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专题06 二次函数背景的特殊三角形问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、等腰三角形的存在性问题
题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题
题型3、等边三角形的存在性问题
题型4、直角三角形的存在性问题
题型5、特定边角的直角三角形存在性问题
题型6、等腰直角三角形的存在性问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决二次函数背景下的特殊三角形存在性问题，核心在于用坐标法把几何条件转化为代数方程；等腰
三角形要按“谁为底、谁为腰”分类讨论，等边三角形要同时满足三边相等和内角60°，直角三角形要按直角
顶点分类并用勾股定理或垂直条件；等腰直角三角形则需兼顾等腰与直角双重条件；解题中要注意利用二
次函数解析式设出动点坐标，通过距离公式、相似、全等、轴对称等工具建立方程，求出坐标后必须回代
检验是否符合题意．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、等腰三角形的存在性问题
典例1 （25-26 九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于A、B 两点( 点A 在点B
目 录
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的左侧) ，点A 的坐标为(
)
1,0
−
，与y 轴交于点
(
)
0,3
C
，作直线BC ，动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM
x
⊥
轴，交抛物线于点M，交直线BC 于点N，设点P 的横坐标为m ．
(1)求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；
(2)当点P 在线段OB 上运动时，求MBC
面积的最大值及取得最大值时点M 的坐标；
(3)当点P 在线段OB 上运动时，若CMN
是等腰三角形时，直接写出m 的值为______．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
3
y
x
= −+
(2) 27
8 ，M 的坐标为3 15
,
2 4
(3)1 或2
【分析】本题考查二次函数和一次函数混合运用以及坐标法的应用，属于难题．
( )
1 代入A、C 求抛物线解析式，求与x 轴交点得B，再求直线BC 解析式；
( )
2 设P 点横坐标得M、N 坐标，表出MN 并配方求最值，进而得M 坐标与最大面积；
( )
3 分MN
CM
=
、MN
CN
=
、CM
CN
=
三种情况列方程，求解并舍去不合题意值．
【详解】（1）解：将点
(
)
1 0
A −，、
(
)
0 3
C
，代入抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
得
(
)
2
( 1)
1
0
3
b
c
c
−−
+
−
+
=
=
，
解得
2
3
b
c
=
=
，
抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
令
0
y =
，则
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，
解得
1
2
1
3
x
x
= −
=
，
，
故点
(
)
3 0
B
，，
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设直线BC 解析式为
3
y
kx
=
+ ，
将
(
)
3 0
B
，代入得3
3
0
k + =
，
解得
1
k = −，
直线BC 解析式为
3
y
x
= −+
；
（2）解：由题意，点
(
)
0
P m，，
则
(
)
2
2
3
M m
m
m
−
+
+
，
，
(
)
3
N m
m
−
+
，
，其中0
3
m
，
(
) (
)
2
2
2
3
3
3
MN
m
m
m
m
n
= −
+
+
−−
+
= −
+
，
配方得
2
3
9
(
)
2
4
MN
m
= −
−
+
，
当
3
2
m =
时，MN 最大值为9
4 ，
1
3
2
2
MBC
MNC
MNB
S
S
S
MN
OB
MN
=
+
=
=
，
当MN 最大时，
MBC
S△
最大，最大值为27
8 ，
将
3
2
m =
代入
2
2
3
m
m
−
+
+ ，得15
4 ，
故M 的坐标为3 15
2
4
，
；
（3）解：由（2）知
2
3
MN
m
m
= −
+
，点
(
)
0 3
C
，，点
(
)
2
2
3
M m
m
m
−
+
+
，
，点
(
)
3
N m
m
−
+
，
，
2
2
2
2
2
2
(
2
3 3)
(
2 )
CM
m
m
m
m
m
m
=
+ −
+
+ −
=
+ −
+
，
2
2
2
2
(
3 3)
2
CN
m
m
m
m
m
=
+ −
+ −
=
+
=
，
当MN
CM
=
时，
2
2
2
2
3
(
2 )
m
m
m
m
m
−
+
=
+ −
+
，
解得
2(
0
m
m
=
=
舍) ；
当MN
CN
=
时，
2
3
2
m
m
m
−
+
=
，
解得
3
2(
m =
−
不合题意舍) ，
当CM
CN
=
，
2
2
2
(
2 )
2
m
m
m
m
+ −
+
=
，
解得
1(
3
m
m
=
=
舍去) ，
综上
1
m = 或2．
题型模版
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1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，判断是否存在或求满足条件的动点坐标．
2.方法：按“哪两边相等”分三种情况讨论；用两点间距离公式列方程，结合二次函数解析式求解，注意去重
和回代检验．
变式1-1 （24-25 九年级上·广东韶关·期中）如图，直线
2
y
x
=
−
与抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
bx
a
=
+
+
相交于(
)
1, 1
A
−
和(
)
,2
B m
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C 是线段AB 上的动点，过点C 作CD
x
⊥
轴，交抛物线于点D ．是否存在这样的C 点，使线段CD的长
有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3) x 轴上是否存在点M ，使得ABM
为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
2
y
x
x
=
−
+
(2)存在，当
5
2
n =
时，线段PC 有最大值且为9
4
(3)存在，(
)
17
1,0
+
或(
)
17
1,0
−
+
或(
)
14
4,0
+
或(
)
14
4,0
−
+
或(
)
3,0
【分析】（1）把(
)
,2
B m
代入直线
2
y
x
=
−
，求出
(
)
4,2
B
，再根据待定系数法求解即可；
（2）设动点C 的坐标为(
)
,
2
n n −
，则D 点的坐标为(
)
2
,
4
2
n n
n
−
+
，表示出DC
2
5
9
2
4
n
= −
−
+
，再结合
1
4
n
，根据二次函数的性质求解即可．
（3）设点
(
)
,0
M c
，分为①当AB
AM
=
时，②当AB
BM
=
时，③当AM
BM
=
时，列方程求解即可．
【详解】（1）解：把(
)
,2
B m
代入直线
2
y
x
=
−
得
4
m =
，
(
)
4,2
B
，
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(
)
(
)
1, 1
4,2
A
B
−
、
在抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
+
上，
2
1
16
4
2
2
a
b
a
b
+
+
= −
+
+
=
，解得：
1
4
a
b
−
=
=
，
抛物线的解析式为
2
4
2
y
x
x
=
−
+
．
（2）解：存在．
理由如下：设动点C 的坐标为(
)
,
2
n n −
，则D 点的坐标为(
)
2
,
4
2
n n
n
−
+
，
(
) (
)
2
2
4
2
DC
n
n
n
=
−
−
−
+
2
5
4
n
n
= −
+
−
2
5
9
2
4
n
= −
−
+
，
点C 是线段AB 上的动点，
1
4
n
，
当
5
2
n =
时，线段PC 有最大值且为9
4 ．
（3）解：存在．
设点
(
)
,0
M c
，
①当AB
AM
=
时，
2
2
2
2
(1 4)
( 1 2)
(1
)
( 1 0)
c
−
+ −−
=
−
+ −−
，
解得：
1
2
17
1,
17
1
c
c
=
+
= −
+ ，
(
)
17
1,0
M
+
或
(
)
17
1,0
M −
+
．
②当AB
BM
=
时，
2
2
2
2
(1 4)
( 1 2)
(4
)
(2
0)
c
−
+ −−
=
−
+
−
，
解得：
1
2
14
4,
14
4
c
c
=
+
= −
+
，
(
)
14
4,0
M
+
或
(
)
14
4,0
M −
+
．
③当AM
BM
=
时，
2
2
2
2
(1
)
( 1 0)
(4
)
(2
0)
c
c
−
+ −−
=
−
+
−
，
解得：
3
c = ，
(
)
3,0
M
，
综上所述，ABM
为等腰三角形时，点M 的坐标为(
)
17
1,0
+
或(
)
17
1,0
−
+
或(
)
14
4,0
+
或(
)
14
4,0
−
+
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或(
)
3,0 ．
【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上
点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性
质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．
变式1-2 如图，抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
= −
+
+
交x 轴于点
( 4,0)
A −
和点B ，交y 轴于点
(0,2)
C
，点
( , )
P x y 在第二
象限的抛物线上．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当点P 的坐标为( 2,3)
−
时，求BCP
的面积；
(3)请过点P 作PQ
x
⊥
轴，交直线AC 于点Q ，是否存在点P ，使得四边形PQOC 是平行四边形？如果存在，
求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(4) x 轴上，是否存在一点M ，使
BCM
△
为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
−
+
(2)1.5
(3)存在，( 2,3)
−
(4)存在，
(
)
1 1
5,0
M
−
，
(
)
2
5 1,0
M
+
，
(
)
3
1,0
M
−
，
4
3 ,0
2
M
−
【分析】（1）将点
( 4,0)
A −
和
(0,2)
C
代入解析式即可求解；
（2）连接PO，可求
1
OB = ，
2
OC =
，由
BCP
S
BOC
POC
POB
S
S
S
=
+
−
即可求解；
（3）用待定系数法可求直线AC 的表达式为
1
2
2
y
x
=
+
，设
2
1
3
,
2
2
2
P x
x
x
−
−
+
，由平行四边形的性质得
2
PQ
OC
=
=
，即可求解；
（4）①B 为顶点时， 在x 轴上分别截取
1
2
BM
BM
BC
=
=
，即可求解；②C 为顶点时，由等腰三角形的性
质得
3
BM
BC
=
，即可求解；③M 为顶点时，过BC 的中点F 作
4
M F
BC
⊥
交x 轴于
4
M ，作
⊥
FE
x 轴交x 轴
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于E ，可证
4
BFE
BM F
∽
，由相似三角形的性质得
4
BE
BF
BF
BM
=
，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
= −
+
+
交x 轴于点
( 4,0)
A −
和点B ，
交y 轴于点
(0,2)
C
，
2
1
( 4)
4
0
2
2
m
n
n
−
−
−
+
=
=
，
解得
3
2
2
m
n
= −
=
，
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
−
+ ；
（2）解：如图，连接PO，
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
−
+ ，
令
0
y =
，
即
2
1
3
0
2
2
2
x
x
= −
−
+
，
解得
1
4
x = −，
2
1
x = ，
(1,0)
B
，
1
OB = ，
( 2,3)
P −
，
(0,2)
C
，
2
OC =
1
2
1 2
1
BOC
S
=
=
，
1
2 2
2
2
POC
S
=
=
，
1 1 3
1.5
2
POB
S
=
=
△
BCP
S
BOC
POC
POB
S
S
S
=
+
−
1.5
=
；
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（3）解：如图，
( 4,0)
A −
，
(0,2)
C
设直线AC 的表达式为y
kx
b
=
+
4
0
2
k
b
b
−
+
=
=
，解得
1
2
2
k
b
=
=
1
2
2
y
x
=
+
作PQ
x
⊥
轴，交AC 于点Q ，
设
2
1
3
,
2
2
2
P x
x
x
−
−
+
，
1
,
2
2
x
x
+
P
Q
PQ
y
y
=
−
2
1
2
2 x
x
= −
−
，
四边形PQOC 是平行四边形，
2
PQ
OC
=
=
，
2
1
2
2
2 x
x
−
−
=
解得
1
2
2
x
x
=
= −，
3
P
y = ，
点P 的坐标为( 2,3)
−
；
（4）解：①如图，B 为顶点时，
在x 轴上分别截取
1
2
BM
BM
BC
=
=
，
2
2
1
2
5
BC =
+
=
，
1
5
1
OM
=
−，
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2
5
1
OM =
+ ，
(
)
1 1
5,0
M
−
，
(
)
2
5 1,0
M
+
；
②如图，C 为顶点时，
3
BM
BC
=
，
3
1
OM
= ，
(
)
3
1,0
M
−
；
③如图，M 为顶点时，
过BC 的中点F 作
4
M F
BC
⊥
交x 轴于
4
M ，作
⊥
FE
x轴交x 轴于E ，
EF
y
∥
轴，
4
90
BFM
BEF
=
=
，
90
BFE
EBF
+
=
，
4
90
BM F
EBF
+
=
，
4
BFE
BM F
=
，
4
BFE
BM F
∽
，
4
BE
BF
BF
BM
=
，
CF
BF
=
，
1
1
2
2
BE
OE
OB
=
=
=
，
1
1
2
EF
OC
=
= ，
2
2
BF
BE
EF
=
+
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2
2
1
1
2
=
+
5
2
=
；
4
1
5
2
2
5
2
BM
=
，
解得：
4
5
2
BM =
，
4
5
3
1
2
2
OM =
−=
，
4
3 ,0
2
M
−
；
(
)
1 1
5,0
M
−
，
(
)
2
5 1,0
M
+
，
(
)
3
1,0
M
−
，
4
3 ,0
2
M
−
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定
理，三角形相似的判定及性质等，掌握判定方法及性质，能根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论是解
题的关键．
变式1-3 （2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数
(
)
2
1
3
0
2
3
y
x
mx
m m
−
=
+
+
图象的顶点为A，与y 轴
交于点B ，对称轴与x 轴交于点C ．
(1)若该函数图象经过点(
)
0, 3 ，求点A的横坐标；
(2)若
3
m
，点
(
)
1
2,
P
y
和
(
)
2
4,
Q
y
在该函数图象上，证明：
1
2
y
y
；
(3)若ABC
是等腰三角形，求m 的值．
【答案】(1)点A的横坐标为3
(2)
证明：∵点
(
)
1
2,
P
y
和
(
)
2
4,
Q
y
在函数
(
)
2
1
3
0
2
3
y
x
mx
m m
−
=
+
+
图象上，
∴
1
3
2
2
3
y
m
m
−
=
+
+
，
2
3
8
4
3
y
m
m
−
=
+
+
，
∵
3
m
，
1
2
3
3
2
2
8
4
3
3
y
y
m
m
m
m
−
−
−
=
+
+
−+
+
(
)
2
3
0
m
−
−
=
，
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∴
1
2
y
y
.
(3)
2 3
3
m =
或
2 3
m
−
=
【分析】（1）把(
)
0, 3 代入
(
)
2
1
3
0
2
3
y
x
mx
m m
−
=
+
+
可得
3
m =
，再进一步求解即可.
（2）先求解
1
3
2
2
3
y
m
m
−
=
+
+
，
2
3
8
4
3
y
m
m
−
=
+
+
，结合
3
m
，
1
2
3
3
2
2
8
4
3
3
y
y
m
m
m
m
−
−
−
=
+
+
−+
+
，再进一步计算即可.
（3）先求解
3
0, 3
B
m
，
2
3
, 2
3
m
A m
m
+
，
(
)
,0
C m
，可得
2
2
2
2
2
m
AB
m
=
+
，
2
2
2
3
3
BC
m
m
=
+
，
2
2
2
3
2
3
m
AC
m
=
+
，再分三种情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵二次函数
(
)
2
1
3
0
2
3
y
x
mx
m m
−
=
+
+
图象过点(
)
0, 3 ，
∴
3
3
3 m =
，
解得：
3
m =
，
∴二次函数为
2
1
3
3
2
y
x
x
−
=
+
+
，
∴
3
3
1
2
2
A
x
−
=
=
−
，
∴点A的横坐标为3.
（2）略
（3）解：在函数
(
)
2
1
3
0
2
3
y
x
mx
m m
−
=
+
+
中，
当
0
x =
时，
3
3
y
m
=
，
∴
3
0, 3
B
m
，
∵
(
)
2
2
2
1
3
1
3
2
3
2
2
3
m
y
x
mx
m
x
m
m
−
−
−
=
+
+
=
+
+
，二次函数图象的顶点为A，对称轴与x 轴交于点C
∴
2
3
, 2
3
m
A m
m
+
，
(
)
,0
C m
，
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∴
2
2
2
2
2
m
AB
m
=
+
，
2
2
2
3
3
BC
m
m
=
+
，
2
2
2
3
2
3
m
AC
m
=
+
，
当AB
AC
=
时，则
2
2
2
2
2
3
2
2
3
m
m
m
m
+
=
+
，
解得：
0
m =
（舍去），
2 3
3
m =
，
当AB
BC
=
时，则
2
2
2
2
2
3
2
3
m
m
m
m
+
=
+
，
解得：
0
m =
（舍去），
2 3
3
m =
，
当
2 3
3
m = −
时，∴
2 3 ,0
3
A
−
，
2 3 ,0
3
C
−
，则A和C 重合，舍去，
当AC
BC
=
时，则
2
2
2
2
3
3
3
2
3
m
m
m
m
+
=
+
，
解得：
0
m =
（舍去），
2 3
3
m =
，
2 3
m
−
=
，
综上：
2 3
3
m =
或
2 3
m
−
=
.
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的
关键是分类讨论思想的应用．
题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题
典例2 （25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、
(
)
3,0
B
两点，与y
轴交于点
(
)
0,3
C
．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)连接CB ，在直线CB 上方的抛物线上有一点M，使得
BCM
△
的面积最大，求出M 点的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在以PB为腰的点P，使得
PBC
△
是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条
件的点P 的坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
3 15
,
2
4
M
(3)共存在3 个点
(
)
1 1,1
P
，
(
)
2 1, 14
P
，(
)
3 1,
14
P
−
，使
PBC
△
是以PB为腰的等腰三角形
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等；
（1）利用待定系数法即可求得解析式；
（2）设M 的坐标为(
)
2
,
2
3
n
n
n
−
+
+
，根据
BCM
OBC
OCM
OBC
S
S
S
S
=
+
−
△
△
△
△
即可得出
BCM
△
的面积S 关于n
的函数关系式，进而求得M 的坐标．
（3）根据点P 在抛物线对称轴上，可设点P 的坐标为(
)
1 m
,
，分两种情况讨论，①PB
PC
=
，②PB
BC
=
，
求出m 的值后即可得出答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
∵抛物线与x 轴交于
(
)
1 0
A −，、
(
)
3 0
B
，两点，与y 轴交于点
(
)
0 3
C
，．
∴
0
9
3
0
3
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
解得：
1
2
3
a
b
c
= −
=
=
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ .
（2）解：如图，设M 的坐标为(
)
2
,
2
3
n
n
n
−
+
+
，
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∵
(
)
(
)
3,0
0,3
B
C
，
．
∴
3
3
OB
OC
=
=
，
，
∴
1
9
3 3
2
2
OBC
S
=
=
△
，
(
)
(
)
2
2
1
3
3
2
3
2
3
2
2
OBM
S
n
n
n
n
=
−
+
+
=
−
+
+
△
，
1
3
3
2
2
OCM
S
n
n
=
=
△
，
∴
(
)
2
2
3
3
9
3
3
27
2
3
2
2
2
2
2
8
BCM
OBM
OCM
OBC
S
S
S
S
n
n
n
n
=
+
−
=
−
+
+
+
−
= −
−
+
△
△
△
△
，
∴当
3
2
n =
时，
BCM
△
的面积最大，最大值是27
8 ，
∴
2
2
3
3
15
2
3
2
3
2
2
4
n
n
−
+
+
= −
+
+
=
，
∴
3 15
,
2
4
M
.
