD
ED
⊥
，BE
ED
⊥
，可判定ACD
CBE

≌
，从而得结论； 
（2）根据
ADC
BOA
△
≌△
，求得
(
)
7,3
C −
，最后运用待定系数法求直线2l 的函数表达式； 
（3）根据ABC

为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C 三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全
等可得点C 的坐标，根据
=
k
xy 可得结论． 
【详解】（1）略 
（2）解：∵直线
3
4
4
y
x
=
+
的图象与x y
，轴分别交于点
,
A B ，当
0
x =
时，
4
y =
，当
0
y =
时，
16
3
x = −
， 
∴
(
)
16 ,0 ,
0,4
3
A
B


−




， 
如图2， 
 
 
 
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过点A作AC
AB
⊥
交直线2l 于点C ，过点C 作CD
x
⊥
轴， 
在ADC

和AOB

中， 
CAD
ABO
CDA
BOA
AC
AB

= 


= 


=

， 
∴
(
)
AAS
ADC
BOA

≌
， 
∴
16
3
CD
AO
=
=
，
4
AD
BO
=
=
， 
∴
16
28
4
3
3
OD
OA
AD
=
+
=
+
=
， 
∴C 点坐标为
28 16
,
3
3


−



， 
设2l 的解析式为y
kx
b
=
+
，将B ，C 点坐标代入， 
得
16
28
3
3
4
k
b
b

= −
+

=

， 
解得
1
7
4
k
b
= −

=

， 
∴2l 的函数表达式为
1
4
7
y
x
= −
+
； 
（3）解：分三种情况： 
①如图3，
90
CAB

=
，过点C 作CE
x
⊥
轴于E ， 
 
 
 
 
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当
0
x =
时，
8
y =
， 
当
0
y =
时，3
8
0
4 x + =
， 
∴
32
3
x = −
， 
∴
32
3
OA =
，
8
OB = ． 
∵ABC

是等腰直角三角形， 
∴AB
AC
=
，
90
BAC

=
， 
由（1）同理可得
(
)
AAS
CEA
AOB

≌
， 
∴
32
3
CE
OA
=
=
，
8
AE
OB
=
= ， 
32
56
8
3
3
OE
OA
AE

=
+
=
+ =
， 
∴
56 32
(
)
3
3
C −
，
， 
∴
56
32
1792
3
3
9
k = −

= −
； 
②如图4，
90
ABC

=
，过点C 作CF
y
⊥
轴于F ， 
 
由（1）同理可得
(
)
CFB
BOA AAS

≌
， 
∴
8
CF
OB
=
= ，
32
3
BF
OA
=
= −
， 
∴
56
( 8
)
3
C −，
， 
∴
56
448
8
3
3
k = −
= −
； 
③如图5，
90
ACB

=
，过点C 作CH
y
∥轴，过点C 作
∥
CG
x 轴， 
 
 
 
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由（1）同理可得
(
)
AAS
CGB
CHA

≌
， 
∴CG
CH
=
，BG
AH
=
， 
设AH
m
=
， 
则
32
3
CG
OH
m
=
=
−
，
8
CH
OG
m
=
= +
， 
∴32
8
3
m
m
−
= +
， 
∴
4
3
m =
， 
∴
28 28
,
3
3
C 

−



， 
∴
28
28
784
3
3
9
k = −

= −
． 
综上，k 的所有可能的值是1792
9
−
或
448
3
−
或
784
9
−
． 
 
变式4-2 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数
4
y
kx
=
+ （k 为常数，
0
k 
）的图象与x 轴，y 轴分别交
于A，B 两点，与反比例函数
m
y
x
=
（m 为常数，
0
m 
）在第二，四象限分别交于C ，D 两点，点
(
)
3,
D
b ，
2
OB
OA
=
． 
 
(1)求一次函数和反比例函数的解析式； 
(2)点P 在坐标轴上，以点O，D ，P 为顶点的等腰三角形有 个，当点P 在x 轴负半轴时，求等腰三角形ODP
 
 
 
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的面积； 
(3)如图2，已知函数
m
y
kx
x
=
−
的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 
【答案】(1)
2
4
y
x
−
=
+
；
6
y
x
−
=
 
(2)8；13 
(3)①当
0
x 
时，y 随x 增大而减小 
②当
0
x 
时y 随x 增大而减小 
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的解析式求出点D 的坐标，再利用待定
系数法求出反比例函数的解析式； 
（2）点P 在坐标轴上，以点O，D，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：PO
PD
=
、
PO
OD
=
，PD
OD
=
；根据三角形的面积公式求出当点P 在x 轴负半轴时，等腰三角形ODP的面积； 
（3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可． 
【详解】（1）解：将
0
x =
代入
4
y
kx
=
+
， 
可得：
4
y =
， 
点B 的坐标为(
)
0,4 ， 
4
OB

=
， 
2
OB
OA
=

， 
2
OA

=
， 
点A的坐标为(
)
2,0 ， 
将
(
)
2,0
A
代入
4
y
kx
=
+
， 
可得：2
4
0
k +
=
， 
解得：
2
k
−
=
， 
一次函数的解析式为
2
4
y
x
−
=
+
， 
将
(
)
3,
D
b 代入
2
4
y
x
−
=
+ ， 
可得：
2 3 4
b = −+ ， 
解得：
2
b = −， 
点D的坐标为(
)
3, 2
−
， 
 
 
 
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将
(
)
3, 2
D
−
代入
m
y
x
=
， 
可得：3
2
m
= −， 
解得：
6
m
−
=
， 
反比例函数的解析式为
6
y
x
−
=
； 
（2）解：点D的坐标为(
)
3, 2
−
， 
(
)
2
23
2
13
OD

=
+ −
=
， 
当PO
PD
=
时，若点P 在x 轴上，设点P 的坐标为(
)
,0
x
， 
则有PO
x
=
，
(
)
(
)
2
2
3
0
2
PD
x
=
−
+
+
 
(
)
(
)
( )
2
2
2
3
0
2
x
x

−
+
+
=
， 
解得：
13
6
x =
， 
点P 的坐标为13 ,0
6





； 
当PO
PD
=
时，点P 在y 轴上，设点P 的坐标为(
)
0, y ， 
则有PO
y
=
，
(
)
(
)
2
2
3
0
2
PD
y
=
−
+
+
 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
0
2
y
y

−
+
+
=
， 
解得：
13
4
y = −
， 
点P 的坐标为
13
0,
4


−



； 
当OP
OD
=
，点P 在x 轴上时， 
13
OP
OD
=
=

， 
点P 的坐标是(
)
13,0
−
或(
)
13,0 ； 
当OP
OD
=
，点P 在x 轴上时， 
13
OP
OD
=
=

， 
点P 的坐标是(
)
0,
13
−
或(
)
0, 13 ； 
当
13
DO
DP
=
=
，点P 在x 轴上时， 
 
 
 
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如下图所示，过点D作DE
y
⊥
轴， 
点D的坐标是(
)
3, 2
−
， 
3
DE

=
，
2
OE =
， 
4
OP

=
， 
点P 的坐标是(
)
0, 4
−
； 
 
当
13
DO
DP
=
=
，点P 在y 轴上时， 
如下图所示，过点D作DF
x
⊥
轴， 
点D的坐标是(
)
3, 2
−
， 
3
OF

= ，
2
DF =
， 
6
OP

=
， 
点P 的坐标是(
)
6,0 ； 
当ODP

是等腰三角形，点P 在坐标轴上时，点P 的坐标为13 ,0
6





或
13
0,
4


−



或
(
)
13,0
−
或(
)
13,0 (
)
0,
13
−
或(
)
0, 13 或(
)
0, 4
−
或(
)
6,0 ， 
综上所述，以点O，D，P 为顶点的等腰三角形有8个； 
13
OP
OD
=
=

， 
1
13
2
13
2
ODP
S

=


=
△
； 
（3）解：图象的性质：①当
0
x 
时，y 随x 增大而减小； 
②当
0
x 
时y 随x 增大而减小； 
③函数的图象关于原点对称； 
 
 
 
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变式4-3 已知反比例函数
1
1
2
k
y
x
=
的图象与一次函数
2
2
y
k x
b
=
+ 的图象交于A、B 点，(
)
1,
A
n ，
1 , 2
2
B
−


−



． 
 
(1)求两函数的解析式； 
(2)在x 轴上是否存在点P，使AOP

为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理
由． 
(3)求
AOB
S
； 
(4)若
1
2
y
y

，直接写出x 的取值范围． 
【答案】(1)
1
1
y
x
=
；
2
2
1
y
x
=
−； 
(2)P 点的坐标为(
)
2,0 或(
)
1,0 或(
)
2,0 或(
)
2,0
−
； 
(3) 3
4 
(4)
1
2
x −
或0
1
x

． 
【分析】（1）利用待定系数法求解即可； 
（2）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； 
（3）利用三角形面积公式求解即可； 
（4）利用函数图象求解即可． 
【详解】（1）解：∵反比例函数
1
1
2
k
y
x
=
的图象经过点
1 , 2
2
B
−


−



， 
 
 
 
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∴
1
2
1
2
2
k
−=


−




，解得
1
2
k =
， 
∴反比例函数的解析式为
1
1
y
x
=
； 
将
(
)
1,
A
n 代入
1
1
y
x
=
得
1
1
1
n =
= ， 
∴
(
)
1,1
A
， 
将
(
)
1,1
A
，
1 , 2
2
B
−


−



代入
2
2
y
k x
b
=
+ ， 
得
2
2
1
1
2
2
k
b
k
b
−
+
=
−
+
=

， 
解得
2
2
1
k
b
−
=

=

， 
∴一次函数的解析式为
2
2
1
y
x
=
−； 
（2）解：设P 点的坐标为(
)
,0
p
， 
∵
(
)
1,1
A
， 
∴
2
2
1
1
2
OA =
+
=
， 
当PA
OA
=
时，即
2
2
PA
OA
=
， 
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
0 1
2
p−
+
−
=
， 
解得
0
p =
（舍去）或
2
p =
， 
∴P 点的坐标为(
)
2,0 ； 
当PA
PO
=
时，即
2
2
PA
PO
=
， 
∴(
)
(
)
2
2
2
1
0 1
p
p
−
+
−
=
， 
解得
1
p = ， 
∴P 点的坐标为(
)
1,0 ； 
当
2
PO
OA
=
=
时，P 点的坐标为(
)
2,0 或(
)
2,0
−
； 
综上，P 点的坐标为(
)
2,0 或(
)
1,0 或(
)
2,0 或(
)
2,0
−
； 
（3）解：记直线AB 交y 轴于点C ，当
0
x =
时，
2
1
y = −， 
 
 
 
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∴
(
)
0, 1
C
−
， 
 
∴
1
OC = ， 
∴
1
1
1
3
1 1
2
2
2
4
AOB
A
B
S
OC
x
x
=

−
=
+
=

； 
（4）解：若
1
2
y
y

，x 的取值范围为
1
2
x −
或0
1
x

． 
 
题型五、反比例函数中的直角三角形 
典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y
ax
b
=
+
的图象l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
(
)
1,2 ,
,1
M
N n
两点． 
 
(1)求一次函数y
ax
b
=
+
的表达式； 
(2)利用图象，直接写出不等式
k
ax
b
x
+

的解集； 
(3)点P 是y 轴上一动点，当PMN

是以MN 为底边的等腰三角形时，求出点P 的坐标． 
【答案】(1)
3
y
x
= −+
 
(2)0
1
x

或
2
x 
 
(3)(
)
0,0 
【分析】（1）先求出k 值，进而求出N 点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 
 
 
 
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（2）图象法求出不等式的解集即可； 
（3）根据PM
PN
=
，结合两点间距离公式列出方程，解方程即可． 
【详解】（1）解：∵一次函数y
ax
b
=
+
的图象l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
(
)
1,2 ,
,1
M
N n
两点， 
∴
1 2
1
k
n
= 
=
， 
∴
2
k =
,
2
n =
， 
∴
(
)
2,1
N
， 
把
(
)
(
)
1,2 ,
2,1
M
N
代入y
ax
b
=
+
得：
2
2
1
a
b
a
b
+
=


+
=

， 
解得
1
3
a
b
= −

=

， 
∴
3
y
x
= −+
； 
（2）解：由图象可知，不等式
k
ax
b
x
+

的解集为0
1
x

或
2
x 
； 
（3）解：设
(
)
0,
P
t ， 
∵PM
PN
=
， 
∴
2
2
PM
PN
=
， 
∴(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1 0
2
2
0
1
t
t
−
+
−
=
−
+
−
， 
解得：
0
t =
， 
∴
(
)
0,0
P
． 
 
变式5-1 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y
ax
b
=
+
的图象l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
1 ,4 ,
,1
2
M
N n






两点． 
 
(1)求一次函数y
ax
b
=
+
的表达式； 
 
 
 
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(2)利用图象，直接写出不等式
k
ax
b
x
+

的解集； 
(3)点P 是y 轴上一动点，当
PON
△
是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标． 
【答案】(1)
2
5
y
x
−
=
+
 
(2)
1
0
2
x


或
2
x 
 
(3) P 点坐标为(
)
0,
5

或(
)
0,2 或(
)
0,2.5 
【分析】（1）先求出k 值，进而求出N 点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 
（2）图象法求出不等式的解集即可； 
（3）分
,
,
OP
ON OP
PN ON
PN
=
=
=
三种情况进行讨论求解即可． 
【详解】（1）解：∵一次函数y
ax
b
=
+
的图象l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
1 ,4 ,
,1
2
M
N n






两点， 
∴
1
4
1
2
k
n
=

=
， 
∴
2,
2
k
n
=
=
， 
∴
(
)
2,1
N
， 
把
(
)
1 ,4 ,
2,1
2
M
N






代入y
ax
b
=
+
，得
1
4
2
2
1
a
b
a
b

+
=


+
=

， 
解得
2
5
a
b
= −

=

， 
∴
2
5
y
x
−
=
+ ； 
（2）解：由图象可知，不等式
k
ax
b
x
+

的解集为
1
0
2
x


或
2
x 
； 
（3）解：设
(
)
0,
P
t ， 
∵
(
)
2,1
N
， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
1
5,
2
1
4
1
OP
t
ON
NP
t
t
=
=
+
=
=
+
−
=
+
−
， 
当OP
ON
=
时，
2
5
t =
，解得
5
t = 
； 
当ON
NP
=
时，
(
)
2
5
4
1
t
=
+
−
，解得
0
t =
（舍去）或
2
t =
； 
当OP
NP
=
时，
(
)
2
2
4
1
t
t
=
+
−
，解得
2.5
t =
； 
综上：P 点坐标为(
)
0,
5

或(
)
0,2 或(
)
0,2.5 ． 
 
 
 
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变式5-2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象经过点(
)
3,4
P
和点B ，过点B 作直线
AB
x
∥轴，交y 轴于点(
)
0,3
A
． 
 
(1)求这个反比例函数的解析式． 
(2)以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 落在AB 边的下面，求点C 的坐标． 
【答案】(1)
(
)
12
0
y
x
x
=

 
(2)(
)
2,3
2 3
−
 
【分析】（1）把点(
)
3,4
P
代入
(
)
0
k
y
x
x
=

，即可解答； 
（2）先求出点(
)
4,3
B
，再结合ABC

为等边三角形，可得
4
AC
AB
=
=
，过点C 作CD
AB
⊥
于点D，则
1
2
2
AD
AB
=
=
，再利用勾股定理可得CD的长，即可． 
【详解】（1）解：∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象经过点(
)
3,4
P
， 
∴
3 4
12
k = =
， 
∴反比例函数的解析式为
(
)
12
0
y
x
x
=

； 
（2）解；∵直线AB
x
∥轴，交y 轴于点(
)
0,3
A
， 
∴点B 的纵坐标为3， 
把
3
y =
代入
(
)
12
0
y
x
x
=

得：
4
x = ， 
∴点
(
)
4,3
B
， 
∴
4
AB =
， 
∵ABC

为等边三角形， 
 
 
 
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∴
4
AC
AB
=
=
， 
如图，过点C 作CD
AB
⊥
于点D，则
1
2
2
AD
AB
=
=
， 
 
∴
2
2
2 3
CD
AC
AD
=
−
=
， 
∴点C 的坐标为(
)
2,3 2 3
−
． 
 
变式5-3 在平面直角坐标系xOy 中，已知OAB

为等边三角形，
6
AB =
，点C 为AB 的中点，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=

的图象经过A，B 两点，且与OC 交于点D，
15
BOE

=
，点B 的横纵坐标之和为3 6 ． 
 
(1)点C 的坐标为________；（请直接写出结果） 
(2)求反比例函数的解析式； 
(3)求线段CD的长度． 
【答案】(1) 3 6 3 6
,
2
2








 
(2)
9
y
x
=
 
(3)3 3
3 2
−
 
【分析】（1）过点B 作BM
x
⊥
轴于M，过点A 作AN
y
⊥
轴于N，证明
(
)
AAS
OBM
OAN

≌
，得BM
AN
=
，
OM
ON
=
，设
(
)
,
B x y ，则
(
)
,
A y x ，然后由中点坐标公式求解； 
 
 
 
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（2）设B 点坐标为( , )
x y ，则
2
2
6
OB
x
y
=
+
=
．再根据
3 6
x
y
+
=
，求得
9
xy =
，即可求得
9
k =
，从而求解； 
（3）先由点C 坐标求得
3 3
OC =
，再证明OC 是第一象限角的平分线，从而可得OC 所在直线的解析式为
y
x
=
，再联立
9
y
x
y
x
=

=

，求得D 点的坐标为(3,3) ，从而可求得OD 的长， 然后由CD
OC
OD
=
−
求解即可． 
【详解】（1）解：过点B 作BM
x
⊥
轴于M，过点A 作AN
y
⊥
轴于N，如图， 
 
则
90
BMO
ANO

= 
=
， 
∵OAB

为等边三角形， 
∴
60
AOB

=
，OA
OB
=
， 
∵
15
BOE

=
， 
∴
15
AON
BOE

= 
=
， 
∴
(
)
AAS
OBM
OAN

≌
， 
∴BM
AN
=
，OM
ON
=
， 
设
(
)
,
B x y ，则
(
)
,
A y x ， 
∵点C 为AB 的中点， 
∴点
,
2
2
y
x x
y
C
+
+





， 
∵点B 的横纵坐标之和为3 6 ， 
∴
3 6
x
y
+
=
， 
∴
3 6 3 6
,
2
2
C 







， 
故答案为：3 6 3 6
,
2
2








． 
（2）解：设B 点坐标为( , )
x y ，则
2
2
6
OB
x
y
=
+
=
． 
 
 
 
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∵B 的横纵坐标之和为3 6 ， 
∴
3 6
x
y
+
=
． 
解得
9
xy =
． 
∴
9
k =
． 
∴反比例函数的解析式为
9
y
x
=
． 
（3）解：∵
3 6 3 6
,
2
2
C 







 
∴
2
2
3 6
3 6
3 3
2
2
OC




=
+
=












， 
∵OAB

为等边三角形，点C 为AB 的中点， 
∴
1
30
2
BOC
AOB

=

=
， 
∴
45
COE
BOC
BOE

= 
+
=
， 
∴OC 是第一象限角的平分线， 
∴OC 所在直线的解析式为y
x
=
． 
联立
9
y
x
y
x
=

=

， 
解得
3
3
x
y
=

=

， 
∴D 点的坐标为(3,3) ．  
∴
2
2
3
3
3 2
OD =
+
=
． 
∴
3 3
3 2
CD
OC
OD
=
−
=
−
． 
∴CD 的长度为3 3
3 2
−
． 
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，反比例与一次函数交点，等边三
角形的性质，中点坐标公式等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关
键． 
 
 
 
 
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题型六、反比例函数中的平行四边形 
典例6 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
3,2
A
在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=

的图象上，过点A 作AC
x
⊥
轴于点C． 
 
(1)求反比例函数的表达式； 
(2)如图，点B 在反比例函数的图象上且在点A 的右侧，过点B 作BD
x
⊥
轴于点D，连接AB 、OB ，OB 交
AC 于点F，若点C 是OD 的中点，求
ABF
△
的面积； 
(3)点N 在反比例函数的图象上，点M 坐标为(
)
0,m ，若CMN

是等边三角形，求m 的值． 
【答案】(1)
2 3
y
x
=
 
(2)
3 3
4
ABF
S
=

 
(3)m 的值为1 或5
− 
【分析】（1）将点(
)
3 2
A
，代入反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=

，于是得到结论； 
（2）由AC
x
⊥
轴，得到
3
OC =
，根据点C 是OD 的中点，得到
3
CD =
，得到点B 和点D 横坐标相等，
将
2 3
x =
代入
2 3
y
x
=
得到
1
y = ，求得点B 坐标为(
)
2 31，，解方程得到OB 的解析式，得到点F 坐标，根
据三角形的面积公式即可得到结论； 
（3）①当M 在y 轴正半轴时，如图1，在OM 延长线上取点G，使得
60
MGN

=
，在MO 延长线上取点H
使得
60
MHC

=
，过点N 作NI
y
⊥
轴于点I，得到
60
NMC

=
，MN
NC
MC
=
=
，在Rt OHC

中，
60
OHC

=
，得到
30
OCH

=
，求得
1
2
OH
CH
=
，设OH
a
= ，则
2
HC
a
=
，根据勾股定理得到
1(
a = 
负
值舍去) ，求得
1
OH = ，
1
MH
m
=
+ ，
2
HC =
，根据全等三角形的性质得到
2
GM
HC
=
=
，
1
GN
MH
m
=
=
+ ，
求得
2
GO
m
=
+ ，得到点B 坐标，解方程得到
1
m = ；②当M 在y 轴负半轴时，如图2 在CO延长线上取点
 
 
 
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P，使得
60
NPC

=
，在OC 延长线上取点Q，使得
60
MOC

=
，过点N 作NR
x
⊥
轴于点R，根据等边三
角形的性质得到
60
NCM

=
，CN
CM
=
，求得
1
2
OQ
MQ
=
，根据勾股定理得到
3
(
3
b
m
= 
负值舍去) ，
根据直角三角形的性质即可得到结论． 
【详解】（1）解：将点(
)
3 2
A
，代入
k
y
x
=
得2
3
k
=
， 
解得
2 3
k =
， 
反比例函数的表达式为
2 3
y
x
=
； 
（2）解：
AC
x
⊥

