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专题04 反比例函数中的等腰三角形
1．如图，点 是反比例函数 图像上的一动点，连接 并延长交图像的另一支于点 ．在点
的运动过程中，若存在点 ，使得 ， ，则 ， 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，根据等腰直角三角形
的性质得出 ，通过角的计算找出 ，结合“ ， ”
可得出 ，根据全等三角形的性质，可得出 ，进而得到 ，进一步得到
．
【详解】解：连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
由直线 与反比例函数 的对称性可知 、 点关于 点对称，
，
又 ， ，
， ，
， ，
，又 ， ，
，
， ，
点 ，
， ，
， ，
，
点 是反比例函数 图像上，
，即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性
质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点 的坐标．
2．已知，在平面直角坐标系中，A的坐标为 ，点B是 中点，点 在
的图像上，点D从点C出发沿着 的图像向右运动，在 形状的变化过程中，
依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→直用三角形→等腰三角形→等腰三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【分析】画出图形，然后把D依次从点C出发向右运动，即可得到 形状的变化，从而得解．【详解】解：由题意可知B（2，0）、C（2， ），
∴D在C点时，BD⊥x轴， 为直角三角形，
当D点运动到（3， ）即（3， ）时，可以得到：
BD= ，AD= ，即BD=AD=AB=2，
∴此时 为等边三角形，
当D点运动到（4， ）时，可以得到AD⊥x轴，即 为直角三角形，
综上所述，只有C符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的性质、直角三角形、等边三角
形、等腰三角形的意义是解题关键．
3．如图， ， ， ，……是分别以 ， ， ，……为直角项点，一条直角
边在 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 ， ， ，……，均
在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点C 的坐标，确定y，可求反比例函数关系式，由点C 是等腰直角三角形的斜边中
1 1 1
点，可以得到OA 的长，然后再设未知数，表示点C 的坐标，确定y，代入反比例函数的关系式，
1 2 2
建立方程解出未知数，表示点C 的坐标，确定y，……然后再求和．
3 3【详解】解：如图，过C 、C 、C ……分别作x轴的垂线，垂足分别为D、D、D……
1 2 3 1 2 3
则
是等腰直角三角形
其斜边的中点 在反比例函数 中
即
设 则
此时将 代入 得
解得 即
同理
故选：B．【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性
质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
4．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象
限的图象经过点B，则 与 的面积之差 为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】已知反比例函数的解析式为y= ，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为
(m， )再结合已知条件求解即可；
【详解】解：如图，设点C(n，0)，
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
∴设点B(m， )．∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n， )，AD=BD，
∴n− =m−n，
化简整理得m2−2mn=−6．
∴S OAC−S BAD= n2− (m−n)2=− m2+mn=− (m2−2mn)，
Δ Δ
∴S OAC−S BAD=3．
Δ
△
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形面积，等腰直角三角形的性质，解题的
关键在于能够熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征．
5．如图，点 为函数 图象上一点，连结 ，交函数 的图象于点 ，点
是 轴上一点，且 ，则三角形 的面积为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．36
【答案】B
【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、
B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的
面积．
【详解】解：设点A的坐标为（a， ），点B的坐标为（b， ），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a， ）的直线的解析式为：y=kx，∴ =ak，
解得，k= ，
又∵点B（b， ）在y= x上，
∴ = •b，解得， 或 （舍去），
∴S =S -S = =18-6=12．
ABC AOC OBC
△ △ △
故选：B.