（3）解：存在，理由如下：
∵抛物线与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、
(
)
3,0
B
两点，
∴抛物线的对称轴为：
1
x = ，假设存在
(
)
1
P
m
,
满足题意：
①当PB
PC
=
时，
(
)
(
)
2
2
2
2
1
3
3 1
m
m
+
−
=
−
+
，
解得：
1
m = ，
∴
(
)
1 1,1
P
，
②当PB
BC
=
时，
2
2
(3 1)
3 2
m
−
+
=
，
解得：
2
14
m =
，
3
14
m = −
，
∴
(
)
2 1, 14
P
，(
)
3 1,
14
P
−
，
综上，共存在3 个点
(
)
1 1,1
P
，
(
)
2 1, 14
P
，(
)
3 1,
14
P
−
，使
PBC
△
是以PB为腰的等腰三角形．
题型模版
1.特征：给定某一边、一角或顶点位置，求满足特定条件的等腰三角形．
2.方法：先固定已知边或角，再按等腰关系分类；利用坐标关系列方程求解．
变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 交x 轴于点(
)
4,0
A −
，
(
)
2,0
B
，交y 轴于点
(
)
0,6
C
，在y 轴上有一点
(
)
0, 2
E
−
，连接AE ．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE
面积的最大值及此时D 点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP
为以AE 为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标即
可；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
2
3
3
6
4
2
y
x
x
= −
−
+
(2) ADE
面积的最大值为50
3 ，此时D 点坐标为
2 20
,
3
3
−
(3)存在，点P 的坐标为(
)
1,1
−
【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形
结合与分类讨论数学思想是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）可求得直线AE 的表达式为
1
2,
2
y
x
= −
−
过点D 作 DN
x
⊥
轴于点G， 交AE 于点F， 设
2
3
3
,
6 ,
4
2
D x
x
x
−
−
+
则
1
,
2 ,
2
F x
x
−
−
所以
2
3
8
4
DF
x
x
= −
−+ ，则
2
3
2
50
2
3
3
ADE
S
x
= −
+
+
，即可求得
ADE
面积的最大值是50
3 ；
（3）先求得抛物线的对称轴为直线
1,
x = −设
(
)
1,
P
t
−
，再根据AEP
为等腰三角形，且以AE 为底边，利用
坐标两点距离公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过点
(
)
4,0
A −
，(
)
(
)
2,0 ,
0,6
B
C
，
16
4
0
4
2
0
6
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
，
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解得
3
4
3 ,
2
6
a
b
c
= −
= −
=
∴二次函数的表达式为
2
3
3
6
4
2
y
x
x
= −
−
+ ．
（2）解：设直线AE 的表达式为
2,
y
kx
=
−
则0
4
2
k
= −
−
解得
1
2
k
−
=
∴直线AE 的表达式为
1
2
2
y
x
= −
−
如图1，过点D 作DN
x
⊥
轴于点G，交AE 于点F，
设
2
3
3
,
6 ,
4
2
D x
x
x
−
−
+
则
1
,
2
2
F x
x
−
−
2
2
3
3
1
3
6
2
8
4
2
2
4
DF
x
x
x
x
x
= −
−
+
−−
−
= −
−
+
，
1
1
1
4
2
2
2
2
ADE
ADF
EDF
S
S
S
DF AG
DF OG
DF
DF
=
+
=
+
=
=
，
2
2
2
3
3
3
2
50
2
8
2
16
4
2
2
3
3
ADE
S
x
x
x
x
x
=
−
−
+
= −
−
+
= −
+
+
，
∴当
2
3
x = −
时，
50
3
ADE
S
=
△
，
此时，
2
3
2
3
2
20
6
4
3
2
3
3
D
y
= −
−
−
−
+
=
，
ADE
面积的最大值是50
3 ，此时D 点坐标为
2 20
,
3
3
−
；
（3）解：存在，理由如下：
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(
)
2
2
3
3
3
27
6
1
4
2
4
4
y
x
x
x
= −
−
+
= −
+
+
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x = −，
设
(
)
1,
P
t
−
，
AEP
为等腰三角形，且以AE 为底边，
AP
PE
=
，
(
)
0, 2
E
−
，
(
)
4,0
A −
，
2
2
AP
PE
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4 1
0
0 1
2
t
t
−+
+
−
=
+
+ −−
解得
1
t = ，
(
)
1,1
P
−
．
变式2-2 如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
4,0
A −
，
(
)
2,0
B
两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物
线交于A，D 两点，与y 轴交于点E，点D 的坐标为(
)
1,5 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA、PD，求当PAD
面积最大时点P 的坐标及该面积的
最大值；
(3)在y 轴上是否存在点Q，使CDQ
是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)
2
2
8
y
x
x
= −
−
+
(2)当PAD
面积最大时点P 的坐标为
3 35
,
2
4
−
及该面积的最大值为125
8 ；
(3)存在，(
)
0,8
10
+
或(
)
0,8
10
−
或(
)
0,2 ．
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【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点P 作PH
AB
⊥
于H，交直线l 于F，直线过点D 作DG
AB
⊥
于G，设直线l 的解析式为y
kx
b
=
+
，
解方程组得到直线l 的解析式为
4
y
x
=
+ ，设(
)
2
,
2
8
P t
t
t
−
−
+
，则
(
)
,
4
F t t +
，求得
(
)
2
2
2
8
4
3
4
PF
t
t
t
t
t
= −
−
+ −
+
= −
−
+ ，设PAD
面积
S
=
，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）利用勾股定理得
(
)
2
21
8
5
10
CD =
+
−
=
，①当
1
10
CD
CQ
=
=
，
1
Q 在点C 的上方时，②当
2
10
CD
CQ
=
=
，
2
Q 在点C 的下方时，③当
3
CD
DQ
=
时，解方程即可求解．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过点
(
)
4,0
A −
，
(
)
2,0
B
，
(
)
1,5
D
，
16
4
0
4
2
0
5
a
b
c
a
b
c
a
b
c
−
+
=
+
+
=
+
+
=
，
解得
1
2
8
a
b
c
= −
= −
=
，
物线的解析式为
2
2
8
y
x
x
= −
−
+ ；
（2）解：如图1，过点P 作PH
AB
⊥
于H，交直线l 于F，直线过点D 作DG
AB
⊥
于G，
设直线l 的解析式为y
kx
b
=
+
，
直线l 经过
(
)
4,0
A −
，
(
)
1,5
D
，
4
0
5
k
b
k
b
−
+
=
+
=
，
解得
1
4
k
b
=
=
，
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直线l 的解析式为
4
y
x
=
+ ，
点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，
设(
)
2
,
2
8
P t
t
t
−
−
+
，则
(
)
,
4
F t t +
，
(
)
2
2
2
8
4
3
4
PF
t
t
t
t
t
= −
−
+ −
+
= −
−
+ ，
设PAD
面积为S，
1
1
1
2
2
2
S
PF AH
PF GH
PF AG
=
+
=
(
)(
)
2
2
2
1
5
15
5
3
125
3
4 1
4
10
2
2
2
2
2
8
t
t
t
t
t
=
−
−
+
+
= −
−
+
= −
+
+
，
5
0
2
−
，
当S最大值为125
8 时，
3
2
t = −
，此时
2
35
2
8
4
t
t
−
−
+
=
，
当PAD
面积最大时点P 的坐标为
3 35
,
2
4
−
及该面积的最大值为125
8 ；
（3）解：当
0
x =
时，
2
2
8
8
y
x
x
=
−
+
= ，
(
)
0,8
C
，
(
)
2
21
8
5
10
CD =
+
−
=
，
①当
1
10
CD
CQ
=
=
，
1
Q 在点C 的上方时，
1
1
8
10
Q O
CO
CQ
=
+
=
+
，
点
1
Q 的坐标为(
)
0,8
10
+
；
②当
2
10
CD
CQ
=
=
，
2
Q 在点C 的下方时，
2
2
8
10
OQ
OB
BQ
=
−
=
−
，
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点
2
Q 的坐标为(
)
0,8
10
−
；
③当
3
CD
DQ
=
时，
设
(
)
3 0,
Q
n ，则
8
5
2
n
+
=
，
2
n =
，
点
3
Q 的坐标为(
)
0,2 ；
综上所述，存在点Q，使CDQ
是以CD为腰的等腰三角形，点Q 的坐标为(
)
0,8
10
+
或(
)
0,8
10
−
或(
)
0,2 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，
勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造
特殊三角形解决问题．
变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
C
两点，并与x 轴交于另
一点B．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求点B 坐标；
(3)设
(
)
,
P x y 是抛物线上的一个动点，过点P 作直线l
x
⊥
轴于点M．交直线BC 于点N．
①若点P 在第一象限内，试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；
若不存在，请说明理由；
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②当点P 运动到某一位置时，能构成以BC 为底边的等腰三角形，求此时点P 的坐标及等腰BPC
的面积．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
(
)
3,0
B
(3)①线段PN 的长度的最大值为9
4 ；②点P 的坐标为( 1
13
2
+
，1
13)
2
+
，BPC
的面积为3 13
6
2
−
；或点P
的坐标为( 1
13
2
−
，1
13)
2
−
，BPC
的面积为3 13
6
2
+
．
【分析】（1）将点A、C 的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）令
0
y =
，得
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，解得：
1
2
1,
3
x
x
= −
=
，即可求出点B 的坐标；
（3）①设点P 的坐标为
2
2
3)
( , x
x
x
−
+
+
，则N 的坐标为( ,
3)
x
x
−+
，构建二次函数，然后由二次函数的最
值问题，求得答案；②求出BC 的垂直平分线的解析式，用方程组求出点P 的坐标即可解决问题．
【详解】（1）
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
C
，且点A、C 在抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 上，
∴
1
0
3
b
c
c
−
−
+
=
=
，
解得
2
3
b
c
=
=
，
该抛物线所对应的函数关系式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）令
0
y =
，得
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，
解得：
1
2
1,
3
x
x
= −
=
，
(
)
3,0
B
；
（3）①如图2 中，
已知
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
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∴设直线BC 所在直线的解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
∴
3
0
3
k
b
b
+
=
=
，
解得，
1
3
k
b
= −
=
，
∴直线BC 的解析式为：
3
y
x
= −+
，
点P 在抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 上，且PN
x
⊥
轴，点N 在直线BC 的图象上，
设点P 的坐标为
2
2
3)
( , x
x
x
−
+
+
，则点N 的坐标为( ,
3)
x
x
−+
，
又点P 在第一象限，
∴
(
) (
)
2
2
3
3
PN
x
x
x
= −
+
+
−−+
，
2
3
x
x
= −
+
，
2
3
9
(
)
2
4
x
= −
−
+
，
当
3
2
x =
时，
线段PN 的长度的最大值为9
4 ．
②解：如图3 中，
由题意知，点P 在线段BC 的垂直平分线上，
又由①知，OB
OC
=
，
BC
的中垂线同时也是
BOC
的平分线，
设点P 的坐标为( , )
a a ，
又点P 在抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 上，于是有
2
2
3
a
a
a
= −
+
+
，
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2
3
0
a
a
−
−
= ，
解得
1
1
13
2
a
+
=
，
2
1
13
2
a
−
=
，
点P 的坐标为：( 1
13
2
+
，1
13)
2
+
或( 1
13
2
−
，1
13)
2
−
，
若点P 的坐标为( 1
13
2
+
，1
13)
2
+
，此时点P 在第一象限，
在Rt OMP
和Rt
BOC
△
中，
1
13
2
MP
OM
+
=
=
，
3
OB
OC
=
= ，
1
1
2
2
2
2
BPC
BOC
BOP
BOC
BOCP
S
S
S
S
S
BO PM
BO CO
=
−
=
−
=
−
四边形
，
1
1
13
9
2
3
2
2
2
+
=
−
，
3 13
6
2
−
=
，
若点P 的坐标为( 1
13
2
−
，1
13)
2
−
，此时点P 在第三象限，
则
1
1
13
1
3 13
6
3 |
| 2
3 3
2
2
2
2
BPC
BOP
COP
BOC
S
S
S
S
−
+
=
+
+
=
+
=
．
综上所述BPC
的面积为3 13
6
2
−
或3 13
6
2
+
．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解
题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
题型3、等边三角形的存在性问题
典例3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过原点
(0,0)
O
和点
(4,0)
A
，顶点为B，且顶点B 的纵坐标为2．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求证：ABO
是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形；
(3)设点P 是抛物线上一点（P 不与点O，A，B 重合），点Q 在x 轴上．是否存在正三角形APQ ？若存在，
请求出满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
x =
(2)证明见解析
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(3)存在，点Q 的坐标为(4 3
4,0)
−
或( 4 3
4,0)
−
−
【分析】（1）根据
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象经过点
(0,0),
(4,0)
O
A
，即可求解．
（2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2,2)，可画出图象，则
2 2,
2 2
BO
AB
=
=
，即可得BO
AB
=
，
即可证明ABO
是等腰直角三角形．
（3）根据点P 在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上，且抛物线经过(0,0) 与(4,0),(2,2) 三点，设
(
4)
y
ax x
=
−
，将(2,2)代
入，可解得
1
2
a
−
=
，即可得
1
4
2 (
)
y
x x
= −
−
．要使APQ
是正三角形，设点P 为
1
,
(
4)
2
x
x x
−
−
，过点P
作PC
x
⊥
轴，交x 轴于点C ，分三种情况：当
4
x
时， 当0
4
x
时， 当
0
x
时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象经过点
(0,0),
(4,0)
O
A
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
2
0
4
2
2
2
x
x
x
+
+
=
=
=
；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2,2)，可画图象如图．
2 2,
2 2
BO
AB
=
=
，
BO
AB
=
，
又∵
2
2
2
8 8
16,
16
BO
AB
AO
+
= + =
=
，
2
2
2
BO
AB
AO
+
=
，
90
OBA
=
，
∴ABO
是等腰直角三角形．
（3）解：∵点P 在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上，且抛物线经过(0,0) 与(4,0),(2,2) 三点，设
(
4)
y
ax x
=
−
，
将(2,2)代入，可解得
1
2
a
−
=
．
1 (
4)
2
y
x x
= −
−
，
要使APQ
是正三角形，
设点P 为
1
,
(
4)
2
x
x x
−
−
，过点P 作PC
x
⊥
轴，交x 轴于点C ，
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分三种情况：
当
4
x
时，
1
4,
(
4)
2
AC
x
CP
x x
=
−
=
−
，
60
CAP
=
，
3
CP
AC
=
，
∴
1
3(
4)
(
4)
2
x
x x
−
=
−
，
解得
1
4
x =
（与A点重合，舍去），
2
2 3
4
x =
（不符合题意舍去）．
当0
4
x
时，则有：
1
4
,
(
4)
2
AC
x CP
x x
=
−
= −
−
，
1
3(
4)
(
4)
2
x
x x
−
= −
−
，
解得
2 3
x =
，
根据正三角形对称性，点Q 在x 轴上，
∴点Q 坐标为(4 3
4,0)
−
．
当
0
x
时，则有：
1
4
,
(
4)
2
AC
x CP
x x
=
−
=
−
，
1
3(
4)
(
4)
2
x
x x
−
=
−
，
解得
2 3
x = −
，
2 ( 2 3)
4
4 3
4
Q
x
= −
−
= −
−，
∴点Q 的坐标为( 4 3
4,0)
−
−
．
综上所述，点Q 的坐标为：(4 3
4,0)
−
或( 4 3
4,0)
−
−
．
【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图
像和性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
题型模版
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1.特征：在二次函数图象上找点，使其与两定点构成等边三角形．
2.方法：利用三边相等且内角60°，或旋转60°进行转化；列距离方程和角度关系，结合抛物线解析式求解．
变式3-1 已知二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ （b ，c 均为常数）．
(1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线
2
x =
，求二次函数表达式；
(2)若函数图象上有两点(
)
1
2,
b
y
−
，(
)
2
,b y
，且
1
2
y
y
，求b 的取值范围；
(3)将二次函数的图象平移，使其顶点P 始终落在直线
1
y
x
=
+ 上，与该直线的另一个交点为Q ，在x 轴上是
否存在点
(
)
,0
A t
使得APQ
为等边三角形？若存在，求出t ；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
2
4
y
x
x
= −
+
(2)
2
b
(3)存在，
1
3
t = −+
或
1
3
t = −−
【分析】（1）结合二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的函数图象经过原点，对称轴为直线
2
x =
，再建立方程组求解
即可；
（2）计算
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
4
4
2
2
4
y
b
b b
c
b
b
b
b
c
b
c
= −
−
+
−
+
= −
+
−
+
−
+
=
+ −
，
2
2
2y
b
b
c
c
= −
+
+
=
，结合
1
2
y
y
，
再进一步求解即可；
（3）设顶点
(
)
1
P m m +
,
，可得平移后的解析式为：
(
)
2
1
y
x
m
m
= −
−
+
+ ，求解
(
)
1,
Q m
m
−
，可得
(
)
(
)
2
2
1
1
2
PQ
m
m
m
m
=
−−
+
−
−
=
，结合
2
AP
PQ
AQ
=
=
=
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的函数图象经过原点，对称轴为直线
2
x =
，
∴
(
)
0
2
2
1
c
b
=
−
=
−
，解得：
4
0
b
c
=
=
，
∴二次函数为
2
4
y
x
x
= −
+
．
（2）解：∵函数图象上有两点(
)
1
2,
b
y
−
，(
)
2
,b y
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
4
4
2
2
4
y
b
b b
c
b
b
b
b
c
b
c
= −
−
+
−
+
= −
+
−
+
−
+
=
+ −
，
2
2
2y
b
b
c
c
= −
+
+
=
，
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∵
1
2
y
y
，
∴2
4
b
c
c
+ −
，
解得：
2
b
．
（3）解：∵二次函数的图象平移，使其顶点P 始终落在直线
1
y
x
=
+ 上，
∴设顶点
(
)
1
P m m +
,
，
∴平移后的解析式为：
(
)
2
1
y
x
m
m
= −
−
+
+ ，
∴
(
)
2
1
1
y
x
y
x
m
m
−
−
=
+
=
+
+
，
∴(
)
2
1
1
x
m
m
x
−
−
+
+ =
+ ，
整理得：
(
)
2
2
1
2
0
x
m x
m
m
+
−
+
−
=
，
∴(
)(
)
1
0
x
m
x
m
−
−
+
=
，
解得：
1x
m
=
，
2
1
x
m
=
−，
∴
(
)
1,
Q m
m
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
1
1
2
PQ
m
m
m
m
=
−−
+
−
−
=
，
∵APQ
为等边三角形，点
(
)
,0
A t
，
∴
2
AP
PQ
AQ
=
=
=
，
∵
(
)
1
P m m +
,
，
(
)
1,
Q m
m
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
1
2
AP
m
t
m
=
−
+
+
=
，
(
)
2
2
2
1
2
AQ
m
t
m
=
−−
+
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
m
t
m
m
t
m
−
+
+
=
−−
+
，
解得：
2
t
m
=
，即
1
2
m
t
=
，
∴
2
2
1
1
1
2
2
2
t
t
t
−
+
+
=
，
∴
2
2
2
0
t
t
+
−
=
，
解得：1
1
3
t = −+
，2
1
3
t = −−
，
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∴存在满足条件的点A，t 的值为1
3
−+
或1
3
−−
．
变式3-2 如图，已知抛物线
1
C 与x 轴交于
(4,0),
( 1,0)
A
B −
两点，与y 轴交于点
(0,2)
C
．将抛物线
1
C 向右平移
(
0)
m m
个单位得到抛物线
2
2
C
C
，
与x 轴交于D，E 两点（点D 在点E 的左侧），与抛物线
1
C 在第一象限交
于点M．
（1）求抛物线
1
C 的解析式，并求出其对称轴；
（2）①当
1
m = 时，直接写出抛物线
2
C 的解析式；
②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标；
（3）连接DM
AM
，
．在抛物线
1
C 平移的过程中，是否存在
ADM
△
是等边三角形的情况？若存在，请求出
此时m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
+
+
，其中对称轴是直线
3
2
x =
；（2）①
2
1
5
2
2
= −
+
y
x
x ；②点M 的坐标为
2
3 25
,
2
8
m
m
+
−
；（3）存在，
4 3
5
m =
−．
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；
（2）①利用抛物线平移规律即可求得C2 解析式；
②利用抛物线平移规律即可求得M 的横坐标，进而代入C1 抛物线解析式即可；
（3）过点M 做MN
AD
⊥
于点N，分别表示出点D、M、N、A 的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN、
MN，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）设抛物线
1
C 的解析式为
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
．则
16
4
0
0
2
a
b
c
a
b
c
c
+
+
=
−
+
=
=
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解得
1
2
3
2
2
a
b
c
= −
=
=
抛物线
1
C 的解析式为
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
+
+
，
其中对称轴是直线
3
2
x =
（2）①由（1）知：抛物线
1
C 的解析式为
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
+
+
，
即
2
1
3
25
2
2
8
y
x
= −
−
+
，
当
1
m = 时，根据抛物线平移规律可得：
抛物线
2
C 解析式为：
2
2
1
3
25
1
5
1
2
2
8
2
2
y
x
x
x
= −
−
−
+
= −
+
②根据抛物线平移规律可得，抛物线
1
C 向右平移
(
0)
m m
个单位得到抛物线解析式为：
2
1
3
2
25
2
2
8
m
y
x
+
= −
−
+
，
其对称轴为：
3
2
2
m
x
+
=
∴交点M 横坐标为：
3
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
+
−
+
+
=
+
=
将其代入
1
C 抛物线解析式可得：
2
25
8
m
y
−
=
∴点M 的坐标为
2
3 25
,
2
8
m
m
+
−
；
（3）存在m 值使
ADM
△
是等边三角形．理由如下：
过点M 做MN
AD
⊥
于点N
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∵
(
)
(
)(
)
2
3 25
3
1,0 ,
,
,
,0 ,
4,0
0
4
2
8
2
m
m
m
D m
M
N
A
m
+
−
+
−
，
∴
(
)
3
5
1
2
2
m
m
DN
m
+
−
=
−
−
=
2
25
8
m
MN
−
=
若
ADM
△
是等边三角形，则
30
DMN
=
，
∴
3
MN
DN
=
即
2
25
5
3
8
2
m
m
−
−
=
解得
4 3
5
5
m
m
=
−
=
，
（不合题意，舍去），
∴当
4 3
5
m =
−时，
ADM
△
是等边三角形．
【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛
物线平移规律、等边三角形的性质．
变式3-3 已知二次函数
2
2
4
8
y
x
mx
m
=
−
+
−．
（1）图象经过点1,1
（）时，则m = _________；
（2）当
2
x
时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；
（3）以抛物线
2
2
4
8
y
x
mx
m
=
−
+
−的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N 两点在抛
物线上），请问：AMN
的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
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【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）AMN
的面积是与m 无关的定值，S△AMN＝3 3 .