轴， 
3
OC

=
， 
点C 是OD 的中点， 
3
CD

=
， 
BD
x
⊥

轴于点D， 
点B 和点D 横坐标相等， 
将
2 3
x =
代入
2 3
y
x
=
得
1
y = ， 
点B 坐标为(
)
2 31，， 
设OB 的解析式为y
kx
=
， 
将(
)
2 31
B
，代入得1
2 3k
=
， 
解得
1
3
6
2 3
k =
=
， 
OB

的解析式为
3
6
y
x
=
， 
将
3
x =
代入，得
1
2
y =
， 
点F 坐标为
1
3 2






，， 
1
3
2
2
2
AF

=
−
=
， 
1
1
3
3 3
3
2
2
2
4
ABF
S
AF CD

=

=


=

； 
（3）解：①当M 在y 轴正半轴时，如图1， 
 
 
 
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在OM 延长线上取点G，使得
60
MGN

=
，在MO 延长线上取点H 使得
60
MHC

=
， 
过点N 作NI
y
⊥
轴于点I， 
CMN
△
为等边三角形， 
60
NMC

=
，MN
NC
MC
=
=
， 
在Rt OHC

中，
60
OHC

=
， 
30
OCH

=
， 
1
2
OH
HC

=
， 
设OH
a
= ，则
2
HC
a
=
，由勾股定理得 
2
2
2
OH
OC
HC
+
=
， 
即
2
2
2
( 3)
(2 )
a
a
+
=
， 
解得
1(
a = 
负值舍去) ， 
1
OH

= ，
1
MH
m
=
+ ，
2
HC =
， 
60
MGN
MHC
NMC


= 
= 
=

， 
120
GNM
GMN
GMN
HMC

+ 
= 
+ 
=
， 
GNM
HMC

= 
， 
(
)
ASA
MNG
CMH

≌
， 
2
GM
HC

=
=
，
1
GN
MH
m
=
=
+ ， 
2
GO
m

=
+ ， 
在Rt
GNI
△
中，
60
NGM

=
， 
30
GNI


=
， 
1
1
2
2
m
IG
GN
+

=
=
，
3
2
m
IO
GO
GI
+
=
−
=
， 
 
 
 
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(
)
3
3
1
2
IN
GI
m

=
=
+
， 
点N 坐标为
3
3
3
2
2
2
m
m


+
+






，
， 
N

为反比例函数图象上的点， 
3
3
3
2 3
2
2
2
m
m


+

+

=






， 
即(
)(
)
1
3
8
m
m
+
+
=
，解得
1
m = 或
5
m = −， 
m

为整数且在y 轴正半轴上， 
1
m

= ； 
②当M 在y 轴负半轴时，如图2 
在CO延长线上取点P，使得
60
NPC

=
，在OC 延长线上取点Q，使得， 
 
过点N 作NR
x
⊥
轴于点R， 
CMN
△
为等边三角形， 
60
NCM

=
，CN
CM
=
， 
在Rt MOQ

中，
60
OQM

=
， 
30
OMQ


=
， 
1
2
OQ
MQ

=
， 
设OQ
b
=
，则
2
QM
b
=
，由勾股定理得
2
2
2
OQ
OM
MQ
+
=
， 
即
2
2
2
(
)
(2 )
b
m
b
+ −
=
， 
解得
3
(
3
b
m
= 
负值舍去) ， 
3
3
OQ
m

= −
，
2 3
3
QM
m
= −
，
(
)
3
3
3
CQ
m
= −
+
， 
 
 
 
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同理可证：
MCQ
CNP
△
△
≌
， 
2 3
3
PC
QM
m
=
= −
，
(
)
3
3
3
PN
CQ
m
=
= −
+
， 
在Rt
NPR
△
中，
60
∠NPR =
， 
30
PNR


=
， 
(
)
1
3
3
2
6
PR
PN
m

=
= −
+
， 
(
)
1
3
3
2
RN
PR
m

=
= −
+
， 
(
)
(
)
2 3
3
3
3
3
1
3
6
2
RO
m
m
m



= −
−
−−
+
= −
+




， 
N

点坐标为
(
)
(
)
3
1
1
3
2
2
m
m


+
+






，
， 
N

为反比例函数上的点， 
(
)
(
)
3
1
1
3
2 3
2
2
m
m

+

+
=
， 
即(
)(
)
1
3
8
m
m
+
+
=
，解得
1
m = 或
5
m = −， 
m

为整数且在y 轴负半轴上 
5
m
\
=- 
综上所述，m 的值为1 或5
−． 
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三
角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 
 
变式6-1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A的坐标为(2,2)，点M 是反比例函数
2 (
0)
y
x
x
=

的图
象上一点，点N 是一次函数
2
y
x
= −+
的图象上一点． 
 
 
 
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(1)连接OA，与一次函数
2
y
x
= −+
的图象相交于点B ． 
i）求点B 的坐标及AB 的长； 
ii）连接
,
AM MN ，若点M 在直线OA的上方，当四边形AMNB 是矩形时，求AM
MN 的值； 
(2)连接
,
,
AM MN AN ，是否存在点N 使得AMN

为等边三角形？若存在，求出满足条件的点N 的坐标；若
不存在，请说明理由． 
【答案】(1) AB 的长为2 ，(
)
1,1
B
；
2
AM
MN =
 
(2)满足条件的点N 的坐标为(
)
3
3, 3 1
−
−
或(
)
3 1,3
3
−
−
． 
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的
应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点． 
（1）①先利用点
(
)
0,0
O
和
(
)
2,2
A
的坐标求出直线OA的解析式为y
x
=
，再将其与一次函数
2
y
x
= −+
联立，
解方程组得到交点B 的坐标为(
)
1,1 ，最后通过两点间距离公式计算出AB 的长度即可；②先根据四边形
AMNB 是矩形的性质，得出MN
AB
=
且MA
OA
⊥
；再由直线OA的解析式y
x
=
推出直线AM 的解析式为
4
y
x
= −+
，将其与反比例函数
2
y
x
=
联立求解，结合点M 在直线OA上方的条件确定M 的坐标；最后通过
两点间距离公式求出AM 的长度即可； 
（2 ）先利用直线OA的表达式结合反比例函数设出点M 的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点M 作
MG
l
⊥点G )，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得G 坐标)，推导AM 与MG 的
数量关系；接着分点M 在直线OA下方和上方两种情况，结合对称性(直线
2
y
x
= −+
与反比例函数关于y
x
=
对称，点A在y
x
=
上)，通过坐标关系(如
4
N
M
x
x
+
=
)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确
定满足条件的点N 的坐标． 
 
 
 
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【详解】（1）解：(i)设直线OA的解析式为y
kx
b
=
+
， 
∵点A的坐标为(2,2)，
(
)
0,0
O
代入解析式， 
得
2
2
0
k
b
b
=
+

=

， 
解得
1
0
k
b
=

=

， 
∴直线OA的解析式为y
x
=
， 
联立OA与一次函数
2
y
x
= −+
，得 
2
y
x
y
x
=


= −+

， 
解得
1
1
x
y
=


=

， 
所以点B 的坐标为(
)
1,1 ， 
∴AB 的长为
(
)
(
)
2
2
2 1
2 1
2
AB =
−
+
−
=
， 
(ii)如图， 
 
∵四边形AMNB 是矩形， 
∴
2
MN
AB
=
=
， MA
BN

， 
∵直线BN 的表达式为
2
y
x
= −+
， 
∴设直线AM 的表达式为y
x
b
= −+
， 
∵
(
)
2,2
A
， 
∴2
2 b
= −+
，解得
4
b =
， 
∴直线AM 的表达式为
4
y
x
= −+
， 
 
 
 
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联立
4
2
y
x
y
x
= −+

=

， 
解得
2
2
2
2
x
y
=
+

=
−

或
2
2
2
2
x
y
=
−

=
+

， 
∵点M 在直线OA的上方， 
∴点M 的坐标为(
)
2
2,2
2
−
+
， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AM




=
−
−
+
−
+
=




， 
∴
2
2
2
AM
MN =
=
； 
（2）解：存在点N 使得AMN

为等边三角形， 
理由如下：设直线
2
y
x
= −+
为直线l ， 
令
0
y =
得，0
2
x
= −+ ，令
0
x =
得，
0
2
y = −+
， 
∴
2
0
x
y
=


=

，
0
2
x
y
=


=

， 
∴直线l 与两坐标轴的坐标为(
)
0,2 ，(
)
2,0 即直线l 与两坐标轴围成了等腰Rt OCD

， 
∴直线l 与x 轴夹角为45， 
∵直线OA的解析式为y
x
=
， 
∴直线OA是两坐标轴的夹角平分线， 
∴OA
l
⊥，BC
DC
=
， 
过点M 作MG
l
⊥点G ， 
∴MG
l
， 
设点
(
)
2
,
0 ,
M t
t
t







，设直线MG 的表达式为y
x
m
=
+
， 
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
4
8
2
4
2
2
2
4
8
2
2
4 ,
2
t
AM
t
t
t
t
m
t
t
t
t
t
t
t




=
−
+
−
=
+
−
−
+
=
+
−
−
+
=
−








， 
联立
2
2
y
x
t
t
y
x

=
+
−


= −+

， 
解得
2
1
2
2
1
2
t
x
t
t
y
t
+
=
−

−+

=
+

， 
 
 
 
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∴
2
1
2
1
,
2
2
t
t
G
t
t
+
−+


−
+



， 
则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
4
2
4
2
2
2
t
t
t
GM
t
t
t
t
t
−
−+




=
−
+
−
=
+
−
−
+








， 
∴
2
2
2
AM
GM
=
，即
2
AM
GM
=
， 
①如图，当点M 在直线OA下方时.过点M 作MH
x

轴，交直线于点H ， 
 
∴
45
HMG

=
， 
∴在Rt HMG

中， 
∴
2
HM
GM
AM
=
=
， 
∵AMN

是等边三角形， 
∴AM
MN
MH
=
=
， 
∴点H 即为点N ， 
∵AMN

是等边三角形，MH
x

轴， 
∴由等边三角形的性质，A点的横坐标与NM 的中点坐标的横坐标相等，即
2
N
M
A
x
x
x
+
=
即
4
N
M
x
x
+
=
， 
∴设
(
)
,
2
N n
n
−+
，则
(
)
4
,
2
M
n
n
−
−+
， 
∵点M 在双曲线
2 (2
0)
y
x
=

上， 
∴(
)(
)
4
2
2
n
n
−
−+
=
， 
解得
1
2
3
3,
3
3
n
n
=
−
=
+
(舍去)， 
∴
(
)
1 3
3, 3 1
N
−
−
， 
②当点M 在直线OA上方时， 
 
 
 
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∵直线
2
y
x
= −+
和反比例函数图象都关于直线y
x
=
对称，点
(
)
2,2
A
在直线y
x
=
上， 
∴由对称性得点
1
N 关于直线y
x
=
的对称点也满足题意， 
如图，连
1
ON ，
2
ON ， 
∴
1
2
ON
ON
=
，
2
1
BN
BN
=
， 
∵BC
DB
=
， 
∴
2
1
CN
DN
=
， 
∵
2
OC
OD
=
=
， 
∴
(
)
2
1
OCN
ODN
SSS

≌
， 
∴
2
OCN

与
1
ODN

对应边OC 与OD 边上的高相等，即
1
N 的纵坐标等于
2
N 的横坐标， 
∴将
3 1
x =
−代入
2
y
x
= −+
中得
(
)
3 1
2
3
3
y = −
−
+
= −
， 
∴
(
)
2
3 1,3
3
N
−
−
； 
综上所述，满足条件的点N 的坐标为(
)
3
3, 3 1
−
−
或(
)
3 1,3
3
−
−
． 
 
变式6-2 如图，一次函数
1
y
k x
b
=
+
的图象与反比例函数
2k
y
x
=
的图象交于点
(
)
2,4
A
，(
)
4,
B
m
−
，与x 轴交
于点C ，其中
1k ，
2k ，b 均为常数． 
 
 
 
 
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(1)求一次函数与反比例函数的表达式； 
(2)根据图象，直接写出不等式
2
1
k
k x
b
x
+

的解集________； 
(3)在x 轴上是否存在点D，使得ACD

为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点D 的坐标；如果不存
在，请说明理由． 
【答案】(1)
8
y
x
=
，
2
y
x
=
+
 
(2) 4
0
x
−

或
2
x 
 
(3)(
)
2,0 或(
)
6,0 
【分析】（1）利用待定系数法求解即可； 
（2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，求解即可； 
（3）根据等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 
【详解】（1）解：一次函数
1
y
k x
b
=
+
的图象与反比例函数
2k
y
x
=
的图象交于点
(
)
2,4
A
，(
)
4,
B
m
−
，与x 轴
交于点C ，其中
1k ，
2k ，b 均为常数． 
2
4
2
k
=
，解得
2
8
k = ， 
故反比例函数的解析式为
8
y
x
=
； 
8
2
4
m

=
= −
−
， 
故点B 的坐标为(
)
4, 2
−
−
； 
设AB 的解析式为
1
y
k x
b
=
+
， 
根据题意，得
1
1
2
4
4
2
k
b
k
b
+
=

−
+
= −

， 
解得
1
1
2
k
b
=

=

， 
AB

的解析式为
2
y
x
=
+
； 
（2）解：根据题意，得不等式
2
1
k
k x
b
x
+

的解集4
0
x
−

或
2
x 
； 
（3）解：设直线
2
y
x
=
+
与y 轴交于点F， 
根据题意，得
(
)
2,0
C −
，
(
)
0,2
F
， 
2
OC
OF

=
=
， 
 
 
 
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45
ACO

=
， 
过点D 作AD
x
⊥
轴于点D， 
则
45
CAD

=
， 
CAD
ACD

= 
， 
AD
CD

=
， 
故ADC

是等腰直角三角形， 
(
)
2,4
A

， 
(
)
2,0
D

； 
过点A 作
1
AD
CA
⊥
于点A，交x 轴于点
1
D ， 
则
1
45
CD A

=
， 
1
ADC
ACD

= 
， 
1
AD
AC

=
， 
故
1
ADC

是等腰直角三角形， 
1
CD
DD

=
， 
(
)
2,4
A

，
(
)
2,0
D
， 
(
)
2
2
4
DC

=
−−
=
1
1
2
D
D D
x
=
−； 
1
2
4
D
x

−
=
 
解得
1
6
D
x
=
， 
故
(
)
1 6,0
D
； 
 
变式6-3 如图，一次函数y
ax
b
=
+
的图像经过点(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
，点P 在一次函数的图像上，过点P 分
别作x 轴和y 轴的平行线交反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=


的图像于M，N 两点，连接MN ． 
 
 
 
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(1)求a，b 的值； 
(2)若PMN

是腰长为3 的等腰直角三角形，求点P 的坐标和k 的值． 
【答案】(1)
1
2
a =
，
2
b = 
(2)点P 的坐标为(
)
4,4 ，
4
k =
 
【分析】（1）将点
(
)
(
)
4,0 ,
0,2
A
B
−
代入一次函数y
ax
b
=
+
，即可求解； 
（2）解：设点P 的坐标为
1
,
2
2
t
t


+



，根据PMN

是腰长为3 的等腰直角三角形得到点M 的坐标为
1
3,
2
2
t
t


−
+



，点N 的坐标为
1
,
1
2
t
t


−



，把它们代入反比例函数
k
y
x
=
，即可求出t 的值，进而得到点P 的
坐标与k 的值． 
【详解】（1）解：一次函数y
ax
b
=
+
的图像经过点
(
)
(
)
4,0 ,
0,2
A
B
−
， 
4
0
2
a
b
b
−
+
=


=

，
．，解得
1
2
2
a
b
=

=

． 
（2）解：由（1）有
1
2
a =
，
2
b = ， 
∴一次函数为
1
2
2
y
x
=
+
， 
∵点P 在一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图像上， 
∴设点P 的坐标为
1
,
2
2
t
t


+



． 
PMN

是腰长为3 的等腰直角三角形， 
3
PM
PN

=
= ， 
∴点M 的坐标为
1
3,
2
2
t
t


−
+



，点N 的坐标为
1
,
1
2
t
t


−



． 
∵点M
N
，
在反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=


的图像上， 
(
) 1
1
3
2
1
2
2
k
t
t
t
t
−
−





=
+
=







． 
 
 
 
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解得
4
t =
． 
∴点P 的坐标为(
)
4,4 ，点M 的坐标为(
)
1 4
，． 
4
k
=
． 
 
题型七、反比例函数中的菱形 
典例7 如图1，在平面直角坐标系中，直线
4
y
x
−
=
+
与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象相交于点(
)
,3
A a
和
点
(
)
3,
B
b ，点C，D 分别是x 轴和y 轴的正半轴上的动点，且满足CD
AB
∥
． 
 
(1)求a，b 的值及反比例函数的解析式； 
(2)如图2，若
2
OD =
，求四边形ABCD的面积； 
(3)若点E 是反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

图象上的一个动点，当BCE

是以BE为直角边的等腰直角三角形时，
求点E 的坐标． 
【答案】(1)
1
a = ，
1
b = ，
3
y
x
=
 
(2) 4 
(3)E 的坐标为
3
4, 4





，
3
2, 2





，3
21
3
21
,
2
2


+
−+






 
【分析】（1）利用点在直线上的条件求出a
b
、的值，进而求出反比例函数解析式； 
（2）根据平行线的性质设出直线CD的解析式，结合
2
OD =
求出点C
D
、
坐标，证明四边形ABCD是平行
四边形，再证明
90
ADC

=
得到矩形，从而求出面积； 
（3）分
90
EBC

=
（点E 在点B 左侧和右侧）和
90
BEC

=
三种情况，利用全等三角形的性质建立方程
求解． 
【详解】（1）解：点(
)
,3
A a
在直线
4
y
x
= −+
上， 
3
4
a
= −+
，解得
1
a = ， 
 
 
 
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(
)
1,3
A

， 
点
(
)
3,
B
b 在直线
4
y
x
= −+
上， 
3 4
1
b
= −+
= ， 
(
)
3,1
B

， 
点
(
)
1,3
A
在反比例函数
k
y
x
=
上， 
1 3
3
k
= = ， 
反比例函数的解析式为
3
y
x
=
； 
（2）解：
CD
AB

，直线AB 的解析式为
4
y
x
−
=
+
， 
设直线CD的解析式为y
x
m
= −+
， 
2,
OD
D
=

在y 轴的正半轴上， 
(
)
0,2
D

，代入得
2
m =
， 
直线CD的解析式为
2
y
x
= −+
， 
令
0
y =
得
2
x =
， 
(
)
2,0
C

，即
2
OC =
， 
(
)
(
)
(
)
(
)
1,3 ,
3,1 ,
2,0 ,
0,2
A
B
C
D

， 
(
)
(
)
2
2
3 1
1 3
4
4
2 2
AB

=
−
+
−
=
+
=
， 
(
)
(
)
2
2
2
0
0
2
4
4
2 2
CD =
−
+
−
=
+
=
， 
AB
CD

=
， 
又
//
AB CD ， 
四边形ABCD是平行四边形， 
如图，作AF
y
⊥
轴于F ，则点F 的坐标为(
)
0,3 ， 
1,
1
AF
DF

=
= ， 
ADF

为等腰直角三角形，
2
2
1
1
2
AD =
+
=
， 
45
ADF

=
， 
在Rt COD

中，OC
OD
=
， 
 
 
 
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45
ODC


=
， 
180
90
ADC
ADF
ODC

=
−
−
=
， 
四边形ABCD是矩形， 
2 2
2
4
ABCD
S
AB AD

=

=

=
四边形
； 
 
（3）解： ①当
90
EBC

=
时，设点E 的坐标为
3
,n n





， 
过点B 作BQ
x
⊥
轴于点Q，过点E 作EP
BQ
⊥
交直线BQ 于点P ， 
若点E 在点B 左侧，如图 
90
EBC

=


， 
90
EBP
CBQ



+
=
， 
在Rt EPB

中，
90
PEB
EBP

+
=
， 
PEB
CBQ

= 
 
在EPB

与BQC

中， 
90
PEB
CBQ
P
CQB
BC
BE

= 


= 
=



=

， 
(
)
AAS
EPB
BQC

≌
， 
EP
BQ

=
， 
设点E 的坐标为
3
,n n





， 
(
)
3,1
B

， 
3
,
3
2
1
EP
n BQ

=
−
=
−
= ， 
 
 
 
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3
1
n
−
= ，解得
2
n =
， 
点E 的坐标为
3
2, 2





， 
若点E 在点B 右侧，如图， 
 
同理可证，
(
)
AAS
EPB
BQC

≌
， 
EP
BQ

=
， 
3 1
n
−= ，解得
4
n =
， 
E 的坐标为
3
4, 4





； 
②当
90
BEC

=
时，过点E 作
⊥
EQ
x 轴于点Q，过点B 作BP
EQ
⊥
交直线EQ 于点P ， 
 
同理可证，EBP
CEQ

≌
， 
,
PE
CQ QE
BP

=
=
， 
设点E 的坐标为
3
,
m m





，点C 的坐标(
)
,0
n
 
3
3
3,
1
,
,
BP
m
PE
CQ
m
n EQ
m
m

=
−
= −
=
−
=
， 
3
1
3
3
m
n
m
m
m
−
=
−



=
−

 
解得，
3
21
2
21 1
m
n

+
=

=
−

或
3
21
2
21 1
m
n

−
=

= −
−

， 
 
 
 
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0
m 

， 
3
21
2
m
+

=
，
3
3
21
3
2
3
21
2
m
−
=
=
+
， 
3
21
3
21
,
2
2
E

+
−+







， 
综上所述：E 的坐标为
3
3
3
21
3
21
4,
, 2,
,
,
4
2
2
2


+
−+












． 
 
变式7-1 直线y
x
b
−
=
+ 与双曲线
k
y
x
=
（
0
x 
）交于点
(
)
1,6
A −
，与x 轴交于点B，点C 是线段AB 上一点． 
 
(1)求k，b 的值； 
(2)如图，过点C 作y 轴的垂线l，l 与
k
y
x
=
（
0
x 
）的图象交于点D，当线段
10
CD =
时，求点D 的坐标； 
(3)双曲线
k
y
x
=
（
0
x 
）上是否存在点E，使得
COE
△
是以OC 为直角边的等腰直角三角形，若存在，求
出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 
【答案】(1)
6
k
−
=
，
5
b =
 
