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重难点 07 中考数学选填压轴题练习
一．根的判别式（共1小题）
1．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则
的化简结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
二．函数的图象（共1小题）
2．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各
路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小
时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100
米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
三．动点问题的函数图象（共1小题）
3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该
点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为 ，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则
等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
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4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝ （a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x
轴于点C．点D，E在函数y＝ （b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC
＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 ，a的值为 ．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
5．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA
的中点，AC，BD交于点E，函数 的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图
象，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y＝﹣ B． C． D．
6．如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y
＝ （k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 ．
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六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k x（k ＞0）的图象与反比例函数 （k
1 1 2
＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为 1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k x的
1
图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数 的图象上．当p﹣m与q﹣n的
积为负数时，t的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0 D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1
七．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
8．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有
以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x ，
1
y ）、B（x ，y ）是图象上任意两点，且|x +2|＜|x +2|，则y ＜y ，其中正确的结论是（ ）
1 2 2 1 2 1 2
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
9．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D
是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E
（x ，y ），F（x ，y ）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x ＜x ，且x +x ＜﹣2，则y ＜
1 1 2 2 1 2 1 2 1
y ；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为 ；④若关于x的方程
2
ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这
四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac
的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
九．二次函数与不等式（组）（共1小题）
12．（2023•西宁）直线y ＝ax+b和抛物线 （a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系
1
中，直线y ＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线 的对称轴是直线x＝﹣2；②
1
抛物线 与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x ＝﹣4，x ＝1；
1 2
④若a＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y ＞y .其中正确的结论是（ ）
1 2
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
一十．三角形中位线定理（共1小题）
13．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点
D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 .若点N在边BC上，且CN＝AM，
点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 ．
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一十一．矩形的性质（共2小题）
14．（2023•宁波）如图，以钝角三角形 ABC的最长边BC为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设
△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S ，S ，若要求出S﹣S ﹣S 的值，只需知道（ ）
1 2 1 2
A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
15．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，
M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
一十二．正方形的性质（共2小题）
16．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 上的一点，且 BG＝3GC，DE⊥AG 于点 E，
BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角
互补的四边形 ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰 Rt△ABE 和等腰
Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在
边BF，CG，DH，AE上．
（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是 cm．
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（2）若 ，则tan∠DAH的值是 ．
一十三．正多边形和圆（共1小题）
18．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图 1，正六边形边长为2且各
有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图 2，其中，中间
正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：
（1）∠ ＝ 度；
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
α
一十四．扇形面积的计算（共1小题）
19．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 ，现将它剪拼成一个“房
子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点
A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 5 ．若点A，N，M在
同一直线上，AB∥PN，DE＝ EF，则题字区域的面积为 ．
一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）
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20．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，
点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3
B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为3
一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
21．（2023•乐至县）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y
轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为 ．
22．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，
CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝ cm．
一十七．旋转的性质（共1小题）
23．（2023•西宁）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到
PA′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2 ，则BP＝ ．
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一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
24．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连
接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设 ＝k，若AD＝DF，则 ＝ （结果用
含k的代数式表示）．
25．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为 ．
一十九．相似三角形的应用（共1小题）
26．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB
的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（
）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
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二十．解直角三角形（共1小题）
27．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C
在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为
；点D的坐标为 ．
二十一．解直角三角形的应用（共1小题）
28．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦
图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形
EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝ ，∠BEF＝ ，若正方形
EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tan ＝tan2 ，则n＝（ ）
α β
α β
A．5 B．4 C．3 D．2
9
