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专题 28.5 特殊角的三角函数（专项练习）
一、单选题
1．tan45°＝（ ）
A．1 B． C． D．
2．下列三角函数的值是 的是（ ）．
A． B． C． D．
3．点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知 ，则锐角α的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
5．在 ABC中，∠C=90°，AB= ，BC=1，则∠A的度数为（ ）
△
A． B． C． D．
6．关于三角函数有如下的公式： ，由该公式可求得
的值是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则 ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形8．在实数 ，x0（x≠0），cos30°， 中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图， ， 平分 ， 交 于 ， 交 于 ．
若 ，则 等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如果∠A为锐角，cosA＝ ，那么∠A 取值范围是（ ）
A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45° C．45°<∠A<60° D．60°＜∠A＜90°
二、填空题
11．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，
AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于______
12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则 的
正切值是______．
13．两块全等的等腰直角三角形如图放置， 交 于点P，E在斜边
上移动，斜边 交 于点Q， ，当 是等腰三角形时，则 的长为___________．
14．如图，平行四边形 的边 在 轴正半轴上， ， ，一次
函数 的图象经过点 、 ，反比例函数 的图象经过点 ，则 ________．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，OE⊥CD
于点E，则OE的长为 __．
16．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结
AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离
为____．
17．如图，在矩形ABCD中， ， ，若点M、N分别是线段DB、
AB上的两个动点，则 的最小值为___________________．18．如图，已知线段 ， 是 的中点，直线 经过点 ， ， 点是直
线 上一点，当 为直角三角形时，则 _____．
三、解答题
19．计算：
(1) ； (2) ．
20．计算
(1) ；(2) ．21．计算与化简题
(1) 计算：
(2) 先化简，再求代数式 的值，其中 ．
22．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以
2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点
A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为 ，请解决下列问题：
(1) 若点P在边AC上，当 为何值时， APQ为直角三角形？
(2) 是否存在这样的 值，使 APQ的面积为 cm2 ？若存在，请求出 的值，若不存在，
请说明理由．
23．四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段
AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，DF．
（1）如图1，求∠BDF的度数；
（2）如图2，当DB＝3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；
（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF是菱形，并说明理由．
24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，
0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到
△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；参考答案
1．A
【分析】根据直角三角形中45°角的正切值计算并判断即可．
解：tan45°＝1，
故选：A．
【点拨】本题考查直角三角形中45°角的正切值，能够牢记直角三角形中特殊度数的
角的正切值，正弦值，余弦值是解决此类题型的关键．
2．A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
解：A、 ＝ ，符合题意；
B、 ＝ ，不符合题意；
C、 ＝ ，不符合题意；
D、 ＝ ，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题
的关键．
3．C
【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可．
解：∵sin60°＝ ，cos30°＝ ，
∴点（ ， ）关于y轴对称的点的坐标是（ ， ）．
故选：C．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角
的三角函数值是解决本题的关键．
4．A
【分析】根据 得到 即可求解．
解：∵ ， 为锐角，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解
答的关键．
5．B
【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵∠C=90°，AB= ，BC=1，
∴sinA= ，
∴∠A=45°．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．6．B
【分析】根据 ，代入特殊三角函数
值计算即可．
解：
，
故选：B．
【点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化
为特殊角的和或者差是解题的关键．
7．A
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得 ，从而得到
，即可求解．
解：解∶∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴∠C=90°，
∴ ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
【点拨】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握
特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
8．B
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．解：在实数 ，x0（x≠0）=1， ， 中，有理数是 ，x0=1，
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念
是解题的关键．
9．B
【分析】过D点作DG⊥AC于G点，通过DF⊥AB，DE⊥DF，可得 ，进而有
∠BAD=∠ADE，∠DAE=∠ADE=15°，即可得AE=DE=8，易证得 ，即可求
解DF=DG=4．
解：过D点作DG⊥AC于G点，如图，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠CAD=15°，
又∵DF⊥AB，DE⊥DF，
∴ ，∠AFD=∠AGD=90°，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠DAE=∠ADE=15°，
∴△AED是等腰三角形，
∴AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，
在Rt△DEG中，有 ，
∴DG=4，
∵∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴ ，
∴DF=DG=4，
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．
10．C
【分析】分别求出60 和45 角的余弦值，由此得到答案．
° °
解：∵cos60°＝ ，cos45°＝ ，且
∴45°＜∠A＜60°．
故选C．
【点拨】此题考查了角度的余弦公式，余弦值随着角度的增大而减小的性质，熟记公
式是解题的关键．
11．
解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= ．
故答案是： ．
12．1
【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断 ABO是等腰直角三角
形，即可求得答案． △
解：连接AB，
由勾股定理得：AB＝ ，AO＝ ，OB＝ ，
∴AB＝AO， ，
∴ ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，
△∴ ，
故答案为：1．
【点拨】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形
的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
13． 或 或
【分析】解答时，分BE=PE，PB=PE和BP=BE三种情况求解即可．
解：当BE=PE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，
∴PE=BE=BPsin45°= ，EQ=CQ=ECsin45°= ，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°= ，
∴AQ=AC-QC= ．
当PB=PE时，
根据前面计算，得到BH=PH=3，
∴BH=HE=3，∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，
∴CQ= ，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°= ，
∴AQ=AC-QC= ．
当BP=BE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，
∴PE=BE= ，EQ=CQ=BC-BE= ，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°= ，