(2)
(
)
6,1
D −
 
(3)存在；E 点的坐标为
6 ,5
5


−



或(
)
3,2
−
或(
)
2,3
−
 
【分析】（1）把点A 的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； 
（2）设
(
)
5
,
C
m m
−
，由
10
CD =
可得
(
)
5
,
D
m m
−−
，由点D 在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式
中即可求解； 
（3）设
(
)
,
5
C n
n
−+
；分两种情况：当点C 为直角顶点时；当点O 为直角顶点时，利用全等三角形的判定
与性质即可求解． 
 
 
 
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【详解】（1）解：将
(
)
1,6
A −
代入y
x
b
−
=
+ 得6
1 b
= +
， 
解得
5
b =
， 
将
(
)
1,6
A −
代入
k
y
x
=
，得
6
1
k =
−
，即
6
k
−
=
， 
（2）解：
l

：
5
y
x
−
=
+ ， 
5
x
y
=
−
， 
设
(
)
5
,
C
m m
−
， 
10
CD =

， 
10
C
D
x
x

−
=
， 
∴
10
5
10
5
D
C
x
x
m
m
=
−
=
−
−
= −−
， 
(
)
5
,
D
m m

−−
， 
∵点D 在双曲线上， 
(
)
5
6
m
m

−
−
= −， 
解得
1
1
m = ，
2
6
m = −（舍去）， 
(
)
6,1
D

−
； 
（3）解：存在． 
设
(
)
,
5
C n
n
−+
， 
①当C 为直角顶点时，过点C 作x 轴的垂线CN ，垂足为N，过点E 作EM
CN
⊥
，垂足为M，则
90
EMN
ONM

= 
=
， 
90
ECO

=


， 
90
ECM
OCN

+
=
， 
90
EMC

=


， 
90
MEC
ECM

+
=
， 
OCN
MEC

= 
， 
 
 
 
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又∵等腰直角三角形ECO中，CE
CO
=
，  
(
)
AAS
EMC
CNO

≌
， 
CM
ON
n

=
=
，
5
E
C
y
y
n
=
+
=
， 
1
6 ,5
5
E 


−



； 
②当O 为直角顶点时，过点C 作CN
x
⊥
轴，垂足为N，过点E 作EM
x
⊥
轴，垂足为M，同理可得
EMO
ONC
△
≌△
， 
EM
ON
n

=
=
，
5
OM
CN
n
=
= −， 
(
)
5,
E n
n

−
， 
(
)
5
6
n
n

−
= −，解得
1
2
n =
，
2
3
n =
， 
此时
(
)
2
3,2
E
−
，
(
)
3
2,3
E
−
， 
综上所述：满足条件的E 点的坐标为
6 ,5
5


−



或(
)
3,2
−
或(
)
2,3
−
． 
 
变式7-2 如图，一次函数y
mx
n
=
+
（m ，n 为常数，
0
m 
）的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=

的图象交于
(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
,1
B a
两点． 
 
(1)求一次函数和反比例函数的关系式． 
(2)结合图形，请直接写出不等式
0
k
mx
n
x −
−

的解集． 
(3)点(
)
0,
P
b 是y 轴上的一点，若ABP

是以AB 为直角边的直角三角形，求b 的值． 
 
 
 
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【答案】(1)反比例函数的关系式为
4
y
x
=
，一次函数的关系式为
1
1
2
y
x
=
− 
(2) 2
0
x
−

或
4
x  
(3) 6
−或9 
【分析】（1）利用待定系数法即可求解； 
（2）根据函数图象即可求解； 
（3）分情况讨论，当BP是斜边时，当AP 是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 
【详解】（1）解：把(
)
2, 2
A
−
−
代入
k
y
x
=
，得2
2
−= −
k ， 
∴
4
k =
， 
∴反比例函数的关系式为
4
y
x
=
， 
把
(
)
,1
B a
代入
4
y
x
=
，得
4
1
a
=
， 
∴
4
a =
， 
∴
(
)
4,1
B
， 
把
(
)
2, 2
A
−
−
，
(
)
4,1
B
代入一次函数y
mx
n
=
+
得， 
2
2
1
4
m
n
m
n
−= −
+

=
+

， 
解得
1
2
1
m
n

=

= −

， 
∴一次函数的关系式为
1
1
2
y
x
=
−； 
（2）解：由函数图象可知，不等式k
mx
n
x 
+
及
0
k
mx
n
x −
−

的解集为2
0
x
−

或
4
x ； 
（3）解：过(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
4,1
B
，
(
)
0,
P
b ， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
4
2 1
45
AB = −−
+ −−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
2
4
8
AP
b
b
b
= −−
+ −−
=
+
+ ，
(
)
(
)
2
2
2
2
4
0
1
2
17
BP
b
b
b
=
−
+
−
=
−
+
， 
①如图，当BP是斜边时，即
90
BAP

=
， 
 
 
 
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∴
2
2
2
AP
AB
BP
+
=
， 
∴
2
2
4
8
45
2
17
b
b
b
b
+
+ +
=
−
+
， 
解得：
6
b = −， 
②如图，当AP 是斜边时，即
90
ABP

=
， 
 
∴
2
2
2
AB
BP
AP
+
=
， 
∴
2
2
45
2
17
4
8
b
b
b
b
+
−
+
=
+
+ ， 
解得：
9
b =
， 
综上可得：b 的值为6
−或9． 
 
变式7-3 如图，一次函数
1
5
2
y
x
=
+
和
2
y
x
−
=
的图象相交于点A，反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点A． 
 
(1)求反比例函数的表达式； 
(2)在x 轴上是否存在点P，使ABP

为直角三角形，若存在请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 
 
 
 
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【答案】(1)
8
y
x
= −
； 
(2)存在， 
1
,0
15
2
P −





、
2(0,0)
P
、
3( 5
5,0)
P −+
、
4( 5
5,0)
P −−
 
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式
求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． 
（1）联立一次函数解析式求出交点A 的坐标，将A 点代入反比例函数解析式求出k 值； 
（2）设出x 轴上点P 的坐标，利用两点间距离公式表示出
2
PA 、
2
PB 、
2
AB ，分三种直角情况列方程求解，
判断方程是否有解以确定P 点坐标． 
【详解】（1）解：依题得
1
5
2
2
y
x
y
x

=
+


= −

解得
2
4
x
y
= −


=

，即(
)
2,4
A −
 
将
(
)
2,4
A −
代入
k
y
x
=
得
8
k = −，即反比例函数解析式为：
8
y
x
= −
； 
（2）解：如图，假设在x 轴上存在
(
)
,0
P t
使PAB

为直角三角形， 
 
联立
8
1
5
2
y
x
y
x

= −


=
+

解得：
2
4
x
y
= −


=

或
8
1
x
y
= −

=

， 
即
(
)
2,4
A −
，
(
)
8,1
B −
， 
(
)
2
2
2
2
2
4
4
20
PA
t
t
t
=
+
+
=
+
+

， 
(
)
2
2
2
8
1
16
65
PB
t
t
t
=
+
+ =
+
+
，
2
2
2
6
3
45
AB =
+
=
． 
分三种直角情况讨论：  
情况1：
APB

为直角 
 
 
 
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∵
2
2
2
PA
PB
AB
+
=
，
2
2
(
4
20)
(
16
65)
45
t
t
t
t
+
+
+
+
+
=
 
化简得 
2
2
20
40
0
t
t
+
+
=
，即 
2
10
20
0
t
t
+
+
=
， 
解得 
5
5
t = −
，对应点 
3( 5
5,0)
P −+
、
4( 5
5,0)
P −−
． 
 情况2：
BAP

为直角 
 
则
2
2
2
PA
AB
PB
+
=
，即
2
2
(
4
20)
45
16
65
t
t
t
t
+
+
+
=
+
+
 
化简得 12
0
t =
，解得 
0
t =
，对应点 
2(0,0)
P
． 
 情况3：
ABP

为直角 
 
则
2
2
2
PB
AB
PA
+
=
，即
2
2
(
16
65)
45
4
20
t
t
t
t
+
+
+
=
+
+
， 
化简得 12
90
t = −
，解得 
15
2
t
−
=
，对应点 
1
15 ,0
2
P 

−



． 
∴x 轴上存在点 
1
15 ,0
2
P 

−



、
2(0,0)
P
、
3( 5
5,0)
P −+
、
4( 5
5,0)
P −−
，使ABP

为直角三角形． 
 
 
 
 
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题型八、反比例函数中的矩形 
典例8 如图，一次函数
1y
mx
n
=
+ （m ，n 为常数，
0
m 
）的图象与反比例函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=

的图象交于
(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
,1
B a
两点． 
 
(1)求一次函数和反比例函数的关系式； 
(2)结合图形，请直接写出不等式
1
2
y
y

的解集； 
(3)点(
)
0,
P
b 是y 轴上的一点，若ABP

是以AB 为直角边的直角三角形，求b 的值． 
【答案】(1)一次函数的关系式为
1
1
2
y
x
=
−，反比例函数的关系式为
4
y
x
=
； 
(2) 2
0
x
−

或
4
x 
； 
(3)b 的值为6
−或9． 
【分析】（1）利用待定系数法即可求解； 
（2 ）根据函数图象即可求解； 
（3）分情况讨论，当BP是斜边时，当AP 是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 
【详解】（1）解：∵反比例函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=

的图象过(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
,1
B a
两点， 
∴
(
)
2
2
k
a
= −−
=
， 
解得：
4
a =
，
4
k =
， 
∴反比例函数的关系式为
4
y
x
=
，
(
)
4,1
B
， 
∵一次函数
1y
mx
n
=
+ 过
(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
4,1
B
两点， 
∴
2
2
4
1
m
n
m
n
−
+
= −


+
=

， 
解得：
1
2
1
m
n

=

= −

， 
 
 
 
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∴一次函数的关系式为
1
1
2
y
x
=
−； 
（2）解：根据图象可知：当2
0
x
−

或
4
x 
时，
1
2
y
y

， 
∴不等式
1
2
y
y

的解集为2
0
x
−

或
4
x 
； 
（3）解：过(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
4,1
B
，
(
)
0,
P
b ， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
4
2 1
45
AB = −−
+ −−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
2
4
8
AP
b
b
b
= −−
+ −−
=
+
+ ，
(
)
(
)
2
2
2
2
4
0
1
2
17
BP
b
b
b
=
−
+
−
=
−
+
， 
①如图，当BP是斜边时，即
90
BAP

=
， 
 
∴
2
2
2
AP
AB
BP
+
=
， 
∴
2
2
4
8
45
2
17
b
b
b
b
+
+ +
=
−
+
，解得：
6
b = −， 
②如图，当AP 是斜边时，即
90
ABP

=
， 
 
∴
2
2
2
AB
BP
AP
+
=
， 
∴
2
2
45
2
17
4
8
b
b
b
b
+
−
+
=
+
+ ，解得：
9
b =
， 
综上可得：b 的值为6
−或9． 
 
 
 
 
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变式8-1 一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+

的图象与反比例函数
(
)
0
m
y
x
x
=

的图象交于
(
)
2,
A
a 、(
)
8, 1
B
−
两点． 
 
(1)求反比例函数与一次函数的关系式； 
(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP

是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，
请说明理由． 
【答案】(1)一次函数的解析式为
1
5
2
y
x
=
−；反比例函数的解析式为
8
y
x
= −
 
(2)点P 的坐标为(
)
5
5,0
−
或(
)
5
5,0
+
 
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解
此题的关键． 
（1）将(
)
8, 1
B
−
代入反比例函数
m
y
x
=
求出m 的值即可得出反比例函数的解析式，将
(
)
2,
A
a 代入反比例函
数
8
y
x
= −
求出a 的值即可得出点A的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出结果； 
（2）由（1）可得(
)
2, 4
A
−
，(
)
8, 1
B
−
，则
2
45
AB =
，设
(
)
,0
P m
，则
(
)
2
2
2
16
AP
m
=
−
+
，
(
)
2
2
8
1
BP
m
=
−
+ ，
再由勾股定理计算即可得出结果． 
【详解】（1）解：将(
)
8, 1
B
−
代入反比例函数
m
y
x
=
可得：1
8
m
−=
， 
∴
8
m
−
=
， 
∴反比例函数的解析式为
8
y
x
= −
， 
将
(
)
2,
A
a 代入反比例函数
8
y
x
= −
可得：
8
4
2
a = −
= −， 
∴
(
)
2, 4
A
−
， 
将
(
)
2, 4
A
−
，(
)
8, 1
B
−
代入一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+

可得
2
4
8
1
k
b
k
b
+
= −


+
= −

， 
解得：
1
2
5
k
b
=

= −

， 
∴一次函数的解析式为
1
5
2
y
x
=
−； 
 
 
 
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（2）解：由（1）可得：(
)
2, 4
A
−
，(
)
8, 1
B
−
， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
8
2
1
4
36
9
45
AB


=
−
+ −−−
=
+
=


， 
设
(
)
,0
P m
， 
则
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
0
2
16
AP
m
m
=
−
+ −−
=
−
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
8
1 0
8
1
BP
m
m
=
−
+ −−
=
−
+ ， 
∵ABP

是以AB 为斜边的直角三角形， 
∴
2
2
2
AP
BP
AB
+
=
， 
∴(
)
(
)
2
2
2
16
8
1
45
m
m
−
+
+
−
+ =
， 
整理可得：
2
10
20
0
m
m
−
+
=
， 
解得：
1
5
5
m =
+
，
2
5
5
m =
−
， 
∴点P 的坐标为(
)
5
5,0
−
或(
)
5
5,0
+
． 
 
变式8-2 如图1，已知
(
)
1,0
A −
，(
)
0, 2
B
−
，平行四边形ABCD的边AD
BC
、
分别与y 轴、x 轴交于点E
F
、，
且点
(
)
0,2
E
为AD中点，双曲线
k
y
x
=
（k 为常数，
0
k 
）经过C
D
、
两点． 
 
(1)求k 值； 
(2)如图2，点G 是y 轴正半轴上的一个动点，过点G 作y 轴的垂线，分别交反比例函数
k
y
x
= （k 为常数，
0
k 
）
图像于点M ，交反比例函数
3 (
0)
2
y
x
x
= −

的图像于点N ，当FM
FN
=
时，求G 点坐标； 
(3)点P 在双曲线
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上，若以点A
B
P
Q
、、、
为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满
足要求的所有点Q 的坐标 ． 
【答案】(1)4 
 
 
 
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(2)
5
(0, )
4 
(3)(0,6) 或(0, 6)
−
或(0,2) 
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题； 
（1）根据中点坐标可得
(
)
1,4
D
代入反比例函数解析式，即可求解； 
（2）根据平行四边形的性质求得点C 的坐标，进而待定系数法求得直线BC 的解析式为
2
2
y
x
=
−
，当
0
y =
时，
1
x = ，得到
1
OF = ，设点G 的坐标为(0,
)
m ，得到
4
(
M m ，
)
m ，
3
( 2
N
m
−
，
)
m ，根据等腰三角形的性质列
方程即可得到结论； 
（3）由（1）知
4
k =
可知反比例函数的解析式为
4
y
x
=
，再由点P 在双曲线
4
y
x
=
上，点Q 在y 轴上，设
(0, )
Q
y ，
4
( , )
P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标． 
【详解】（1）解：
( 1,0)
A −

，且点
(
)
0,2
E
为AD中点， 
∴
(
)
1,4
D
， 
∵
(
)
1,4
D
在双曲线
k
y
x
=
上， 
1 4
4
k
= =
； 
（2）由（1）可得反比例函数解析式为
4
y
x
=
 
∵C 在
4
y
x
=
上， 
设
4
,
C m m





 
∵四边形ABCD是平行四边形，
(
)
1,0
A −
，
(
)
0, 2
B
−
，
(
)
1,4
D
 
∴1
0 1
2
2
m
−+
+
=
 
∴
2
m =
 
∴
(2,2)
C
， 
(0, 2)
B
−

， 
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
， 
代入
(0, 2)
B
−
，
(2,2)
C
 
∴
2
2
2
k
b
b
+
=

= −

 
 
 
 
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解得：
2
2
k
b
=

= −

 
直线BC 的解析式为
2
2
y
x
=
−
， 
当
0
y =
时，
1
x = ， 
(1,0)
F

， 
1
OF

= ， 
设点G 的坐标为(0,
)
m ， 
MN
x
∥

轴， 
4
(
,
)
M
m
m

，
3
(
,
)
2
N
m
m
−
， 
FM
FN
=

， 
3
4
1
(
)
1
2m
m
−−
=
−， 
解得：
5
4
m =
， 
点G 的坐标为
5
(0, )
4 ； 
（3）由（1）知
4
k =
， 
反比例函数的解析式为
4
y
x
=
， 
点P 在双曲线4
x 上，点Q 在y 轴上， 
设
(0, )
Q
y ，
4
( , )
P x x ， 
①当AB 为边时： 
如图1，若ABPQ 为平行四边形， 
  
 
则
1
0
2
x
−+
=
， 
解得
1
x = ， 
 
 
 
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此时
1(1,4)
P
，
1(0,6)
Q
； 
如图2，若ABQP 为平行四边形， 
  
 
则
1
2
2
x
−=
， 
解得
1
x = −， 
此时
2( 1, 4)
P −−
，
2(0, 6)
Q
−
； 
②如图3，当AB 为对角线时， 
  
AP
BQ
=
，且AP
BQ
∥
； 

1
2
2
x
−=
， 
解得
1
x = −， 
3( 1, 4)
P

−
−
，
3(0,2)
Q
； 
故点Q 的坐标为(0,6) 或(0, 6)
−
或(0,2) ． 
 
变式8-3 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股
四边形． 
 
 
 
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(1)如图，在直角坐标系xOy 中，直线
1
y
x
= −+ 与双曲线
6
y
x
−
=
相交于A
B
、两点，点
( 3,0)
P −
在x 轴负半轴
上，Q 为直角坐标平面上一点． 
①分别求出A
B
、两点的坐标； 
②如图，当四边形APQB 是平行四边形时，请证明平行四边形APQB 是勾股四边形． 
(2)在（1）的条件下，当以A
B
P
Q
、、、
为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q 点的坐标． 
【答案】(1)①
(
)
2,3
A −
，
(
)
3, 2
B
−
；②证明见解析； 
(2)Q 点的坐标为(
)
2, 5
−
或(
)
4,1 或(
)
1,4 或(
)
8,5
−
． 
【分析】（1）①联立函数解析式解方程组即可求解； 
②利用两点距离公式求出
2
2
AP
BP
AB
、
、
，进而由勾股定理的逆定理可得
90
APB

=
，再根据平行四边形
的性质证明
(
)
Rt
Rt
HL
APB
QBP

≌
即可求证； 
（2 ）设点Q 的坐标为(
)
,x y ， 分Rt
Rt
ABP
QPB

≌
、Rt
Rt
ABP
BAQ

≌
、Rt
Rt
ABP
ABQ

≌
和
Rt
Rt
ABP
PQA

≌
四种情况，利用全等三角形的性质和平移的性质解答即可求解． 
【详解】（1）解：①由
1
6
y
x
y
x
= −+

= −

，解得
1
1
2
3
x
y
−
=


=

，
2
2
3
2
x
y
=


= −

， 
∴
(
)
2,3
A −
，
(
)
3, 2
B
−
； 
②证明：∵(
)
2,3
A −
，(
)
3, 2
B
−
，
(
)
3,0
P −
， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
3
3
2
50
AB = −−
+
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
3
3
0
10
AP = −+
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
3
3
2
0
40
BP =
+
+ −−
=
， 
∴
2
2
2
AP
BP
AB
+
=
， 
∴
90
APB

=
， 
 
 
 
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∵四边形APQB 是平行四边形， 
∴AP
BQ
=
，AB
QP
=
，AP
BQ
∥
， 
∴
90
APB
QBP

= 
=
， 
在Rt APB

和Rt
QBP
△
中， 
AP
QB
AB
QP
=


=

， 
∴
(
)
Rt
Rt
HL
APB
QBP

≌
， 
∴平行四边形APQB 是勾股四边形； 
（2）解：由（1）知，(
)
2,3
A −
，(
)
3, 2
B
−
，
(
)
3,0
P −
， 
设点Q 的坐标为(
)
,x y ，  
①如图，当Rt
Rt
ABP
QPB

≌
时， 
 
∵AP
QB
=
，AP
QB
∥
， 
∴
(
)
(
)
(
)
3
2
3
3
2
0
x
y
−−
=
−−
−−
=
−

， 
解得
2
5
x
y
=


= −

， 
∴
(
)
2, 5
Q
−
； 
②如图，当Rt
Rt
ABP
BAQ

≌
时， 
 
 
 
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∵AP
QB
=
，AP
QB
∥
， 
∴
(
)
(
)
(
)
3
2
3
3
0
2
x
y
−−
=
−−
−
=
−−

， 
解得
4
1
x
y
=

=

， 
∴
(
)
4,1
Q
； 
③如图，当Rt
Rt
ABP
ABQ

≌
时，设直线AB 与x 轴交于点C ，过点A作AE
x
⊥
轴于点E ，作AF
x
∥轴，
过点Q 作QF
AF
⊥
于点F ，则
(
)
,3
F x
， 
 
∵直线
1
AB y
x
= −+
∶
， 令
0
y =
，则
1
0
x
−+ =
， 
解得
1
y = ， 
∴
(
)
1,0
C
， 
 ∵
(
)
2,3
A −
，AE
x
⊥
轴， 
∴
(
)
2,0
E −
，  
∴
3
AE = ，
3
CE =
，
1
PE = ， 
∴
AEC
△
是等腰直角三角形， 
 ∴
45
EAC
ACE

= 
=
， 
 
 
 
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∵AF
x
∥轴， 
 ∴
45
BAF
ACE

= 
=
， 
∴
EAC
BAF

= 
， 
∴
BAP
EAC
BAQ
BAF

−
= 
−
， 
∴
EAP
FAQ

= 
， 
在AEP

和AFQ

中， 
90
EAP
FAQ
AEP
AFQ
AP
AQ

= 


= 
=



=

， 
∴
(
)
AAS
AEP
AFQ

≌
， 
∴
3
AF
AE
=
= ，
1
QF
PE
=
= ， 
∴
(
)
2
3
3
1
x
y
−−
=
−
=

， 
解得
1
4
x
y
=


=

， 
∴
(
)
1,4
Q
； 
④如图，当Rt
Rt
ABP
PQA

≌
时， 
 
∵AB
PQ
=
，AB
PQ
∥
， 
∴
(
)
(
)
2
3
3
0
3
2
x
y
−−
=
−−
−
=
−−

， 
解得
8
5
x
y
= −


=

， 
∴
(
)
8,5
Q −
； 
综上，Q 点的坐标为(
)
2, 5
−
或(
)
4,1 或(
)
1,4 或(
)
8,5
−
． 
 
 
 