【分析】（1）将点1,1
（）代入二次函数解析式即可求出m；
（2）求出二次函数的对称轴为x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，可求
出m 的取值范围；
（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN 的面积是与
m 无关的定值．
【详解】解：（1）将点1,1
（）代入
2
2
4
8
y
x
mx
m
=
−
+
−可得：1 1 2
4
8
m
m
= −
+
−，
解得：m=4；
（2）二次函数
2
2
4
8
y
x
mx
m
=
−
+
−的对称轴是：x＝m，
∵当x≤2 时，函数值y 随x 的增大而减小，
∴m≥2；
（3）AMN
的面积是与m 无关的定值；
如图：顶点A 的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点B，
∵tan∠AMB＝tan60°＝
3
AB
BM =
，
∴AB＝3 BM＝3 BN，
设BM＝BN＝a，则AB＝3 a，
∴点M 的坐标为（m＋a，3 a−m2＋4m−8），
∵点M 在抛物线上，
∴3 a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，
整理得：
2
3
0
a
a
-
=
，
解得：a＝3 或a＝0（舍去），
∴△AMN 是边长为2 3 的正三角形，
∴AB=3，S△AMN＝1
2 3 3
3 3
2
=
，与m 无关.
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【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数
的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M 在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．
题型4、直角三角形的存在性问题
典例4 在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
5,m
−
，点(
)
1,n 在抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c
a
=
+
+
上，设抛物线的对称
轴为直线x
t
= ．
(1)当
2
c =
，
3
m
n
=
= −时，求抛物线与x 轴的交点坐标；
(2)当m
n
=
时，设抛物线与y 轴交于点A，顶点为B ，过点A作x 轴的平行线交抛物线另一点C ，ABC
能
否是直角三角形？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由．
(3)若<0
a
，点(
)(
)
0
0
,
5
x m
x −
也在抛物线上，若m
n
c
，求t 的取值范围及
0x 的取值范围．
【答案】(1)(
)
2
6,0
−+
，(
)
2
6,0
−−
；
(2)能，1
2 ，
1
2
−
；
(3)
1
2
2
t
−
，
0
1
6
x
．
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积问题；
（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）当ABC
能否是直角三角形时，由函数的对称性，则ABC
为等腰直角三角形，则
2
BN
AN
=
=
，即可
求解；
（3）由m ＜
,
n
c
得到25
5
a
b
c
−
+ ＜
,
a
b
c
c
+
+
则2
−＜
1
2
2
b
a
−
，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线过点(
)
5, 3
−
−
、(
)
1, 3
−
、(
)
0,2 ，
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则
3
25
5
3
2
a
b
c
a
b
c
c
−=
−
+
+
+
= −
=
，
解得：
1
4
2
a
b
c
= −
= −
=
，
则抛物线的表达式为：
2
4
2
y
x
x
= −
−
+ ，
令
2
4
2
0
y
x
x
= −
−
+
=
，
则
2
6
x = −
，
即抛物线与x 轴的交点坐标为：(
)
2
6,0
−+
，(
)
2
6,0
−−
；
（2）能，理由：
当m
n
=
时，则抛物线的对称轴为直线
(
)
1 1 5
2
2
2
b
x
a
=
−
= −= −
，
当
0
a
时，如下图，
当ABC
能否是直角三角形时，
由函数的对称性，则ABC
为等腰直角三角形，
则
2
BN
AN
=
= ，
即
2
B
A
y
y
−
=
，则
2
2
4
b
c
c
a
−
−
=
，
即
2
16
2
4
a
a
−
=
，
解得：
1
2
a = −
；
当
0
a
时，
同理可得：
1
2
a =
；
综上，
1
2
a =
；
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（3）
m
n
c
，
25
5
,
a
b
c
a
b
c
c
−
+
+
+
即4
,
a
b
a
−
则
1
2
2
2
b
a
−−
，
即
1
2
2
t
−
，
当
2
t = −时，
(
)
0
1
2
5
2
x
−=
−+
，
则
0
1
x = ，
同理可得：当
1
2
t =
时，
0
6
x =
，
即
0
1
6
x
．
题型模版
1.特征：动点与两定点构成直角三角形，需确定直角顶点位置．
2.方法：按直角顶点分类讨论；用勾股定理列方程，结合二次函数求解．
变式4-1 （25-26 九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线
(
)
(
)
0
y
a x
h
k a
=
−
+
称
为抛物线
(
)
(
)
2
0
y
a x
h
k a
=
−
+
的伴随直线，如直线
(
)
1
2
y
x
= −
+
−
为抛物线
(
)
2
1
2
y
x
= −
+
−
的伴随直线．若
抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的伴随直线是
(
)
1
3
y
a x
=
+
−，则b = ________（用a 的代数式表示）；若该抛物
线经过定点Q ，且与x 轴交于点A和点B ．当ABQ
为直角三角形时，则a =__________．
【答案】
2
b
a
=
1
3
【分析】本题考查了二次函数综合运用，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键．
根据定义可得抛物线解析式为
(
)
2
2
1
3
2
3
y
a x
ax
ax
a
=
+
−
=
+
+
−，据此可得
2
b
a
=
，根据抛物线解析式，可
得定点
(
)
1, 3
Q −
−
，进而可证明Q 为抛物线顶点，则QA
QB
=
，故EQD
为等腰直角三角形，由于点Q 到AB
的距离为3，则
2 3
6
AB = =
，可得交点坐标为(
)
2,0 或(
)
4,0
−
，据此利用待定系数法求解即可；
【详解】解：∵抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的伴随直线是
(
)
1
3
y
a x
=
+
−，
∴原抛物线解析式为
(
)
2
2
1
3
2
3
y
a x
ax
ax
a
=
+
−
=
+
+
−，
∴
2
b
a
=
，
3
c
a
=
−．
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∵抛物线解析式为
(
)
2
1
3
y
a x
=
+
−，
∴
1
x = −时的函数值与a 值无关，此时=
3
y −
，
∴即抛物线过定点
(
)
1, 3
Q −
−
，且点Q 为抛物线顶点，对称轴为直线
1
x = −．
∵点A、B 为抛物线与x 轴的交点，Q 为抛物线顶点，
∴QA
QB
=
，
∵点A、B 与定点Q 构成直角三角形，
∴
90
AQB
=
，即ABQ
为等腰直角三角形．
∵
(
)
1, 3
Q −
−
为抛物线顶点，对称轴为直线
1
x = −，
∴点Q 到DE 的距离为3，
∴
2 3
6
AB=
=
，
∴点A、B 到对称轴的距离为3，
∴抛物线与x 轴交点坐标为(
)
2,0 或(
)
4,0
−
，
选择(
)
2,0 代入
(
)
2
1
3
y
a x
=
+
−，可得(
)
2
2 1
3
0
a
+
−
=
解得
1
3
a =
．
故答案为：
2
b
a
=
；1
3 ．
变式4-2 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点A，C（点A在点C 的右侧），
与y 轴交于点B ，直线
3
y
x
= −+
经过点A，B ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2) P 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PQ
x
∥
轴交直线AB 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ
的长为L ．求L 与m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为M ，问在y 轴上是否存在一点N ，使得
NAM
△
为直角三角形？若存在，直接写出点N
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的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
(2)
2
3
L
m
m
=
−
（1
0
m
−
）；
(3)存在．点N 的坐标为
3
0,
2
−
或(0,3) 或(0,1)或
7
0, 2
．
【分析】（1）对于
3
y
x
= −+
，令
0
x =
，求出y 值，令
0
y =
，求出x 的值，进而得到A、B 的坐标，待定系
数法求出抛物线的函数表达式；
（2）求出Q 点坐标，根据两点间的距离求出L 的解析式，根据点P 在第二象限，写出m 的取值范围即可；
（3）分别以N 为直角顶点，M 为直角顶点和A为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵
3
y
x
= −+
，
∴当
0
x =
时，
3
y =
，当
0
y =
时，
3
0
x
−+ =
，解得：
3
x = ，
∴
(
)
3,0
A
、
(
)
0,3
B
，
∵抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 经过点A，B
∴
9
3
0
3
b
c
c
−+
+
=
=
，
解得：
2
3
b
c
=
=
，
∴
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：∵点P 的横坐标为
(
)
0
m m
，
∴(
)
2
,
2
3
P m
m
m
−
+
+
，
∵PQ
x
∥
轴，
∴
2
2
3
Q
y
m
m
= −
+
+ ，
∴
2
2
3
3
m
m
x
−
+
+
= −+ ，
∴
2
2
x
m
m
=
−
，
∴(
)
2
2
2 ,
2
3
Q m
m
m
m
−
−
+
+
，
∴
2
3
Q
P
L
x
x
m
m
=
−
=
−
，
∵P 是第二象限内抛物线上的一个动点，
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∴1
0
m
−
；
∴
(
)
2
3
1
0
L
m
m
m
=
−
−
；
（3）解：存在，设点
(
)
0,
N
n ，
∵
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
∴
(
)
1,4
M
，
∵
(
)
3,0
A
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
9
,
3 1
4
20,
1
4
AN
n
AM
MN
n
=
+
=
−
+
=
= +
−
；
①当点A为直角顶点时：
(
)
2
2
9
20
1
4
n
n
+
+
= +
−
，解得：
3
2
n = −
，
∴
3
0,
2
N
−
；
②当点M 为直角顶点时，
(
)
2
2
20 1
4
9
n
n
+ +
−
=
+
，解得：
7
2
n =
，
∴
7
0, 2
N
；
③当点N 为直角顶点时：
(
)
2
2
9
1
4
20
n
n
+
+ +
−
=
，解得：
1
n = 或
3
n = ，
∴
(
)
0,1
N
或
(
)
0,3
N
；
综上：
3
0,
2
N
−
或
7
0, 2
N
或
(
)
0,1
N
或
(
)
0,3
N
．
题型5、特定边角的直角三角形存在性问题
典例5 （24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，
已知点A的坐标是(4,0)，并且
4
OA
OC
OB
=
=
．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上AC 之间的动点，过点P 作PE垂直于x 轴于点E ，交直线AC 于点D ，连接PA、PC ，
当PAC
的面积最大时，求出点P 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P ，使得ACP
是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P
的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
(2)(
)
2,6
(3)存在，(
)
2,6 或(
)
2, 6
−
−
；
【分析】（1）先求出C 、B 两点坐标，再设交点式，将点C 坐标代入求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC 的解析式为
4
y
x
−
=
+
，设(
)(
)
2
,
3
4
0
4
P p
p
p
P
−
+
+
，则
(
)
,
4
D p
p
−
+
，
进而得出
2
4
DP
p
p
= −
+
，根据
PAC
PDC
PDA
S
S
S
=
+
得到关于p 的二次函数，再配方求最值即可；
（3）分两种情况讨论：①当点C 为直角顶点时，过点C 作
1
CP
AC
⊥
交抛物线于点
1P ，过点
1P 作
1PM
y
⊥
轴
于点M ；②当点A为直角顶点时，过点A作
2
AP
AC
⊥
交抛物线于点
2P ，过点
2P 作
2P N
y
⊥
轴于点N ，根
据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点P 坐标，进而得到一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：点A的坐标是(
)
4,0 ，
4
OA
=
，
4
OA
OC
OB
=
=
，
4
OC
= ，
1
OB = ，
(
)
0,4
C
，
(
)
1,0
B −
，
抛物线与x 轴交于
(
)
4,0
A
、
(
)
1,0
B −
两点，
设抛物线的解析式为
(
)(
)
4
1
y
a x
x
=
−
+
，
与y 轴交于点
(
)
0,4
C
，
(
)(
)
0
4
0 1
4
a
−
+
=
，
解得：
1
a = −，
(
)(
)
2
4
1
3
4
y
x
x
x
x
= −
−
+
= −
+
+
，
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即抛物线的解析式为
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：设直线AC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
则
4
0
4
k
b
b
+
=
=
，解得：
1
4
k
b
= −
=
，
直线AC 的解析式为
4
y
x
−
=
+
，
点P 是抛物线上AC 之间的动点，
设(
)(
)
2
,
3
4
0
4
P p
p
p
P
−
+
+
，
PE
x
⊥
轴，交直线AC 于点D ，
(
)
,
4
D p
p
−
+
，
(
)
2
2
3
4
4
4
DP
p
p
p
p
p
= −
+
+
−−
+
= −
+
，
PAC
PDC
PDA
S
S
S
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
4
4
2
8
2
2
8
2
2
2
PAC
S
DP OE
DP AE
p
p
p
p
p
=
+
=
−
+
= −
+
= −
−
+
，
当
2
p =
时，
PAC
S
有最大值为8，
2
3
4
6
p
p
−
+
+
= ，
即当PAC
的面积最大时，求出点P 的坐标为(
)
2,6 ；
（3）解：存在，理由如下：
①当点C 为直角顶点时，过点C 作
1
CP
AC
⊥
交抛物线于点
1P ，过点
1P 作
1PM
y
⊥
轴于点M ，
4
OA
OC
=
=
，
45
ACO
CAO
=
=
，
1
90
ACP
=
，
1
90
MCP
ACO
+
=
，
1
45
MCP
=
，
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1
90
CMP
=
，
1
CMP
是等腰直角三角形，
1
MC
MP
=
，
设(
)
2
,
3
4
P m
m
m
−
+
+
，
1
MP
m
=
，
2
3
4
OM
m
m
= −
+
+ ，
2
3
MC
OM
OC
m
m
=
−
= −
+
，
2
3
m
m
m
−
+
=
，
解得：
1
2
m =
，
2
0
m =
（舍），
当
2
m =
时，
2
2
3
4
2
3 2
4
6
m
m
−
+
+
= −
+
+
=
，
(
)
1 2,6
P
；
②当点A为直角顶点时，过点A作
2
AP
AC
⊥
交抛物线于点
2P ，过点
2P 作
2P N
y
⊥
轴于点N ，
2
90
CAP
=
，
45
CAO
=
，
2
45
BAP
=
，
AOF
△
是等腰直角三角形，
4
OF
OA
=
= ，
2P N
x
∥轴，
2
2
45
FP N
BAP
=
=
2
FNP
是等腰直角三角形，
2
NF
NP
=
，
设
(
)
2
2
,
3
4
P n
n
n
−
+
+
，
2
NP
n
= −，
(
)
2
2
3
4
3
4
ON
n
n
n
n
= −−
+
+
=
−
−
，
2
3
8
NF
ON
OF
n
n
=
−
=
−
−，
2
3
8
n
n
n
−
−
= −，
解得：
1
2
n
−
=
，
2
4
n =
（舍），
当
2
n = −时，
(
)
(
)
2
2
3
4
2
3
2
4
6
n
n
−
+
+
= −−
+ −
+
= −，
(
)
2
2, 6
P
−
−
，
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综上可知，抛物线上存在点P ，使得ACP
是以AC 为直角边的直角三角形，点P 的坐标为(
)
2,6 或(
)
2, 6
−
−
；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，
二次函数的最值问题，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类
讨论的思想解决问题是关键．
题型模版
1.特征：给定某一边、一角或直角边条件，求满足特定条件的直角三角形．
2.方法：固定已知边或角，按直角顶点分类；利用三角函数勾股定理建立方程求解．
变式5-1 如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴相交于A，B 两点，与y 轴相交于点C，对称轴为直线
2
x =
，顶
点为D，点B 的坐标为(3 0)
, ．
(1)填空：点A 的坐标为______，点 D 的坐标为______，抛物线的解析式为______；
(2) P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使PAC
是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的自变量x 满足
2
m
x
m
+
时，函数y 的最小值为5
4 ，求m 的值．
【答案】(1)(
) (
)
2
1,0 , 2, 1 ,
4
3
y
x
x
−
=
−
+
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(2)存在，
(
)
2,1
P
或(
)
2,2 ；
(3)
3
2
m = −
或7
2
【分析】（1）由对称轴为直线
2
x =
， 点B 的坐标为(
)
3,0 ，得
(
)
1 0
A ，，用待定系数法可求得抛物线的解析
式为
² 4
3,
y
x
x
=
−
+
即可得顶点
(
)
2, 1
D
−
；
（2）设
(
)
2,
P
t ， 可得
² 10,
AC =
(
)
²
² 1,
?