【点睛】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
6．如图，△OAB，△AAB，△AAB…是分别以A，A，A…为直角顶点，一条直角边在x轴正
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C ，C ，C …均在反比例函数y （x＞0）的图象上，
1 2 3
则点A 的坐标为 ________．
2021
【答案】（2 ，0）
【分析】先设点 的坐标为 ，然后由点 是 的中点得到点 的坐标为 ，进而得到 的坐标为 ，即可得到 ， ，然后由△ 是等腰直角三角形得到
，解方程得到 的值，即可得到点 的坐标；然后设点 的坐标为 ，进而得到点
和 的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到 ，求得 的值即可得到 的坐标，用
同样的方法求得点 坐标，结合点 、点 、 的坐标猜测规律，得到点 的坐标．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
点 是 的中点，
点 的坐标为 ，
的坐标为 ，
， ，
△ 是等腰直角三角形，
，即 ，
解得： 或 （舍 ，
点 的坐标为 ；
设点 的坐标为 ，
点 是 的中点，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
△ 是等腰直角三角形，
，即 ，解得： 或 （舍 ，
点 的坐标为 ， ，
设点 的坐标为 ，
点 是 的中点，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，
， ，
△ 是等腰直角三角形，
，即 ，
解得： 或 （舍 ，
点 的坐标为 ， ， ，点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，一元二次方程的
解法，解题的关键是设中点的坐标得到点 和点 的坐标．
7．如图，A是双曲线 上一点，B是x轴正半轴上一点，以AB为直角边向右构造等
腰直角三角形ABC， ，过点A作 轴于点D，以AD为斜边向上构造等腰直角三
角形ADE，若点C，点E恰好都落在该双曲线上， 与 的面积之和为28，则
_________．【答案】36
【分析】分别过点E作EF⊥x轴于点F，交AD于点M，BG⊥AD，CH⊥AD，垂足分别为G、H，由
题意易得EM=DM=AM，△ABG≌△CAH，进而可得EM=MF，BG=AH，则设 ，则
点 ，然后根据 与 的面积之和为28可构建方程进行求解．
【详解】解：分别过点E作EF⊥x轴于点F，交AD于点M，BG⊥AD，CH⊥AD，垂足分别为G、
H，如图所示：
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴EM=DM=AM，
∴根据反比例函数的性质可知点A、E的横坐标之比为2∶1，则它们的纵坐标之比为1∶2，
∴ ，即EM=MF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴△ABG≌△CAH（AAS），
∴BG=AH，
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 的面积之和为28，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为36．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与等腰直角三角形的性质
是解题的关键．
8．如图，在方格纸中（小正方形的边长为 ，反比例函数 的图象与直线 的交点 、 在
图中的格点上，点 是反比例函数图象上的一点，且与点 、 组成以 为底的等腰 ，则点
的坐标为________． △
【答案】（2，2）或（-2，-2）【分析】先求得反比例函数的解析式为 ，设C点的坐标为( ， )，根据AC=BC得出方程，
求出 即可．
【详解】由图象可知：点A的坐标为（-1，-4），
代入 得： ，
所以这个反比例函数的解析式是 ，
设C点的坐标为( ， )，
∵A（-1，-4），B（-4，-1），AC=BC，
即 ，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
所以点C的坐标为（2，2）或（-2，-2）．
故答案为：（2，2）或（-2，-2）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象
上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
9．如图，在 中， ，且点 在双曲线 上， 交双曲线
于点 ，则 点的坐标为______．
【答案】（ ， ）
【分析】根据等腰直角三角形求得B得坐标，联立方程即可求得C得坐标．【详解】解：将A点代入得 ，
k=8，
∴双曲线y＝ （x＞0），
设点B（m，n）m＞0
∵△ABO为等腰直角三角形 则AO＝BO＝ OB
∴ ，且m＞0 ，
解得 ，
即B（6，2），
∴直线OB得解析式为 y＝ x ，
联立方程 ，且x＞0
解得 ，
∴C点的坐标为：（ ， ）
故答案为：（ ， ）．
【点睛】本题主要考查双曲线与一次函数的交点问题，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的