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【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾
股定理及逆定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 
 
题型九、反比例函数中的正方形 
典例9 如图，已知Rt
ABC
△
在平面直角坐标系中，其中
90
A

=
，AB
AC
=
，且(
)
2,0
A −
、(
)
0,1
B
、(
)
,
C m n ． 
 
(1)求C 点坐标； 
(2)将ABC

沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图像上．请
求出这个反比例函数和此时的直线B C
的解析式； 
(3)在（2）的条件下，直线B C
交y 轴于点G ．若存在x 轴上的点M 和反比例函数图像上的点P ，使得由P 、
G 、M 、C四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点M 和点P 的坐标；若不存在满足题意的平行
四边形，请说明理由． 
【答案】(1)(
)
3,2
−
 
(2)反比例函数解析式为
6
y
x
=
，此时的直线B C
的解析式
1
3
3
y
x
= −
+ 
(3)存在点M 、点P 使得P 、G 、M 、C四个点构成的四边形是平行四边形，点P 的坐标为(
)
6, 1
−
−
，点M
的坐标为(
)
9,0
−
或点P 的坐标为6 ,5
5





，点M 的坐标为9 ,0
5





 
【分析】（1）过点C 作CD
x
⊥
轴于点D ，证明CAD
BAO
≌

，由全等三角形的性质可得
1
AD
BO
=
= ，
2
CD
AO
=
=
，进而可得
3
OD
AD
OA
=
+
=
，即可求得答案； 
（2）根据平移的性质，可设点B的坐标为(
)
,1
t
，则点C的坐标为(
)
3,2
t −
，结合点B、C正好落在反比
例函数图像上，可设该反比例函数解析式为
(
)
0
m
y
m
x
=

，易得
(
)
2
3
m
t
t
= =
−
，解得
6
t =
，进而可得点
(
)
6,1
B
，点
(
)
3,2
C
，设直线B C
的解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+

，利用待定系数法求解即可； 
 
 
 
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（3）分GC为平行四边形的边和GC为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 
【详解】（1）解：过点C 作CD
x
⊥
轴于点D ，如图所示， 
 
∵
(
)
2,0
A −
、
(
)
0,1
B
， 
∴
2
OA =
，
1
OB = ， 
∵
90
BAC

=
，
90
AOB

=
， 
∴
90
BAO
CAD
BAO
ABO

+
= 
+
=
， 
∴
CAD
ABO

= 
， 
在CAD

和ABO

中， 
90
ADC
BOA
CAD
ABO
AC
BA

= 
=



= 


=

， 
∴
(
)
AAS
CAD
BAO

≌
， 
∴
1
AD
BO
=
= ，
2
CD
AO
=
=
， 
∴
3
OD
AD
OA
=
+
=
， 
∴点C 的坐标为(
)
3,2
−
； 
（2）根据题意，将ABC

沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点为B、C， 
设点B的坐标为(
)
,1
t
，则点C的坐标为(
)
3,2
t −
， 
∵点B、C正好落在反比例函数图像上， 
设该反比例函数解析式为
(
)
0
m
y
m
x
=

， 
则有
(
)
2
3
m
t
t
= =
−
，解得
6
t =
， 
∴点
(
)
6,1
B
，点
(
)
3,2
C
， 
 
 
 
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∴
6
m =
，即反比例函数的解析式为
6
y
x
=
， 
设直线B C
的解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+

， 
将点
(
)
6,1
B
，点
(
)
3,2
C
代入， 
可得
1
6
2
3
k
b
k
b
=
+

=
+

，解得
1
3
3
k
b
= −

=

 
∴直线B C
的解析式为
1
3
3
y
x
= −
+ ； 
（3）对于直线
1
3
3
y
x
= −
+ ，当
0
x =
时，
3
y =
，  
∴
(
)
0,3
G
， 
当GC为平行四边形的边时，如下图，此时四边形GC PM

为平行四边形， 
 
∵
(
)
0,3
G
，
(
)
3,2
C
， 
又∵点M 在x 轴上，即M 的纵坐标为0，点P 在反比例函数
6
y
x
=
的图像上， 
∴点P 的纵坐标为1
−， 
∴
6
6
1
P
y =
= −
−
， 
∴点P 的坐标为(
)
6, 1
−
−
，点M 的坐标为(
)
9,0
−
； 
当GC为对角线时，如下图， 
 
 
 
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设Q 是GC的中点， 
∵
(
)
0,3
G
，
(
)
3,2
C
， 
∴
3 5
,
2 2
Q




， 
过点Q 作直线与x 轴交于点M ，与
6
y
x
=
的图像交于点P ， 
若四边形PGMC是平行四边形， 
则有PQ
QM
=
， 
易知点M 的横坐标大于3
2 ，点P 的横坐标小于3
2 ， 
作PH
x
⊥
轴于点H ，QK
y
⊥
轴于点K ，PH 与QK 交于点E ，作QF
x
⊥
轴于点F ， 
则QF
PE
∥
， 
∴
MQF
QPE

= 
， 
在PEQ

和
QFM
△
中， 
90
PEQ
QFM
QPE
MQF
PQ
QM

= 
=



= 


=

， 
∴
(
)
AAS
PEQ
QFM

≌
， 
∴EQ
FM
=
， 
设EQ
FM
t
=
= ， 
∴点P 的横坐标
3
2
x
t
=
−，点P 的纵坐标
2
5
Q
y
y
=

= ，点M 的坐标是3
,0
2
t


+



， 
∵P 在反比例函数
6
y
x
=
的图像上，即
6
5
3
2
t
=
−， 
 
 
 
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解得
3
10
t =
， 
∴
6 ,5
5
P




，
9 ,0
5
M 




． 
综上所述：存在点M 、点P 使得P 、G 、M 、C四个点构成的四边形是平行四边形，点P 的坐标为(
)
6, 1
−
−
，
点M 的坐标为(
)
9,0
−
或点P 的坐标为6 ,5
5





，点M 的坐标为9 ,0
5





． 
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、
一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是
解题关键． 
 
变式9-1 如图1，已知点
(
)
(
)
1,0 ,
0, 2
A
B
−
−
，平行四边形ABCD的边AD与y 轴交于点
(
)
0,2
E
，且E 为AD中
点，双曲线
k
y
x
=
经过C
D
、
两点． 
 
(1)求反比例函数表达式； 
 
 
 
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(2)点P 在双曲线
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上，若以点A
B
P
Q
、、、
为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求
的所有点Q 的坐标； 
(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN
HT
⊥
，
交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN
HT 的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请
直接写出其值． 
【答案】(1)
4
y
x
=
 
(2)
(
)
(
)
1
1
1,4 ,
0,6
P
Q
；
(
)
(
)
2
2
1, 4 ,
0, 6
P
Q
−−
−
；
(
)
(
)
3
3
1, 4 ,
0,2
P
Q
−
−
； 
(3) MN
HT 的值不发生改变 
【分析】（1）设
(
)
1,
D
t ，可知
(
)
2,
2
C
t −
，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知
4
k =
可
知反比例函数的解析式为
4
y
x
=
 ，再由点P 在双曲线
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上，设
(
)
0,
Q
y ，
4
,
P x x





，再分
以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P、Q 的坐标；（3）连接NH 、NT 、NF ，易
证NF
NH
NT
=
=
，故
NTF
NFT
AHN

= 
= 
，
90
TNH
TAH

= 
=
，
12
MN
HT
=
，由此即可得出结论． 
【详解】（1） 
 
∵
(
)
(
)
1,0 ,
0, 2
A
B
−
−
，E 为AD中点， 
∴
1
D
x = ， 
设
(
)
1,
D
t ， 
又∵DC
AB
∥
， 
 
 
 
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∴
(
)
2,
2
C
t −
， 
∴
2
4
t
t
=
−， 
∴
4
t =
， 
∴
4
k =
； 
（2） 
 
∵由（1）知
4
k =
， 
∴反比例函数的解析式为
4
y
x
=
， 
∵点P 在双曲线4
x 上，点Q 在y 轴上， 
∴设
(
)
4
0,
,
,
Q
y
P x x





， 
①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形， 
则
1
0
2
x
−+
=
， 
解得
1
x = ， 
此时
(
)
(
)
1
1
1,4 ,
0,6
P
Q
； 
如图2，若ABQP 为平行四边形， 
则
1
2
2
x
−=
， 
解得
1
x = −， 
此时
(
)
(
)
2
2
1, 4 ,
0, 6
P
Q
−−
−
； 
②如图3，当AB 为对角线时， 
 
 
 
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AP
BQ
=
，且AP
BQ
∥
； 
∴
1
2
2
x
−=
， 
解得
1
x = −， 
∴
(
)
(
)
3
3
1, 4 ,
0,2
P
Q
−
−
； 
故
(
)
(
)
1
1
1,4 ,
0,6
P
Q
；
(
)
(
)
2
2
1, 4 ,
0, 6
P
Q
−−
−
；
(
)
(
)
3
3
1, 4 ,
0,2
P
Q
−
−
； 
（3）结论：MN
HT 的值不发生改变， 
理由：如图4，连NH
NT
NF
、
、
， 
 
∵MN 是线段HT 的垂直平分线， 
∴NT
NH
=
, 
∵四边形AFBH 是正方形， 
∴
ABF
ABH

=
， 
在BFN

与BHN

中， 
BF
BH
ABF
ABH
BN
BN
=


= 


=

 
 
 
 
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∴
(
)
BFN
BHN SAS


， 
∴NF
NH
NT
=
=
， 
∴
NTF
NFT
AHN

= 
= 
， 
四边形ATNH 中， 
0
180
ATN
NTF

+ 
=
，而 
NTF
NFT
AHN

= 
= 
， 
所以，
0
180
ATN
AHN

+ 
=
， 
所以，四边形ATNH 内角和为360°， 
所以
0
0
0
0
360
180
90
90
TNH

=
−
−
=
， 
∴
1
2
MN
HT
=
， 
∴
1
2
MN
HT =
 
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大． 
 
变式9-2 综合探究：如图，点
(
)
1,6
A
和
(
)
,2
B n
是一次函数
1y
kx
b
=
+ 的图象与反比例函数
(
)
2
0
m
y
x
x
=

的图
象的两个交点． 
 
(1)求一次函数与反比例函数的表达式； 
(2)设点P 是y 轴上的一个动点，当PAB

的周长最小时，求点P 的坐标； 
(3)设直线AB 交y 轴于点C，点M 是坐标平面内一个动点，点Q 在y 轴上运动，以点A，C，Q，M 为顶点，
AC 为一边的四边形能构成菱形吗?若能，请直接写出点Q 的坐标；若不能，说明理由． 
【答案】(1)一次函数解析式为
1
2
8
y
x
= −
+ ，反比例函数解析式为
2
6
y
x
=
 
 
 
 
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(2)点P 的坐标为（0，5） 
(3)存在点Q 的坐标为(
)
0,8
5
+
或(
)
0,8
5
−
或（0，4）使得以点A，C，Q，M 为顶点，AC 为一边的四边
形能构成菱形 
【分析】（1）先求出反比例函数解析式，从而求出点B 的坐标，然后把A、B 坐标代入到一次函数解析式求
解即可； 
（2）如图所示，过点A 作A 关于y 轴的对称点G，连接BG 交y 轴于点P，点P 即为所求，求出直线BG 的
解析式即可得到答案； 
（3）分当AC 为菱形的边，四边形ACQM 为菱形时，则AC=CQ，当AC 为菱形的边，四边形ACMQ 为菱
形时，则AQ=AC，两种情况讨论求解即可． 
【详解】（1）解：把点A（1，6）代入到反比例函数解析式得6= 1
m ， 
∴
6
m =
， 
∴反比例函数解析式为
2
6
y
x
=
， 
当
2
y =
时，
6
2
x
=
，解得
3
x =
， 
∴点B 的坐标为（3，2）， 
把点A（1，6），B（3，2）代入一次函数解析式得： 
6
3
2
k
b
k
b
+
=


+
=

， 
∴
2
8
k
b
−
=

=

， 
∴一次函数解析式为
1
2
8
y
x
= −
+ ； 
（2）解：如图所示，过点A 作A 关于y 轴的对称点G，连接BG 交y 轴于点P，点P 即为所求，理由如下： 
∴点G 的坐标为（-1，6），PA=PG， 
∴△APB 的周长=PA+PB+AB， 
要使△APB 的周长最小，则PA+PB=PG+PB 最小， 
∴当B、G、P 三点共线时，PA+PB 即△APB 的周长最小， 
设直线BG 的解析式为
1
1
y
k x
b
=
+
， 
∴
1
1
1
1
6
3
2
k
b
k
b
−
+
=


+
=

， 
 
 
 
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∴
1
1
1
5
k
b
= −


=

， 
∴直线BG 的解析式为
5
y
x
−
=
+ ， 
∴点P 的坐标为（0，5）； 
 
（3）解：∵点C 是直线AB 与y 轴的交点， 
∴点C 的坐标为（0，8）， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
0 1
8
6
5
AC =
−
+
−
=
 
设点Q 的坐标为（0，n）， 
∴
(
)
2
2
2
8
16
64
CQ
n
n
n
=
−
=
−
+
,
(
)
(
)
2
2
2
0 1
6
12
37
AQ
n
n
n
=
−
+
−
=
−
+
， 
当AC 为菱形的边，四边形ACQM 为菱形时，则AC=CQ， 
∴
2
16
64
5
n
n
−
+
=
， 
∴
8
5
n =

， 
∴点Q 的坐标为(
)
0,8
5
+
或(
)
0,8
5
−
； 
当AC 为菱形的边，四边形ACMQ 为菱形时，则AQ=AC， 
∴
3
12
37
5
n
n
−
+
=
， 
解得
4
n =
或
8
n = （舍去）， 
∴点Q 的坐标为（0，4）， 
综上所述，存在点Q 的坐标为(
)
0,8
5
+
或(
)
0,8
5
−
或（0，4）使得以点A，C，Q，M 为顶点，AC 为一
边的四边形能构成菱形． 
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，菱形的性质，两点距离公式，轴对称最短路径问题，
利用数形结合的思想求解是关键． 
 
 
 
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变式9-3 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(
)
,6 ,
a
AB
x
⊥
轴于点
3
,
4
AB
B OB =
，反比例函数
k
y
x
=
的图
像的一支分别交
,
AO AB 于点
,
C D ，延长AO 交反比例函数的图像的另一支于点E，已知D 的纵坐标为3
2 ． 
（1）求反比例函数的解析式及直线OA 的解析式； 
 
（2）连接BC，已知
(
)
4, 3
E
−
−
，求
CEB
S
 
（3）若在x 轴上有两点
( ,0),
(
,0)
M m
N
m
−
，将直线OA绕点O旋转，仍与
k
y
x
=
交于
,
C E ，能否构成以
,
,
,
E M C N 为顶点的四边形为菱形，如果能请求出m 的值，如果不能说明理由． 
【答案】（1）
12
y
x
=
，
3
4
y
x
=
；（2）24；（3）不能，理由见解析 
【分析】（1）根据已知条件可求A、D 的坐标，用待定系数法即求出反比例函数解析式；由点A 坐标求直线
OA 的解析式． 
（2）把直线OA 与反比例函数解析式联立方程组，即求出交点C,E 的坐标，再把△CEB 分成△COB 与△EOB，
以OB 为公共底，点C 和点E 纵坐标的绝对值为高即求出三角形面积． 
（3）若为菱形，则对角线互相垂直，但CE 不与x 轴垂直，矛盾，故不能成为菱形． 
【详解】解：（1）因为点A 的坐标为(
)
,6 ,
a
AB
x
⊥
轴于B，所以
6
AB =
 
3,
4
AB
OB =

 
8,
OB

=
 
3
(8,6),
(8, )
2
A
D

，B（8,0） 
点D 在反比例函数
k
y
x
=
的图象上 
3
8
12
2
k
= 
=
 
所以反比例函数的解析式为
12
y
x
=
 
设直线OA 的解析式
,
y
bx
=
 
 
 
 
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8
6
b

= 
解得
3
4
b =
 
所以直线OA 的解析式为
3
4
y
x
=
； 
（2）联立
12
3
4
y
x
y
x

=


=

，解得
4
3
x
y
=

=

或
4
3
x
y
= −


= −

 
∴
(4,3),
( 4, 3),
C
E −
−
又
(8,0)
B
 
(
)
1
1
1
2
2
2
CEB
COB
EOB
C
E
C
E
S
S
S
OB y
OB y
OB y
y




=
+
=

+

=
+
 
1
8 6
24
2
=

=
； 
（3）因为CE 所在直线OA不可能与x 轴垂直，即CE 不能与MN 垂直 
所以
,
,
,
E M N C 为顶点的四边形不能是菱形． 
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的综合运用，平行四边形、矩形、
菱形的判定． 
 
题型十、反比例函数中的角度与等角 
典例10 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
12
y
x
=
+
与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
( ,8)
A m
，B 两点，
C 为反比例函数图象第四象限上的一动点． 
 
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标； 
(2)当四边形ABOC 的面积为56
3 时，求此时点C 的坐标； 
 
 
 
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(3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点E 是平面内一点，点F 在直线AB 上，是否存在这
样的点C ，E ，F ，使四边形ACEF 是“美好菱形”？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，说明理由． 
【答案】(1)
16
y
x
= −
，
( 4,4)
B −
 
(2)
16
(3,
)
3
C
−
 
(3) 8
14 2
28 2
(
, 6
)
3
3
3
−
−−
或8
14 2
28 2
(
, 6
)
3
3
3
+
−+
 
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数和反比例函数交点问题，函数几何面积问题，
菱形性质，全等三角形性质及判定，解直角三角形． 
（1）根据题意待定系数法求反比例函数解析式，再将一次函数和反比例函数列式即可求出点B 的坐标； 
（2）过点A作AP
y
∥
轴，交OB 于P ，设点C 的坐标为
16
( ,
)
a
a
−
，求出
( 2,2)
P −
，再求出AC 的解析式可得
16
8
OF
a
= −
，继而得到本题答案； 
（3）根据题意分情况讨论（Ⅰ）当点F 在点A 下方时，证明
ABH
BQG
≌

，AQ 的解析式，继而得到
8
( , 6)
3
C
−
，
14 10
3
AF
AC
=
=
，过点A作AM
y
∥
轴，过点F 作FM
x
∥轴，解直角三角形即可，（Ⅱ）当点F 在点A 上
方时，同理（Ⅰ）中情况即可得到． 
【详解】（1）解：点
( ,8)
A m
在直线
2
12
y
x
=
+
上， 
2
12
8
m

+
= ， 
2
m
−

=
， 
( 2,8)
A

−
，                      
2 8
16
k
= −= −
， 
反比例函数的表达式为：
16
y
x
= −
， 
则16
2
12
x
x
−
=
+
， 
解得：
1
2
x = −，
2
4
x = −， 
( 4,4)
B

−
； 
（2）解：如图1，过点A作AP
y
∥
轴，交OB 于P ， 
设点C 的坐标为
16
( ,
)
a
a
−
， 
 
 
 
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( 4,4)
B −

， 
OB

的解析式为：y
x
−
=
， 
当
2
x = −时，
2
y =
， 
( 2,2)
P

−
， 
8 2
6
AP

= −= ， 
6
4
12
2
ABO
S

=
=

， 
设AC 的解析式为：
(
0)
y
kx
b k
=
+

， 
则
2
8
16
k
b
ak
b
a
−
+
=

+
= −

，解得：
8
16
8
k
a
b
a
= −

=
−

， 
AC

的解析式为：
8
16
8
x
y
a
a
= −
+ −
， 
16
8
OF
a

=
−
， 
(
)
Δ
16
8
2
2
ACO
a
a
S


−

+





=
， 
四边形ABOC 的面积为56
3 ， 
56
3
ABO
ACO
S
S



+
=
， 
(
)
16
8
2
56
12
2
3
a
a


−

+





+
=
， 
2
3
5
12
0
a
a

−
−
=
， 
解得：
1
3
a = ，
2
4
3
a = −
（舍) ； 
 
 
 
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16
(3,
)
3
C

−
； 
（3）解：存在，理由如下： 
由菱形的定义知，
45
CAF

=
或135， 
（Ⅰ）当点F 在点A 下方时，则只能
45
CAF

=
， 
 
过点B 作BQ 垂直AB ，交AC 于点Q，则三角形ABQ 为等腰直角三角形． 
过点B 作HG
y
∥
轴于G ，过点A作AH
x
∥轴，过点Q 作QG
x

轴， 
则
ABH
BQG
≌

， 
2
AH
BG

=
= ，
4
BH
GQ
=
= ， 
(0,2)
Q

， 
AQ

的解析式为
3
2
y
x

= −
+
， 
16
3
2
x
x
−
+
= −
， 
解得：
8
3
x =
或2
−（舍) ， 
8
( , 6)
3
C

−
， 
( 2,8)
A −

， 
14 10
3
AF
AC

=
=
， 
过点A作AM
y
∥
轴，过点F 作FM
x
∥轴， 
 
 
 
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tan
2
AFM =

∠
， 
14 2
3
FM

=
28 2
,
3
AM =
， 
8
14 2
28 2
(
, 6
)
3
3
3
E

−
−−
， 
（Ⅱ）当点F 在点A 上方时，则只能
135
CAF

=
，此时
45
CAB

=
， 
由（Ⅰ）知
8
( , 6)
3
C
−
， 
14 10
3
AF
AC

=
=
， 
8
14 2
28 2
(
, 6
)
3
3
3
E

+
−+
， 
综上所述，E 点的坐标为8
14 2
28 2
(
, 6
)
3
3
3
−
−−
或8
14 2
28 2
(
, 6
)
3
3
3
+
−+
． 
 