3 ? 4,
PA
t
PC
t
=
+
=
−
+
根据PAC
是以AC 为斜边的直角三角形，有
(
)
² 1
3 ? 4
10,
t
t
+ +
−
+
=
即可解得
(
)
2,1
P
或(
)
2,2 ；
（3）由抛物线对称轴为直线
2,
x =
分三种情况： ①当
2
2,
m +
即
0
m
时， y 随x 的增大而减小，可得
(
)
(
)
2
5
2
4
2
3
,
4
m
m
+
−
+
+ =
②当
2
2,
m
m
+
即 0
2
m
时，
2
x =
时最小值为1,
−
这种情况不存在最小
值为5
4 ；③当
2
m
时，y 随x 的增大而增大，有
2
5
4
3
4
m
m
−
+
=
，分别解方程可得答案.
【详解】（1）解：∵对称轴为直线
2
x =
， 点B 的坐标为(
)
3,0 ，
∴
(
)
1,0
A
，
将
(
)
(
)
1,0 ,
3,0
A
B
代入
²
y
x
bx
c
=
+
+
得：
1
0
9
3
0
b
c
b
c
+
+
=
+
+
=
，解得
4,
3
b
c
= −
=
∴抛物线的解析式为
² 4
3
y
x
x
=
−
+ ，
当
2
x =
时，
2? 4 2
3
1
y =
−+
= −，
(
)
2, 1
D
−
，
故答案为：(
) (
)
1,0 , 2, 1 ,
? 4
3
y
x
x
−
=
−
+ ；
（2）解：存在点P ， 使PAC
是以AC 为斜边的直角三角形，理由如下：
设
(
)
2,
P
t ，
在
² 4
3
y
x
x
=
−
+ 中，令
0
x =
得
3
y =
，
∴
(
)
0,3
C
，
∵
(
)
1,0
A
，
(
)
(
)
²
0 1 ?
3
0 ? 10
AC
=
−
+
−
=
，
(
)
(
)
²
2 1 ?
0 ?
² 1
PA
t
t
=
−
+
−
=
+ ，
(
)
(
)
(
)
²
2
0 ?
3 ?
3 ? 4
PC
t
t
=
−
+
−
=
−
+
，
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PAC
是以AC 为斜边的直角三角形，
2
2
2
PA
PC
AC
+
=
，
(
)
² 1
3 ? 4
10
t
t
+ +
−
+
=
，
解得
1
t = 或
2,
t =
∴
(
)
2,1
P
或(
)
2,2 ；
（3）解：由抛物线对称轴为直线
2,
x =
分三种情况：
①当
2
2,
m +
即
0
m
时，y 随x 的增大而减小，
2
x
m
=
+ 时，y 取得最小值，
(
)
(
)
2
5
2
4
2
3
4
m
m
+
−
+
+
=
，
解得
3
2
m =
(舍去)或
3
2
m = −
，
∴此时
3
2
m = −
；
②当
2
2,
m
m
+
即0
2
m
时，
2
x =
时最小值为
1
−，
∴这种情况不存在最小值为5
4 ；
③当
2
m
时， y 随x 的增大而增大，
x
m
=
时， y 取最小值，
2
5
4
3
4
m
m
−
+ =
，
解得
1
2
m =
(舍去)或
7
2
m =
；
∴此时
7
2
m =
，
综上所述，
3
2
m = −
或 7
2 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的
关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用．
变式5-2 定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和
纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“立信之点”．
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(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是
(
)
1,2
A −
，
(
)
1, 1
B
−
−
，
(
)
3, 1
C
−
，
(
)
3,2
D
，在点
(
)
(
)
(
)
1
2
3
1,1 ,
2,2 ,
3,3
M
M
M
中，是矩形ABCD“立信之点”的是 ；
(2)如图②，已知点A，B 是抛物线
2
2
y
x
x
c
−
=
+
+ 上的“立信之点”，点C 是抛物线的顶点．连接AC ，AB ，
BC ，若ABC
是以点C 为直角顶点的直角三角形，求c 的值；
(3)在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，点Q 为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB 为对角线，
以A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(
)
(
)
1
2
1,1 ,
2,2
M
M
(2)1
(3)存在，(
)
1,0 或(
)
2,3
−
【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可；
（2）设点A的坐标为(
)
,
A a a ，点B 的坐标为
(
)
,
B b b ，先求出a
b
+
和ab 的值，再求出顶点C 的坐标，然后
利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可；
（3）先求出点
,
A B 的坐标，再根据AP
BP
=
建立方程求出点P 的坐标，然后根据对角线
,
AB PQ 互相平分可
求出点Q 的坐标．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD的顶点坐标分别是
(
)
1,2
A −
，
(
)
1, 1
B −
−
，
(
)
3, 1
C
−
，
(
)
3,2
D
，
∴矩形ABCD“立信之点”(
)
,x y 满足1
3
x
−
，1
2
y
−
，
∴点
(
)
(
)
1
2
1,1 ,
2,2
M
M
是矩形ABCD“立信之点”．
（2）解：∵点
,
A B 是抛物线
2
2
y
x
x
c
−
=
+
+ 上的“立信之点”，
∴点
,
A B 是直线y
x
=
上的点，
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设点A的坐标为(
)
,
A a a ，点B 的坐标为
(
)
,
B b b ，
联立
2
2
y
x
x
c
y
x
−
=
+
+
=
得：
2
0
x
x
c
−
−
=
，
∴,a b 是这个关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
c
−
−
=
的两个不相等的实数根，
∴
1
1
1
a
b
−
+
= −
= ，
1
c
ab
c
−
=
= −，
将二次函数
2
2
y
x
x
c
−
=
+
+ 化成顶点式为
(
)
2
1
1
x
y
c
−
−
=
+ + ，
∴抛物线的顶点C 的坐标为
(
)
1,
1
C
c +
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
1
1
AC
a
a
c
=
−
+
−−
，
(
)
(
)
2
2
2
1
1
BC
b
b
c
=
−
+
−−
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
AB
a
b
a
b
a
b
=
−
+
−
=
−
，
∵ABC
是以点C 为直角顶点的直角三角形，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，即(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
a
a
c
b
b
c
a
b
−
+
−−
+
−
+
−−
=
−
，
整理得：
(
)(
)
2
2
4
2
4
4
4
0
c
c
c
a
b
ab
+
+ −
−
+
+
+
=
，
∴
(
)
2
2
4
2
4
4
4
0
c
c
c
c
+
+ −
−
−
+
=
，即
2
2
2
0
c
c
−
= ，
解得
1
c = 或
0
c =
，
当
0
c =
时，二次函数为
2
2
y
x
x
−
=
+
，顶点坐标为
(
)
1,1
C
，
联立
2
2
y
x
x
y
x
= −
+
=
，解得
0
0
x
y
=
=
或
1
1
x
y
=
=
，
此时
(
)
(
)
0,0 ,
1,1
B
A
，点A与点C 重合，不能构成ABC
，不符合题意，舍去，
∴c 的值为1．
（3）解：由（2）可知，二次函数的解析式为
2
2
1
y
x
x
−
=
+
+ ，
联立
2
2
1
y
x
x
y
x
−
=
+
+
=
得：
2
1
0
x
x
−
−
=
，
解得
1
5
2
x
+
=
或
1
5
2
x
−
=
，
∴
1
5 1
5
,
2
2
A
+
+
，
1
5 1
5
,
2
2
B
−
−
，
设点P 的坐标为(
)
2
,
2
1
P t
t
t
−
+
+
，
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∵以
, , ,
A B P Q 为顶点的菱形是以AB 为对角线的，
∴AP
BP
=
，
∴
2
2
AP
BP
=
，
即
2
2
2
2
2
2
1
5
1
5
1
5
1
5
2
1
2
1
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
+
+
−
−
−
+ −
+
+ −
=
−
+ −
+
+ −
，
整理得：
2
3
0
t
t
−
+
=
，
解得
0
t =
或
3
t =
，
当
0
t =
时，
2
2
1
1
t
t
−
+
+ = ，则此时点P 的坐标为
(
)
0,1
P
，
当
3
t =
时，
2
2
2
1
3
2 3 1
2
t
t
−
+
+ = −
+ + = −，则此时点P 的坐标为
(
)
3, 2
P
−
，
设点Q 的坐标为
(
)
,
Q m n ，
由菱形的性质得：对角线
,
AB PQ 互相平分，
∴
1
5
1
5
0
2
2
2
2
1
5
1
5
1
2
2
2
2
m
n
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
或
1
5
1
5
3
2
2
2
2
1
5
1
5
2
2
2
2
2
m
n
+
−
+
+
=
+
−
+
−+
=
，
解得
1
0
m
n
=
=
或
2
3
m
n
= −
=
，
∴存在点
,
P Q ，使得以AB 为对角线，以, , ,
A B P Q 为顶点的四边形是菱形，此时点Q 的坐标为(
)
1,0 或(
)
2,3
−
．
题型6、等腰直角三角形的存在性问题
典例6 如图①，已知抛物线
2
:
L y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过点
(
)
(
)
0,3 ,
1,0
A
B
，过点A 作AC
x
∥轴交抛物线于点
C，
AOB
的平分线交线段AC 于点E，点P 是抛物线上的一个动点．
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(1)求抛物线的关系式；
(2)将抛物线L 向上平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OAE
内（包括OAE
的边界），求
h 的取值范围；
(3)如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF
成为以点P 为直角顶点的
等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
=
−
+
(2)3
4
h
≤≤
(3) 5
5 1
5
,
2
2
−
−
或3
5
5
1
,
2
2
−
+
或3
5 1
5
,
2
2
+
−
或5
5
5
1
,
2
2
+
+
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出平移后的抛物线的顶点坐标，设直线
2
x =
交OE 于点M，交AE 于点N，求出
,
M N 的坐标，根据
点F 在OAE
内（包括OAE
的边界），列出不等式进行求解即可；
（3）分四种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
:
L y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过点
(
)
(
)
0,3 ,
1,0
A
B
，
∴
1
0
3
b
c
c
+ +
=
=
，解得
4
3
b
c
= −
=
，
∴抛物线的解析式为：
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ；
（2）解：∵
(
)
2
2
4
3
2
1
y
x
x
x−
=
−
+
=
−，
∴抛物线的对称轴为直线
2
x =
， 顶点为(
)
2, 1
−
，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为
(
)
2, 1
F
h
−+
．
设直线
2
x =
交OE 于点M，交AE 于点N，则
(
)
2,3
N
，如图2，
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∵
AOB
的平分线交线段AC 于点E，
∴直线OE 的解析式为：y
x
=
，
∴
(
)
2,2
M
，
∵点F 在OAE
内（包括OAE
的边界），
∴2
1
3
h
−+
，解得3
4
h
≤≤；
（3）解：设(
)
2
,
4
3
P m m
m
−
+
，分四种情况：
①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图3，过P 作MN
y
⊥
轴，交y 轴于M，交l 于N，
∴
90
OMP
PNF
=
=
，
∵OPF
是等腰直角三角形，
∴
,
90
OP
PF
OPF
=
=
，
∴
90
OPM
NPF
PFN
NPF
+
=
+
=
，
∴
OPM
PFN
=
，
∴
(
)
AAS
OMP
PNF
≌
，
∴OM
PN
=
，
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∵(
)
2
,
4
3
P m m
m
−
+
，则
2
4
3
2
m
m
m
−
+
−
=
−
，
解得：
5
5
2
m
+
=
或5
5
2
−
，
∵
5
5
2
2
m
+
=
，不合题意，舍去，
∴
5
5
2
m
−
=
，此时
2
1
5
4
3
2
m
m
−
−
+
=
，
∴P 的坐标为5
5 1
5
,
2
2
−
−
；
②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：
2
2
4
3
m
m
m
−
=
−
+ ，
解得：
1
3
5
2
m
+
=
或
2
3
5
2
m
−
=
，
∵3
5
2
2
+
，不合题意，舍去，
∴
3
5
2
m
−
=
，此时
2
5
1
4
3
2
m
m
+
+
=
−
，
∴P 的坐标为3
5
5
1
,
2
2
−
+
；
③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图4，过P 作MN
x
⊥
轴于N，过F 作FM
MN
⊥
于M，
同理得
(
)
AAS
ONP
PMF
≌
，
∴PN
FM
=
，则
2
4
3
2
m
m
m
−
+
−
=
−
，解得：
1
3
5
2
m
+
=
，
2
3
5
2
m
−
=
；
∵3
5
2
2
−
，不合题意，舍去，
∴
3
5
2
m
+
=
，此时
2
1
5
4
3
2
m
m
−
−
+
=
，
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P 的坐标为3
5 1
5
,
2
2
+
−
；
④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图5，
同理得
2
4
3
2
m
m
m
−
+
=
−
，解得：
5
5
2
m
+
=
或5
5
2
−
（舍），
P 的坐标为：5
5
5
1
,
2
2
+
+
；
综上所述，点P 的坐标是：5
5 1
5
,
2
2
−
−
或3
5
5
1
,
2
2
−
+
或3
5 1
5
,
2
2
+
−
或5
5
5
1
,
2
2
+
+
．
题型模版
1.特征：动点与定点构成等腰直角三角形，需同时满足等腰和直角条件．
2.方法：按直角顶点分类，利用两腰相等且互相垂直列方程；结合二次函数解析式求解，注意多解取舍．
变式6-1 如图，在平面直角坐标系中，直线
4
y
x
=
+ 与x 轴，y 轴分别交于点A，C，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 过
点A 和点C，与x 轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线AC 交于点D，若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点（点P 不与点A，C 重合），
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求PAD
面积的最大值；
(3)点M 是抛物线对称轴上的一动点，x 轴上方的抛物线上是否存在点N，使得ANM
是以AN 为直角边的
等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
(2) PAD
面积的最大值是5
(3)点N 坐标为
,
3
26 5
2
2
−+
或
,
3
26 5
2
2
−−
或
2
26
1
26
,
2
2
−−
−+
或
2
26
1
26
,
2
2
−−
−+
．
【分析】（1）先求得点A，C 的坐标，再用待定系数法可得
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
；
（2）过P 作PK
y
∥
轴交AC 于K ，求出
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
的对称轴直线
3
2
x = −
，
3 5
,
2 2
D
−
，设
2
( ,
3
4)
P m
m
m
−
−
+
，则
( ,
4)
K m m +
，利用三角形面积公式可得关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即
可；
（3）设
(
)
2
,
3
4
N t
t
t
−
−
+
，分
90
ANM
=
，AN
MN
=
和
90
MAN
=
，AM
AN
=
，两种情况列方程可解
得答案．
【详解】
（1）解：对于直线
4
y
x
=
+ ，令
0
x =
，则
4
y =
；令
0
y =
，则
4
x = −；∴
(
)
4 0
A −，，(
)
0 4
C
，，把
(
)
4 0
A −，，
(
)
0 4
C
，代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 得：
16
4
0
4
b
c
c
−
−
+
=
=
，
解得
3
4
b
c
−
=
=
，
2
3
4
y
x
x
= −
−
+
；
（2）解：过P 作PK
y
∥
轴交AC 于K ，如图：
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在
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
中，对称轴为直线
3
3
2
2
x
−
= −
= −
−
，
当
3
2
x = −
时，
3
5
4
2
2
y
−
=
+
=
，
3 5
,
2 2
D
−
，
设
2
( ,
3
4)
P m
m
m
−
−
+
，则
( ,
4)
K m m +
，
2
2
3
4
(
4)
4
PK
m
m
m
m
m
= −
−
+
−
+
= −
−
，
∴
(
)
(
)
2
Δ
1
5
4
2
4
AED
D
A
S
PK
x
x
m
m
=
−
=
−
−
(
)
(
)
2
2
5
5
4
4
4
2
5
4
4
m
m
m
= −
+
+ −
= −
+
+ ，
5
0
4
−
，
当
2
m = −时，
AED
S
取最大值为5；
∴PAD
面积的最大值为5；
（3）解：∵
(
)
4 0
A −，，对称轴为直线
3
2
x = −
，
设
(
)
2
,
3
4
N t
t
t
−
−
+
，
当
90
ANM
=
，AN
MN
=
，过点N 作x 轴的平行线交对称轴于点F ，过点A 作y 轴的平行线交NF 于点E ，
如图，
∴
90
ANE
FNM
NMF
=
−
=
，
∴
(
)
AAS
ANE
NMF
≌
，
∴AE
NF
=
，EN
FM
=
，
∴
2
4
3
2
3
F
N
A
t
E
N
t
F
x
x
t
=
=
−
−
−
−
= −
+
=
，
整理得
2
11
2
0
2
t
t
+
−
=
，
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解得
2
26
2
t
−
=
，
∴点N 坐标为
2
26
1
26
,
2
2
−−
−+
或
2
26
1
26
,
2
2
−+
−−
；
当
90
MAN
=
，AM
AN
=
，过点N 作x 轴的垂线交x 轴于点F ，对称轴直线
3
2
x = −
交x 轴于点E ，如图，
同理
AME
NAF
≌
△
△
，则AE
NF
=
，即
2
4
3
2
3
4
t
t
−
=
−
+
+
−
，
整理得
2
3
3
0
2
t
t
+
−
=
，
解得
3
15
2
t
−
=
，
∴点N 坐标为
3
26 5
,
2
2
−+
或
3
26 5
,
2
2
−−
；
综上，点N 坐标为
3
26 5
,
2
2
−+
或
3
26 5
,
2
2
−−
或
2
26
1
26
,
2
2
−−
−+
或
2
26
1
26
,
2
2
−+
−−
．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解
题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
变式6-2 （25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与直线
2
y
x
=
−
交于点
(
)
0, 2
A
−
和点
(
)
4,
B
n ，对称轴是直线
1
x = ，过B 平行于x 轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M 是抛物
线上任意一点，其横坐标是m．
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(1)求抛物线的函数关系式；
(2)当点M 在直线AB 上方时，若
1
2
ABM
ABC
S
S
=
△
△
，求m 的值；
(3)设N 是直线BC 上的点，是否存在点M 和点N 的位置，使AMN
是以AN 为斜边的等腰直角三角形？若
存在，请求所有m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
2
2
y
x
x
=
−
−
(2)2
10
+
或2
10
−
(3)存在，
1
2 2
m =
，
2
2 2
m = −
，
3
2
2 3
m =
+
，
4
2
2 3
m =
−
．
【分析】（1）先求出点B 的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）在A 点上方的y 轴取点D，连接BD，求出使得
6
ABD
S
=
△
的点D 的坐标，求出过点D 且平行AB 的直