关键．
三、解答题
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 AOB的面积；
(3)在△x轴上是否存在一点P，使 AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由． △
【答案】(1)反比例函数的解析式为y= ；
(2)S AOB= ；
△
(3)点P的坐标为（ ，0）或（2，0）或（ ，0）或（- ，0）．
【分析】（1）将点B坐标代入直线y=x+1中，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入反比例函数
解析式中，求解即可求出答案；
（2）先求出点C的坐标，再求出点A的坐标，即可求出答案；
（3）设点P的坐标，再用等腰三角形的两腰相等，分三种情况，建立方程求解，即可求出答案．
（1）
解：∵点B（-2，n）在直线y=x+1上，
∴n=-1，
∴B（-2，-1），
∵点B（-2，-1）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=-2×（-1）=2，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）解：∵直线AB：y=x+1①与x轴交于点C，
∴C（-1，0），
∴OC=1，
由反比例函数的解析式为y= ②，
联立①②解得， 或 ，
∴A（1，2），
∴S AOB=S AOC+S BOC= OC（yA-yB）= ×1×（2+1）= ；
△ △ △
（3）
解：设P（m，0），
∵A（1，2），
∴OP=|m|，AP= ，OA= ，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OP=AP时，|m|= ，
∴m= ，
∴P（ ，0）；
②当OP=OA时，|m|= ，
∴m=± ，
∴P（ ，0）或（- ，0）；
③当OA=AP时， = ，
∴m=0或m=2，
∴P（2，0）；
即点P的坐标为（ ，0）或（2，0）或（ ，0）或（- ，0）．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D为等腰
直角三角形ABC的边BC上一点，且S ABC=3S ADC．反比例函数y= (k≠0)的图象经过点D．
1
△ △
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若AB所在直线解析式为 ，当 时，求x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y= ；
1
(2)当 时，00，x>0）上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，AB的垂直平分
线交y轴于点C，交双曲线于点P．定义：P为A点的中垂点；特别的，当△ABP为等腰直角三角
形时，又称P为A点的完美中垂点．
（1）若k=8，且A点存在完美中垂点， 则A的坐标是________
（2）四边形ACBP一定为 ． （填字母）
A． 平行四边形 B． 菱形 C． 矩形 D．正方形
（3）若△AOP的面积为6时，则k= ．
（4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且△APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达
式．
【答案】（1） ；（2）B；（3）8；（4）
【分析】（1）利用等腰直角三角形和垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出 ，从而可判断四边形的形状；
（3）用含有k的式子表示出 AOP的面积，进而建立方程即可求解；
△
（4）根据A，P，Q的坐标，表示出 ，然后利用等腰三角形的定义分三种情况：①；② ；③ ，分别进行讨论即可．
【详解】解：（1）∵k=8，
．
∵A（a，n）为双曲线 上一点，
，
，
设AB，CP交于点D，
∵A点存在完美中垂点，
∴ ABP为等腰直角三角形，
△ ．
∵CP垂直平分AB，
，
．
，P为A点的完美中垂点，
，
，
经检验：它们都是原方程的根，但 不符合题意，舍去，
；
（2）∵CP垂直平分AB，．
， ，
，
．
，
，
，
∴四边形ACBP一定为菱形；
（3） ， ， ，
，
，
；
（4）∵P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，
， ， ，
，
，
．
∵△APQ是等腰三角形，
①
∴ ；
② ，无解；③ ，无解；
综上所述， ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，分情况讨论是关键．
18．点 的坐标为 ， 轴于点 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到
．
（1）求经过 中点 的反比例函数图象与线段 的交点 的坐标．
（2）点 是 轴上的一个动点，若 为等腰三角形时，写出点 的坐标．
【答案】（1）F 的坐标为 ；（2）满足条件的点P的坐标为（4，0）或（5，0）或
或 ．
【分析】（1）先求出点C（1，2），进而求出反比例函数解析式为y= ，再由旋转求出