变式10-1 如图所示，单位长度为1 的网格平面直角坐标系中，
1
1
y
k x
b
=
+
与双曲线
(
)
2
2
0
k
y
x
x
=

交于点
(
)
1,3
A
和点(
)
3,
B
m ． 
 
(1)求反比例函数和一次函数解析式； 
(2)直接写出不等式
2
1
k
k x
b
x 
+
的解集_______； 
(3)确定格点C，使四边形OACB为菱形，并求出菱形OACB的面积． 
【答案】(1)一次函数解析式为
1
4
y
x
= −+
，反比例函数解析式为
(
)
2
3
0
y
x
x
=

 
(2)1
3
x


 
(3)8 
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． 
（1）将点
(
)
1,3
A
坐标代入反比例函数
(
)
2
2
0
k
y
x
x
=

解出
2k ，再将(
)
3,
B
m 坐标代入反比例函数解析式得到
B 的坐标，待定系数法得到一次函数解析式即可； 
 
 
 
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（2）根据图象直接写出不等式
2
1
k
k x
b
x 
+
的解集即可； 
（3）先根据网格图特征，确定点C，使四边形OACB为菱形，再利用勾股定理和菱形的面积公式求解即可． 
【详解】（1）解：把点
(
)
1,3
A
代入
(
)
2
2
0
k
y
x
x
=

，得
2
3
k = ， 
∴
(
)
2
3
0
y
x
x
=

， 
将点(
)
3,
B
m 代入
(
)
2
3
0
y
x
x
=

， 
得3
3
m = ， 
解得
1
m = ， 
把
(
)
1,3
A
和
(
)
3,1
B
分别代入
1
1
y
k x
b
=
+
， 
得
1
1
3
3
1
k
b
k
b
+
=


+
=

， 
解得
1
1
4
k
b
= −

=

， 
故一次函数解析式为
1
4
y
x
= −+
，反比例函数解析式为
(
)
2
3
0
y
x
x
=

； 
（2）解：观察图象可知，
2
1
k
k x
b
x 
+
的解集为1
3
x


； 
故答案为：1
3
x


； 
（3）解：格点C 如图所求． 
 
依据网格图特征，可知菱形OACB的边长都为
2
2
1
3
10
+
=
． 
故点C 即为所求． 
由格点可知
2
2
2
2
2
2
2 2,
4
4
4 2
AB
CO
=
+
=
=
+
=
． 
1
1
2 2
4 2
8
2
2
OACB
S
AB CO

=

=


=
菱形
． 
菱形OACB的面积为8． 
 
 
 
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变式10-2 定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该
反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形ABCD的
顶点
(
)
2,3
A
、
(
)
6,1
C
在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，所以矩形ABCD是反比例函数
6
y
x
=
的伴随矩形，直线
BD是反比例函数
6
y
x
=
的伴随直线． 
 
(1)如图2，已知反比例函数
k
y
x
=
的图象经过矩形ABCD的顶点(
)
3,4
A
，AB
y

轴，BC
x
轴，
2
AB =
，
3
BC = ，
求反比例函数的表达式，并判断矩形ABCD是否为该反比例函数的伴随矩形． 
(2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． 
(3)如图3，已知矩形ABCD和矩形EFGH 都是反比例函数
12
y
x
=
的伴随矩形，且对应的伴随直线均为
2
y
x
=
． 
①求证：直线AE 与直线CG 的交点M 始终在直线
2
y
x
=
上； 
②若矩形ABCD的周长为30，矩形EFGH 的周长为6，直接写出点M 的坐标． 
【答案】(1)反比例函数的表达式为：
12
y
x
=
；矩形ABCD是该反比例函数的伴随矩形 
(2)证明：设任意反比例函数解析式为：
(
)
0
k
y
k
x
=

，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个
对角顶点分别为：
, k
A a a





，
, k
C c c





． 
∵矩形的边平行于坐标轴， 
∴另外两个对角顶点坐标为：
, k
B a c





，
, k
D c a





． 
设伴随直线BD的解析式为：
(
)
0
y
mx
n m
=
+

， 
将点B，点D 代入解析式， 
 
 
 
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则有：
k
ma
n
c
k
mc
n
a

+
=


+
=

①
②
， 
①-②得：
(
)
k
k
ma
n
mc
n
c
a
−
=
+
−
+
， 
整理得：
(
)
k
k
m a
c
c
a
−
=
−
， 
即(
)
(
)
k a
c
m a
c
ac
−
=
−
， 
∵a
c

， 
∴两边约去(
)
a
c
−
，得：
k
m
ac
=
， 
将
k
m
ac
=
代入①，可得：k
k
a
n
ac
c
+
=
， 
即
0
n =
， 
∴伴随直线BD的解析式为：
k
y
x
ac
=
， 
当
0
x =
时，
0
y =
， 
∴该直线恒过原点， 
即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． 
(3)①证明：设伴随矩形ABCD的顶点A 的坐标为
12
,a a





，顶点C 的坐标为
12
,c c





， 
∵矩形ABCD的边平行于坐标轴， 
∴另外两个对角顶点坐标为：
12
,
B a c





，
12
,
D c a





． 
由伴随直线为
2
y
x
=
，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D 在直线
2
y
x
=
上， 
即：
12
2a
c
=
，
12
2c
a
=
， 
化简得：
6
ac =
， 
即
6
c
a
=
， 
∴点C 坐标为6 ,2a
a





． 
同理可设伴随矩形EFGH 的顶点E 的坐标为
12
,e e





， 
同理可得顶点G 的坐标为6 ,2e
e





． 
设直线AE 的解析式为：
(
)
1
1
1
0
y
m x
b m
=
+

， 
 
 
 
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将点A，点E 坐标代入解析式， 
得：
1
1
1
1
12
12
m a
b
a
m e
b
e

+
=


+
=

①
②
， 
①-②得：
(
)
1
1
1
1
12
12
m a
b
m e
b
a
e
−
=
+
−
+
， 
整理得：
(
)
1
12
12
m a
e
a
e
−
=
−
， 
即
(
)
(
)
1
12 e
a
m a
e
ae
−
=
−
， 
∵a
e

， 
∴两边约去(
)
a
e
−
，得：
1
12
m
ae
−
=
， 
将
1
12
m
ae
−
=
代入①，可得：
1
12
12
a
b
ae
a
−
+
=
， 
即
1
12
12
b
a
e
=
+
， 
∴
1
1
12
12
12
m
ae
b
a
e
−

=


=
+

， 
∴直线AE 的解析式为：
12
12
12
y
x
ae
a
e
−
=
+
+
． 
同理，设直线CG 的解析式为：
(
)
2
2
2
0
y
m x
b
m
=
+

， 
将点C，点G 坐标代入解析式， 
得：
2
2
2
2
6
2
6
2
m
b
a
a
m
b
e
e

+
=


+
=

①
②
， 
①-②得：
2
2
2
2
6
6
2
2
a
e
m
b
m
b
a
e


−
=
+
−
+



， 
整理得：
2
6
6
2
2
a
e
m
a
e


−
=
−



， 
即(
)
(
)
2
6
2
e
a
a
e
m
ae
−
−
=
， 
∵a
e

， 
∴两边约去(
)
a
e
−
，得：
2
1
3
m
ae
= −
， 
 
 
 
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将
2
1
3
m
ae
= −
代入①，可得：
2
1
6
2
3 ae
b
a
a
−

+
=
， 
即
2
2
2
b
a
e
=
+
， 
∴
2
2
1
3
2
2
m
ae
b
a
e
−

=


=
+

， 
∴直线CG 的解析式为：
1
2
2
3
y
aex
a
e
= −
+
+
． 
联立直线AE 与直线CG 的解析式， 
得：
12
12
12
1
2
2
3
y
x
ae
a
e
y
aex
a
e
−
−

=
+
+


=
+
+

①
②
， 
①-②得：
12
12
12
1
0
2
2
3
x
aex
a
e
ae
a
e
−


=
+
+
−−
+
+



， 
整理得：12
1
12
12
2
2
3
x
aex
a
e
ae
a
e
−
=
+
−
−
， 
即
(
)
(
)
12
12
1
2
3
a
e
ae x
a
e
ae
ae
+


−
=
−
+




 
∴
(
)
(
)
2
2
12
36
2
3
3
a
e
a e
x
a
e
ae
ae
ae
+


−
=
−
+




， 
∴
(
)
2
2
36
12
2
3
a e
ae
x
a
e
ae
ae


−
−


=
+








 
∴(
)(
)
(
)(
)
6
6
6
6
ae
ae x
a
e
ae
−
+
=
+
−
 
∴
(
)
6
6
a
e
x
ae
+
=
+
， 
将
(
)
6
6
a
e
x
ae
+
=
+
代入②得：
(
)
6
1
2
2
3
6
a
e
y
ae
a
e
ae
+


= −
+
+


+


， 
即
(
)
(
)
2
2
6
a
e
y
ae
a
e
ae
+


= −
+
+


+


， 
∴
(
)
1
2
1
6
y
a
e
ae
ae




=
+
−
+




+




， 
∴
(
)
2
1
6
ae
y
a
e
ae


=
+
−


+

， 
∴
(
)
6
2
6
y
a
e
ae


=
+


+

， 
 
 
 
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即
(
)
6
2
6
a
e
y
ae
+


=


+


， 
∴
(
)
(
)
6
6
6
2
6
a
e
x
ae
a
e
y
ae

+
=

+



+

=



+



， 
即直线AE 与直线CG 的交点坐标为：
(
)
(
)
6
6
,2
6
6
a
e
a
e
M
ae
ae




+
+






+
+




， 
经检验，该点坐标满足
2
y
x
=
， 
因此直线AE 与直线CG 的交点M 始终在直线
2
y
x
=
上． 
②
9 9
,
4 2
M 




 
【分析】（1）将点A 代入反比例函数解析式求出k 值，得到函数表达式；根据边平行于坐标轴，以及边的
长度，计算出点C 坐标，验证点C 是否在反比例函数图象上，即可判断是否为伴随矩形； 
（2）设任意反比例函数解析式为：
(
)
0
k
y
k
x
=

，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对
角顶点分别为：
, k
A a a





，
, k
C c c





．根据矩形的边平行于坐标轴，推出另外两个顶点的坐标，将它们代入
直线解析式计算，最后得到直线的常数项为0，即可证明直线恒过原点； 
（3）①设伴随矩形ABCD的顶点A 的坐标为
12
,a a





，顶点C 的坐标为
12
,c c





，先推出另外两个顶点坐标
12
,
B a c





，
12
,
D c a





．由伴随直线为
2
y
x
=
，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D 在直线
2
y
x
=
上，推
导出
6
c
a
=
，即得到点C 坐标为6 ,2a
a





．同理可设伴随矩形EFGH 的顶点E 的坐标为
12
,e e





，同理可得顶
点G 的坐标为6 ,2e
e





．运用待定系数法求出直线AE 与直线CG 的解析式，联立两直线方程，求出直线AE
与直线CG 的交点M 的坐标，最后检验该点坐标满足
2
y
x
=
，即可证得结论； 
②设伴随矩形ABCD的顶点A 的坐标为
12
,a a





，由①可知，点C 坐标为6 ,2a
a





， 
则矩形ABCD的长为：6
a
a −
，宽为：12
2a
a −
，根据“矩形ABCD的周长为30”，建立关于a 的方程，解方程，
即可求得a 的值；设伴随矩形EFGH 的顶点E 的坐标为
12
,e e





，由①可知，点G 的坐标为6 ,2e
e





，同理
可求出c 的值；最后根据①中求出的点M 坐标，代入a 和c 的值，即可求出点M 的坐标． 
【详解】（1）解：∵反比例函数
k
y
x
=
的图象经过矩形ABCD的顶点
(
)
3,4
A
， 
 
 
 
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∴将点(
)
3,4
A
代入
k
y
x
=
中， 
得：4
3
k
=
， 
解得：
12
k =
， 
∴反比例函数的表达式为：
12
y
x
=
． 
∵AB
y

轴， 
2
AB =
，(
)
3,4
A
， 
∴
(
)
3,4
2
B
−
， 
即
(
)
3,2
B
． 
同理，∵BC
x
轴，
3
BC = ，
(
)
3,2
B
， 
∴
(
)
3
3,2
C
+
， 
即
(
)
6,2
C
， 
∵6 2
12
=
， 
即点C 坐标满足反比例函数的关系式， 
∴点C 在反比例函数的图象上． 
根据伴随矩形的定义，点A、点C 都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形ABCD是该反
比例函数的伴随矩形． 
（2）略 
（3）①略 
②解：设伴随矩形ABCD的顶点A 的坐标为
12
,a a





， 
由①可知，点C 坐标为6 ,2a
a





， 
则矩形ABCD的长为：6
a
a −
，宽为：12
2a
a −
， 
周长为：
6
12
2
2
30
a
a
a
a


−
+
−
=




 
化简得：6
5
a
a −
= ， 
解得：
1
1
a = ，
2
6
a = −（舍去）， 
经检验，
1
a = 是原方程的根，且符合题意， 
 
 
 
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∴
(
)
1,12
A
，
(
)
6,2
C
． 
同理，设伴随矩形EFGH 的顶点E 的坐标为
12
,e e





， 
由①可知，点G 的坐标为6 ,2e
e





． 
则矩形EFGH 的长为：6
e
e −
，宽为：12
2e
e −
， 
周长为：
6
12
2
2
6
e
e
e
e


−+
−
=




 
化简得：6
1
e
e −
= ， 
解得：
1
2
=
e
，
2
3
e = −（舍去）， 
经检验，
2
e =
是原方程的根，且符合题意， 
∴
(
)
2,6
E
，
(
)
3,4
G
． 
由①可知，直线AE 与直线CG 的交点坐标为：
(
)
(
)
6
6
,2
6
6
a
e
a
e
M
ae
ae




+
+






+
+




， 
∵
1
a = ，
2
e =
， 
∴
9 9
,
4 2
M 




． 
 
变式10-3 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形
ABCD的“友好函数”，例如：如图1，矩形ABCD，经过点(
)
1,1
A −
和点
(
)
3,3
C
的一次函数
1
3
2
2
y
x
=
+
是矩
形ABCD的“友好函数”． 
 
(1)如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为(
)
(
)
(
)
(
)
2,1 ,
6,1 ,
6,3 ,
2,3
A
B
C
D
，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=

经过点B，
求反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=

的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； 
(2)矩形ABCD在第一象限，AB
x
∥轴，AD
y
∥
轴，且点A 的坐标为(
)
1,2 ，正比例函数
1y
ax
=
经过点A，
 
 
 
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且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数
2
(
0)
k
y
x
x
=

经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． 
①如图3，当OC
OA

时，将矩形ABCD沿AC 折叠，点B 的对应点为E，若点E 落在y 轴上，求k 的值； 
②设矩形ABCD的周长为y，当矩形ABCD的周长
4
y =
时，设矩形ABCD的面积为
1S ；当矩形ABCD的周
长
8
y =
时，设矩形ABCD的面积为
2
S ，求出
2
1
S
S
−
的值． 
【答案】(1)
6
y
x
=
，是矩形ABCD的“友好函数”，理由见解析； 
(2)①
16
3
k =
；②8
3 ． 
【分析】
（1）求出反比例函数解析式，并判断D 在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； 
（2） ①求出正比例函数
2
y
x
=
，设点
(
)
,2
C m
m ，则
(
)
(
)
,2 ,
1,2
B m
D
m ，则
1,
2
2
AB
m
BC
m
=
−
=
−
，根据
折叠的性质得
1,
2
2,
AE
AB
m
CE
BC
m
BCO
ECO
=
=
−
=
=
−

= 
，延长BA交y 轴与F ， 根据矩形的性质和
等腰三角形的性质和判定可得，
1,
2
4
AF
EF
m
=
=
−
，根据勾股定理列方程并求出m ，求出B 点坐标，即可
求出k ； 
②当OC
OA

时，即
1
m ，将点(
)
,2
B m
的坐标代入反比例函数表达式得
2
k
m
=
，即
2
k
m =
，根据
1,
2
2
AB
m
BC
m
=
−
=
−
，得到
(
)
2
6
6
3
6
y
AB
BC
m
k
=
+
=
−
=
−
，即可求解． 
【详解】（1）解：将点
(
)
6,1
B
的坐标代入反比例函数表达式
k
y
x
=
，得：
1 6
6
k = =
． 
∴反比例函数的表达式为：
6
y
x
=
， 
当
2
x =
时，
3
y =
， 
∴点D在反比例函数图像上， 
∴该函数为矩形ABCD的“友好函数”； 
（2）解：①将点
(
)
1,2
A
的坐标代入正比例函数表达式
1y
ax
=
，得
2
a =
， 
∴正比例函数表达式为
2
y
x
=
， 
∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”， 
∴点C 在直线
2
y
x
=
上， 
设点
(
)
,2
C m
m ，点
(
)
(
)
,2 ,
1,2
B m
D
m ， 
∴
1,
2
2
AB
m
BC
m
=
−
=
−
， 
∵将矩形ABCD沿AC 折叠，点B 的对应点为E ，点E 落在y 轴上， 
 
 
 
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∴
1,
2
2,
AE
AB
m
CE
BC
m
BCO
ECO
=
=
−
=
=
−

= 
， 
延长BA交y 轴于F ，如图： 
 
∵四边形ABCD是矩形． 
∴
90 ,
DAB
BC
AD

=


． 
∵AD
y
∥
轴， 
∴
90 ,
EFA
DAB
BC
y

= 
=


轴， 
∴
BCO
EOC

= 
， 
∵
BCO
ECO

= 
， 
∴
EOC
ECO

= 
， 
∴
2
2
OE
CE
m
=
=
−， 
∵AB
x
轴， 
∴
(
)
0,2 ,
1
F
AF = ， 
∴
2
OF =
， 
∴
2
2
2
2
4
EF
OE
OF
m
m
=
−
=
−−
=
−， 
在Rt AEF

中，
2
2
2
AF
EF
AE
+
=
， 
(
)
(
)
2
2
1
2
4
1
m
m
+
−
=
−
， 
解得：
8
3
m =
或
2
m =
， 
∵AE
AF

， 
∴
1 1
m−． 
∴
2
m 
． 
8
3
m

=
， 
当
8
3
m =
时，
8 ,2
3
B




， 
 
 
 
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把8 ,2
3





代入反比例函数
k
y
x
=
得：2
8
3
k
=
， 
∴
16
3
k =
； 
②当OC
OA

时，即
1
m ， 
将点(
)
,2
B m
的坐标代入反比例函数表达式得
2
k
m
=
，即
2
k
m =
， 
∵
1,
2
2
AB
m
BC
m
=
−
=
−
， 
∴
(
)
2
6
6
3
6
y
AB
BC
m
k
=
+
=
−
=
−
， 
∵
1
m ． 
∴
2
k 
， 
∴当
2
k 
时， 
3
6
y
k
=
−
， 
当
4
y =
时，
3
6
4
y
k
=
−
=
， 
∴
10
3
k =
，
5
3
m =
， 
(
)(
)
(
)
2
2
1
5
8
1 2
2
2
1
2
1
3
9
S
AB BC
m
m
m


=

=
−
−
=
−
=

−
=




， 
当
8
y =
时，
3
6
8
y
k
=
−
=
， 
∴
14
3
k =
，
7
3
m =
， 
(
)(
)
(
)
2
2
2
7
32
1 2
2
2
1
2
1
3
9
S
AB BC
m
m
m


=

=
−
−
=
−
=

−
=




， 
∴
2
1
32
8
8
9
9
3
S
S
−
=
−
=
． 
【点睛】本题考查了矩形的性质，求函数解析式，反比例函数和一次函数的性质，勾股定理等知识，理解“友
好函数”，综合运用以上知识求解是解题的关键． 
 
题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值 
典例11 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A，B ，C 给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某
条坐标轴平行或共线，且A，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点A，B ，C 的相伴矩
形，在点A，B ，C 所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点A，B ，C 的最佳相伴矩形．例如，图1中
 
 
 
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的矩形
1
1
1
1
A BC D ，
2
2
2
2
A B C D ，
3
3
3
3
A B C D 都是点A B
C
，，
的相伴矩形，矩形
3
3
3
A B CD 是点A B
C
，，
的最佳相
伴矩形． 
 
(1)如图2 ，点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,4
B
，
(
)
1,
C
t （t 为整数）． 
①如果
3
t =
，则点A B
C
，，
的最佳相伴矩形的面积是________． 
②如果点A B
C
，，
的最佳相伴矩形的面积是18，请写出一个符合题意的t 值_______． 
(2)如图3，已知点
( , )
E m n 在函数
(
)
6
0
y
x
x
=

的图象上，且点D 的坐标为(
)
3,1 ，点F 的坐标为( 1,0)
−
， 
①求点D
E
F
，，
的最佳相伴矩形的面积S关于m 的函数表达式， 
②当m = 时S的值最小，最小值等于 ． 
【答案】(1)①12；②6 或2
− 
(2)①当0
3
m

时，
24
s
m
=
；当3
6
m


时，
6
6
s
m
=
+
；当
6
m 
时，
1
s
m
=
+ ；②6 ，7 
【分析】（1）①根据题意画出图形解答即可；②分点C 在x 轴上方和下方两种情况，分别画出图形列方程
解答即可； 
（2 ）①分0
3
m

、3
6
m


和
6
m 
三种情况，分别画出图形解答即可即可求解；②根据①所得函数
表达式，利用函数的性质求出最小值即可； 
本题考查了矩形的新定义运算，一元一次方程的几何应用，反比例函数与几何图形，理解新定义并运用数
形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 
【详解】（1）解：①当
3
t =
时，点
(
)
1,3
C
，则点A B
C
，，
的最佳相伴矩形如图所示： 
 
 
 
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∴点A B
C
，，
的最佳相伴矩形的面积
3 4
12
= =
， 
故答案为：12； 
②当点C 在x 轴上方时，点A B
C
，，
的最佳相伴矩形如图所示： 
 
则3
18
t =
， 
解得
6
t =
； 
当点C 在x 轴下方时，点A B
C
，，
的最佳相伴矩形如图所示： 
 
 
 
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则(
)
3 4
18
t
−
=
， 
解得
2
t
−
=
； 
综上，t 的值为6 或2
−； 
（2）解：当0
3
m

时，点D
E
F
，，
的最佳相伴矩形如图所示： 
 
∴
4
S
n
=
， 
∵
6
n
m
=
， 
∴
6
24
4
S
m
m
= 
=
， 
即
24
S
m
=
； 
当3
6
m


时，点D
E
F
，，
的最佳相伴矩形如图所示： 
 
 
 
