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专题06 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综
合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【一线三等角模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
=
= ，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
=
=
，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
目 录
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∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
=
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
=
+，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
=
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
【手拉手模型及证法】
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
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证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
典例1（25-26 七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系．
(1)如图（a），
90
MAN
=
，射线AE 在这个角的内部，点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，且AB
AC
=
，
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CF
AE
⊥
，垂足为F ，BD
AE
⊥
，垂足为D ，ABD
与CAF
全等吗？请说明理由；
(2)如图（b），点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，点E ，F 都在
MAN
内部的射线AD上．已知AB
AC
=
，
且1
2
BAC
= =
，ABE
与CAF
全等吗？请说明理由．
【答案】(1)
ABD
CAF
≌
△
△
理由：
BD
AE
⊥
，CF
AE
⊥
，
90
ADB
CFA
=
=
．
90
BAD
ABD
+
=
．
90
MAN
=
，
90
BAD
CAF
+
=
．
ABD
CAF
=
．
在ABD
与CAF
中，
ADB
CFA
ABD
CAF
AB
AC
=
=
=
，
(
)
AAS
ABD
CAF
≌
．
(2)
△
≌△
ABE
CAF 理由：
在ABE
中，
180
BAE
ABE
AEB
+
+
=
，1
180
AEB
+
=
，
1
BAE
ABE
=
+
．
BAC
BAE
FAC
=
+
，
1
BAC
=
，
ABE
FAC
=
．
同理可得
BAE
ACF
=
．
在ABE
与CAF
中，
ABE
FAC
BAE
ACF
AB
AC
=
=
=
，
(
)
ABE
CAF ASA
≌
．
【分析】（1）由同角的余角相等得出
ABD
CAF
=
，再利用AAS即可证明
ABD
CAF
≌
△
△
；
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（2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出
ABE
FAC
=
，同理可得
BAE
ACF
=
，
再利用ASA证明△
≌△
ABE
CAF 即可．
【详解】（1）略；
（2）略．
题型模版
1.特征：一条直线上出现三个相等角，构造全等或相似三角形，常用于求线段长度。
2.方法：利用同角的余角或补角相等，找出等角，再结合已知边角用ASA 或AAS 证明全等，从而得对应边
相等。
变式1-1（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角ABC
中，
90
ACB
=
，CA
CB
=
，直线l 经过点C，过点A 作AD
l
⊥于点D，过点
B 作BE
l
⊥于点E，求证：△
≌△
ADC
CEB ；
(2)在等腰直角ABC
中，
90
ACB
=
，CA
CB
=
，点D 是直线AB 上一动点，分别过点
,
A B 作直线CD的垂
线，垂足分别为点
,
E F ；
①如图2，点D 在线段AB 上，
AEC
△
与CFB
是否全等？请说明理由；
②如图3，点D 在线段AB 延长线上，若
1
BF = ，
3
AE = ，请直接写出线段EF 的长．
【答案】(1)证明：∵AD
l
⊥，BE
l
⊥，
∴
90
ADC
BEC
=
=
，
又
90
ACB
=
，
∴
90
ACD
CBE
BCE
=
=
−
，
在ADC
和CEB
中，
90
ACD
CBE
ADC
BEC
CA
CB
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADC
CEB
≌
△
△
．
(2)①
AEC
CFB
△
≌△
；
理由：∵AE
CD
⊥
，BF
CD
⊥
，
