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专题 03 反比例函数几何图形综合
例1．（等腰三角形）已知反比例函数 （m为常数）的图象在第一、三象限．
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过 ▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．
①求出函数解析式；
②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
则满足条件的点P的个数为______个．
【答案】(1)m＜1
(2)①y＝ ；②4
【解析】（1）
解：∵反比例函数 （m为常数）的图象在第一、三象限．
∴1﹣m＞0，
∴m＜1；
（2）
解：∵B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴AD OB，AD＝OB＝3，
∵A（0，4），
∴D（3，4），
①∵点D是反比例函数y＝ 的图象上，∴1﹣m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
∴Ⅰ、当OD＝DP时，如图，点 和 ；
Ⅱ、当OD＝OP时，如图中， 和点 ；
Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；
故答案为：4．
例2．（直角三角形）如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于点 与 ，点
是 轴上一点，连接 ，且 ， 是线段 上一点，反比例函数 的图象经过点 ．
(1)求 的值．(2)求线段 所在直线的函数表达式．
(3)延长 ，与反比例函数 的图象在第三象限交于点 ， 是 轴上的一点，当以 、 、 三点
构成的三角形为直角三角形时，直接写出 点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为 或 或 或
【解析】（1）
将 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ．
将 代入 中，得 ，故 为 ．
∵ 的图象经过点 ，
∴ ．
（2）
∵ 与 轴交于点 ，∴ ．
∵ ，∴ ， ．
设直线 的函数表达式为 ，将 ， 代入，得 ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（3）
∵ ，延长 ，与反比例函数在第三象限交于点 ，∴ ，∴ ．设 ，则 ， ，
①以 为斜边时， ，
∴ ，解得 ，∴ 或 ．
②以 为斜边时， ，
∴ ，解得 ，∴ ．
③以 为斜边时， ，
∴ ，解得 ，∴ ．
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
例3．（平行四边形）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数 的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的
平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)12
(2)点P坐标为（ +1， ﹣1）或（1﹣ ，﹣1﹣ ）
(3)存在，点G的坐标为（﹣4，﹣2）或（﹣8，﹣2）或（ ，14）或（﹣ ，14）或（8，14）或（ ，
﹣2）
【解析】（1）
∵OC=2，OB=6，
∴点C（2，0），点B（0，6），点A（2，6），
∵反比例函数 的图象过点A，
∴k=2×6=12；
（2）
∵k=12，
∴反比例函数解析式为： ，
设 ，
∵四边形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
当点P在第一象限时，
∴ ，
解得 （舍去）
∴
当点P在第三象限，
∴解得： （舍去）
∴ ，
综上所述， 或
（3）
设点 的坐标为
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
∴ ，解得： 或 ，∴ 或 ，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB=QG=2，AB∥QG，
∴ 或 或 或 ，
若AB为对角线，设点G（x,y），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB与QG互相平分，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
或 ，
∴ 或 解得 或
∴ 或
综上所述， 或 或 或 或 或
例4．（菱形）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝ （x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点
C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．
①若点M在线段OC上，且 AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中△的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的
坐标，
【答案】(1)反比例函数的关系式为：y=- ；(2)C（-8，0）；
(3)①M（-4，0）；②点N的坐标为：（2 ，4）或（ ，4）或（-8，8）．
【解析】（1）
解：∵点A的坐标为（-2，6），∴k=-2×6=-12，∴反比例函数的关系式为：y=- ；
（2）
解：当x=-6时，y=- =2，∴B（-6，2），
把点A（-2，6）和B（-6，2）代入y=ax+b得： ， 解得： ，∴y=x+8，
当y=0时，x+8=0，x=-8，∴C（-8，0）；
（3）
解：①设M（x，0），∵D（0，8），∴OD=8，
∵ =8，∴ =8，
∴ ×8×6- •(x+8)×2- ×6(-x) =8，x=-4，∴M（-4，0）；
②如图2，过A作AE y轴，过B作BE x轴，
∵A（-2，6），B（-6，2），∴AE=BE=4，∴AB=4 ，
过B作BF⊥x轴于F，如图2，则BF=2，
分两种情况：①以AB为边，当M在F的右侧时，
∵FM= =2 ，∴OM=2 -6，∴点M（2 -6，0），
根据“点B向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点A”的平移规律，可得N的坐标为（2 -6+4，
0+4），
∴N（2 ，4）；
当M在F的左侧时，同理求得FM=2 ，∴OM=-2 -6，∴点M（-2 -6，0），同理由平移的性质得N（ ，4）；
②以AB为对角线时，如图3，此时因为A、B对称，所以M与O重合，
∵AB的解析式为：y=x+8，∴OD=OC=8，C（-8，0），D（0，8），
∴△OHD是等腰直角三角形，
∵四边形ANBM是菱形，∴AB⊥MN，∴点G是CD的中点，也是MN的中点，
∴点G（-4，4），∴点N（-8，8）；