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∴
(
)
(
)
1
1
S
m
n
m
n


=
−−
=
+


， 
∵
6
n
m
=
， 
∴
(
)
6
6
1
6
S
m
m
m
=
+

=
+
， 
即
6
6
S
m
=
+
； 
当
6
m 
时，点D
E
F
，，
的最佳相伴矩形如图所示： 
 
∴
(
)
1
1
1
S
m
m


=
−−
=
+


， 
即
1
S
m
=
+ ； 
综上，当0
3
m

时，
24
s
m
=
；当3
6
m


时，
6
6
s
m
=
+
；当
6
m 
时，
1
s
m
=
+ ； 
②当
24
S
m
=
时，S随m 的增大而减小， 
∵0
3
m

， 
 
 
 
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∴
24
8
3
S 
= ； 
当
6
6
S
m
=
+
时，S随m 的增大而减小， 
∵3
6
m


， 
∴当
6
m =
时，S取最小值，此时最小值
6
6
7
6
S =
+
=
； 
当
1
S
m
=
+ 时，S随m 的增大而增大， 
∵
6
m 
， 
∴
6 1
7
S 
+ =
； 
综上，当
6
m =
时S的值最小，最小值等于7 ， 
故答案为：6 ，7 ． 
 
变式11-1 换一个角度初看 
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例
如：已知两个函数
(
)
1
6
0
y
x
x
= −+

，
(
)
2
5
0
y
x
x
=

当x 取何值时，
1
2
y
y

？根据“代数”的思想要解一元二
次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． 
（1）如图1，当
1
2
y
y

时，x 的取值范围是_______． 
换一个角度二看 
我们定义：任意给定一个矩形M ，如果存在另一个矩形N ，它的周长和面积都是原矩形的2 倍，那么我们
称N 是M 的“加倍矩形”，M 是N 的“双半矩形”．请你研究矩形N 是否存在“双半矩形”M ．我们利用数形
结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数
7
y
x
= −+ 和反比例函数
10
y
x
=
的
部分图象，其中x 和y 分别表示矩形N 的“双半矩形”M 的两边长． 
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题： 
①这个图象所研究的矩形N 的面积为_____，周长为_____． 
②是否存在矩形M 的“双半矩形”Q ？如果存在，请求出Q 的边长；如果不存在，请说明理由． 
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C ，D ，E 为顶点的平行四边形？若存在，请直
接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 
 
 
 
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【答案】（1）1
5
x


； 
（2）①20，28； 
②假设存在矩形Q ，其边长为s，t ， 
同理可得：
(
)
1
7
2
2
s
t
x
y
+ =
+
=
，
1
10
2
2
st
xy
=
=
， 
则存在方程：
2
2
7
10
0
x
x
−
+
=
， 
49 80
0
=
−


， 
∴方程无解， 
故不存在矩形Q ； 
（3）存在，
(
)
3,3
E −
或(
)
3, 3
−
或(
)
7,7 
【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； 
（2）①由题意得：
(
)
1
2
x
y
m
n
+
=
+
且
1
2
yx
mn
=
，即可求解； 
②假设存在矩形Q ，其边长为s，t ，同理可得：
(
)
1
7
2
2
s
t
x
y
+ =
+
=
，
1
10
2
2
st
xy
=
=
，则存在方程：
2
2
7
10
0
x
x
−
+
=
，而方程无解，即可求解； 
（3）当CO为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当OD 或OE 为对角线时，同理可解． 
【详解】解：（1）联立
(
)
1
6
0
y
x
x
= −+

和
(
)
2
5
0
y
x
x
=

得：
5
6
x
x
−+
=
， 
解得：
1
x = 或5， 
观察函数图象知，当
1
2
y
y

时，x 的取值范围是1
5
x


， 
故答案为：1
5
x


； 
（2）①设矩形N 的边长分别为：m ，n ， 
由题意得：
(
)
1
2
x
y
m
n
+
=
+
且
1
2
yx
mn
=
， 
而
7
x
y
+
=
，
10
xy =
， 
 
 
 
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则
14
m
n
+
=
，
20
mn =
， 
故周长为28，面积为20， 
故答案为：20，28； 
②略 
（3）存在，理由： 
联立两个函数表达式得：10
7
x
x = −+ ， 
解得：
2
x =
或5， 
即点C 、D的坐标分别为：(
)
2,5 、(
)
5,2 ； 
设点
(
)
,
E x y ， 
当CO为对角线时， 
由中点坐标公式得： 
2
5
5
2
x
y
=
+

=
+

， 
解得：
3
3
x
y
= −


=

，即点
(
)
3,3
E −
； 
当OD 或OE 为对角线时， 
同理可得：
5
2
2
5
x
y
=
+

=
+

或
5
2
5
2
x
y
=
+


=
+

， 
解得：
3
3
x
y
=


= −

或
7
7
x
y
=


=

， 
即点
(
)
3, 3
E
−
或(
)
7,7 ； 
综上，
(
)
3,3
E −
或(
)
3, 3
−
或(
)
7,7 ． 
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解
一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思
想和数形结合的思想，请注意体会． 
 
变式11-2 在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC的边长为n（n 为正整数），点A在x 轴正半轴上，点C 在
y 轴正半轴上．若点
(
)
,
M x y 在正方形 OABC 的边上，且x ，y 均为整数，定义点M 为正方形OABC的“ LS
点”． 
 
 
 
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若某函数的图象与正方形OABC 只有两个交点，且交点均是正方形OABC 的“ LS 点”，定义该函数为正方形
OABC的“ LS 函数”．例如：如图1，当 
2
n =
时，某函数的图象
1
C 经过点(
)
0,1 和(
)
2,2 ，则该函数是正方形
OABC的“ LS 函数”． 
 
(1)当
1
n = 时，若一次函数y
kx
t
=
+ 是正方形OABC的“ LS 函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； 
(2)如图2，当
3
n = 时，函数
m
y
x
=
（
0
x 
）的图象经过点D (
)
1,3 ，与边AB 相交于点E ，判断该函数是不
是正方形OABC的“ LS 函数”，并说明理由． 
【答案】(1) y
x
=
或
1
y
x
= −+ （答案不唯一） 
(2)是，理由见解析 
【分析】本题考查求反比例函数、一次函数解析式，图形与坐标； 
（1）当
1
n = 时，
(1,0)
A
，
(1,1)
B
，
(0,1)
C
，写出一个一次函数，其图象过
(0,0)
O
，
(1,1)
B
即可； 
（2）求出
3
y
x
=
，点E 的坐标为(3,1)，可知函数
3
y
x
=
的图象与正方形OABC只有两个交点，且点D ，E 均
是“ LS 点”，故函数  
3 (
0)
y
x
x
=

  是正方形OABC的“ LS 函数”． 
【详解】（1）解：如图： 
 
当
1
n = 时，
(
)
1,0
A
，(
)
1,1
B
，
(
)
0,1
C
， 
当一次函数y
kx
t
=
+ 图象过
(
)
0,0
O
，
(
)
1,1
B
时， 
0
1
t
k
t
=

+ =

， 
 
 
 
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解得：
1
0
k
t
=

=

， 
∴此时解析式为y
x
=
，且直线y
x
=
与正方形OABC只有两个交点， 
一次函数y
x
=
是正方形OABC的“ LS 函数”； 
当一次函数y
kx
t
=
+ 图象过
(
)
0,1
C
，
(
)
1,0
A
时， 
1
0
t
k
t
=

+ =

， 
解得：
1
1
k
t
−
=

=

， 
∴此时解析式为
1
y
x
= −+ ，且直线
1
y
x
= −+ 与正方形OABC只有两个交点， 
一次函数
1
y
x
= −+ 是正方形OABC的“ LS 函数”； 
故答案为：y
x
=
或
1
y
x
= −+ （答案不唯一）． 
（2）解：当点
(
)
1,3
D
时，代入
m
y
x
=
中得：3
1
m
=
， 
解得
3
m =
， 

3
y
x
=
， 
把
3
x = 代入
3
y
x
=
得
1
y = ， 
点E 的坐标为(3,1)， 
函数
3
y
x
=
的图象与正方形OABC只有两个交点，且点D ，E 均是“ LS 点”， 
函数
(
)
3
0
y
x
x
=

是正方形OABC的“ LS 函数”． 
 
变式11-3 如图1，四边形ABCD为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且
2
OA
OB
=
，反比例函数
27
y
x
=
在第一象限的图象经过正方形的顶点C． 
 
(1)求点C 的坐标； 
(2)如图2，将正方形ABCD沿x 轴向右平移得到正方形A B C D
，点A恰好落在反比例函数的图象上，求此
 
 
 
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时点D的坐标； 
(3)在（2）的条件下，点P 为y 轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A、P、Q 为顶点的四边形
为菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 
【答案】(1)
(
)
9 3
C
，； 
(2)
21 9
2
D 





，； 
(3)点Q 的坐标为9 27
2
2






，
或9
3
2
2


−




，
或
9 6
2


−




，或9 21
2 16






，
． 
【分析】（1）过点C 作CH
x
⊥
轴，交于点H，设OB
a
=
，则
2
OA
a
=
，根据正方形的性质及各角之间的关
系得出
OAB
CBH

= 
，利用全等三角形的判定和性质得出
2
BH
OA
a
=
=
，CH
OB
a
=
=
，即可确定点C
的坐标； 
（2）利用（1）中方法确定
(
)
6 9
D
，，由点A恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得
出点D的坐标； 
（3）根据题意进行分类讨论：当
15
2
OA
OP
=
=
时；当
15
2
OA
AP
=
=
时；当OA为对角线时；分别利用菱形
的性质及等腰三角形的性质求解即可． 
【详解】（1）解：过点C 作CH
x
⊥
轴，交于点H， 
 
∵
2
OA
OB
=
，∴设OB
a
=
，则
2
OA
a
=
， 
∵四边形ABCD是正方形， 
∴AB
BC
=
，
90
ABC

=
， 
∴
90
ABO
CBH

+
=
， 
∵
90
ABO
OAB

+
=
， 
∴
OAB
CBH

= 
， 
∴
AOB
BHC
△
≌△
， 
∴
2
BH
OA
a
=
=
，CH
OB
a
=
=
， 
 
 
 
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∴
3
OH
a
=
， 
∴
(
)
3
C
a
a
，
， 
∵反比例函数
27
y
x
=
在第一象限的图象经过正方形的顶点C， 
∴3
27
a a

=
， 
∴
3
a = ； 
∴
(
)
9 3
C
，； 
（2）解：如图所示，过点D 作DG
x
⊥轴，AE
DG
⊥
，CF
DG
⊥
， 
同（1）方法可得：
ADE
ABO
DCF
≌
≌
△
△
△
， 
∵
90
AEG
EGO
AOG

= 
= 
=
， 
∴四边形OGEA为矩形， 
 
∴
6
3
6
AO
EG
DE
OB
AE
AO
=
=
=
=
=
=
，
，
， 
∴
(
)
6 9
D
，， 
∵点A恰好落在反比例函数
27
y
x
=
的图象上， 
∴当
6
y =
时，
9
2
x =
，即点A 向右平移9
2 个单位得到点A， 
∴
9
6
9
2
D 


+




，即
21 9
2
D 





，； 
（3）解：分三种情况讨论， 
由（2）得点A 向右平移9
2 个单位得到点A， 
∴
9 6
2
A 





，， 
∴
2
2
9
15
6
2
2
OA


=
+
=




， 
当
15
2
OA
OP
=
=
时，则
15
2
A Q
OP

=
=
且A Q
OP

∥
， 
 
 
 
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∴
1
9
15
6
2
2
Q 

+




，
，
2
9
15
6
2
2
Q 

−




，
，即
1
9 27
2
2
Q 





，
，
2
9
3
2
2
Q 

−




，
； 
当
15
2
OA
AP
=
=
时，此时点A与点Q 关于y 轴对称，
3
9 6
2
Q 

−




，； 
当OA为对角线时，此时OP
PA
=
， 
设
(
)
0
P
n
，
， 
∴
(
)
2
2
2
9
6
2
n
n


=
−
+ 



， 
解得
75
16
n =
，即
75
16
OP
A Q

=
=
，且OP
A Q

∥
， 
∴
4
9
75
6
2
16
Q 

−




，
，即
4
9 21
2 16
Q 





，
， 
 
综上可得：点Q 的坐标为9 27
2
2






，
或9
3
2
2


−




，
或
9 6
2


−




，或9 21
2 16






，
． 
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形
的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键． 
 
 
 
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 
1．已知点A、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C、D 是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、
D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD 是一
次函数y＝x+1 图象的其中一个伴侣正方形． 
（1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长； 
 
 
 
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（2）若某函数是反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=

，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比
例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式． 
 
【答案】（1）2 或 
2
3
；（2）m＝1，反比例函数的解析式为y＝2
x ． 
【分析】此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B 为坐标轴上两点，C、D 为
函数图象上的两点： 
（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密
性； 
（2）因为ABCD 为正方形，所以可作垂线得到全等三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C 的坐标从
而求解． 
【详解】解：（1）如图1，当点A 在x 轴正半轴，点B 在y 轴负半轴上时， 
∵OC＝OD＝1， 
∴正方形ABCD 的边长CD＝2 ； 
∵当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时， 
∴设正方形的边长为a， 
∴3a＝CD＝2 ． 
∴a＝
2
3
， 
∴正方形边长为 1
2
3
， 
∴一次函数y＝x+1 图象的伴侣正方形的边长为 
2 或 
2
3
； 
（2）如图2，作DE，CF 分别垂直于x、y 轴， 
 
 
 
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∵AB＝AD＝BC，∠DAE＝∠OBA＝∠FCB， 
∴△ADE≌△BAO≌△CBF． 
∵m＜2， 
∴DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m， 
∴OF＝BF+OB＝2， 
∴C 点坐标为（2﹣m，2）， 
设反比例函数的解析式为：
k
y
x
=
， 
∵D（2，m），C（2﹣m，2） 
∴
2
2
2
k
m
k
m
=

−


=

①
②
， 
∴由②得：k＝2m③， 
∴把k＝2m 代入①得：2m＝2（2﹣m）， 
∴解得m＝1，k＝2， 
∴反比例函数的解析式为y＝2
x ． 
【点睛】此题是一道新定义题，题比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的
顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形
的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解． 
2．如下图，反比例函数
(
)
1
1
1
0
k
y
k
x
=

与一次函数
(
)
2
2
2
0
y
k x
b k
=
+

的图象都经过点
(1,
)
A
m 和点
( 2, 2)
B −
−
，
以AB 为边作正方形ABCD（点A、B、C、D 逆时针排列）． 
 
 
 
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(1)求m 的值和一次函数
2y 的解析式． 
(2)求点C 的坐标． 
(3)将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ ，在平移过程中，使点A 的对应顶点M 始终在第一象限内且在反
比例函数
1y 的图象上（点M 与点A 不重合），当正方形MNPQ 与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求
重叠正方形的边长． 
【答案】(1)
4
m =
，
2
2
y
x
=
+
 
(2)
(
)
4,
5
C
−
 
(3) 8 5
3
 
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点M 在AC
上是解题的关键. 
（1）由待定系数法即可求解； 
（2）证明
(
)
AAS ,
BGA
CHB

≌
即可求解； 
（3）当正方形MNPQ 与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M 在AC 上，进而求解. 
【详解】（1）将点A B
、的坐标代入反比例函数表达式得：
(
)
1
2
2
1
k
m
= −−
= 
， 
解得： 
4,
m =
 
将点
(
)
1,4
A
、B 的坐标代入函数表达式得： 
 
2
2
4
,
2
2
k
b
k
b
=
+

−= −
+

 解得： 
2
2,
2
k
b
=


=

 
则一次函数的表达式为：
2
2
y
x
=
+
； 
（2）过点B 作y 轴的平行线交过点A和x 轴的平行线于点G ，交故点C 和x 轴的平行线于点H ， 
 
 
 
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90 ,
90
GBA
CBH
CBH
HBC

+ 
=

+ 
=


， 
GAB
HBC

= 
， 
90 ,
BGA
CHB
AB
CB

= 
=

=

，  
(
)
AAS
BGA
CHB

≌
， 
∴
(
)
4
2
6,
CH
GB
=
=
−−
=
 
(
)
1
2
3,
BH
GA
=
= −−
=
 
∴点
(
)
4,
5
C
−
； 
（3）当正方形MNPQ 与正方形ABCD的重叠部分为正方形时, 则点M 在AC 上, 
 
由点A C
、
的坐标得，直线AC 的表达式为：
3
7,
y
x
= −
+
 
由（1）知，反比例函数表达式为：
4
y
x
=
， 
联立上述两个函数表达式得： 
4
3
7
x
x
−
+
=
， 
解得：
1
x = (舍去)或 4
3 ， 
即点
4 ,3
3
M 




， 
由点C
M
、
的坐标得，
8 10 ,
3
CM =
 
则重叠正方形的边长为
2
8 5
2
3
CM =
． 
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=


图像上，将点A先向下平移至点B ，
再向右平移至图像上另外一点C ，以AB 、BC 为一组邻边作矩形ABCD，连接OA、OD ，点E 在x 轴正半
 
 
 
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轴上． 
 
(1)如果
2
k =
，且
45
AOE

=
，求点A的坐标； 
(2)求证：点B 在直线OD 上； 
(3)如果
1
2
OA
BD
=
，求证：
1
3
DOE
AOE

=

． 
【答案】(1)(
)
2, 2 
(2)根据题意设点A坐标为
, k
a a





，点C 坐标为
, k
b b





， 
∵矩形ABCD， 
∴B 坐标为
, k
a b





，点D坐标为
, k
b a





， 
设直线OD 的函数表达式为
(
)
1
1
0
y
k x k
=

，点D 在直线OD 上， 
∴
1
k
k b
a =
， 
解得
1
k
k
ab
=
， 
∴直线OD 的函数表达式为
k
y
x
ab
=
， 
当x
a
=
时，
k
k
y
a
ab
b
=

=
， 
∴点B 在直线OD 上 
(3)连接AC 交BD于点F ， 
 
∵矩形ABCD 
 
 
 
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∴AC
BD
=
， 
∴
1
1
2
2
AF
CF
AC
BF
DF
BD
=
=
=
=
=
， 
∵
1
2
OA
BD
=
， 
∴OA
AF
=
，BF
CF
=
， 
∴
1
2
= ，
3
BCF
=
， 
∵
2
3
2 3
BCF
= +
= ， 
∴1
2 3
= ， 
由题意得BC
OE
∥
， 
∴
3
DOE
= 
， 
∴
3
AOE
DOE

= 
， 
∴
1
3
DOE
AOE

=

． 
【分析】（1）延长AB 交x 轴于点G，根据题意得出AB
y
∥
轴，BC
x
∥轴，确定AG
x
⊥
轴，再由等腰直角
三角形的判定和性质得出AG
OG
=
，设点A坐标为(
)
,
m m ，它在反比例函数图像上，代入函数解析式求解即
可； 
（2）根据题意设点A坐标为
, k
a a





，点C 坐标为
, k
b b





，得出B 坐标为
, k
a b





，点D 坐标为
, k
b a





，设直
线OD 的函数表达式为
(
)
1
1
0
y
k x k
=

，确定直线OD 的函数表达式为
k
y
x
ab
=
，将点B 代入即可判断； 
（3）连接AC 交BD于点F ，根据矩形的性质得出
1
1
2
2
AF
CF
AC
BF
DF
BD
=
=
=
=
=
，确定OA
AF
=
，
BF
CF
=
，再由等边对等角得出
1
2
= ，3
BCF
=
，利用三角形外角的性质及等量代换得出1
2 3
= ，再
由平行线的性质结合图形即可证明． 
【详解】（1）解：延长AB 交x 轴于点G，如图所示： 
 
∵将点A先向下平移至点B ，再向右平移至图像上另外一点C ，以AB 、BC 为一组邻边作矩形ABCD， 
∴AB
y
∥
轴，BC
x
∥轴， 
 
 
 
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∴AG
x
⊥
轴， 
∵
45
AOE

=
， 
∴
45
AOE
OAG

= 
=
， 
∴AG
OG
=
， 
设点A坐标为(
)
,
m m ，它在反比例函数图像上， 
∴
2
m
m
=
， 
解得
2
m =
（负数舍去）， 
∴点A的坐标为(
)
2, 2 ； 
（2）略． 
（3）略． 
4．如图，点A是直线
2 (
0)
y
x x
=

上一点，过点A作x 轴平行线，与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=

交于点B ，以AB
为边向下作ABC

，点C 恰好在x 轴上，且
30
ACO

=
，
45
ABC

=
，若ABC

的面积为2 3
2
+
，求k 的
值． 
 
【答案】
4 3
6
k =
+
 
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由三角形面积求得点B 的坐标，代入
k
y
x
=
即可求
得k 的值，求得点B 的坐标是解题的关键． 
【详解】解：作CD
AB
⊥
于点D ， 
 
 
 
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AB
x
∥

轴， 
DC
x

⊥
轴，
30
CAD
ACO

= 
=
， 
设CD
n
=
，则
3
3
AD
CD
n
=
=
， 
45
ABC

=


， 
BD
CD
n

=
=
， 
(
)
3 1
AB
AD
BD
n

=
+
=
+
， 
ABC

的面积为2 3
2
+
， 
(
)
1
1
3 1
2 3
2
2
2
AB CD
n n


=
+

=
+
， 
2
n
=
（负数舍去）， 
(
)
2
3 1
AB

=
+
， 
把
2
y =
代入
2 (
0)
y
x x
=

得，
1
x = ， 
(
)
2 3
3,2
B

+
， 
反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=

过点B ， 
(
)
2 3
3
2
4 3
6
k
=
+

=
+
． 
5．（1）平面直角坐标系中，直线
2
2
y
x
=
+
交双曲线
(
0)
k
y
x
x
=

于点M ，点M 的纵坐标是4 ． 
 
①求k 的值； 
 
 
 
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②如图 1，正方形ABCD的顶点C 、D 在双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=

上，顶点A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，
求点D的坐标； 
（2）平面直角坐标系中，如图 2，C 点在x 轴正半轴上，四边形ABCO为直角梯形，AB
CO

，
90
OCB

=
，
OC
CB
=
，D为CB 边的中点，AOC
OAD

= 
，反比例函数的
(
)
0
m
y
x
x
=

图像经过点A，且
60
OAD
S
=
△
，
求m 的值． 
【答案】（1）①4 ；②(
)
2 2, 2 （2）48 
【分析】（1）①由直线
2
2
y
x
=
+
交双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=

于点M ，点M 的纵坐标是4 ，可求得点M 的坐标，
继而求得k 的值； 
②首先作DM
x
⊥
轴于点M ，作CN
y
⊥
轴于点N ，易证得
AOB
DMA
BNC
△
≌△
≌△
，易得
(
)
,
C b a
b
+
，(
)
,
D a
b a
+
，
继而求得a 的值，则可求得点D的坐标； 
（2）首先延长BA交y 轴于E ，过O作OF
AD
⊥
于F ，易证得
OEA
OFA
≌
△
△
，Rt
OFD
Rt
OCD
△
≌△
，又可
证得四边形OCBE为正方形，再根据
60
OAD
S
=
△
，从而建立方程，即可求得答案. 
【详解】解：（1）①∵直线
2
2
y
x
=
+
交双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=

于点M ，点M 的纵坐标是4 ， 
∴当
4
y =
时，2
2
4
x+
=
， 
解得：
1
x = ， 
∴
(
)
1,4
M
， 
又∵
(
)
1,4
M
在
k
y
x
=
上， 
∴
1 4
4
k = 
=
. 
∴k 的值是4 . 
②作DM
x
⊥
轴于点M ，作CN
y
⊥
轴于点N ，设OA
a
= ，OB
b
=
， 
∴
90
DMA

=
，
90
CNB

=
， 
∵四边形ABCD是正方形， 
∴AB
BC
DA
=
=
，
90
ABC
BAD

= 
=
， 
∴
90
CBN
ABO
OAB
DAM

+
= 
+
=
， 
∵
90
ABO
OAB
CBN
BCN
DAM
ADM

+
=
+
=
+
=
， 
∴
CBN
BAO
ADM

=
=
， 
 
 
 
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在
BCN
△
和ABO

和
DAM
△
中， 
CBN
BAO
ADM
CNB
BOA
AMD
BC
AB
AD

= 
= 


= 
= 


=
=

 
∴
(
)
BCN
ABO
DAM AAS
△
≌△
≌△
， 
∴CN
BO
AM
b
=
=
= ， 
BN
AO
DM
a
=
=
= ， 
∴
(
)
,
C b a
b
+
，
(
)
,
D a
b a
+
， 
∵点C 、D在双曲线
4
y
x
=
上， 
∴(
)
(
)
4
b a
b
a a
b
+
=
+
= ， 
∴a
b
=
， 
∴(
)
4
a a
a
+
=
， 
即
2
2
4
a =
， 
∵顶点A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 
∴
0
a
b
=

， 
∴
2
a =
， 
∴(
)
2 2, 2
D
. 
∴点D的坐标为(
)
2 2, 2 . 
 