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∴
90
E
BFC
=
=
，
又
90
ACB
=
，
∴
90
ACE
CBF
BCF
=
=
−
，
在
AEC
△
和CFB
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AEC
CFB
△
≌△
．
②4
【分析】（1）利用同角的余角相等证得
ACD
CBE
=
，证明△
≌△
ADC
CEB 即可；
（2）①利用同角的余角相等证得
ACE
CBF
=
，根据AAS证明
AEC
CFB
△
≌△
；②利用同角的余角相等
证得
ACE
CBF
=
，根据AAS证明
AEC
CFB
△
≌△
，再利用等量代换即可．
【详解】（1）解：略
（2）解：①略
②∵AE
CD
⊥
，BF
CD
⊥
，
∴
90
E
BFC
=
=
，
又
90
ACB
=
，
∴
90
ACE
CBF
BCF
=
=
−
，
在
AEC
△
和CFB
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AEC
CFB
≌
，
∴
1,
3
CE
BF
AE
CF
=
=
=
=
，
∴
3 1
4
EF
CF
CE
=
+
= + =
．
变式1-2（24-25 七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践：
(1)如图1，在ABC
中，
90
BAC
AB
AC
=
=
，
，直线l 经过点A，分别从点B，C 向直线l 作垂线，垂足分
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别为D，E．求证：
ABD
CAE
≌
△
△
；
【变式探究】
(2)如图2，在ABC
中，AB
AC
=
，直线l 经过点A，点D，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
=
=
，
猜想DE
BD
CE
，
，
有何数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB
AC
，
为一边向外
作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
=
=
，AB
AD
AC
AE
=
=
，
，AG 是边BC 上的高．延长GA交DE 于
点H，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1
2
S
S
，
大小关系，并说明理由．
【答案】(1)∵BD
l
⊥，CE
l
⊥，
∴
90
ADB
CEA
=
=
，
∴
90
DBA
DAB
+
=
，
又∵
90
BAC
=
，
∴
90
DAB
CAE
+
=
，
∴
DBA
CAE
=
．
在ABD
和CAE
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
=
=
=
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS）．
(2) DE
BD
CE
=
+
．理由如下：
∵
CEA
ADB
BAC
=
=
，且
180
DBA
ADB
BAD
+
+
=
，
180
BAD
BAC
CAE
+
+
=
，
∴
DBA
CAE
=
．
在ABD
和CAE
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
=
=
=
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS），
∴BD
AE
=
，AD
CE
=
，
∴DE
AD
AE
CE
BD
=
+
=
+
，
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即DE
BD
CE
=
+
．
(3)
1
2
S
S
=
，理由如下：
过点D作DM
GH
⊥
延长线于M ，过点E 作EN
GH
⊥
于N ，则
90
M
ANE
=
=
．
∵AG 是BC 边上的高，
∴
90
AGB
=
，
∴
90
BAG
ABG
+
=
，
∵
90
BAD
=
，
∴
90
DAM
BAG
+
=
，
∴
DAM
ABG
=
．
在
ADM
△
和
BAG
△
中，
M
BGA
DAM
ABG
AD
AB
=
=
=
，
∴
ADM
BAG
≌
△
△
（AAS），
∴DM
AG
．
同理可证：
AEN
CAG
≌
△
△
（AAS），
得EN
AG
=
，
∴DM
EN
=
．
∵ADH
的面积
1
1
2
S
AH DM
=
，AEH
的面积
2
1
2
S
AH EN
=
，
∴
1
2
S
S
=
．
【分析】（1）先根据垂直定义得
90
ADB
CEA
=
=
，因为
90
BAC
=
，所以可推出
BAD
与
ACE
互余，
进而得
BAD
ACE
=
，结合AB
AC
=
，用AAS 判定三角形全等．
（2）根据
CEA
ADB
BAC
=
=
，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合AB
AC
=
，
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用AAS 证
ABD
CAE
≌
△
△
，再根据线段和差关系推导DE
BD
CE
、
、
的数量关系．
（3）分别过D、E 作GH 的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证ADM
BAG
≌
、AEN
CAG
≌
，