线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m 即可；
（3）作ME
BC
⊥
于点E，AF
ME
⊥
于点F，根据题意可知当AF
ME
=
，
90
AMN
=
时，AMN
是以AN
为斜边的等腰直角三角形，从而根据AF
ME
=
列出m 的方程求解即可．
【详解】（1）解：将
(4, )
B
n 代入
2
y
x
=
−
得，4
2
n
=
−
解得：
2
n =
∴点B 坐标为(4,2)
由题意，
16
4
2
1
2
2
a
b
c
b
a
c
+
+
=
−
=
= −
，
解得，
1
2
1
2
a
b
c
=
= −
= −
，
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∴抛物线的函数关系式是
2
1
2
2
y
x
x
=
−
−．
（2）当
0
x =
时，
2
1
2
2
2
y
x
x
=
−−
= −，
∴
(
)
0, 2
A
−
，
∵点B 坐标为(4,2)，抛物线对称轴为直线
1
x = ，
∴点C 坐标为( 2,2)
−
，
6
BC
=
1
1
6 4
12
2
2
ABC
B
A
S
BC y
y
=
−
=
=
由题意，
1
6
2
ABM
ABC
S
S
=
=
在A 点上方的y 轴取点D，连接BD，设
6
ABD
S
=
△
，则1
6
2
B
AD x
=
，即1
4
6
2 AD
=
，
解得
3
AD = ，
(0,1)
D
过点D 作AB 的平行线交抛物线于点M，
由题意，该直线函数关系式为
1
y
x
=
+
令
2
1
2
1
2 x
x
x
−
−
=
+
解得，
1
2
10
x =
+
，
2
2
10
x =
−
2
10
m
=
+
或2
10
−
（3）存在．
1
2 2
m =
，
2
2 2
m = −
，
3
2
2 3
m =
+
，
4
2
2 3
m =
−
．
作ME
BC
⊥
于点E，AF
ME
⊥
于点F
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90
MEN
F
=
=
，
90
NME
MNE
+
=
当AF
ME
=
，
90
AMN
=
时，
90
AMF
NME
+
=
，
AMF
MNE
=
，
EMN
FAM
△
≌△
，
∴AM
MN
=
，
∴当AF
ME
=
，
90
AMN
=
时，AMN
是以AN 为斜边的等腰直角三角形．
2
1
2
2
2
m
m
m
=
−
−
−
，
解得，
1
2 2
m =
，
2
2 2
m = −
，
3
2
2 3
m =
+
，
4
2
2 3
m =
−
．
变式6-3 我们约定：在平面直角坐标系中，对于两条抛物线M 和N ，若这两条抛物线有公共顶点，则称这
两条抛物线互为“同源”抛物线．
(1)下列选项中，与抛物线
2
3(
1)
2
y
x
= −
−
+
互为“同源”抛物线的是___________；
①
2
2
3
y
x
x
=
−
+ ；②
2
2
4
y
x
x
= −
+
；③
3
2
2
y
x
x
=
−
+
(
)(
)
(2)若点
2
2,
12
P k
k
−
−
(
)不在抛物线
2
6
13
M y
x
x
=
−
+
:
上，也不在其任意一条“同源”抛物线上，求出所有符合
题意的P 点坐标；
(3)已知抛物线
2
0
M y
ax
bx
c a
=
+
+
:
(
)及其“同源”抛物线
2
(
1
N y
pax
mx
n p
=
+
+
:
)．若抛物线M ，N 与直
线y
a
=
各有两个公共点，从左到右依次记为点A，B ，C ，D ，且以AB ，BC ，CD为边的三角形是等腰
直角三角形，求p 的值．
【答案】(1)①②
(2)符合题意的点P 坐标为(
)
2,4 ，(
)
6,4
-
，(
)
3,13
(3)
3
2 2
p =
+
【分析】（1）根据题中所给的新定义进行验证即可；
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（2）根据题意易得抛物线
(
)
2
2
:
6
13
3
4
M
y
x
x
x−
=
−
+
=
+
的顶点坐标为(
)
3,4 ，然后可得要使点
2
2,
12
P k
k
−
−
(
)既不在此抛物线上，也不在此抛物线的“同源”抛物线上，则需满足：
2
3
k −
=
且
2
12
4
k −
或
2
12
4
k −
=
且
2
3
k −
，进而求解即可；
（3）由题意可设点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
4
4
,
D x
y
是抛物线
2
0
M y
ax
bx
c a
=
+
+
:
(
)与直线y
a
=
的交点，则点(
)
2
2
,
B x
y
，
(
)
3
3
,
C x
y
是抛物线
2
(
1
N y
pax
mx
n p
=
+
+
:
)与直线y
a
=
的交点，然后根据一元二次方程根与系数的关系可
得
1
4
1 4
,
b
c
a
x
x
x x
a
a
−
+
= −
=
，
2
3
2
3
,
m
n
a
x
x
x x
pa
pa
−
+
= −
=
，则根据等腰直角三角形的性质及抛物线的对称性可
知
2
2
BC
AB
CD
=
=
，进而可得
(
)
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
1
b
c
a
m
n
a
a
a
p a
pa
−
−
−
=
+
−
，最后化简即可．
【详解】（1）解：由抛物线
2
3(
1)
2
y
x
= −
−
+
可知：顶点坐标为(
)
1,2 ，根据“同源”抛物线的定义逐一验证：
①由
(
)
2
2
2
3
1
2
y
x
x
x−
=
−
+
=
+
可知：顶点坐标为(
)
1,2 ，是抛物线
2
3(
1)
2
y
x
= −
−
+
的“同源”抛物线；
②由
(
)
2
2
2
4
2
1
2
y
x
x
x
−
−
−
=
+
=
+
可知：顶点坐标为(
)
1,2 ，是抛物线
2
3(
1)
2
y
x
= −
−
+
的“同源”抛物线；
③由
(
)(
)
(
)
2
2
3
2
2
2
4
6
2
1
8
y
x
x
x
x
x
−
−
−
=
+
=
−
=
−可知：顶点坐标为(
)
1, 8
−
，不是抛物线
2
3(
1)
2
y
x
= −
−
+
的
“同源”抛物线；
（2）解：由抛物线
(
)
2
2
:
6
13
3
4
M
y
x
x
x−
=
−
+
=
+
可知：顶点坐标为(
)
3,4 ，则与此抛物线的“同源”抛物线
的顶点坐标也为(
)
3,4 ，
∴要使点
2
2,
12
P k
k
−
−
(
)既不在此抛物线上，也不在此抛物线的“同源”抛物线上，则需满足：
2
3
k −
=
且
2
12
4
k −
或
2
12
4
k −
=
且
2
3
k −
，
解得：
5
k =
或
4
k = ，
当
5
k =
时，点(
)
3,13
P
；当
4
k =
时，点
(
)
2,4
P
；当
4
k = −时，点(
)
6,4
P −
；
综上所述：符合题意的点P 坐标为(
)
2,4 ，(
)
6,4
−
，(
)
3,13 ；
（3）解：由题意可知：抛物线M，N 顶点坐标相同，对称轴相同，且
1
p＞，
∴a
pa
＜
，即抛物线N 比抛物线M 的开口窄，
设点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
4
4
,
D x
y
是抛物线
2
0
M y
ax
bx
c a
=
+
+
:
(
)与直线y
a
=
的交点，则点(
)
2
2
,
B x
y
，(
)
3
3
,
C x
y
是
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抛物线
2
(
1
N y
pax
mx
n p
=
+
+
:
)与直线y
a
=
的交点，
∴联立抛物线
2
0
M y
ax
bx
c a
=
+
+
:
(
)与直线y
a
=
，消去y 得：
2
0
ax
bx
c
a
+
+
−
= ，
∴
(
)
2
2
2
Δ
4
4
4
0
b
a c
a
b
ac
a
−
=
−
=
−
+
，且
1
4
,
x x 是该方程的两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
1
4
1 4
,
b
c
a
x
x
x x
a
a
−
+
= −
=
，
同理可得：
2
3
2
3
,
m
n
a
x
x
x x
pa
pa
−
+
= −
=
，
∴
(
)
2
2
4
1
1
4
1
4
2
4
4
4
b
c
a
AD
x
x
x
x
x x
a
a
−
=
−
=
+
−
=
−
，
(
)
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
4
4
4
m
n
a
BC
x
x
x
x
x x
p a
pa
−
=
−
=
+
−
=
−
，
∵抛物线M ，N 是“同源”抛物线，且抛物线M 的顶点坐标为
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
−
−
，抛物线N 的顶点坐标为
2
4
,
2
4
m
pan
m
pa
pa
−
−
，
∴
2
2
4
4
4
4
ac
b
pan
m
a
pa
−
−
=
，
∴
2
2
4
4
pan
m
pac
pb
=
+
−
，
∵以AB ，BC ，CD为边的三角形是等腰直角三角形，且抛物线M ，N 是“同源”抛物线，即抛物线M ，N
的对称轴都为直线
2
b
x
a
= −
，
∴
2
2
BC
AB
CD
=
=
，
∴
(
)
2
2
AD
AB
CD
BC
AB
=
+
+
=
+
，
∴
(
)
2
1
AD
BC
=
+
，即
(
)
2
2
2
2
1
AD
BC
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
1
b
c
a
m
n
a
a
a
p a
pa
−
−
−
=
+
−
，
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
3
2 2
b
ac
a
m
pan
pa
a
p a
−
+
−
+
=
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
3
2 2
m
m
pac
pb
pa
b
ac
a
a
p a
−
−
+
+
−
+
=
+
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(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
3
2 2
b
ac
a
pb
pac
pa
a
p a
−
+
−
+
=
+
(
)
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
3
2 2
b
ac
a
b
ac
a
a
pa
−
+
−
+
=
+
，
∵
2
2
2
4
4
0,
0
b
ac
a
a
−
+
，
∴
3
2 2
p =
+
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
23．如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫做这个
三角形的“智汇中线”．
(1)请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“”）
①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”．
②直角三角形若是“智汇三角形”，那么“智汇中线”一定是较长直角边上的中线．
(2)如图1，ABC
中，
90
ACB
=
，
7
AB =
，
3
BC =
，求证：ABC
是“智汇三角形”．
(3)如图2，点M ，N 在抛物线
2
2
y
x
=
上，且MN
x
轴，若
OMN
△
是“智汇三角形”，求
OMN
△
的“智汇中
线”的长．
【答案】(1)①×；②√
(2)证明见解析
(3)2 或10
3
【分析】（1）根据“智汇三角形”的定义判断即可；
（2）由勾股定理得
2
2
2
AC
AB
BC
=
−
=
，AC
BC
，作AC 边上的中线BD，可得
1
1
2
CD
AC
=
= ，利用勾
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股定理得
2
2
2
BD
BC
CD
=
+
=
，即可得出结论；
（3）作OM 的中线NP ，过点N 作NE
x
⊥
轴于E ，过点P 作PF
NE
⊥
于F ，设点
(
)
2
,2
M
a
a
−
，(
)
2
,2
N a
a
，
根据“智汇三角形”的定义分类讨论即可．
【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，
斜边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”，
BD
BC
，BC
AC
=
，
等腰直角三角形直角边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”，
等腰直角三角形一定不是“智汇三角形”．
故答案为：；
②直角三角形斜边上的中线是斜边的一半
斜边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”，
较短直角边上的中线大于较长直角边，
较短直角边上的中线大于较短直角边，
较短直角边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”，
“智汇中线”一定是较长直角边上的中线，
故答案为：；
（2）解：
ABC
中，
90
ACB
=
，
7
AB =
，
3
BC =
，
2
2
2
AC
AB
BC
=
−
= ，AC
BC
，
如图，作AC 的中线BD，
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1
1
2
CD
AC
=
= ，
2
2
2
BD
BC
CD
=
+
=
，
AC
BD
=
，
ABC
是“智汇三角形”；
（3）解：如图，作OM 的中线NP ，过点N 作NE
x
⊥
轴于E ，过点P 作PF
NE
⊥
于F ，
设点
(
)
2
,2
M
a
a
−
，
(
)
2
,2
N a
a
，
M
，N 在抛物线
2
2
y
x
=
上，且MN
x
轴，
OMN
为等腰三角形，
①若边MN 上的中线OH
MN
=
时，即
2
2
2
a
a
=
，
解得：
1
a = ，
0
a =
（舍去），
“智汇中线”
2
OH =
；
②若边OM 上的中线PN
OM
=
时，
点
(
)
2
,2
M
a
a
−
，
(
)
2
,2
N a
a
，
2
2
4
4
OM
a
a
=
+
，
2
,
2
a
P
a
−
，
(
)
2
2
2
2
2
2
4
9
2
2
4
a
PN
a
a
a
a
a
= −
−
+
−
=
+
，
PN
OM
=
，
2
4
2
4
9
4
4
a
a
a
a
+
=
+
，
解得：
2
5
12
a =
（0 舍去），
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2
2
4
9
10
4
9
PN
a
a
=
+
=
，
∴“智汇中线”
10
3
PN =
，
综上，“智汇中线”的长为2 或10
3
．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
(3,0)
A
B
−
、
两点（点A在点B 的左
侧），与y 轴交于点C ，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P ，使得POB
是以OB 为底的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存
在，请说明理由；
(3)连接AC ，把抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 沿射线AC 方向平移5 个单位得新抛物线
,
y M
是新抛物线上一点，
N 是新抛物线对称轴上一点，当以M
N
B
C
、、、
为顶点的四边形是平行四边形时，求出N 点的坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)在抛物线上存在点P， 使得POB
是以OB 为底的等腰三角形，P 点坐标为3 15
,
2 4
(3)N 点的坐标为
2
2 4
7 2
,
2
2
N
+
−
或2
2
16
3 2
,
2
2
+
−
+
或2
2
4
3 2
,
2
2
+
−+
【分析】（1）用待定系数法直接求二次函数解析式即可．
（2）过点P 作PD
x
⊥
轴于点D，利用等腰三角的性质得出OD
BD
=
，进而求出点P 的横坐标，然后代入
二次函数解析式即可求出点P 的纵坐标．
（3）利用平移的性质得出y的解析式，设
2
2 ,
2
N
y
+
，
(
)
2
5
2
,
2
2
2
M m
m
m
+
−
+
+
+
，并分三种情况：
当①MN ，BC 为平行四边形的对角线时，②当MB ，NC 为平行四边形的对角线时，③当MC ，BN 为平
行四边形的对角线时，按照平行线分线段成比例列出等式，分别求出点N 的坐标即可．
【详解】（1）解：将
(
)
1,0
(3,0)
A
B
−
、
代入抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
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得∶
1
0
9
3
0
b
c
b
c
−
−
+
=
−+
+
=
，
解得：
2
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的函数表达式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ．
（2）存在点P，使得POB
是以OB 为底的等腰三角形，理由如下∶
如图，当PO
PB
=
时，过点P 作PD
x
⊥
轴于点D，则OD
BD
=
．
∵
(3,0)
B
，
∴
3
OB =
∴
3
2
OD =
，即P 点横坐标为3
2 ，
当
3
2
x =
时，
2
3
3
15
2
3
2
2
4
y
= −
+
+
=
，
∴P 点坐标为3 15
,
2
4
∴在抛物线上存在点P， 使得POB
是以OB 为底的等腰三角形，P 点坐标为3 15
,
2
4
．
（3）令
0
x =
，则
3
y =
，
∴
(
)
0,3
C
．
∵
(
)
1,0
A −
，
∴抛物线沿x 轴正方向平移的距离与沿y 轴正方向平移的距离之比为1:3 ．
∵抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 沿射线AC 方向平移5 个单位长度，
∴抛物线沿x 轴正方向平移
2
2 个单位长度，沿y 轴正方向平移3 2
2
个单位长度，
∴
2
2
3 2
1
4
2
2
y
x
= −
−−
+
+
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2
2
2
8
3 2
2
2
x
+
+
= −
−
+
(
)
2
5
2
2
2
2
x
x
+
= −
+
+
+
∴新抛物线的对称轴为直线：
2
2
2
x
+
=
，
设
2
2 ,
2
N
y
+
，
(
)
2
5
2
,
2
2
2
M m
m
m
+
−
+
+
+
，
①当MN ，BC 为平行四边形的对角线时，
(
)
2
2
2
3
2
5
2
2
2
3
2
m
y
m
m
+
+
=
+
−
+
+
+
=
解得：
4
2
2
4
7 2
2
m
y
−
=
−
=
，
∴
2
2 4
7 2
,
2
2
N
+
−
．
②当MB ，NC 为平行四边形的对角线时，
(
)
2
2
2
3
2
5
2
2
2
y
3
2
m
m
m
+
+
=
+
−
+
+
+
=
+
解得：
2
4
2
16
3 2
2
m
y
−
=
−
+
=
∴
2
2
16
3 2
,
2
2
N
+
−
+
③当MC ，BN 为平行四边形的对角线时，
(
)
2
2
2
3
2
5
2
2
2
3
y
2
m
m
m
+
=
+
+
−
+
+
+
+
=
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解得：
8
2
2
4
3 2
2
m
y
+
=
−+
=
∴
2
2
4
3 2
,
2
2
N
+
−+
综上所述，N 点的坐标为
2
2 4
7 2
,
2
2
N
+
−
或2
2
16
3 2
,
2
2
+
−
+
或2
2
4
3 2
,
2
2
+
−+
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰三
角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例， 具有较强的综合性，熟练掌握二次函数的图象与性质、
灵活运用知识结合的思想是解题的关键．
25．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
的对称轴是直线
1
x = ，拋物线与x 轴分别交于
点A、B，与y 轴交于点C，点A 的坐标是( 2,0)
−
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1 所示，P 是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接CD、CP 、PB．求
四边形PCDB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；
(3)如图2 所示，在（2）的条件下，点M 是直线BC 上一点，当POM
是以OP 为腰的等腰三角形时，请直
接写出点M 的坐标．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
(2)P 点的坐标是(2,4)
(3)
1(4,0)
M
，
2( 2,6)
M
−
，
3(2
6,2
6)
M
−
+
，
4(2
6,2
6)
M
+
−
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作直线BC ，过点P 作
∥
PK
y 轴，交BC 于点K，求出直线BC 解析式，设P 的坐标为
2
1
,
4
2
t
t
t
−
+ +
，
则点K 的坐标是(
)
,
4
t
t
−+
，
2
1
2
2
PK
t
t
= −
+
，表示出四边形PCDB 的面积，然后利用二次函数的性质即可求
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解；
（3）分OP
OM
=
和OP
PM
=
两种情况求解即可．
【详解】（1）∵对称轴为直线
1
x = ，点A 的坐标是(
)
2 0
−，，则B 的坐标是(
)
4 0
，，
则
4
2
4
0
16
4
4
0
a
b
a
b
−
+
=
+
+
=
，
解得
1
2
1
a
b
= −
=
，
∴抛物线解析式为
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
；
（2）如图，作直线BC ，过点P 作
∥
PK
y 轴，交BC 于点K，
∵对称轴为直线
1
2
b
x
a
−
=
= ，
∴点D 的坐标是(
)
1 0
，，
当
0
x =
时，
4
y =
，
∴点
(
)
0 4
C
，，直线BC 解析式为
4
y
kx
=
+
，
则4
4
0
k +
=
，
∴
1
k = −，
∴
4
y
x
−
=
+
，
设P 的坐标为
2
1
,
4
2
t
t
t
−
+ +
，则点K 的坐标是(
)
,
4
t
t
−+
，
∴
(
)
2
2
1
1
4
4
2
2
2
PK
t
t
t