（2）延长BA交y 轴于E ，过O作OF
AD
⊥
于F ，设AF
x
=
，
2
OC
n
=
， 
∴
90
AFO

=
， 
∵AB
CO

，
90
EOC

=
， 
∴
90
BEO
EOC
AFO

=
=
=
，
EAO
AOC

= 
， 
 
 
 
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∵
AOC
OAD

= 
， 
∴
EAO
FAO


=
， 
在OEA

和OFA

中， 
EAO
FAO
AEO
AFO
OA
OA

= 


= 


=

， 
∴
(
)
OEA
OFA AAS
△
≌△
， 
∴OE
OF
=
，AE
AF
=
， 
∵
90
BEO
EOC
OCB

= 
= 
=
， 
∴四边形BEOC 是矩形， 
又∵OC
BC
=
， 
∴四边形BEOC 是正方形， 
∴
2
OE
BE
BC
OC
n
=
=
=
=
，
90
EBC

=
， 
∴
2
OF
OC
n
=
=
， 
∵AF
x
=
， 
∴AE
AF
x
=
=
， 
∴
2
AB
BE
AE
n
x
=
−
=
−， 
∵D为CB 边的中点， 
∴
1
2
BD
CD
BC
n
=
=
=
， 
在Rt OFD

和Rt
OCD
△
中， 
OF
OC
OD
OD
=


=

 
∴
(
)
Rt
OFC
Rt
OCD HL
△
≌
△
， 
∴DF
DC
=
， 
∴AD
AF
DF
x
n
=
+
=
+ ， 
在Rt ABD

中，
90
B
=
， 
∴
2
2
2
AB
BD
AD
+
=
， 
即(
)
(
)
2
2
2
2n
x
n
x
n
−
+
=
+
， 
∴
2
3
n
x =
， 
 
 
 
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∵
2
OE
n
=
，AE
x
=
， 
∴
2 ,2
3
n
A
n





， 
∵点A在反比例函数
(
)
0
m
y
x
x
=

的图像上， 
∴
2
4
2
3
2
3
n
m
n
n =
=

， 
∵
60
OAD
S
=
△
， 
∴1
60
2 AD OF =

， 
即(
)
1
2
60
2 x
n
n
+
=

， 
∴
2
60
3
n
n
n


+
=




， 
∴
2
36
n =
， 
∴
2
4
4
36
48
3
3
n
m
=

=
=
. 
∴m 的值为48 . 
 
【点睛】本题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，正方形的性质与判定、全等
三角形的判定与性质，勾股定理等知识.解题的关键通过作辅助线构造全等三角形，注意掌握数形结合思想
与方程思想的应用. 
6．利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． 
   
 
 
 
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(1)如图①，EH 是
MEN

的三等分线，
2
MEH
HEN

= 
，点D 在EH 上，过点D 作DA
EN
∥
，交EM 于
点A，分别过点A、点D作AB
EN
⊥
，DC
EN
⊥
，垂足为B 、C ，AB 交EH 于点F ，点O是DF 的中点，
连接AO 并延长交CD于点G ．猜想AG 与AE 的数量关系，并说明理由． 
(2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数
(
)
1
0
y
x
x
=

的图象成功将锐角三等分，作法如下： 
1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知
AOB

的顶点与原点O重合，角的一边OB 与x 轴正方向重合； 
2．在平面直角坐标系里，绘制函数
(
)
1
0
y
x
x
=

的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P ； 
3．以P 为圆心，以2OP 为半径作弧，交函数
1
y
x
=
的图象于点R ； 
4．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点T ； 
5．连接OT ，得到
TOB

． 
请根据以上作法，证明
1
3
TOB
AOB

=

． 
(3)如图③，在平面直角坐标系中，点A在x 轴上，请你利用反比例函数
k
y
x
=
（
0
k ，
0
x 
）的图象作出
线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 
【答案】(1)解：
2
AG
AE
=
，理由如下， 
AB
EN
⊥
，DC
EN
⊥
， 
AB
CD

，
90
ABC
BCD

= 
=
， 
DA
EN
∥
， 

ADE
HEN

= 
，
180
DAB
ABC

+
=
，
180
ADC
BCD

+
=
， 

90
DAB
ADC

= 
=
，即ADF

和
ADG
△
是直角三角形， 
点O是DF 的中点， 

1
2
OA
OD
DF
=
=
， 

ADE
DAO

= 
， 

2
2
ADE
DAO
ADE
HEN
AOE


+
=

=

=
， 

2
MEH
HEN

= 
， 

E
MEH
AO


=
， 
AE
AO
=
， 

90
DAO
AGD

+
=
，
90
ADE
GDO

+
=
， 
 
 
 
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
AGD
GDO

= 
， 
OG
OD
=
， 
OG
OA
=
 

2
2 E
A
OG
OA
O
A
G
A
=
+
=
=
， 
则
2
AG
AE
=
； 
(2)证明：如图，分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两线相交于点Q ，PR和QT 相交于点K ， 
 
设
1
,
P a a





，
1
,
R b b





，则
1
,
T b a





，
1
,
Q a b





， 
设直线OT 的解析式为
(
)
0
y
kx k
=

， 

1
bk
a
=
，解得
1
k
ab
=
， 

1
y
x
ab
=
， 
当x
a
=
时，
1
1
y
a
ab
b
=

=
， 
即点Q 在直线OT 上， 
PT
x
∥轴，TR
y
∥轴，QR
x
轴，PQ
y

轴，x 轴
y
⊥
轴 

90
PQR
QRT
PTR

= 
= 
=
， 
四边形PQRT 是矩形， 
对角线PR，QT 相等且互相平分， 

1
2
PK
KT
PR
=
=
， 

KPT
KTP

= 
， 
PT
x
∥轴， 

KTP
TOB

= 
， 

2
PKO
KPT
KTP
KTP

= 
+
= 
， 

2
PR
OP
=
，即
1
2
OP
PR
=
， 
 
 
 
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PK
OP
=
， 

2
2
AOT
PKO
KTP
TOB

= 
= 
= 
， 

2
3
AOB
AOT
TOB
TOB
TOB
TOB

= 
+
= 
+
= 
， 
则
1
3
TOB
AOB

=

； 
(3)解：如图，点M ，N 即为线段OA的三等分点； 
 
过点A作x 轴的垂线，交函数
k
y
x
=
（
0
k ，
0
x 
）的图象于点B ，过点B 作y 轴的垂线于点C ，在y 轴上
顺次截取CD
DE
OC
=
=
，过点E 作y 轴的垂线，交函数
k
y
x
=
的图象于点F ，过点F 作x 轴的垂线于点M ，
在x 轴上截取MN
OM
=
，点M ，N 即为线段OA的三等分点． 
点B ，F 在函数
k
y
x
=
（
0
k ，
0
x 
）的图象上， 

OABC
S
OA OC
k
=

=
矩形
，
OEFM
S
OM
OE
k
=

=
矩形
， 
OA OC
OM
OE

=

， 

3
OE
OC
=
， 

1
3
OM
OA
=
， 
MN
OM
=
， 

1
3
MN
OM
NA
OA
=
=
=
， 
则点M ，N 为线段OA的三等分点． 
【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得ADF

和
ADG
△
是直角三角形，再根据“直角三角形
斜边上的中线是斜边的一半”，得OA
OD
=
，最后利用角之间的关系和等量代换，易得
E
MEH
AO


=
，
AGD
GDO

= 
，从而AE
AO
=
，OG
OD
=
，进而可得OG
OA
=
，
2
2 E
A
OG
OA
O
A
G
A
=
+
=
=
； 
（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两线相交于点Q ，PR和QT 相交于点K ，设
1
,
P a a





，
1
,
R b b





，
 
 
 
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则
1
,
T b a





，
1
,
Q a b





，求直线OT 的解析式，可证点Q 在直线OT 上，再证四边形PQRT 是矩形，从而根据
矩形的性质，可证
1
2
PK
KT
PR
=
=
，进而可证
KPT
KTP

= 
，PK
OP
=
，
2
2
AOT
PKO
KTP
TOB

= 
= 
= 
，
3
AOB
AOT
TOB
TOB

= 
+
= 
，即可求证； 
（3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作AB
x
⊥
轴，交函数
k
y
x
=
的图象于点B ，作矩
形OABC，在y 轴上顺次截取CD
DE
OC
=
=
，过点E 作y 轴的垂线，交函数
k
y
x
=
的图象于点F ，作矩形
OEFM ，根据反比例函数k 的几何意义，即可得到
1
3
OM
OA
=
，在x 轴上截取MN
OM
=
，即可求解． 
【详解】（1）略 
（2）略 
（3）略 
7．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B 分别为(
)
,0
m
、(
)
0,n ，顶点C 在反比例函数
1 (
)
0
k
x
y
x
=

上，顶点D 在反比例函数
2 (
)
0
k
x
y
x
=

上． 
 
(1)如图1，当D 点坐标为(
)
4,1 时． 
①求
2k 的值； 
②求m，n 的值； 
(2)如图2，当m，n 满足什么关系时，
1
2
k
k

，并说明理由； 
(3)如图3，当
1
2
k
k
=
时，在AD的延长线上取一点E，过点E 作EF
EA
⊥
交x 轴于点F，交反比例函数图象
于点G，当G 为EF 的中点，对于每一个给定的m 值，点E 的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用
含m 的代数式表示） 
【答案】(1)①
2k 的值为4；②m，n 的值为1，3； 
(2)解：当n
m

时，
1
2
k
k

，理由如下： 
如图，过点C 作CN
y
⊥
轴于点N ， 
 
 
 
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同理（1）可得
AOB
BNC
≌
△
△
，
(
)
2k
m m
n
=
+
， 
OB
CN
n

=
= ，OA
NB
m
=
=
， 
ON
m
n

=
+ ， 
(
)
,
C n m
n

+
， 
(
)
1k
n m
n

=
+
， 
若
1
2
k
k

，则(
)
(
)
n m
n
m m
n
+

+
， 
0
m 

，
0
n 
， 
n
m

， 
即当n
m

时，
1
2
k
k

； 
(3) 4
3 m 
【分析】（1）①将点D的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； 
②过点D作DM
x
⊥
轴，可得AOB
DMA

≌
，可用m ，n 表达点D 的坐标，建立关于m ，n 的二元一次方
程组即可得出结论； 
（2）过点C 作CN
y
⊥
轴于点N ，可得
AOB
CNB
≌
△
△
，可用m ，n 表达点C 的坐标，由此建立关于m ，n 的
不等式，解之即可； 
（3）过点E 作EH
x
⊥
轴于点H ，设EH
t
= ，由等腰三角形的性质可表达点F 和点G 的坐标，由此建立关
于m 的方程，解之即可． 
【详解】（1）解：①将点
(4,1)
D
代入反比例函数解析式
2k
y
x
=
， 
2
4 1
4
k

= =
； 
即
2k 的值为4； 
②如图，过点D作DM
x
⊥
轴于点M ， 
 
 
 
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90
AOB
AMD

=
=
， 
90
BAD


=

， 
90
BAO
DAM
DAM
ADM

+
= 
+
=
， 
BAO
ADM

= 
， 
AB
AD
=

， 
(
)
AAS
AOB
DMA

≌
， 
OB
AM
n

=
= ，OA
DM
m
=
=
， 
OM
m
n

=
+ ， 
(
)
,
D m
n m

+
， 

4
1
m
n
m
+
=


=

，解得
1
3
m
n
=

=

． 
m

，n 的值为1，3； 
（2）解：当n
m

时，
1
2
k
k

，理由略； 
（3）解：由（2）得
(
)
,
C n m
n
+
，
(
)
,
D m
n m
+
，又
1
2
k
k
=
， 
∴(
)
(
)
n m
n
m m
n
+
=
+
， 
0
m 

，
0
n 
， 
n
m
=
，即OA
OB
=
， 
∴
45
OAB
OBA

=
=
， 
∴
45
EAF

=
， 
∵EF
EA
⊥
， 
∴AEF

是等腰直角三角形， 
如图，过点E 作EH
x
⊥
轴于点H ， 
 
 
 
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AEF

是等腰直角三角形， 
EH
AH
HF

=
=
， 
设EH
t
= ，AH
HF
t
=
= ， 
(
, )
E m
t t

+
，
(
2 ,0)
F m
t
+
， 
点G 是EF 的中点， 
3
1
,
2
2
G m
t
t



+



； 
m
n
=

， 
2
1
2
2
k
k
m

=
=
， 
点
3
1
,
2
2
G m
t
t


+



在
2
2m
y
x
=
上， 
2
1
3
2
2
2
m
t m
t



=
+



，整理得
2
2
3
2
8
0
t
mt
m
+
−
= ， 
2
t
m
= −
（舍）或
4
3
t
m
=
． 
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与
判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用m ，n 表达出点C ，D 的坐标是解题关键． 
8．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P 分别作x 轴、
y 轴的垂线，若由点P 、原点O、两个垂足A
B
、为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点
P 是平面直角坐标系中的“美好点”． 
【尝试初探】 
（1）点
(2,3)
C
_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点
(4, )
D
b 是第一象限内的一个“美好点”，则b = _______； 
【深入探究】 
（2）若“美好点” 
( ,6)(
0)
E m
m 
在双曲线
k
y
x
=
（
0
k 
，且k 为常数）上，则k =_______； 
【拓展延伸】 
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点
( , )
P x y 是第一象限内的“美好点”． 
①求y 关于x 的函数表达式，并求出自变量x 的取值范围； 
②在图2 的平面直角坐标系中画出函数图象： 
 
 
 
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列表：下表是x 与y 的几组对应值，请将下表填写完整． 
x 
 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
描点：根据表中各组对应值(
)
,x y ，在图2 的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各
点，画出函数图像； 
 
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2 分，部分选对的得1
分，有选错的不得分） 
A．图象与经过点(
)
2,2 且平行于坐标轴的直线没有交点； 
B．y 随着x 的增大而减小； 
C．y 随着x 的增大而增大； 
D．图象经过点
3
10, 2





； 
④对于图象上任意一点( , )
x y ，代数式(2
) (
2)
x
y
−

−
是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，
请说明理由． 
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数(
0)
x 
的图象怎样平移得到？ 
【答案】（1）不是，4 ；（2）8；（3）①
4
2
2
y
x
=
+
−
（
2
x 
）；②图见解析，
4
y
x
=
；③AB；④是为定值，
定值为4
−；⑤
4
y
x
=
 
【分析】
（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C 是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到
(
)
2
4
4
b
b

+
=
，
进行计算即可得到b 的值； 
（2）根据“美好点”的定义求出m 的值，得到E 的坐标，将点E 代入反比例函数解析式，进行计算即可得到
 
 
 
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答案；  
（3）①根据“美好点”的定义可得(
)
2 x
y
xy
+
=
，化简整理即可得到答案； 
②先列表然后描点连线即可得到图象， 
③根据图象逐一判断即可得到答案； 
④将
4
2
2
y
x
=
+
−
代入(
) (
)
2
2
x
y
−

−
进行计算即可得到答案， 
⑤由图象观察可知，该图像可由
4
y
x
=
平移得到． 
【详解】解：（1）(
)
2
3
2
10
2 3
6
+

=

=

， 
点
(
)
2 3
C
，不是“美好点”， 
点
(
)
4
D
b
，
是第一象限内的一个“美好点”， 
(
)
2
4
4
b
b

+
=
， 
解得：
4
b =
， 
故答案为：不是，4； 
（2）
(
)(
)
6
0
E m
m 
，
是“美好点”， 
(
)
2
6
6
m
m

+
=
， 
解得：
3
m =
， 
(
)
3 6
E

，， 
将
(
)
3 6
E
，代入双曲线
k
y
x
=
， 
得
18
k =
， 
故答案为：18； 
（3）①点(
)
P x
y
，
是第一象限内的“美好点”， 
(
)
2 x
y
xy

+
=
， 
化简得：
2
4
2
2
2
x
y
x
x
=
=
+
−
−
， 
第一象限内的点的横坐标为正， 
 
 
 
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0
2
0
2
2
0
x
x
x
x





−

−


， 
解得：
2
x 
， 
y 关于x 的函数表达式为：
4
2
2
y
x
=
+
−
（
2
x 
）； 
②列表如下， 
x 
 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 
y 
 
6 
4 
10
3 
3 
14
5 
8
3 
 
如图如图所示： 
  
 
③由图象可得： 
A，图象与经过点(
)
2 2
，且平行于坐标轴的直线没有交点，故A 正确，符合题意； 
B，由图象可知y 随着x 的增大而减小，故B 正确，符合题意； 
C，y 随着x 的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； 
D，当
10
x =
时，
5
2
y =
，所以图象经过点
5
10 2






，，故该选项说法错误，不符合题意 
故选：AB； 
④
4
2
2
y
x
=
+
−
， 
(
)(
)
(
)
4
2
2
2
2
2
4
2
x
y
x
x



−
−
=
−
+
−
= −


−


， 
对于图象上任意一点(
)
x
y
，
，代数式(
) (
)
2
2
x
y
−

−
是为定值，定值为4
−． 
⑤该图象可由
4
y
x
=
向右平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到， 
 
 
 
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故答案为：
4
y
x
=
； 
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图
象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 
9．如图1，已知矩形AOCB，
6
AB
cm
=
，
16
BC
cm
=
，动点P 从点A出发，以3cm s 的速度向点O运动，
直到点O为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm s的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，设点P 的运动
时间为( )
t s ． 
 
（1）点P 到达终点O的运动时间是______ s，此时点Q 的运动距离是______cm ； 
（2）当
2
t =
时，P 、Q 两点的距离为______cm ； 
（3）当t 为何值时，点P 和点Q 之间的距离是10cm； 
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OA所在直线为y 轴，1cm 长为单位长度建立平面
直角坐标系，连接AC ，与PQ 相交于点D，若双曲线
k
y
x
=
过点D ，问k 的值是否会变化？若会变化，说
明理由；若不会变化，请求出k 的值． 
【答案】（1）16
3 ，32
3 ；（2）6 2 ；（3）t＝8
5 或t＝24
5 ；（4）不变化，k＝576
25 ． 
【分析】（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论； 
（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论； 
（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论； 
（4）先求出直线AC 解析式，再求出点P，Q 坐标，进而求出直线PQ 解析式，联立两解析式即可得出结论． 
【详解】解：（1）∵四边形AOCB 是矩形， 
∴OA＝BC＝16， 
∵动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动， 
 
 
 
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∴t＝16
3 ，此时，点Q 的运动距离是16
3 ×2＝32
3 cm， 
故答案为16
3 ，32
3 ； 
（2）如图1，由运动知，AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm， 
过点P 作PE⊥BC 于E，  
∴四边形APEB 是矩形， 
∴PE＝AB＝6，BE＝6， 
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6， 
根据勾股定理得，PQ＝
2
2
PE
EQ
+
=6 2 ， 
故答案为6 2 ； 
（3）设运动时间为t 秒时， 
由运动知，AP＝3t，CQ＝2t， 
同（2）的方法得，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t， 
∵点P 和点Q 之间的距离是10cm， 
∴62+（16﹣5t）2＝100， 
解得，t＝8
5 或t＝24
5 ； 
（4）k 的值是不会变化， 
理由：∵四边形AOCB 是矩形， 
∴OC＝AB＝6，OA＝16， 
∴C（6，0），A（0，16）， 
∴直线AC 的解析式为y＝﹣8
3 x+16①， 
设运动时间为t， 
∴AP＝3t，CQ＝2t， 
∴OP＝16﹣3t， 
∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t）， 
∴PQ 解析式为y＝5
16
6
t −
x+16﹣3t②， 
联立①②得，
8
5
16
16
16
3
3
6
t
x
x
t
−
−
+
=
+
−
， 
 