得到DM
AG
EN
AG
=
=
、
，进而得DM
EN
=
，根据同底等高三角形面积相等判断
1S 与
2
S 的关系．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
典例2（25-26 八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形ABC
和AEF
创作几何艺
术装置．其中AB
AC
=
，AE
AF
=
，
CAB
EAF
=
，BE交FC 于O点．请你解决以下关于这个艺术装置
的几何问题
(1)直角风格的装置
如图1，当
90
CAB
=
时，求证：BE
CF
=
，BE
CF
⊥
；
(2)六十度风格的装置
如图2 ，当
60
CAB
=
时，求
BOC
的度数；
(3)猜想：任意顶角的装置
当
CAB
=
时(0
90 )
，
BOC
的度数为________（直接用含的式子表示）
【答案】(1)证明：设BE、AC 交于点Q ，
CAB
EAF
=
，
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CAB
CAE
EAF
CAE
+
=
+
，即
FAC
EAB
=
．
在FAC
与
EAB
△
中，
AB
AC
FAC
EAB
AE
AF
=
=
=
，
(
)
SAS
FAC
EAB
≌
，
BE
CF
=
，
EBA
ACF
=
．
90
CAB
=
，
90
EBA
BQA
+
=
．
BQA
CQE
=
，
90
ACF
CQE
+
=
，
180
90
90
COQ
=
−
=
，
BE
CF
⊥
；
(2)
60
BOC
=
(3)
【分析】
（1）由
CAB
EAF
=
，可得
FAC
EAB
=
，证明FAC
EAB
≌
，得到BE
CF
=
，EBA
ACF
=
，
结合
BQA
CQE
=
，即可得出结论；
（2）由
CAB
EAF
=
，可得
FAC
EAB
=
，证明FAC
EAB
≌
，得到
EBA
ACF
=
，结合
BQA
CQE
=
，即可解答；
（3）根据（2）中的方法进行解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：设BE、AC 交于点Q ，
CAB
EAF
=
，
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CAB
CAE
EAF
CAE
+
=
+
，即
FAC
EAB
=
．
在FAC
与
EAB
△
中，
AB
AC
FAC
EAB
AE
AF
=
=
=
(
)
SAS
FAC
EAB
≌
，
EBA
ACF
=
．
BQA
CQE
=
，
180
FCA
BOC
CQO
+
+
=
，
180
EBA
BAC
BQA
+
+
=
，
60
BOC
CAB
=
=
；
（3）解：
CAB
EAF
=
，
CAB
CAE
EAF
CAE
+
=
+
，即
FAC
EAB
=
．
在FAC
与
EAB
△
中，
AB
AC
FAC
EAB
AE
AF
=
=
=
(
)
SAS
FAC
EAB
≌
，
EBA
ACF
=
．
BQA
CQE
=
，
180
FCA
BOC
CQO
+
+
=
，
180
EBA
BAC
BQA
+
+
=
，
BOC
CAB
=
=
．
题型模版
1.特征：两个等腰三角形共顶点，且顶角相等，通过旋转全等，证边角相等或求夹角。
2.方法：找到公共顶点，利用等腰性质及顶角相等，用SAS 证明两三角形全等，得对应边角相等。
变式2-1（25-26 七年级下·山东济南·期中）ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
．
(1)如图1，点
,
D E 在
,
AB AC 上，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系？请说明理由．
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(2)如图2，点D在ABC
内部，点E 在ABC
外部，连接
,
BD CE ，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系和位置关
系？请说明理由．
(3)如图3，点
,
D E 都在ABC
外部，连接BD，CE ，CD，EB，BD与CE 相交于F 点．若
6
BD =
，求四
边形BCDE 的面积．
【答案】(1) BD
CE
=
，理由见解析
(2) BD
CE
=
，BD
CE
⊥
，理由见解析
(3)18
【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．
（1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）延长BD，分别交AC 、CE 于F、G，证明
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，根据全等三角形的性质、垂直的定
义解答；
（3）同理证明
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，得到
6
BD
CE
=
=
，BD
CE
⊥
，再根据
BCE
DCE
BCDE
S
S
S
=
+
四边形
计算，
求出四边形BCDE 的面积．
【详解】（1）解：BD
CE
=
，理由如下：
∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
∴AB
AD
AC
AE
−
=
−
，
∴BD
CE
=
；
（2）解：BD
CE
=
，BD
CE
⊥
，理由如下：