t
t
= −
+ + −−+
= −
+
，
∴
2
1
|
|
4
2
PCB
B
c
S
x
x
PK
t
t
=
−
= −
+
，
则
1
6
2
BCD
S
OC BD
=
=
，
则
(
)
2
2
4
6
2
10
PCB
BCD
PCDB
S
S
S
t
t
t
=
+
= −
+
+
= −
−
+
四边形
，
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∴当
2
t =
时，
PCDB
S四边形
有最大值10，此时P 点的坐标是(
)
2 4
，；
（3）设点
(
)
,
4
M x
x
−+
，
由点O、P、M 的坐标得，
2
20
OP =
，
(
)
2
2
2
4
OM
x
x
=
+
−
，
(
)
2
2
2
2
PM
x
x
=
−
+
，
当OP
OM
=
时，即
(
)
2
2
20
4
x
x
=
+
−
，
解得：
2
6
x =
；
即点
(
)
2
6,2
6
M
−
+
或(
)
2
6,2
6
+
−
；
当OP
PM
=
时，则(
)
2
2
2
20
x
x
−
+
=
，
解得：
4
x = 或2
−，
则点
(
)
4 0
M
，或(
)
2 6
−，．
综上，点M 的坐标为(
)
2
6,2
6
−
+
或(
)
2
6,2
6
+
−
或(
)
4 0
，或(
)
2 6
−，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面
积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键．
26．如图，已知抛物线
(
)
2
y
ax
bx
c a
0
=
+
+
的对称轴为
1
x = −，且抛物线经过
(
)
(
)
1,0 ,
0, 3
A
C
−
，
(1)若直线y
mx
n
=
+
经过B
C
、
两点，求直线BC 所在直线的解析式；
(2)抛物线的对称轴
1
x = −上找一点M ，使点M 到点A的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐
标；
(3)在抛物线的对称轴
1
x = −上的是否存在点N ，使BNC
为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点P 的
坐标？若不存在，请说明理由．
(4)在抛物线的对称轴
1
x = −上的是否存在点P ，使BPC
为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点P 的
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坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
3
y
x
= −−
(2)
(
)
1, 2
M −−
(3)
存在，点N 的坐标为
17
3
1,
2
−
−
或
17
3
1,
2
−
−
−
或(
)
1,2
−
或(
)
1, 4
−−
(4)
存在，点P 的坐标为(
)
1, 1
−
−
或(
)
1, 17
3
−
−
或(
)
1,
17
3
−−
−
或(
)
1,
14
−−
或(
)
1, 14
−
【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过
(
)
(
)
1,0 ,
0, 3
A
C
−
，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到
(
)
3,0
B −
，再运用待定系数法得到一次函数解析式；
（2）根据题意，点A 关于
1
x = −的对称点为点B，当点
,
,
B M C 三点共线时点M 到点A的距离与到点C 的
距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解；
（3）设
(
)
1,
N
n
−
，运用两点之间距离公式得到
2
2
2
2
2
18,
4
,
6
10
BC
BN
n CN
n
n
=
=
+
=
+
+
，结合勾股定理列式
求解即可；
（4）设
(
)
1,
P
p
−
，运用两点之间距离公式得到
2
2
2
2
2
18,
4
,
6
10
BC
BP
p CP
p
p
=
=
+
=
+
+
，根据等腰三角形
的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可．
【详解】（1）解：抛物线
(
)
2
y
ax
bx
c a
0
=
+
+
的对称轴为
1
x = −，且抛物线经过
(
)
(
)
1,0 ,
0, 3
A
C
−
，
∴
1
2
0
3
b
a
a
b
c
c
−
= −
+
+
=
= −
，
解得，
1
2
3
a
b
c
=
=
= −
，
∴抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
=
+
−，
当
0
y =
时，
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，
解得，
1
2
1,
3
x
x
=
= −，
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∴
(
)
3,0
B −
，
∵直线y
mx
n
=
+
经过B
C
、
两点，
∴
3
0
3
m
n
n
−
+
=
= −
，
解得
1
3
m
n
= −
= −
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
= −−
；
（2）解：点A 关于
1
x = −的对称点为点B，如图所示，
∴MA
MB
=
，
∴MA
MC
MB
MC
BC
+
=
+
，
当点
,
,
B M C 三点共线时，取等号，
∴当
1
x = −时，在直线BC 上得，
(
)
1
3
2
y = −−
−
= −，
∴
(
)
1, 2
M −−
；
（3）解：如图所示，设
(
)
1,
N
n
−
，已知
(
)
(
)
3,0 ,
0, 3
B
C
−
−
，
当BCN
是以
BNC
为直角的直角三角形时，
2
2
2
BC
BN
CN
=
+
，
∵
(
)
(
)
2
2
2
3
0
0
3
18
BC = −−
+
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
3 1
0
4
BN
n
n
= −+
+
−
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
1 0
3
6
10
CN
n
n
n
= −−
+
+
=
+
+
，
∴
2
2
18
4
6
10
n
n
n
=
+
+
+
+
，
整理得，
2
3
2
0
n
n
+
−
=
，
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解得：
1
2
17
3
17
3
,
2
2
n
n
−
−
−
=
=
，
∴
1
17
3
1,
2
N
−
−
，
2
17
3
1,
2
N
−
−
−
；
当BCN
是以
NBC
为直角的直角三角形时，
2
2
2
CN
BN
BC
=
+
，
∴
2
2
6
10
4
18
n
n
n
+
+
=
+
+
，
整理得，6
12
n =
，
解得：
2
n =
，
∴
(
)
1,2
N −
；
当BCN
是以
BCN
为直角的直角三角形时，
2
2
2
BN
CN
BC
=
+
，
∴
2
2
4
6
10 18
n
n
n
+
=
+
+
+
，
整理得，6
24
n = −
，
解得：
4
n = −，
∴
(
)
1, 4
N −−
；
综上，点N 的坐标为
17
3
1,
2
−
−
或
17
3
1,
2
−
−
−
或(
)
1,2
−
或(
)
1, 4
−−
；
（4）解：设
(
)
1,
P
p
−
，已知
(
)
(
)
3,0 ,
0, 3
B
C
−
−
，
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∴
2
18
BC =
，
2
2
4
BP
p
=
+
，
2
2
6
10
CP
p
p
=
+
+
，
当BCP
是以
BPC
为顶角的等腰三角形时，BP
CP
=
，则
2
2
BP
CP
=
，
∴
2
2
4
6
10
p
p
p
+
=
+
+
，
解得：
1
p = −，
∴
(
)
1, 1
P −
−
；
当BCP
是以
BCP
为顶角的等腰三角形时，BC
CP
=
，则
2
2
BC
CP
=
，
∴
2
18
6
10
p
p
=
+
+
，
整理得，
2
6
8
0
p
p
+
−=
，
解得：
1
2
17
3,
17
3
p
p
=
−
= −
−，
∴(
)
1, 17
3
P −
−
或(
)
1,
17
3
P −−
−
；
当BCP
是以
PBC
为顶角的等腰三角形时，BP
BC
=
，则
2
2
BP
BC
=
，
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∴
2
4
18
p
+
=
，
解得：
14
p =
，
∴(
)
1,
14
P −−
或(
)
1, 14
P −
；
综上，点P 的坐标为(
)
1, 1
−
−
或(
)
1, 17
3
−
−
或(
)
1,
17
3
−−
−
或(
)
1,
14
−−
或(
)
1, 14
−
．
27．已知二次函数
(
)
2 2
2
3
m
y
m
x
m
−
=
+
+
+ ．
(1)求m 的值．
(2)当x 为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x 如何取值时，y 随x 的增大而减小？
(3)若将此二次函数的图象向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，直接写出平移后新抛物线的
顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q 与原抛物线的顶点P 及原点O 为顶点的三角
形是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m 的值为2
(2)当x 为0 时，此二次函数有最小值5，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
(3)新抛物线的顶点坐标为(
)
3,4
−
，存在，点Q 的坐标为(
)
3,1
−
或(
)
3,9
−
或
5
3, 2
−
或(
)
3,4
−
或(
)
3, 4
−
−
【分析】（1）由二次函数定义可知，x 的指数
2
2
m −
必须等于 2，且二次项系数
2
0
m+
，由此解出 m 的
值．
（2）将
2
m =
代入函数解析式得
2
4
5
y
x
=
+ ，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、
最小值及增减性．
（3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为(
)
3,4
−
，设
(
)
3,
Q
q
−
，分别讨论OP
PQ
=
、OQ
PQ
=
、
OP
OQ
=
三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 q 值，即可得到所有满足条件的点Q 的坐标．
【详解】（1）解：根据题意得，
2
0
m+
且
2
2
2
m −
=
，
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解得
2
m =
，
所以m 的值为 2；
（2）解：∵m 的值为 2，
∴
(
)
2 2
2
2
3
4
5
m
y
m
x
m
x
−
=
+
+
+
=
+ ，
∴二次函数的顶点坐标为(
)
0,5 ，
∵4
0
，
∴当
0
x =
时，此二次函数有最小值 5，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小；
（3）解：∵
2
4
5
y
x
=
+ ，顶点坐标为
(
)
0,5
P
，
∴将此二次函数的图象向左平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，
平移后新抛物线的顶点坐标为(
)
3,4
−
，对称轴为直线
3
x = −，
设
(
)
3,
Q
q
−
，
则
2
25
25,
OP =
=
2
2
2
3
(
5) ,
PQ
q
=
+
−
2
2
2
3
OQ
q
=
+
．
① 当OP
PQ
=
时，
2
2
3
(
5)
25
q
+
−
=
，解得
1
q = 或 9，
∴ 点Q 的坐标为(
)
3,1
−
或(
)
3,9
−
；
②当OQ
PQ
=
时，
2
2
2
2
3
3
(
5)
q
q
+
=
+
−
，解得
5
2
q =
，
∴点Q 的坐标为
5
3, 2
−
；
③ 当OP
OQ
=
时，
2
2
3
25
q
+
=
，解得
4
q =
或4
−，
∴点Q 的坐标为(
)
3,4
−
或(
)
3, 4
−
−
．
综上，点Q 的坐标为(
)
3,1
−
或(
)
3,9
−
或
5
3, 2
−
或(
)
3,4
−
或(
)
3, 4
−
−
．
28．如图①，抛物线
2
3
4
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点A 和点
( 1,0)
C −
，与y 轴交于点
(0,3)
B
．连接AB ，BC ，
P 是抛物线上第一象限内的一个动点，设
(
)
,
P
P
P x
y
，过点P 作PD
x
⊥
轴于点D，交AB 于点E，作PF
PD
⊥
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于点P，使
1
2
PF
OA
=
且点F 在PD左侧，以PE，PF 为邻边作矩形PEGF ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点F 落在抛物线上时，则
P
x =________；
(3)当矩形PEGF 的面积是BOC
的面积的3 倍时，求点P 的坐标；
(4)如图②，当点P 运动到抛物线的顶点时，点Q 在直线PD上，若以点Q，A，B 为顶点的三角形是锐角三
角形，请直接写出点Q 纵坐标n 的取值范围．
【答案】(1)
2
3
9
3
4
4
y
x
x
= −
+
+
(2) 5
2
(3)
9
1, 2
或(
)
3,3
(4) 10
3
6
3
2
n
−
−
或3
6
5
2
n
+
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）求出
(
)
4,0
A
，即
4
OA =
，由题意可知
(
)
2,
P
P
F x
y
−
，根据点F 落在抛物线上，P 是抛物线上第一象限
内的一个动点得到
(
)
(
)
2
3
9
2
2
3
4
4
P
P
P
y
x
x
−
=
−
+
−
+ ，
2
3
9
3
4
4
P
P
P
y
x
x
−
=
+
+ ，求解即可；
（3）先求出BOC
的面积，进而得到矩形PEGF 的面积，设直线AB 的解析式为y
kx
b
=
+
，求出直线AB 的
解析式，进而得到E 点坐标，可知
2
3
3
4
P
P
PE
x
x
−
=
+
，进而得到矩形PEGF 的面积
2
2
3
3
9
2
3
6
4
2
2
P
P
P
P
PF PE
x
x
x
x
−
=
=
−
+
=
+
=
，求解即可；
（4）分三种情况根据勾股定理结合函数图象求出n 的取值范围，取公共部分即可．
【详解】（1）解：已知抛物线
2
3
4
y
x
bx
c
−
=
+
+ 过点
( 1,0)
C −
和
(0,3)
B
，
小学
初中
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∴
(
)
(
)
2
3
1
1
0
4
3
b
c
c
−
−
+ −
+
=
=
，
解得：
9
4
3
b
c
=
=
，
∴抛物线解析式为：
2
3
9
3
4
4
y
x
x
= −
+
+ ；
（2）解：解
2
3
9
3
0
4
4
y
x
x
−
=
+
+
=
得
1
2
1,
4
x
x
−
=
=
，
∴
(
)
4,0
A
，即
4
OA =
，
∵
(
)
,
P
P
P x
y
，
1
2
2
PF
OA
=
=
，点F 在PD左侧，PF
PD
⊥
，
∴
(
)
2,
P
P
F x
y
−
，
∵点F 落在抛物线上，
∴
(
)
(
)
2
2
3
9
3
9
2
2
3
3
4
4
4
4
P
P
P
P
P
y
x
x
x
x
−
−
=
−
+
−
+ =
+
+ ，
∵P 是抛物线上第一象限内的一个动点，
∴
(
)
(
)
2
2
3
9
3
9
2
2
3
3
4
4
4
4
P
P
P
P
x
x
x
x
−
−
−
+
−
+ =
+
+ ，
解得：
5
2
Px =
；
（3）解：∵
( 1,0)
C −
，
(0,3)
B
，
∴
1,
3
OC
OB
=
=
，
∴
1
1
3
1 3
2
2
2
BOC
S
OC OB
=
=
=
，
∵矩形PEGF 的面积是BOC
面积的3 倍，
∴矩形PEGF 的面积为
3
9
3
2
2
=
，
设直线AB 的解析式为y
kx
b
=
+
，
将
(
)
4,0
A
、
(0,3)
B
代入得
0
4
3
k
b
b
=
+
=
，
解得：
3
4
3
k
b
= −
=
，
即直线AB 的解析式为
3
3
4
y
x
= −
+
，
∵
(
)
,
P
P
P x
y
，PD
x
⊥
轴于点D，交AB 于点E，
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∴
3
,
3
4
P
P
E x
x
−
+
，
∴
2
2
3
9
3
3
3
3
3
4
4
4
4
P
E
P
P
P
P
P
PE
y
y
x
x
x
x
x
−
=
−
= −
+
+
−−
+
=
+
，
∴矩形PEGF 的面积
2
2
3
3
9
2
3
6
4
2
2
P
P
P
P
PF PE
x
x
x
x
−
=
=
−
+
=
+
=
，
整理得
2
4
3
0
P
P
x
x
−
+
=
，
解得：
1
Px = 或
3
Px =
，
对应得
9
2
P
y =
或
3
P
y = ，
∴点P 的坐标为
9
1, 2
或(
)
3,3 ；
（4）解：抛物线顶点P 的横坐标为
9
3
4
3
2
2
4
x = −
=
−
，
∴
3 ,
2
Q
n
，
∵
(
)
4,0
A
，
(0,3)
B
，
∴
2
2
2
(4
0)
(0 3)
25
AB =
−
+
−
=
，
2
2
2
2
3
25
4
(0
)
2
4
AQ
n
n
−
=
−
+
=
+
，
2
2
2
2
3
45
0
(3
)
6
2
4
BQ
n
n
n
−
=
−
+
=
−
+
，
当
BAQ
为直角时，如图：
此时
2
2
2
BQ
AB
AQ
=
+
，即
2
2
45
25
6
25
4
4
n
n
n
−
+
=
+
+
，
解得：
10
3
n = −
，
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根据图象可知，当
BAQ
为锐角时，
10
3
n −
；
当
ABQ
为直角时，如图：
此时
2
2
2
AQ
AB
BQ
=
+
，即
2
2
25
45
25
6
4
4
n
n
n
+
=
+
−
+
，
解得：
5
n = ，
根据图象可知，当
ABQ
为锐角时，
5
n
；
当
BQA
为直角时，如图：
此时
2
2
2
AB
AQ
BQ
=
+
，即
2
2
25
45
25
6
4
4
n
n
n
=
+
+
−
+
，
解得：
1
2
3
3
6,
6
2
2
n
n
=
−
=
+
，
根据图象可知，当
BQA
为锐角时，
3
6
2
n
−
或
3
6
2
n
+
；
综上所述，若以点Q，A，B 为顶点的三角形是锐角三角形，则10
3
6
3
2
n
−
−
或3
6
5
2
n
+
．
29．如图，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
、
(
)
3,0
B
，顶点为M ．
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(1)求抛物线的解析式和点M 的坐标；
(2)点E 是第一象限内抛物线上的一个动点，设
BEC
的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以A、P 、C 为顶点的三角形是直角三角形，且AC 为斜边？
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
(1,4)
M
(2)
27
8
S
=
最大
，
3 15
,
2
4
E
(3)
(
)
1,1
P
或
(
)
1,2
P
【分析】（1）将点A、B 的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值即可；利用配
方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M 的坐标；
（2）利用待定系数法确定直线BC 解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F 的坐标，然后根据两点
间的距离公式求得EF 长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E 的横坐
标，易得其纵坐标，则点E 的坐标可得；
（3）利用两点之间的距离公式得出
2
AC ，
2
AP ，
2
CP ，利用勾股定理得出
2
2
2
AP
CP
AC
+
=
，解出n 的值，进
而可求出点P 的坐标．
【详解】（1）解：抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于点( 1,0)
A −
、
(3,0)
B
，
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−
+
=
+
+
=
．
解得
1
2
a
b
−
=
=
．
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
= −
+
+ = −
−
+ ，则
(1,4)
M
；
（2）解：当
0
x =
时，则
3
y =
，
∴
(
)
0,3
C
，
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如图，作EF
y
∥轴交BC 于点F ，
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
设直线BC 的解析式为：y
kx
b
=
+
，
则
0
3
3
k
b
b
=
+
=
，
解得
1
3
k
b
−
=
=
，
∴直线BC 的解析式为：
3
y
x
= −+
，
设(
)
2
,
2
3
E m
m
m
−
+
+
，则
(
)
,
3
F m
m
−
+
，
(
) (
)
2
2
2
3
3
3
EF
m
m
m
m
m
= −
+
+
−−
+
= −
+
，
(
)
2
2
1
1
3
3
27
3
3
2
2
2
2
8
S
EF OB
m
m
m
=
=
−
+
= −
−
+
，
当
3
2
m =
时，
27
8
S
=
最大
，
此时，点E 的坐标是3 15
,
2
4
；
（3）解：设
(
)
1,
P
n ，
(
)
1,0
A −
、
(
)
0,3
C
，
(
)
(
)
2
2
2
3
0
0 1
10
AC
=
−
+
+
=
，
同理：
2
2
4
AP
n
=
+
，
2
2
2
1 (
3)
6
10
CP
n
n
n
= +
−
=
−
+
，
当AP
CP
⊥
时，
2
2
2
AP
CP
AC
+
=
，即
2
2
4
6
10
10.