 
 
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解得，x＝18
5 ，代入y＝32
5 ， 
∴D（18
5 ，32
5 ） 
∴k＝18
32
576
5
5
25

=
是定值． 
 
【点睛】本题是动点问题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形和求解析式是解本题的
关键． 
10．如图，点A为反比例函数
1
(
0,
0)
m
y
m
x
x
=


的图像上一点，且点A的横坐标为a ，过点A作x 轴、y 轴
的平行线，分别交反比例函数
2
(
0,
0)
n
y
n
m
x
x
=



的图像于C 、B ，过点C 作y 轴的平行线，交反比例函
数
1y 的图像于D，连接AD
BC
、
． 
   
(1)当
1,
2,
1
m
n
a
=
=
= 时，求线段CD的长； 
(2)若
2
n
m
=
； 
①若
2
AC =
，求a 的值； 
②求CD
AB 的值； 
(3)当m
n
、的值一定时，四边形ABCD的面积是否随a 的变化而变化？若不变，请用含m
n
、的代数式表示四
 
 
 
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边形ABCD的面积；若变化，请说明理由． 
【答案】(1)
1
2
CD =
 
(2)①
2
a =
，②
1
2
CD
AB =
 
(3)不变，
(
)
2
(
)
S
2
n
m
n
m
ABCD
mn
−
+
=
四边形
 
【分析】（1）先求出A点坐标，根据题意，求出
,
C D 点的坐标，即可得解； 
（2）①设
(
)
,
,
A a b
则：(
)
2,
C a
b
+
，得到
(
)
,
2
ab
m a
b
n
=
+
=
，根据
2
m
n
=
，进行求解即可；②分别表示出
, ,
,
A B C D 点的坐标，求出
,
AB CD 的长，即可得出CD
AB 的值； 
（3）利用四边形ABCD的面积等于
ACD
ACB
S
S
+

，进行求解判断即可． 
【详解】（1）解：∵
1,
2,
1
m
n
a
=
=
= ， 
∴
2
1
1
2
(
0),
(
0)
y
x
y
x
x
x
=

=

， 
∴
(
)
1,1
A
， 
∵AC
x
轴，CD
y
∥轴，点C 在
2
2 (
0)
y
x
x
=

的图象上，点D 在
1
1 (
0)
y
x
x
=

的图象上， 
∴
(
)
1
2,1 ,
2, 2
C
D




， 
∴
1
2
CD =
； 
（2）①设
(
)
,
,
A a b
 
∵
2
AC =
， 
∴
(
)
2,
C a
b
+
， 
∵点A在
1
m
y
x
=
的图象上，点C 在
2
n
y
x
=
的图象上， 
∴
(
)
,
2
ab
m a
b
n
=
+
=
， 
∵
2
n
m
=
， 
∴
(
)
2
2
ab
a
b
=
+
， 
∴
2
a =
； 
②∵A在
1
m
y
x
=
的图象上， 
 
 
 
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∴
,
,
m
A a a





 
由题意得：
, n
B a a





，
,
an m
C
m
a





，
2
,
an m
D
m
an






，
0,
0,
2
a
m
n
m


=
， 
∴
n
m
m
AB
a
a
−
=
=
，
2
2
2
m
m
m
m
m
CD
a
an
a
a
a
=
−
=
−
=
， 
∴
1
2
CD
AB =
； 
（3）不变； 
由（2）②知：
,
,
m
A a a






, n
B a a





，
,
an m
C
m
a





，
2
,
an m
D
m
an






， 
∴
2
2
,
n
m
m
m
mn
m
AB
CD
a
a
an
an
−
−
=
=
−
=
，
(
)
a n
m
an
AC
a
m
m
−
=
−
=
， 
∴四边形ABCD的面积等于
(
)
1
2
ACD
ACB
S
S
AC AB
CD
+
=
+

 
(
)
2
1
2
a n
m
n
m
mn
m
m
a
an
−


−
−
=

+




 
(
)
2
2
1
2
a n
m
n
m
m
an
−
−
=


 
(
)(
)
2
2
2
n
m
n
m
mn
−
−
=
 
(
) (
)
2
2
n
m
n
m
mn
−
+
=
． 
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用．熟练掌握反比例函数上的点的特征，以及平行于坐标轴的直线
上的点的特征，是解题的关键． 
11．如图，直线
2
6
y
x
=
−与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象交于点
)
(4,2
A
，与x 轴交于点B． 
 
(1)求k 的值及点B 的坐标； 
(2)当x ______ 时，
(
)
2
6
0
k
x
x
x
−


； 
(3)在x 轴上是否存在点C，使得ABC

为等腰三角形，且AC
AB
=
？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，
 
 
 
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请说明理由． 
【答案】(1)
8
k = ，点B 的坐标为
)
(3,0 
(2)
4
x 
 
(3)点C 的坐标为
)
(5,0 
【分析】（1）利用待定系数法求出
8
k = ，再把
0
y =
代入
2
6
y
x
=
−中，可得
3
x =
，即可求出B 点坐标； 
（2）根据函数图象的交点和位置进行解答即可； 
（3）设点C 的坐标为(
)
,0
m
，表示出AB ，AC ，BC ，ABC

为等腰三角形，且AC
AB
=
，据此列方程并
解方程即可得到答案． 
【详解】（1）解：把点
)
(4,2
A
代入反比例函数
k
y
x
=
，得
8
k = ， 
把
0
y =
代入
2
6
y
x
=
−中，可得
3
x =
， 
故
8
k = ，B 点坐标是
)
(3,0 
（2）解：由图象可知，当
4
x 
时，一次函数
2
6
y
x
=
−的图象在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=

的图象的上方， 
∴当
4
x 
时，
(
)
0
2
6
k x
x
x
−


； 
（3）解：设点C 的坐标为(
)
,0
m
， 
则
(
)
(
)
2
2
4
3
2
0
5
AB =
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
4
2
0
AC
m
=
−
+
−
，
3
BC
m
=
−
． 
∵ABC

为等腰三角形，且AC
AB
=
， 
∴
(
)
(
)
2
2
5
4
2
0
m
=
−
+
−
，即(
)
2
4
1
m
−
= ， 
解得：
5
m =
或
3
m =
（此时
3
0
BC
m
=
−
=
，则
3
m =
不合题意，舍去）， 
∴点C 的坐标为
)
(5,0 ． 
故在x 轴上存在点C，使得ABC

为等腰三角形，且AC
AB
=
，点C 的坐标为
)
(5,0 ． 
12．如图，一次函数
(
)
0
y
mx
n m
=
+

的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=

的图象交于第一、三象限内的A，B
两点，与y 轴交于点C，过点B 作BM
x
⊥
轴，垂足为点M，
2
BM
OM
=
=
，点A 的纵坐标为4． 
 
 
 
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(1)求该反比例函数和一次函数的表达式； 
(2)直线AB 交x 轴于点D，过点D 作直线l
x
⊥
轴，如果直线l 上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形
OPAQ 是矩形，求出点P 的坐标． 
【答案】(1)
2
2
y
x
=
+
，
4
y
x
=
 
(2)存在，点P 的坐标为(
)
1,2
2
−
+
或(
)
1,2
2
−
−
 
【分析】（1）求出点B 的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A 的坐标，再利用待定系数法，
即可求解； 
（2）设(
)
1,
P
a
−
，根据四边形OPAQ 是矩形，可得
90
APO

=
，再根据勾股定理解答即可． 
【详解】（1）解：∵
2
BM
OM
=
=
，BM
x
⊥
轴， 
∴点B 的坐标为(
)
2, 2
−
−
， 
把(
)
2, 2
−
−
代入得：
(
) (
)
2
2
4
k = −
−
=
， 
∴反比例函数的解析式为
4
y
x
=
， 
∵点A 的纵坐标是4， 
∴
4
4
x
=
，解得：
1
x = ， 
∴点A 的坐标为(
)
1,4 ， 
把点(
)
2, 2
−
−
，(
)
1,4 代入
(
)
0
y
mx
n m
=
+

，得： 
4
2
2
m
n
m
n
−
+
=

−
+
=

，解得：
2
2
m
n
=

=

， 
即一次函数的解析式为
2
2
y
x
=
+
； 
（2）解：存在， 
 
 
 
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对于
2
2
y
x
=
+
，当
0
y =
时，
1
x = − 
∴
(
)
1,0
D −
， 
∴
1
OD = ， 
∵直线l
x
⊥
轴， 
∴可设(
)
1,
P
a
−
，  
∵四边形OPAQ 是矩形， 
如图，此时
2
2
2
2
2
OA
PA
OP
PD
OD
−
=
=
+
， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
4
1 1
4
1
a
a


+
−
+
+
−
=
+


， 
解得：
2
2
a =

， 
此时点P 的坐标为(
)
1,2
2
−
+
或(
)
1,2
2
−
−
； 
 
综上所述，点P 的坐标为(
)
1,2
2
−
+
或(
)
1,2
2
−
−
． 
13．如图，已知点
(
)
,0
A a
，
(
)
0,
B
b ，且a 、b 满足
(
)
2
2
2
3
0
a
a
b
+
+
+ +
=
．四边形ABCD的边AD与y 轴
交于点E ，且E 为AD中点，双曲线
k
y
x
=
经过C 、D 两点． 
 
(1)a =________，b = ________，D点的坐标________； 
 
 
 
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(2)点P 在双曲线
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上（如图2），若以点A、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
请直接写出点Q 的坐标； 
(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN
HT
⊥
，
交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN
HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出
其值，并说明理由． 
【答案】(1) 1
−，2
−，(
)
1,4 
(2)(
)
0,6 或(
)
0, 6
−
或(
)
0,2 
(3)不变，MN
HT 的定值为 
1
2 如图，连接NH 、NT 、NF ， 
 
∵MN 是线段HT 的垂直平分线， 
∴NT
NH
=
， 
四边形AFBH 是正方形， 
ABF
ABH

= 
，
90
AFB
AHB

= 
=
， 
在BFN

与
BHN
△
中， 
BF
BH
ABF
ABH
BN
BN
=


= 


=

， 
(
)
SAS
BFN
BHN

≌
， 
NF
NH
NT

=
=
，
BFN
BHN

= 
， 
∴
NTF
NFT

= 
，
AFB
BFN
AHB
BHN

−
= 
−
， 
∴
AFN
AHN

= 
， 
 
 
 
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NTF
NFT
AHN

= 
= 
， 
在四边形ATNH 中，
180
ATN
NTF

+
=
，而
NTF
NFT
AHN

= 
= 
， 
∴
180
ATN
AHN

+
=
， 
∴四边形ATNH 内角和为360， 
∴
360
180
90
90
TNH

=
−
−
=
， 
∵M 是HT 的中点， 
1
2
MN
HT

=
， 
1
2
MN
HT

=
，即MN
HT 的定值为1
2 ． 
【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出a 、b 的值，从而可得
(
)
1,0
A −
，(
)
0, 2
B
−
，由题意可得点D 的
横坐标为1，设
(
)
1,
D
t ，结合平行四边形的性质求出
(
)
2, 2
C
t
−+
，最后再利用反比例函数的性质计算即可得
出结果； 
（2）求出反比例函数的解析式为
4
y
x
=
，分三种情况：当AB 为边时，此时四边形ABPQ 为平行四边形；当
AB 为边时，此时四边形ABQP 为平行四边形；当AB 为对角线时，此时四边形APBQ 为平行四边形；利用
平行四边形的性质计算即可得出结果； 
（3）连接NH 、NT 、NF ，由线段垂直平分线的性质可得NT
NH
=
，证明
(
)
SAS
BFN
BHN

≌
，得出
NF
NH
NT
=
=
，求出
90
TNH

=
，即可得出
1
2
MN
HT
=
，从而得证． 
【详解】（1）解：∵
(
)
2
2
2
3
0
a
a
b
+
+
+ +
=
，2
2
0
a +

，(
)
2
3
0
a
b
+
+

， 
∴2
2
0
a +
=
，
3
0
+ + =
a
b
， 
解得
1
a = −，
2
b = −， 
∴
(
)
1,0
A −
，
(
)
0, 2
B
−
， 
∵E 为AD中点，且点E 在y 轴上， 
∴点D的横坐标为1， 
设
(
)
1,
D
t ， 
∵四边形ABCD为平行四边形， 
∴
A
C
B
D
x
x
x
x
+
=
+
，
A
C
B
D
y
y
y
y
+
=
+
， 
 
 
 
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∴1
0 1
C
x
−+
=
+ ，0
2
C
y
t
+
= −+ ， 
∴
2
C
x =
，
2
C
y
t
= −+ ， 
∴
(
)
2, 2
C
t
−+
， 
∵反比例函数
k
y
x
=
经过C 、D 两点， 
∴
(
)
1
2
2
t
t
=
−+
， 
解得
4
t =
， 
∴
(
)
1,4
D
； 
（2）解：∵点
(
)
1,4
D
在反比例函数
k
y
x
=
上， 
∴4
1
k
=
， 
∴
4
k =
， 
∴反比例函数的解析式为
4
y
x
=
， 
∵点P 在反比例函数
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上， 
∴设
(
)
0,
Q
y ，
4
,
P x x





， 
当AB 为边时，如图，此时四边形ABPQ 为平行四边形， 
 
则
1
0
2
x
−+
=
，
4
0
2
2
2
y
x
+
−+
=
， 
∴
1
x = ，
6
y =
， 
此时点Q 的坐标为(
)
0,6 ； 
当AB 为边时，如图，此时四边形ABQP 为平行四边形， 
 
 
 
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则0
1 0
2
2
x
+
−+
=
，
4
2
0
2
2
y
x
−+
+
=
， 
∴
1
x = −，
6
y = −， 
此时点Q 的坐标为(
)
0, 6
−
； 
当AB 为对角线时，如图，此时四边形APBQ 为平行四边形， 
 
则0
1 0
2
2
x
+
−+
=
，
4
2
0
2
2
y
x
+
−+
=
， 
解得
1
x = −，
2
y =
， 
此时点Q 的坐标为(
)
0,2 ； 
综上所述，点Q 的坐标为(
)
0,6 或(
)
0, 6
−
或(
)
0,2 ； 
（3）略． 
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
2
y
kx
=
+ （k 为常数，
0
k 
）的图象与x 轴，y 轴分别交于A，
B 两点，与反比例函数
m
y
x
=
（
0
x 
）的图象交于点
(
)
2,
C
a ，
2
OB
OA
=
． 
 
 
 
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(1)求一次函数和反比例函数的解析式； 
(2)点
(
)
1,
D
b 在反比例函数
m
y
x
=
（
0
x 
）的图象上，则a __________b （填“>”“<”“=”）； 
(3)直接写出不等式
2
m
kx
x
+

（
0
x 
）的解集； 
(4)点P 在x 轴的正半轴上，连接CP ，若ACP

是以AC 为腰的等腰三角形，直接写出ACP

的面积． 
【答案】(1)一次函数的解析式：
2
2
y
x
−
=
+ ；反比例函数的解析式：
4
y
x
= −
 
(2) 
(3)0
2
x


 
(4) 5 或2 
【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B 点坐标，由
2
OB
OA
=
求出OA长度得到A 点坐标，代入
2
y
kx
=
+
求出k，再将C 点横坐标代入一次函数求出a，得到C 点坐标后代入反比例函数求出m． 
（2）比较a 和b：如果反比例函数
0
x 
时的增减性已知，那么通过比较C、D 两点横坐标大小即可判断纵
坐标大小． 
（3）求不等式
2
m
kx
x
+

（
0
x 
）的解集：因为不等式的几何意义是
0
x 
时一次函数图象在反比例函数图
象上方的部分对应的x 的范围，所以结合两函数交点C 的横坐标即可得到解集． 
（4）求等腰ACP

的面积：先设P 点坐标，分两种情况：如果AC
AP
=
，那么用两点距离公式列方程求P
点坐标；如果AC
CP
=
，那么用两点距离公式列方程求P 点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 
【详解】（1）解：对于一次函数
2
y
kx
=
+ ， 
令
0
x =
，得
2
y =
， 
因此
(0,2)
B
，
2
OB =
． 
由
2
OB
OA
=
，得
1
OA = ， 
又∵A在x 轴正半轴， 
∴
(1,0)
A
． 
把
(1,0)
A
代入
2
y
kx
=
+ ，得0
2
k
=
+
， 
 
 
 
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解得
2
k
−
=
， 
因此一次函数解析式为
2
2
y
x
−
=
+ ． 
把
(2, )
C
a 代入
2
2
y
x
−
=
+
，得
2 2
2
2
a = −+
= −， 
即
(2, 2)
C
−
． 
把
(2, 2)
C
−
代入
m
y
x
=
，得
2 ( 2)
4
m =
−
= −， 
因此反比例函数解析式为
4 (
0)
y
x
x
= −

． 
（2）解：把
(1, )
D
b 代入
4
y
x
= −
，得
4
b = −． 
已知
2
a = −，2
4
−−， 
因此a
b

． 
（3）解：不等式
2
m
kx
x
+

表示
0
x 
时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 
两个函数交点为
(2, 2)
C
−
， 
结合图象可得解集为0
2
x


． 
（4）解：设
( ,0)(
0)
P p
p 
， 
已知
(1,0)
A
，
(2, 2)
C
−
， 
计算得
2
2
(2 1)
( 2
0)
5
AC =
−
+ −−
=
， 
ACP

以AC 为腰，分两种情况： 
AC
AP
=
：
5
AP
AC
=
=
， 
即
1
5
p −
=
∣
∣
， 
∵
0
p 
， 
得
1
5
p = +
（负根舍去）， 
∴
5
AP =
． 
ACP

的高为C 到x 轴的距离2 ， 
面积
1
5
2
5
2
S =


=
． 
AC
CP
=
：
5
CP
AC
=
=
， 
即
2
2
(
2)
(0
2)
5
p −
+
+
=
， 
 
 
 
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解得
3
p =
（
1
p = 与A重合，舍去）， 
∴
3 1
2
AP = −=
． 
面积
1
2 2
2
2
S =

=
． 
因此ACP

的面积为2 或
5 ． 
15．反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m 
）和正比例函数
2y
nx
=
（
0
n 
）相交于A、B 两点，点C 在
1
m
y
x
=
上，点A、
C 均在第一象限，且点C 在点A的左上方，直线AC 、BC 与y 轴分别交于点F 、G ． 
 
(1)如图1，已知点
(3,1)
A
，点
(1,3)
C
， 
直接写出：①点B 的坐标是 ；②CG 与CF 的数量关系是 ； 
(2)若（1）中的条件点A坐标不变，随着点C 的变化，判断（1）中的“CG 与CF 的数量关系”是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； 
(3)如图2，直线AC 、BC 与x 轴分别交于点E 、D ，经过探索发现：随着点A、C 的变化，DE 与FG 的乘
积只与m 的取值有关，请用只含m 的代数式表示DE 与FG 的乘积． 
【答案】(1)(
)
3, 1
−
−
，相等， 
(2)解：CG
CF
=
成立，理由如下： 
反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m 
）过
(3,1)
A
，点C ， 
∴
3
m =
，即
1
3
y
x
=
， 
设
3
,
C t t





，设直线BC 为y
kx
b
=
+
， 
∵
(
)
3, 1
B −
−
， 
∴
3
1
3
k
b
tk
b
t
−
−
+
=

+
=

，解得：
1
3
1
k
t
b
t
=

=
−

， 
 
 
 
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∴直线BC 为
1
3 1
y
x
t
t
=
+
−， 
∴
3
0,
1
G
t


−



， 
∵
(3,1)
A
，
3
,
C t t





， 
同理可得直线AC 为：
1
3 1
y
x
t
t
= −
+
+ ， 
∴
3
0,
1
F
t


+



， 
∴
(
)
2
2
2
2
3
3
0
1
1
CG
t
t
t
t


=
−
+
−
+
=
+




，
(
)
2
2
2
2
3
3
0
1
1
CF
t
t
t
t


=
−
+
−
−
=
+




， 
∵
0
CG 
，
0
CF 
， 
∴CG
CF
=
. 
(3)4m 
【分析】（1）由反比例函数的性质可得(
)
3, 1
−
−
，分别求解直线BC 为
2
y
x
=
+
，直线AC 为
4
y
x
−
=
+
，进
一步结合勾股定理求解； 
（2）设
3
,
C t t





，求解直线BC 为
1
3 1
y
x
t
t
=
+
−，直线AC 为：
1
3 1
y
x
t
t
= −
+
+ ，进一步结合勾股定理求解； 
（3）设点
, m
A a a





，点
,
m
B
a
a
−
−





，点
, m
C t t





，求解直线AC 的解析式为： 直线BC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
，进一步求解即可. 
【详解】（1）解：∵反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m 
）和正比例函数
2y
nx
=
（
0
n 
）相交于
(3,1)
A
、B 两点， 
∴
(
)
3, 1
B −
−
， 
设直线BC 为y
ex
f
=
+
，而点
(1,3)
C
， 
∴
3
3
1
e
f
e
f
−
+
=

−
+
=

， 
解得：
1
2
e
f
=


=

， 
∴直线BC 为
2
y
x
=
+
， 
∴
(
)
0,2
G
， 
∵
(3,1)
A
，
(1,3)
C
， 
同理可得直线AC 为
4
y
x
−
=
+
， 
 
 
 
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∴
(
)
0,4
F
， 
∴
(
)
(
)
2
2
2
1 0
3
4
2
CF =
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
1 0
3
2
2
CG =
−
+
−
=
， 
∴CF
CG
=
. 
（2）略 
（3）解：设点
, m
A a a





，点
,
m
B
a
a
−
−





，点
, m
C t t





， 
同理可得：直线AC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
+
， 
当
0
x =
，
m
m
y
a
t
=
+
， 
当
0
y =
，
0
m
m
m
x
at
a
t
−
+
+
=
， 
解得：x
a
t
=
+ ， 
∴点
0, m
m
F
t
a


+



，点
(
)
,0
E a
t
+
， 
同理可得：直线BC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
， 
同理：点
0, m
m
G
t
a
−





，点
(
)
,0
D t
a
−
， 
∴
2
DE
a
=
，
2m
FG
a
=
， 
DE 与FG 的乘积
4m
=
．