延长BD，分别交AC 、CE 于F、G，
∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
90
BAC
DAE
=
=
，
∵
BAD
BAC
DAC
=
−
，
CAE
DAE
DAC
=
−
，
∴
BAD
CAE
=
，
在ABD
和
ACE
△
中，
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AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴BD
CE
=
，
ABD
ACE
=
，
∵
AFB
GFC
=
，
∴
90
CGF
BAF
=
=
，即BD
CE
⊥
；
（3）解：如图，BD与AC 相交于O点
∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
90
BAC
DAE
=
=
，
∵
BAD
BAC
DAC
=
+
，
CAE
DAE
DAC
=
+
，
∴
BAD
CAE
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴
6
BD
CE
=
=
，
ABD
ACE
=
，
∵
AOB
FOC
=
，
∴
90
BFC
BAC
=
=
，
即BD
CE
⊥
，
∴
1
1
1
1
6 6
18
2
2
2
2
BCE
DCE
BCDE
S
S
S
CE
BF
CE
DF
CE
BD
=
+
=
+
=
=
=
四边形
．
变式2-2（25-26 七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互
相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为
“手拉手模型”．
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(1)【初步把握】如图1，ABC
与ADE
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
BAC
DAE
=
，则有
ABD
△
≌ ；线段BD和CE 的数量关系是 ；
(2)【深入研究】如图2，ABC
和ADE
是都是等腰三角形，即AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
90
BAC
DAE
=
=
，
B，C，D 在同一条直线上．请判断线段BD与CE 存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，直线1
2
l
l
⊥
，垂足为点O，2l 上有一点M 在点O 右侧且
4
OM =
，点N 是1l 上一个
动点，连接MN ，在MN 下方作等腰直角三角形NMP ，MN
MP
=
，
90
NMP
=
，连接OP ．请直接写出
线段OP 的最小值及此时ON 的长度．
【答案】(1)
ACE
△
；BD
CE
=
(2) BD
CE
=
；BD
CE
⊥
；理由见解析
(3)4；4
【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是
掌握全等三角形判定定理．
（1）由
BAC
DAE
=
，可得
BAD
CAE
=
，根据SAS可得ABD
ACE
≌
，则可得出结论；
（2）由
90
BAC
DAE
=
=
，得
BAD
CAE
=
，即可证
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，有BD
CE
=
，ACE
ABC
=
，
而ABC
是等腰三角形且
90
BAC
=
，知
45
ABC
ACB
=
=
，故
45
ACE
ABC
=
=
，即可得
45
45
90
BCE
ACB
ACE
=
+
=
+
=
，BD
CE
⊥
；
（3）证明
45
O MO
=
，当OP 有最小，即O P
最小，即垂线段最短，当O P
y
⊥
轴时，O P
最小，则可
得出答案．
【详解】（1）∵
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
在ABD
和
ACE
△
中，
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AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
；
故答案为：
ACE
△
；BD
CE
=
；
（2）解：BD与CE 的数量关系是BD
CE
=
，位置关系是BD
CE
⊥
∵
90
BAC
DAE
=
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
在ABD
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴BD
CE
=
，
ACE
ABC
=
，
∵ABC
是等腰三角形且
90
BAC
=
，
∴
45
ABC
ACB
=
=
，
∴
45
ACE
ABC
=
=
，
∴
45
45
90
BCE
ACB
ACE
=
+
=
+
=
，
∴BD
CE
⊥
；
（3）∵
MNP
△
是等腰直角三角形，
∴
45
MNP
NPM
=
=
，
将OPM
绕M 点顺时针旋转90得O P M
（N 与P重合），
连接OO，
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∴PMO
P MO
≌
，
∴MO
MO
=
，OP
O P
=
，
∴
45
O MO
=
，
当OP 有最小，即O P
最小，当O P