n
n
n
+
+
−
+
=
整理得：
2
3
2
0.
n
n
−
+
=
解得
1
n = 或2 ．
当
1
n = 时，则
(
)
1,1
P
，
当
2
n =
时，则
(
)
1,2
P
．
综上：
(
)
1,1
P
或
(
)
1,2
P
．
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30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
1y
x
bx
c
= −
+
+
的图象与x 轴交于点B ，(
)
3,0
A −
，与y 轴交于
点
(
)
0,3
C
．一次函数的图象过点A、C ．
(1)求一次函数和二次函数的解析式；
(2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；
(3)若M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M ，使得以M ，A，C 三点为顶点的三角形是以AM 为腰
的等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AC 的解析式
3
y
x
=
+
；抛物线的解析式
2
2
3
y
x
x
= −
−
+
(2)
3
x
−
或
0
x
(3)存在，点M 坐标为(
)
1, 14
−
或(
)
1,
14
−−
或(
)
1,1
−
【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；
（2）根据函数图象，结合
,
A C 的横坐标，即可求解；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线
1
x = −，设
(
)
1,
M
m
−
，可得
2
2
2
3
3
18
AC =
+
=
，
2
2
4
AM
m
=
+
，
2
2
6
10
CM
m
m
=
−
+
，再分类讨论即可；
【详解】（1）解：设直线AC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
将点
(
)
3, 0
A −
，
(
)
0,3
C
分别代入得：
3
0
3
k
b
b
−
+
=
=
，
解得：
1
3
k
b
=
=
直线AC 的解析式为
3
y
x
=
+
；
∵抛物线
2
1y
x
bx
c
= −
+
+ 与x 轴交于点B ，
(
)
3, 0
A −
，与y 轴交于点
(
)
0,3
C
，
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∴
9
3
0
3
b
c
c
−−
+
=
=
，
解得：
2
3
b
c
= −
=
，
∴抛物线为：
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；
（2）根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围为
3
x
−
或
0
x
．
（3）解：∵
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ，
∴抛物线的对称轴为直线
(
)
2
1
2
1
x
−
= −
= −
−
，
设
(
)
1,
M
m
−
，
∵
(
)
3,0
A −
，
(
)
0,3
C
，
∴
2
2
2
3
3
18
AC =
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
1 3
0
4
AM
m
m
= −+
+
−
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
1 0
3
6
10
CM
m
m
m
= −−
+
−
=
−
+
，
当AC
AM
=
时，
∴
2
4
18
m +
=
，
解得：
14
m =
，
∴
(
)
1, 14
M −
或
(
)
1,
14
M −−
；
当AM
CM
=
时，
∴
2
2
4
6
10
m
m
m
+
=
−
+
，
解得：
1
m = ，
∴
(
)
1,1
M −
，
综上：点M 坐标为(
)
1, 14
−
或(
)
1,
14
−−
或(
)
1,1
−
．
31．研究发现，二次函数
2
y
ax
=
（
0
a
）图象上任何一点到定点（0，1
4a ）和到定直线
1
4
y
a
−
=
的距离相
等．我们把定点（0，1
4a ）叫做抛物线
2
y
ax
=
的焦点，定直线
1
4
y
a
−
=
叫做抛物线
2
y
ax
=
的准线．
（1）写出函数
2
1
4
y
x
=
图象的焦点坐标和准线方程；
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（2）等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数
2
1
4
y
x
=
图象上，O 为坐标原点，求等边三角形的边长；
（3）M 为抛物线
2
1
4
y
x
=
上的一个动点，F 为抛物线
2
1
4
y
x
=
的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF 的最
小值．
【答案】（1）焦点坐标为：（0，1），准线方程为：y=-1；（2）8 3 ；（3）4．
【分析】（1）根据焦点坐标为（0，1
4a ），准线方程为y＝−1
4a ，即可得出答案．
（2）根据题意可设A（x，y），B（-x，y），从而根据等边三角形及抛物线的性质可得出∠AOE=30°，继而
可得出
3
y
x
=
，代入可得出x 和y 的值，也可求出等边三角形的边长．
（3）点P 到点F 的距离等于点P 到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点M 的位置，结合图
形可得出这个最小值．
【详解】解：（1）由题意得，焦点坐标为：（0，1），准线方程为：y=-1；
（2）设A（x，y），B（-x，y），
∵△OAB 是等边三角形，
∴∠AOE= 1
2 ∠AOB=30°，
∴y= 3 x，
将点A 坐标（x，y）=（x，
3 x）代入函数解析式，可得3 x= 1
4 x2，
解得：x=4 3 ，
故可得点A 坐标为（4 3 ，12），三角形的边长=OA=
(
)
2
2
12
4 3
+
=8 3 ．
（3）过点M 作MN⊥准线，交准线于点N，
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则由题意可得，MN=MF，
故可得：MP+MF=MP+MN，
结合图形可得过点P 作PE⊥准线，交准线于点E，则PE 与抛物线的交点M'能满足MP+MF 最小，
此时M'P+M'F=PE=4．
【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是仔细审题得出函数的准线与焦点，综合性较强，
注意解答过程中将所学知识融会贯通．
32．
（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点
(
)
3,0
B
、(
)
0, 6
C
−
，与直线
3
y
x
=
−
交于B、D 两点，点P 是抛物线上一动点，记点P 的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 位于直线BD下方时，求BDP
面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点H，若AHP
是等腰直角三角形，求点P 的坐标．
【答案】(1)
2
6
y
x
x
=
−−
(2) BDP
的面积的最大值为8，
(
)
1, 6
P
−
(3)(
)
4,6 或(
)
2, 4
−
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【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P 作PE
y
轴，交BD于点E，先表示
2
( ,
6)
P t t
t
−−
，
( ,
3)
E t t −
，得出
2
2
3
PE
t
t
= −
+
+ ，故
2
2(
1)
8
BDP
DPE
BPE
S
S
S
t
=
+
= −
−
+
，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）因为
90
=
PHA
，且AHP
是等腰直角三角形，得AH
PH
=
，由（2）知
2
( ,
6)
P t t
t
−−
，所以
|
2 |
AH
t
=
+
，
2
6
PH
t
t
=
−−
，则
2
2
6
t
t
t
+
=
−−
，再解出方程，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点
(
)
3,0
B
、
(
)
0, 6
C
−
，
9
3
6
0
6
b
c
+
−
=
= −
，
解得
1
6
b
c
= −
= −
抛物线的解析式为
2
6
y
x
x
=
−−
，
（2）解：抛物线的解析式为
2
6
y
x
x
=
−−
与直线
3
y
x
=
−
交于B、D 两点．
2
3
6
x
x
x
−
=
−
−
，
解得
1
1
x = −，
2
3
x =
，
把
1
x = −代入
3
y
x
=
−
，得
4
y
−
=
，
点D 的坐标为(
)
1, 4
−−
，
如图1，过点P 作PE
y
轴，交BD于点E，
则(
)
2
,
6
P t t
t
−−
，
(
)
,
3
E t t −
，
(
)
2
2
3
6
2
3
PE
t
t
t
t
t
= −−
−−
= −
+
+
，
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点B 的坐标是(
)
3,0
BDP
DPE
BPE
S
S
S
=
+
△
△
△
(
)
(
)
1
1
2
2
E
D
B
E
PE
x
x
PE
x
x
=
−
+
−
(
)
1
2
B
D
PE
x
x
=
−
(
)
2
2
2
3
t
t
=
−
+
+
(
)
2
2
1
8
t
= −
−
+
，
当
1
t = 时，BDP
的面积的最大值为8，
此时
(
)
1, 6
P
−
．
（3）解：如图2，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点H，
PH
x
⊥
轴于H，
90
PHA
=
，
AHP
△
是等腰直角三角形，
AH
PH
=
，
由（2）知(
)
2
,
6
P t t
t
−−
，
点H 的坐标为(
)
,0
t
，
由（1）可知(
)
2,0
A −
，
(
)
2
2
AH
t
t
=
−−
=
+
，
2
6
PH
t
t
=
−−
，
2
2
6
t
t
t
+
=
−−
，
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2
2
6
t
t
t
+
=
−−
或
(
)
2
2
6
t
t
t
+
= −
−−
，
即
2
2
8
0
t
t
−
−
=
或
2
4
0
t −
=
，
当
2
2
8
0
t
t
−
−
=
时，
解得
4
t =
或
2
t
−
=
（舍去），
此时
(
)
4,6
P
；
当
2
4
0
t −
=
时，
解得
2
t =
或
2
t
−
=
（舍去），
此时
(
)
2, 4
P
−
，
综上，点P 的坐标为(
)
4,6 或(
)
2, 4
−
．
33．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
和点(
)
3,0
B
，点D 为抛物线
的顶点，直线AC 与抛物线交于点
(
)
5,6
C
．
(1)求抛物线的解析式，并求出D 点坐标；
(2)若在x 轴上有一点P ，使得ACP
的三条高所在直线交于三角形外一点，设点P 的横坐标为m ，求m 的
取值范围；
(3)若直角坐标平面中的点E 和点A、C 、D 构成直角梯形，且面积为13.2，直接写出点E 的坐标．
【答案】(1)
2
1
3
2
2
y
x
x
=
−−
，顶点D 坐标为(
)
1, 2
−
；
(2)
1
m
−
或1
5
m
−
或
11
m
(3)点E 的坐标为8
7
,
5
5
−
或26 29
,
5
5
或
7
4
,
5
5
−
−
．
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式转化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点
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坐标；
（2）根据锐角三角形三条高的交点在三角形内部、直角三角形三条高的交点是直角顶点、钝角三角形的三
条高的交点在三角形的外部，可知ACP
是钝角三角形，分三种情况讨论；
（3）根据点A、C 、D的坐标可知
90
CAD
=
，若点E 和点A、C 、D 构成直角梯形，则有三种情况，
一种情况是CE
AC
⊥
，另一种情况是DE
AD
⊥
，根据梯形的面积是13.2分情况求解，第三种情况为AE
CD
∥
，
AE
ED
⊥
，验证面积等于13.2 即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
(
)(
)(
)
1
3
0
y
a x
x
a
−
=
+
，
把点
(
)
5,6
C
的坐标代入解析式，
可得：(
) (
)
5 1
5
3
6
a
+
−
=
，
解得：
1
2
a =
，
抛物线的解析式为
(
)(
)
1
1
3
2
y
x
x−
=
+
，
整理得：
2
1
3
2
2
y
x
x
=
−−
；
把
2
1
3
2
2
y
x
x
=
−−
整理成顶点坐标式，
可得：
(
)
2
1
1
2
2
y
x−
=
−
，
抛物线的顶点D 坐标为(
)
1, 2
−
；
（2）解：
ACP
的三条高所在直线交于三角形外一点，
ACP
是钝角三角形，
如下图所示，当点P 在点A的左侧时，
即
1
m
−
时，
APC
△
是钝角三角形，
ACP
的三条高所在直线交于三角形外一点；
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如下图所示，过点C 作CM
x
⊥
轴，
点C 的坐标是(
)
5,6 ，
点M 的坐标为(
)
5,0 ，
当点P 在点A右侧，点M 左侧时，
即1
5
m
−
时，ACP
是钝角三角形，
ACP
的三条高所在直线交于三角形外一点；
如下图所示，过点C 作CN
AC
⊥
交x 轴于点N ，作CM
x
⊥
轴于点M ，
则
90
ACN
CMN
=
=
，
又
ANC
CNM
=
，
CMN
ACN
∽
，
MN
CN
CN
AN
=
，
由点
(
)
1,0
A −
和点
(
)
5,6
C
可知点M 的坐标为(
)
5,0 ，
(
)
5
1
6
AM
=
−−
=
，
6
CM = ，
6
AN
MN
AM
MN
=
+
=
+
，
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2
2
2
6
36
CN
MN
MN
=
+
=
+
，
2
2
2
2
6
6
6
MN
MN
MN
MN
+
=
+
+
，
解得：
6
MN =
，
5 6
11
ON
OM
MN
=
+
= +
=
，
点N 的坐标为(
)
11,0 ，
当点P 在点N 右侧，
即
11
m
时，ACP
是钝角三角形，
ACP
的三条高所在直线交于三角形外一点；
综上所述，当ACP
的三条高所在直线交于三角形外一点时，m 的取值范围为
1
m
−
或1
5
m
−
或
11
m
；
（3）解：由点
(
)
1,0
A −
、点
(
)
5,6
C
、点
(
)
1, 2
D
−
的坐标，
可知
(
)
(
)
2
2
2
5 1
5 1
72
AC =
+
+
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
1 1
2
0
8
AD =
+
+ −−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
5 1
6
2
80
CD =
−
+
+
=
，
72 8
80
+ =
，
2
2
2
AC
AD
CD
+
=
，
ACD
是直角三角形，
90
CAD
=
，且
72
6 2
AC =
=
，
8
2 2
AD =
=
；
当ED
AD
⊥
时，如下图所示，
梯形的面积为13.2，
(
)
(
)
1
1
72
8
13.2
2
2
DE
AC
AD
DE
+
=
+
=
，
整理可得：(
)
1
6 2
2 2
13.2
2 DE +
=
，
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解得：
3 2
5
DE =
，
设直线AC 的解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
可得：
0
5
6
k
b
k
b
−+
=
+
=
，
解得：
1
1
k
b
=
=
，
则直线AC 的解析式为
1
y
x
=
+ ，
AC
AD
⊥
，DE
AD
⊥
，
AC
DE
∥
，
设直线DE 的解析式为y
x
d
=
+
，
把点D 的坐标(
)
1, 2
−
代入y
x
d
=
+
，
可得：1
2
d
−
+
=
，
解得：
3
d = −，
直线DE 的解析式为
3
y
x
=
−
，
设点E 的坐标为(
)
,
3
x x−
，
3 2
5
DE =
，
(
)
(
)
2
2
2
3 2
1
3
2
5
x
x
−
−
+
+
=
，
解得：
1
8
5
x =
，
2
2
5
x =
（不符合条件，舍去），
8
7
3
3
5
5
y
x−
−
=
=
−=
，
点E 的坐标为8
7
,
5
5
−
；
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当CE
AC
⊥
时，如下图所示，
梯形的面积为13.2，
(
)
(
)
1
1 2 2
6 2
13.2
2
2
AD
EC
AC
EC
+
=
+
=
，
解得：
2
5
EC =
，
设直线AD的解析式为
(
)
1
1
1
0
y
k x
b k
=
+
，
把点
(
)
1,0
A −
和点
(
)
1, 2
D
−
的坐标代入
(
)
1
1
1
0
y
k x
b k
=
+
，
可得：
1
1
1
1
0
2
k
b
k
b
−
−
+
=
+
=
，
解得：
1
1
1
1
k
b
−
−
=
=
，
直线AD的解析式为
1
y
x
−−
=
，
设直线CE 的解析式为
1
y
x
d
−
=
+
，
把点
(
)
5,6
C
的坐标代入
1
y
x
d
−
=
+
，
可得：
1
5
6
d
−+
=
，
解得：
1
11
d =
，
直线CE 的解析式为
11
y
x
= −+
，
设点E 的坐标为(
)
,
11
x
x
−
+
，
2
5
EC =
，
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(
)
(
)
2
2
2
2
5
11 6
5
x
x
−
−
+
+
−
=
，
解得：
1
26
5
x =
，
2
24
5
x =
（不符合题意，舍去），
26
29
11
11
5
5
y
x
−
−
=
+
=
+
=
，
点E 的坐标为26 29
,
5
5
．
当AE
CD
∥
，AE
ED
⊥
时，如下图所示，
设直线CD的解析式为
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，
把点
(
)
5,6
C
和点
(
)
1, 2
D
−
的坐标代入
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，
可得：
5
6
2
m
n
m
n
−
+
=
+
=
，
解得：
2
4
m
n
−
=
=
，
直线CD的解析式为
2
4
y
x−
=
，
∵AE
CD
∥
，
∴设直线AE 的解析式为
2
y
x
t
=
+ ，
把
(
)
1,0
A −
代入直线解析式得
(
)
2
1
0
t
−
+ =
，
解得
2
t =
，
∴直线AE 的解析式为
2
2
y
x
=
+
，
设
(
)
,2
2
E x
x +
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
AE
x
x
=
+
+
+
，
(
)
(
)
2
2
2
1
2
4
ED
x
x
−
=
+
+
，
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∵AE
ED
⊥
∴
90
E
=
，
∴
2
2
2
AD
AE
ED
=
+
,
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
8
1
2
2
1
2
4
x
x
x
x
−
=
+
+
+
+
+
+
，
整理得
2
5
12
7
0
x
x
+
+
=
，
解得：
1
2
7
1
5
x
x
−
−
=
=
，
∵
(
)
1,0
A −
，当E 的横坐标为1
−时，AE 与CD不平行，舍去，
∴
7
4
,
5
5
E
−
−
,
∴
2
2
2
7
14
20
1
2
5
5
25
AE
= −
+
+ −
+
=
，即
2 5
5
AE =
，
2
2
2
7
14
180
1
4
5
5
25
ED
= −
−
+ −
+
=
，即
6 5
5
ED =
，
∴
(
)
2 5
6 5
4 5
5
5
13.2
2