∴AQ=AC-QC= ，综上所述AQ的长为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，
特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，
灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．4
【分析】根据平行四边形的性质、三角函数值，结合一次函数求出D的坐标即可求解；
解：如图，过点D作DE⊥AB
将y=0代入y=x-4中
记得x=4
∴A(4，0)
在平行四边形ABCD中，
∵∠OAD=∠CBA
∴
∵AD=BC=5
∴DE=4，AE=3
∴OE=OA-AE=4-3=1
∴D（1，4）
∴
故答案为：4
【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形、三角函数值、一次函数，掌握相关
知识并灵活应用是解题的关键．15．
【分析】连接OB，由菱形的性质得BC＝AB＝8，BO⊥AC，再由等腰三角形的性质得
∠ACB＝∠ACD＝30°，然后由锐角三角函数定义求出OC＝4 ，最后由含30°角的直角三
角形的性质求解即可．
解：连接OB，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，
∴BC＝AB＝8，BO⊥AC，
∴∠ACB＝∠ACD （180°﹣120°）＝30°，
在Rt△BOC中，OC＝cos30°•BC 8＝4 ，
∵OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
在Rt△COE中，OE OC 4 2 ，
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及含30°
角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
16． ．
【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得
∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在
Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．
解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，
∴BD=BC-CD=4，
∵AB=4=BD，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠ADC=∠ADE=120°，
∴∠EDH=60°，
∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．
∵DE=DC=3，
∴EH=DE×sin∠HDE=3× = ，
∴E到直线BD的距离为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能
求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，
对应的角相等．
17．
【分析】如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于
，交 于 ，则 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 即
可得到答案．
解：如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，
交 于 ，则 最短，
四边形 为矩形， ， ，即 的最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂
线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识．
18．2或 或 ．
【分析】分 、 、 三种情况，根据直角三角形的性
质、勾股定理计算即可．
解：如图：∵ ，
∴当 时， ，
当 时，∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，∵ ，
∴ ，
故答案为2或 或 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜
边长为 ，那么 ．
19．(1) 2 (2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．
（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．
（1）
解：原式＝3 1+2
1+1
2；
（2）解：原式＝
1
．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函
数值是解决本题的关键．
20．(1) ；(2)
【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的正切值、立方根，
再计算二次根式的乘法与加减法即可得；
（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．
（1）
解：原式
．
（2）
解：原式
．
【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的乘法与加减法、零指数
幂与负整数指数幂等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21．(1)
(2) ，
【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；
（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．
(1)
解：原式＝
；
(2)
；
；
原式 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
22．(1)1.2 或3 ； (2)存在， 或4
【分析】（1）当 APQ为直角三角形时，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或
∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，AP= AQ，求出t=1.2秒；当∠AQP=90°时，∠APQ=30°，AQ= AP，求得t=3秒；
（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD= ，即可写出 （6- ）●
= ，求得t=3- ；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF= ，即可写出
（6- ）● = ，求得t=4．
（1）
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP=2 ，AQ=6- ，
当∠APQ=90°时，AP= AQ，即2 = （6- ），解得 =1.2，
当∠AQP=90°时，AQ= AP，即6- = ×2 ，解得 =3，
所以，点P在边AC上，当 为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）
存在
①当点P在边AC上时，此时0≤ ≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2 ，
∴sinA= ，即sin60°= = ，
∴PD= ，S APQ= AQ●PD= （6- ）● ，
△由 （6- ）● = ，得 （不合题意，舍去）， ；
②当点P在边BC上时，此时3≤ ≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，
在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2 ，
∴sinB= ，即sin60°= = ，
∴PF= ，S APQ= AQ●PF= （6- ）● ，
△
由 （6- ）● = 得
因此，当t为 s或4s时，△APQ的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键
是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不
可能只有一个，全面考虑，分类讨论．
23．（1） ；（2）证明见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）先证明 可得 再证明
从而可得答案；
（2） 先证明 再证明 从而可得结论；
（3）先证明 结合 可得 从而可得答案.
【详解】解（1） 四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
,由旋转可得：
又∵四边形ABCD是菱形，
又∵四边形ABCD是菱形，
（2）由（1）可得：
由（1）可得：
是直角三角形，由菱形的对称性可得：
而
四边形 为矩形.
（3） 理由如下：如图，
四边形 是菱形，
【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，锐角三角函
数的应用，灵活的应用以上知识解题是解题的关键.
24．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点C′的坐标为（1，2 ），点D的坐标为（1， ）
【分析】（1）根据抛物线 经过点 ，与 轴相交于 ，两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；
（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三
角函数求出∠C′BC，再根据角平分线求出∠DBC，解直角三角形可以求得点 和点 的坐
标，本题得以解决．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，
0），C（3，0）两点，
∴ ，得 ，
即抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，
∴BC=3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x= =1，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，
则点H的坐标为（1，0），
∴BH=2，
∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，点C′恰好落在抛物线的对称轴上，
∴BC=BC′=4，∠C′HB=90°，∠C′BD=∠DBC，
∴OC′= =2 ，cos∠C′BH= = = ，
∴C′的坐标为（1，2 ），∠C′BH=60°，
∴∠DBC=30°，
∵BH=2，∠DBH=30°，
∴OD=BH•tan30°=2× = ，
∴点D的坐标为（1， ），
由上可得，点C′的坐标为（1，2 ），点D的坐标为（1， ）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角
的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