y
⊥
轴时，
由
45
O OP
=
，
90
O P O
=
，
∴
4
O P
OM
=
=
，
4
ON
OP
=
=
，
∴
4
ON =
，OP 最小值为4．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．
（2026·重庆·模拟预测）如图，
90
9cm
3cm
AC
CE
ACE
AB
BD
ED
BD
AB
DE
=
=
⊥
⊥
=
=
，
，
，
，
，
，则BD
等于（ ）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
【答案】C
【分析】证出
BAC
DCE
=
，根据AAS证明BAC
DCE
≌
，得出CD
AB
=
，BC
DE
=
，从而可求出BD．
【详解】解：∵
90
ACE
AB
BD
ED
BD
=
⊥
⊥
，
，
，
∴
90
B
D
=
=
，
∴
90 ,
90
BAC
ACB
ACB
DCE
+
=
+
=
，
∴
BAC
DCE
=
，
又AC
CE
=
，
∴
(
)
AAS
BAC
DCE
≌
，
∴
9cm
3cm
CD
AB
BC
DE
=
=
=
=
，
，
∴
3 9
12cm
BD
BC
CD
=
+
= + =
．
2．
（25-26 八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：AC
BC
=
，DC
EC
=
，
90
ACB
ECD
=
=
，
38
EBD
=
，
现有下列结论：①
BDC
AEC
△
≌△
；②
135
AEB
=
；③BD
AE
=
；④AE
BD
⊥
．其中正确的有（ ）．
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】先通过角的等量代换得到
BCD
ACE
=
，利用SAS 证明BDC
AEC
≌
，由此推出BD
AE
=
，再
结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证
AEB
度数与AE
BD
⊥
是否成立，逐
一判断4 个结论正误．
【详解】解：已知
90
ACB
ECD
=
=
，
ACB
ECB
ECD
ECB
−
=
−
，
即
BCD
ACE
=
，
在BDC
和AEC
中：
BC
AC
BCD
ACE
DC
EC
=
=
=
，
(
)
SAS
BDC
AEC
≌
，结论①正确；
由全等三角形对应边相等，得BD
AE
=
，结论③正确；
由BDC
AEC
≌
，得
CBD
CAE
=
，
已知
38
EBD
CBD
CBE
=
+
=
，
38
CAE
CBE
+
=
，
∵
90
ACB
=
，
90
CBA
CAB
+
=
，
即
90
CBE
ABE
CAE
BAE
+
+
+
=
，
代入
38
CAE
CBE
+
=
，得
90
38
52
ABE
BAE
+
=
−
=
，
在ABE
中，
(
)
180
180
52
128
135
AEB
ABE
BAE
=
−
+
=
−
=
，结论②错误；
延长AE 交BD于点F ，交BC 于点H ，
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由BDC
AEC
≌
，得
DBC
EAC
=
，
又
BHF
CHA
=
，
90
ACB
=
，
90
BHF
DBC
CHA
EAC
+
=
+
=
，
180
90
AFB
BHF
DBC
=
−
−
=
，即AF
BD
⊥
，
AE
BD
⊥
，结论④正确，
综上，①③④正确，共3 个正确结论．
3．（25-26 八年级上·四川遂宁·期末）如图，在OAB
和OCD
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，OA
OC
，
30
AOB
COD
=
=
，连接AC ，BD交于点M ，AC 与OD 相交于E ，BD与OA相交于F ，连接OM ．则
下列结论中：①AOC
BOD
≌
；②AC
BD
=
；③
30
AMB
=
；④OEM
OFM
≌
．正确的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】由SAS证明AOC
BOD
≌
得出AC
BD
=
，则①②正确；由全等三角形的性质得出
OAC
OBD
=
，
由三角形的外角性质得
AMB
OAC
AOB
OBD
+
=
+
，得出
30
AMB
AOB
=
=
，则③正确；作
OG
MC
⊥
于G ，OH
MB
⊥
于H ，则
90
OGC
OHD
=
=
，由AAS证明OCG
ODH
，得出OG
OH
=
，
由角平分线的判定得出MO 平分
BMC
，假设OEM
OFM
≌
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
EOG
FOH
≌
，可得到
(
)
ASA
DMO
AMO
≌
，从而得到OC
OA
=
，与OA
OC
矛盾，则④错误．
【详解】解：
30
AOB
COD
=
=
，
∴
AOB
AOD
COD
AOD
+
=
+
，即
BOD
AOC
=
，
在AOC
和
BOD
△
中，
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OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
=
=
，
(
)
AOC
BOD SAS
≌
，则①正确；
AC
BD
=
，
OAC
OBD
=
，
OCA
ODB
=
，则②正确；
由三角形的外角性质得：
AMB
OAC
OFD
AOB
OBD
+
=
=
+
，
30
AMB
AOB
=