综上所述，点N的坐标为：（2 ，4）或（ ，4）或（-8，8）．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正
半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从
点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒（0 < t <
5）(1)当t= 时，DC BO；
(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；
(3)在（2）的条件下；
①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四
边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
② 过点C作直线 ⊥x轴，过点B作直线 ⊥y轴，直线 与直线 交于点P，反比例函数 （k>0，
x>0）的图像与直线 、 分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，
若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②存在，
【解析】（1）
解：∵A(8，0)，B(0，6)，
∴ ，
∴ ，
依题意， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 ；
（2）
解：过点 作 轴于点 ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵△ADC的面积为9，
∴ ，解得 或 ，
∵0 < t < 5，∴ ，
（3）
①如图，当 为矩形的对角线时，过点 作 轴于点 ，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又 ，
，
∴ ，
由（2）可知 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
即 ，
, ，
∴ ；
当以 为边时，四边形 为矩形，则 ，
在 中,
∴ ,
∴
又
∴
∴
解得 ，
∵四边形 为矩形，则 ，∴ ，
∵
∴
又
∴
∴
解得 ,
则 ，
在 中，
∴
②如图，∵ ,
∴ ，
又 ，
根据题意，只能是 ，
∴
∵ 在 上，
则 ，
∵∴ , ，
如图，过点 作 轴于点 ，则
又
∴
∴
又 ，
整理得
∴
解得
【变式训练2】如图，已知矩形OABC中，OA＝6，AB＝8，双曲线 （k＞0）与矩形两边AB，BC分
别交于点D，E，且BD＝2AD．(1)求k的值和点E的坐标；
(2)点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)k=16；E（8，2）；
(2)存在要求的点P，点P的坐标为（2，0）或（6，0）．
【解析】（1）
解：∵AB=8，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=8，
∴AD= ，
又∵OA=6，
∴D（ ，6），
∵点D在双曲线y= 上，
∴k= ×6=16；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=8，
∴点E的横坐标为8．
把x=8代入y= 中，得y=2，
∴E（8，2）；
（2）
解：假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=8-m．
∵∠APE=90°，∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴ ，
∴ ，
解得：m=2或m=6，
经检验，m=2或m=6都是原方程的解，且符合题意，
∴存在要求的点P，点P的坐标为（2，0）或（6，0）．
【变式训练3】如图，抛物线L： （常数 ）与x轴从左到右的交点为B，A，过
线段 的中点M作 轴，交双曲线 （ ， ）于点P，且 ．
(1)求k的值．
(2)当t=1时，求 的长，并求直线 与L的对称轴之间的距离．
(3)把L在直线 左侧部分的图像（含与直线 的交点）记为G，用t表示图像G最高点的坐标．
(4)设L与y轴的交点为N，当 时，在x轴上是否存在一点Q，使 与 相似，若存在，求出
Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 与L对称轴之间的距离为(3) （ ）， （ ）
(4)Q的坐标为 或 或 或
【解析】（1）
解：设 ，则 ，
∵M为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：当 ， 时， ，解得 或 .
∴ 、 ，
∴ ；
∴抛物线L的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ 为直线 ，
∴直线 与L对称轴之间的距离为 ；
（3）
解：二次函数的对称轴为：
点M的坐标为：（ ，0）
①当 ，即 时：MP在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴G的坐标为：
②当 ，即 时：MP在对称轴的右侧，G点为抛物线的顶点，
∴G： ；
（4）
解：存在，设Q：（m，0），
当 ， ，
∴
时， ，解得 ，
∴ 、 ，
∴ 、
∴ ， ， ，
① 时： ：即 ，
时： ， （舍）；
时： ， ；
时： ， ；
② 时： 时：即 ，
时： ，解得： （舍）；
时： ，无解；
时： ，解得： ；综上：当Q的坐标为 或 或 或
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数 和
的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点， ， ．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)连接 ， ， ，求 的面积；
(3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得 是等腰直角
三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在， 或 或
【解析】（1）
解：由题意可知 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，∴ ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ，∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）
解：∵ ，
，
，
∴ ；
（3）
解：存在
分三种情况，∵ ，
∴直线 的表达式为 ．
①如图1，当 ， 时，
设点 ，则
∵
∴ 平分 ．
∴ ，解得
∴∴ ；
②如图2，当 ， 时，设点 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ；
③如图3，当 ， 时，点 与点 重合，
∴ ，∴ ，∴ ，综上所述，存在点 使得 是等腰直角三角形，其坐标为 或 或 ．