2
AEDC
AE
CD
ED
S
+
+
=
=
=
梯形
，符合题意；
综上所述，点E 的坐标为8
7
,
5
5
−
或26 29
,
5
5
或
7
4
,
5
5
−
−
．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数解析式，特殊四边形
的面积计算等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
34．【定义】若点P 与平面内的A，B 两点构成以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则称点P 是ABP
关于
点A，B 的斜方点．
如图，二次函数
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C ．
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(1)如图1，若函数
k
y
x
=
上存在一点P 是ABP
关于点A，B 的斜方点，则k 的值为_____．
(2)如图2，过点B 作BE
AC
∥
交抛物线于点E ，点P 是抛物线上A，C 之间的一个动点，设
ABC
APCE
S
S
S
=
−
△
四边形
，当S最大时，求P 点坐标．
(3)在（2）的条件下，连接OP 交AC 于点F ，点N 是直线AC 上的一个动点，点G 在线段ON 上，且点G 是
OFG
△
关于点O，F 的斜方点，求N 点的坐标．
【答案】(1)
15
4
−
或15
4
(2)
(
)
2,6
P −
(3)
8 4
,
3 3
N
−
或(
)
4,8
【分析】（1）先令
0
y =
，根据解析式求得点
,
A B 的坐标，进而根据新定义得出
3 5
,
2 2
P
−
或
3
5
,
2
2
P
−
−
，
代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先求得直线AC 的解析式为
4
y
x
=
+ ，设(
)
2
,
3
4
P m
m
m
−
−
+
，则
(
)
,
4
Q m m +
，表示出PQ ，根据平行线
间的距离相等，得出
ACE
ABC
S
S
=
，结合已知可得
1
2
APC
O
S
Q
S
P
A
=
=
△
，根据二次函数的性质求得最大值，
进而求得点P 的坐标，即可求解；
（3）先求得
(
)
1,3
F −
，过点G 作ST
x
⊥
轴于点T ，过点F 作FS
ST
⊥
垂足为S，根据新定义得出
,
90
GF
GO
FGO
=
=
，证明
(
)
FSG
GTO AAS
≌
，进而求得点G 的坐标，求得直线OG 的解析式，联立直
线AC 的解析式，即可求解；当N 在OP 的上方时，同理可得．
【详解】（1）解：令
2
3
4
0
y
x
x
= −
−
+
=
，
解得：
1
2
4,
1
x
x
= −
= ，
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∴
(
)
4,0
A −
，
(
)
1,0
B
，对称轴为直线
4 1
3
2
2
x
−+
=
= −
，
∴
(
)
1
4
5
AB = −−
=
，
∵P 是ABP
关于点A，B 的斜方点，
∴PA
PB
=
，且
90
APB
=
，
∴P 在直线
3
2
x = −
上，且P 到AB 的距离为1
5
2
2
AB =
，
∴
3 5
,
2 2
P
−
或
3
5
,
2
2
P
−
−
，
∵点P 在函数
k
y
x
=
图象上，
当
3 5
,
2 2
P
−
时，代入得：
5
3
2
2
k
=
−
15
4
k
−
=
；
当
3
5
,
2
2
P
−
−
时，代入得：
5
3
2
2
k
−
=
−
，
15
4
k =
；
∴
15
4
k
−
=
或
15
4
k =
；
（2）令
0
x =
，则
2
3
4
4
y
x
x
= −
−
+
=
，
∴
(
)
0,4
C
，
设直线AC 的解析式为
1
1
y
k x
b
=
+
，代入
(
)
4,0
A −
，
(
)
0,4
C
得
1
1
1
4
0
4
k
b
b
−
+
=
=
，
解得：
1
1
1
4
k
b
=
=
，
∴直线AC 的解析式为
4
y
x
=
+ ，
如图，过点P 作PQ
y
∥
轴交AC 于点Q ，
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设(
)
2
,
3
4
P m
m
m
−
−
+
，
∴
(
)
,
4
Q m m +
，
∴
(
)
2
2
3
4
4
4
PQ
m
m
m
m
m
−
−
=
−
+
−
+
=
−
，
∵BE
AC
∥
，
∴
ACE
ABC
S
S
=
，
∴
ABC
APC
AEC
ABC
APC
APCE
S
S
S
S
S
S
S
=
=
=
−
+
−
△
△
△
△
△
四边形
1
2 PQ
AO
=
(
)
(
)
2
2
1
4
4
2
2
8
2
m
m
m
−
=
−
−
=
+
+ ，
∴当
2
m = −时，S取得最大值，
此时
(
)
(
)
2
2
3
4
2
3
2
4
6
m
m
−
−
+
= −−
−−
+
=
，
∴
(
)
2,6
P −
；
（3）解：设直线OP 的解析式为y
px
=
，代入
(
)
2,6
P −
，
∴6
2p
= −
解得：
3
p = −，
∴直线OP 的解析式为
3
y
x
= −
，
联立
3
4
y
x
y
x
−
=
=
+
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解得：
1
3
x
y
= −
=
，
∴
(
)
1,3
F −
，
如图，过点G 作ST
x
⊥
轴于点T ，过点F 作FS
ST
⊥
垂足为S，
∴
90
FSG
GTO
=
=
，
∵点G 是
OFG
△
关于点O，F 的斜方点，
∴
,
90
GF
GO
FGO
=
=
，
∴
90
FGS
TGO
TOG
=
−
=
，
∴
(
)
FSG
GTO AAS
≌
，
∴
,
FS
GT SG
TO
=
=
，
设FS
GT
a
=
=
，SG
TO
b
=
=
，
∴
3
F
y
ST
a
b
=
=
+
=
，
1
F
x
OT
FS
b
a
−
−
=
=
= ，
∴
3,
1
a
b
b
a
+
=
−
= ，
解得：
2,
1
b
a
=
= ，
∴
(
)
2,1
G −
，
设直线OG 的解析式为y
gx
=
，
代入
(
)
2,1
G −
得，0
2g
= −
，
∴
1
2
g = −
，
∴直线OG 的解析式为
1
2
y
x
= −
，
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联立
1
2
4
y
x
y
x
−
=
=
+
解得：
8
3
4
3
x
y
−
=
=
，
∴
8 4
,
3 3
N
−
；
当N 在OP 的上方时，作点G 关于OP 的对称点
1
G ，
∴
1
,
OFG OFG
都是等腰直角三角形，
∴四边形
1
GFG O是正方形，
由
(
)
2,1
G −
向下平移1 个单位，向右平移2 个单位得到
(
)
0,0
O
，
∴
(
)
1,3
F −
向下平移1 个单位，向右平移2 个单位得到
(
)
1 1,2
G
，
同理可得
1
OG 的解析式为
2
y
x
=
，
联立
2
4
y
x
y
x
=
=
+
解得：
4
8
x
y
=
=
∴
(
)
1 4,8
N
；
综上所述，
8 4
,
3 3
N
−
或(
)
4,8 ．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
:
3
F y
ax
bx
=
+
+ 的图象交x 轴于
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
两点，交y 轴于
点C．
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(1)求抛物线F 的函数表达式；
(2)点P 是线段OB 上的一个动点，沿OB 以每秒1 个单位长度的速度由点O 向点B运动，过点P作EP
x
⊥
轴，
交抛物线于点E，交直线BC 于点M．在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，MC
ME
=
？
(3)设抛物线F 顶点为D，点N 是y 轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N 为顶点的
三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
3
2
t = −
(3)存在，N 点坐标为(
)
0,1 或(
)
0,3 或
7
0, 2
或
3
0,
2
−
【分析】(1) 将
( 1,0)
A −
，
(3,0)
B
代入抛物线表达式，利用待定系数法求解．
(2) 先求出点C 坐标和直线BC 表达式，用t 表示MC 和ME 的长度，列方程求解．
(3) 先求顶点D 坐标，设
(0, )
N
n ，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点．
【详解】（1）解：将
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
+ ，
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−+
=
+
+
=
，
解得
1
2
a
b
= −
=
，
抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ．
（2）解：设
(
)
,0
P t
，
当
0
x =
时，
3
y =
，
(
)
0,3
C
，
设直线BC 解析式为
3
y
kx
=
+ ，
3
3
0
k
+ = ，
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解得
1
k = −，
直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
，
PM
x
⊥
轴，
(
)
,
3
M t
t
−+
，(
)
2
,
2
3
E t
t
t
−
+
+
，
(
)
(
)
2
2
0
3 3
2
MC
t
t
t
=
−
+ −+ −
=
，
2
3
ME
t
t
= −
+
，
当MC
ME
=
时，
2
2
3
t
t
t
= −
+
，
解得
3
2
t = −
或
0
t =
（舍去），
3
2
t
=
−
时，MC
ME
=
．
（3）解：存在点N，使得以点B，D，N 为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
(
)
1,4
D
，
设
(
)
0,
N
n
2
20
BD
=
，
2
2
9
BN
n
=
+
，
2
2
8
17
DN
n
n
=
−
+
，
①当BD为斜边时，
2
2
2
BN
DN
BD
+
=
2
2
9
8
17
20
n
n
n
+
+
−
+
=
解得
1
n = 或
3
n = ，
(
)
0,1
N
或(
)
0,3 ；
②当BN 为斜边时，
2
2
2
BD
DN
BN
+
=
2
2
20
8
17
9
n
n
n
+
−
+
=
+
解得
7
2
n =
，
7
0, 2
N
；
③当DN 为斜边时，
2
2
2
BD
BN
DN
+
=
2
2
20
9
8
17
n
n
n
+
+
=
−
+
解得
3
2
n = −
，
3
0,
2
N
−
；
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综上所述：N 点坐标为(
)
0,1 或(
)
0,3 或
7
0, 2
或
3
0,
2
−
．
36．如图，若二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
和点
(
)
3,0
B
，与y 轴交于点C，P 为该函数
图象上不与顶点重合的任意一点，且点P 的横坐标为m．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点P 在第一象限内的图象上，且
PBC
△
的面积
3
S = ，求点P 的坐标；
(3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P 作对称轴的垂线，垂足为E，设PE
n
=
．
①求DE 的长（用含n 的式子表示）；
②定义：对于平面内两点M，N，若点Q 满足QM
QN
=
，则称点Q 为线段MN 的中垂点．若点F 是线段DE
的中垂点，且DEF
为直角三角形，求直角DEF
的直角顶点不在二次函数图象内部的m 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)点P 的坐标为(
)
2,3
(3)①
2
DE
n
=
②
2 1
m
+ 或
1
2
m −
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）连接BC ，过点P 作PG
y
轴，交BC 于点G ，待定系数法求出直线BC 的解析式，假设点P 的坐标为
(
)
2
2
3
m, m
m
−
+
+
，则
(
)
,
3
G m
m
−
+
，根据面积列出方程求解；
（3）①分两种情况进行讨论，利用PE
n
=
得出
,
m n的关系，然后表示出点P 的坐标，即可求解；
②借助①的结论表示出各点的坐标，根据F 点的坐标情况，列出不等式求解．
【详解】（1）解：将点
(
)
1,0
A −
和点
(
)
3,0
B
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 得，
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−+
=
+
+
=
解得
1
2
a
b
−
=
=
，
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∴
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：如图所示，连接BC ，过点P 作PG
y
轴，交BC 于点G ，
当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(
)
0,3
C
；
假设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，将
(
)
0,3
C
和
(
)
3,0
B
代入得，
3
3
0
b
k
b
=
+
=
解得
3
1
b
k
−
=
=
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
，
∵
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，
∴
(
)
1,4
D
，
假设点P 的坐标为(
)
2
2
3
m, m
m
−
+
+
，(
)
0
3
m
，则
(
)
,
3
G m
m
−
+
，
∴
(
)
2
2
2
3
3
3m
P
m
G
m
m
m
−
+
+ −
= −
=
−
+
+
，
∴
(
)
(
)
2
1
1
3
3
2
3
2
B
C
S
PG x
m
x
m
−
+
=
−
=
= ，
解得
1
m = 或
2
m =
，
当
1
m = 时，
2
2
3
4
m
m
−
+
+
=
，
∴点P 的坐标为(
)
1,4 （与顶点重合，舍去）；
当
2
m =
时，
2
2
3
3
m
m
−
+
+
= ；
∴点P 的坐标为(
)
2,3 ；
（3）解：设点P 的横坐标为m ，
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①如图所示，
由（2）得：
(
)
1,4
D
，
当
1
m 时，
1
m
n
−=
，
∴
1
m
n
=
+ ，
∴点P 的纵坐标为：
(
)
2
2
1 1
4
4
y
n
n
= −
+ −
+
= −
+
，
∴点P 的坐标为(
)
2
4
1,
n
n
+
−
+
，
∴
(
)
2
2
4
4
DE
n
n
=
−−
+
=
；
当
1
m 时，1 m
n
−
=
，
∴
1
m
n
= −
，
∴点P 的纵坐标为：
(
)
2
2
1
1
4
4
y
n
n
= −
−
−
+
= −
+
，
∴点P 的坐标为(
)
2
4
1
,n
n
−
−
+
，
∴
(
)
2
2
4
4
DE
n
n
=
−−
+
=
；
综上，
2
DE
n
=
；
②如图所示，过点F 作FH
DE
⊥
于点H ，
∵DEF
为等腰直角三角形，且
90
DFE
=
，
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∴
2
1
2
2
n
DH
EH
FH
DE
=
=
=
=
，
(
)
2
1,4
E
n
−
，
2
1,4
2
n
H
−
，
2
2
1
,4
2
2
n
n
F
−
，
∵直角DEF
的直角顶点不在二次函数图象内部，
∴
2
2
2
2
4
1
2 1
3
2
2
2
n
n
n
−
−
+
+
，
令
2
2
n
t
= ，
则
(
)
(
)
2
4
1
2 1
3
t
t
t
−
−
+
+ ，
整理得
2
0
t
t
−
，
解得
0
t
（舍去）或
1
t ，
即
2
1
2
n ，
∵
0
n
∴解得
2
n
，
当
1
m 时，
1
m
n
−=
，
∴
1
2
m −
，
解得
2 1
m
+ ；
当
1
m 时，1 m
n
−
=
，
∴1
2
m
−
，
解得
1
2
m −
；
综上，m 的取值范围为
2 1
m
+ 或
1
2
m −
．
37．如图，直线
3
2 3
y
x
= −
+
与x 轴，y 轴分别交于点A，点B，两动点D，E 分别从点A，点B 同时出发
向点O 运动（运动到点O 停止），运动速度分别是1 个单位长度/秒和3 个单位长度/秒，设运动时间为t 秒．以
点A 为顶点的抛物线经过点E，过点E 作x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB 相交于点F．
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(1)求点A，点B 的坐标；
(2)用含t 的代数式分别表示EF 和AF 的长；
(3)是否存在t 的值，使AGF
是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(
)
2,0
A
，(
)
0,2 3
B
(2) EF
t
= ，
4
2
AF
t
=
−
(3)存在，此时抛物线的解析式为
2
3
2 3
2 3
6
3
3
y
x
x
=
−
+
【分析】（1）在直线
3
2 3
y
x
= −
+
中，分别令
0
y =
和
0
x =
，即可求得A、B 两点坐标；
（2）由OA、OB 的长可求得
30
ABO
=
，用t 可表示出BE，EF 和BF 的长，由勾股定理可求得AB 的长，
从而可用t 表示出AF 的长；
（3）若AGF
为直角三角形时，由条件可知
90
FAG
=
，又
30
FGA
=
，由（2）可知
4
2
AF
t
=
−
，EF
t
= ，
由二次函数的对称性可得到
4
EG =
，从而可求出FG ，在Rt
AGF
△
中，可得到关于t 的方程，可求得t 的值，
进一步可求得E 点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．
【详解】（1）解：在直线
3
2 3
y
x
= −
+
中，
令
0
y =
，得
3
2 3
0
x
−
+
=
，解得
2
x =
，
令
0
x =
，得
2 3
y =
，
∴
(
)
2,0
A
，(
)
0,2 3
B
．
（2）解：由（1）可知，
2
OA =
，
2 3
OB =
，
∴
3
tan
3
OA
ABO
OB
=
=
，
∴
30
ABO
=
，
∵运动时间为t 秒，
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∴
3
BE
t
=
，
∵EF
x
轴，
∴在Rt BEF
中，
3
tan
3
EF
BE
ABO
BE
t
=
=
= ，
2
2
BF
EF
t
=
=
，
在Rt
ABO
△
中，
2
OA =
，
2 3
OB =
，
∴
4
AB =
，
∴
4
2
AF
AB
BF
t
=
−
=
−
．
（3）解：存在，
∵EG
x
∥轴，
∴
60
GFA
BAO
=
=
，
∵点G 不能在抛物线的对称轴上，
∴
90
FGA
，
∴当AGF
为直角三角形时，则有
90
FAG
=
，
又∵
30
FGA
=
，
∴
2
FG
AF
=
，
∵EF
t
= ，
4
EG =
，
∴
4
FG
t
= −，且
4
2
AF
t
=
−
，
∴
(
)
4
2 4
2
t
t
−=
−
，
解得
4
3
t =
，
即当t 的值为4
3 秒时，AGF
为直角三角形，
此时
4
2 3
2 3
3
2 3
3
3
3
OE
OB
BE
t
=
−
=
−
=
−
=
，
∴点E 的坐标为
2 3
0,
3
，
∵抛物线的顶点为A，
∴可设抛物线解析式为
(
)
2
2
y
a x
=
−
，
将点E 的坐标代入，可得2 3
4
3
a
=
，
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解得
3
6
a =
，
∴抛物线的解析式为
(
)
2
3
2
6
y
x
=
−
，即
2
3
2 3
2 3
6
3
3
y
x
x
=
−
+
．