=
，则③正确；
如图，作OG
MC
⊥
于G ，OH
MB
⊥
于H ，则
90
OGC
OHD
=
=
，
在OCG
和ODH
中，
90
OCG
ODH
OGC
OHD
OC
OD
=
=
=
=
，
(
)
AAS
OCG
ODH
≌
，
OG
OH
=
，
GOM
HOM
=
，
MO
平分
BMC
，即
=
CMO
BMO ，
CMD
BMA
=
，
∴
DMO
AMO
=
，
假设OEM
OFM
≌
，
OE
OF
=
∴
，
在Rt EOG
和Rt
FOH
△
中，
∵
,
OE
OF OG
OH
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
EOG
FOH
≌
，
∴
EOG
FOH
=
，
∴
EOG
GOM
FOH
MOH
+
=
+
，即
EOM
FOM
=
，
在DMO 和AMO
中，
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∵
DMO
AMO
=
，OM
OM
=
，
EOM
FOM
=
，
∴
(
)
ASA
DMO
AMO
≌
，
∴OD
OA
=
，即OC
OA
=
，与OA
OC
矛盾，
则假设不成立，则④错误；
综上，正确的结论有①②③．
二、填空题
4．
（25-26 八年级下·山西晋中·期末）如图，在ABC
与ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，BAC
DAE
=
=
，
连接BD和CE 交于点P ，连接AP ，则
BPC
= _______（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】过点A作AH
BD
⊥
，AG
CE
⊥
，交BD，CE 于点H ，G ，证明
D
AB ≌
△
△ACE ，得出对应边相
等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解．
【详解】解：
BAC
DAE
=
，
BAD
CAE
=
，
又
AB
AC
=
∵
，AD
AE
=
，
D
AB ≌
△
△
(SAS)
ACE
，
ACE
ABD
=
，
AOB
COP
=
，
180
180
ACE
COP
ABP
AOB
−
−
=
−
−
，
BPC
BAC
=
=
．
5．
（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在ABC
中，
90
ABC
=
，BE
AC
⊥
于点F ，
2
EF
BF
=
，ED
BC
⊥
交BC 的延长线于点D ，AB
BD
=
．若
2cm
BF =
，则AC =______ cm．
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【答案】6
【分析】利用ASA证明DBE
BAC
≌
，得到BE
AC
=
，据此计算即可求得答案．
【详解】解：∵
90
ABC
=
，BE
AC
⊥
，ED
BC
⊥
，
∴
90
ABC
BFC
D
=
=
=
，
∴
90
DBE
BCA
A
=
−
= ，
∵AB
BD
=
，
∴
(
)
ASA
DBE
BAC
≌
，
∴BE
AC
=
，
∵
2
EF
BF
=
，
2cm
BF =
，
∴
2
4cm
EF
BF
=
=
，
∵
2
4
6cm
BE =
+
=
，
∴
6cm
AC =
．
6．（25-26 七年级下·江西萍乡·期末）如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，
2
AB
AC
=
，点D 是线段AB 的中点，
将一块锐角为45的直角三角板按如图（ADE
）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，
连接BE、CE ，CE 与AB 交于点F，则
AEC
DBE
+
=______．
【答案】45
【分析】由已知条件可知，AC
BD
=
，AE
DE
=
，
45
DAE
ADE
=
=
，进而推出
(
)
SAS
ACE
DBE
≌
，
得到
AEC
DEB
=
，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：
2
AB
AC
=
，点D 是线段AB 的中点，
1
2
AC
AB
=
，
1
2
AD
BD
AB
=
=
，
AC
BD
=
，
ADE
是锐角为45的直角三角板，
AE
DE
=
，
45
DAE
ADE
=
=
，
90
BAC
=
，
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90
45
135
CAE
BAC
DAE
=
+
=
+
=
，
180
180
45
135
BDE
ADE
=
−
=
−
=
，
CAE
BDE
=
，
在
ACE
△
和DBE
中，
AE
DE
CAE
BDE
AC
BD
=
=
=
，
(
)
SAS
ACE
DBE
≌
，
=
AEC
DEB，
45
ADE
DEB
DBE
AEC
DBE
=
+
=
+
=
．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·山西运城·期末）已知：如图，ABC
和
CDE
△
都是等腰三角形（CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCE
=
=
），点B 、C 、E 不在同一条直线上，连接AE 和BD．试探究线段AE 与BD的数量关系
并说明理由．
【答案】AE
BD
=
，理由如下：
ACB
DCE
=
=
，
ACB
ACD
DCE
ACD
+