AD=OA=2，AE=AB=4继而求出OE=6，再判断出△FME∽△DAE，得出点F（6-2a，a），即可得出结
论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点C是OB的中点，B（2，4），
∴C（1，2），
设反比例函数解析式为y= ，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y= ，
∵BA⊥x轴于点A，∴OA=2，AB=4，
由旋转知，△ADE≌△AOB，
∴∠DAE=∠OAB=90°，AD=OA=2，AE=AB=4，
∴OE=OA+AE=6，
如图，过点F作FM⊥x轴于M，
∴FM∥AB，
∴△FME∽△DAE，
∴FM：AD＝EM：AE，
设FM=a（a＞2），
∴ ，
∴EM=2a，
∴OM=OE-EM=6-2a，
∴F（6-2a，a），
∵点F在反比例函数y= 图象上，
∴a（6-2a）=2，
∴a= （舍）或a= ，
∴F（3+ ， ）；
（2）设点P（m，0），
∵O（0，0），B（2，4），
∴ ，
∵△OBP为等腰三角形，∴当OB=OP时， ，
∴20= ，
∴m=±2 ，
∴P（ ，0）或（- ，0）；
当OB=BP时， ，
∴20= +16，
∴m=4或m=0（舍），
∴P（4，0），
当OP=BP时， ，
∴ ，
∴m=5，
∴P（5，0），
即：满足条件的点P坐标为（ ，0）或（-2 ，0）或（4，0）或（5，0）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，旋转的
性质，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
19．如图，已知点A（1，-2）在反比例函数y＝ 的图象上，直线y＝-x＋1与反比例函数y＝ 的
图象的交点为点B、D．（1）求反比例函数和直线AB的表达式；
（2）求S AOB；
（3）动点△P（x，0）在x轴上运动，若 OAP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
△
【答案】（1）y= , y=x-3；（2）S AOB= ；（3） ， ， ，
△
．
【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出B的坐标，从而求出直线AB的
解析式；
（2）利用反比例函数k的几何意义进行面积转化求解即可；
（3）列出各边长的表达式，根据不同情况进行分类讨论即可．
【详解】（1）将 代入 ，得 ，故反比例函数解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，即： ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入得： ，解得： ，
则直线 的解析式为：
反比例函数解析式为 ，直线 的解析式为： ；
（2）作 轴， 轴， 轴，则 ，
根据反比例函数 的几何意义可知： ，
，
；
（3）由题： ， ， ，
①若 ，则 ，解得 ，故： ， ；
②若 ，则 ，解得 或 （舍去），故： ；
③若 ，则 ，解得 ，故： ；
综上，所有 的坐标为： ， ， ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握
反比例函数ｋ的几何意义，以及分类讨论的思想是解题的关键．
20．如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝ (x＞0)经过点A(4，m)．
(1)求点A的坐标；
(2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)；
(3)连接OA，一次函数y＝kx+b(k≠0)与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的
坐标．【答案】(1)A(4，3)；(2)b＝﹣4k+3；(3)B点的坐标为(﹣5，0)，(5，0)，(8，0)，( ，0)．
【分析】(1)将点A(4，m)代入y＝ ，求得m的值即可；
(2)把(4，3)代入一次函数y＝kx+b即可得到b＝﹣4k+3；
(3)求得OA＝5，画出图形，根据等腰三角形的性质即可求得．
【详解】(1)∵反比例函数y＝ (x＞0)经过点A(4，m)，
∴m＝ ＝3，
∴A(4，3)；
(2)∵一次函数y＝kx+b(k≠0)经过点A(4，3)，
∴3＝4k+b，
∴b＝﹣4k+3；
(3)∵A(4，3)，
∴OA＝ ＝5，
∵△AOB是等腰三角形，如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则有OD=4，AD=3，
当OA是腰时，
①若OA=AB ，则点B (8，0)；
1 1
②若OA=OB，则点B (5，0)，B (-5，0)；
2 3
当OA为底时，则有AB =OB ，设OB = AB =m，则DB =4-m，
4 4 4 4 4
在Rt△ADB 中，AB 2=B D2+AD2，
4 4 4
即m2=(4-m)2+32，
解得：m= ，
∴B( ，0)，
4故B点的坐标为(﹣5，0)，(5，0)，(8，0)，( ，0)．
【点睛】本题考查一次函数
和反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