=
+
，即
BCD
ACE
=
，
在BCD
和
ACE
△
中，
CA
CB
BCD
ACE
CD
CE
=
=
=
，
(
)
BCD
ACE SAS
≌
，
AE
BD
=
．
【分析】由
ACB
DCE
=
=
推出
BCD
ACE
=
，再根据SAS推出BCD
ACE
≌
，进而证明AE
BD
=
．
【详解】略
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8．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）综合与探究
问题情境：
小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进
行了如下操作：
如图1，在ABC
和ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAE
=
，连接BD、CE ．
【问题发现】
(1)小明发现图1 就是手拉手模型，拉手线BD、CE 存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②
处的理由；
解：
BAC
DAE
=
BAD
DAC
CAE
DAC
+
=
+
BAD
CAE
=
（理由：①）
在ABD
和
ACE
△
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
(
)
ABD
ACE SAS
≌
BD
CE
=
（理由：②）
(2)如图2，在图1 的基础上，ABC
不动，将ADE
绕着点A逆时针旋转至点B ，点B 、D 、E 在一条直线
上，BE交AC 于点O．小明发现ABD
与
ACE
△
依然全等．当
BAC
DAE
=
=
时，求
BEC
；
【拓展探究】
(3)在图2 的基础上，延长CE 至点F ，如图3．判断
AED
∠
与
AEF
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等；
(2)
BEC
=
；
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(3)解：
AED
AEF
=
．理由如下：
如图，过点A 作AM
CE
⊥
于点M，作AN
BD
⊥
于点N．
同（1）可知
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴BD
CE
=
，
∴
ABD
ACE
S
S
=
，
∵
1
2
ABD
S
BD AN
=
，
1
2
ACE
S
CE AM
=
△
，
∴1
1
2
2
BD AN
CE AM
=
，
∴AM
AN
=
，
又∵
,
AM
CE AN
BD
⊥
⊥
，
∴
(
)
HL
AME
ANE
≌
，
∴
AED
AEF
=
．
【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可；
（2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果；
（3）过点A 作AM
CE
⊥
于点M，作AN
BD
⊥
于点N，证明AN
AM
=
，进而证明
(
)
HL
AME
ANE
≌
，可
知
AED
AEF
=
．
【详解】（1）略；
（2）解：同（1）可知
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
ABD
ACE
=
．
AOB
EOC
=
且
BAC
=
，
在AOB
与
EOC
△
中，
180
BAC
ABD
AOB
+
+
=
，
180
BEC
ACE
EOC
+
+
=
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BEC
BAC
=
=
；
（3）略．
9．
（25-26 八年级上·山东日照·阶段检测）
（1）如图1，C、A、E 在一条直线上，
90 ,
,
BAD
AB
AD BC
CA
=
=
⊥
于点C，DE
AE
⊥
于点E．求证：BC
AE
=
．
（2）如图2，EA
AB
⊥
且
,
AE
AB BC
CD
=
⊥
且BC
CD
=
，计算图中实线所围成的图形ABCDE 的面积．
（3）如图3，
90 ,
,
BAD
CAE
AB
AD AC
AE
=
=
=
=
，连接BC 、DE ，且BC
AF
⊥
于点F，DE 与AF 交
于点G，若
21,
12
BC
AF
=
=
，求
ADG
△
的面积．
【答案】
（1）证明：∵
90
BAD
=
∴
90
BAC
DAE
+
=
，
∵BC
AC
⊥
，DE
AC
⊥
，
∴
90
ACB
DEA
=
=
，
∴
90
BAC
ABC
+
=
，
∴
ABC
DAE
=
，
在ABC
和DAE
中，
ABC
DAE
ACB
DEA
BA
AD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABC
DAE
≌
，
∴BC
AE
=
；
（2）50；
（3）63
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是
解题的关键．
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（1）证明
(
)
AAS
ABC
DAE
≌
，根据全等三角形的对应边相等得到BC
AE
=
；
（2）根据全等三角形的性质得到
3
AP
BG
=
=
，
6
AG
EP
=
=
，
4
CG
DH
=
= ，
3
CH
BG
=
= ，根据梯形和三
角形的面积公式计算，得到答案；
（3）过点D 作DP
AG
⊥
于P ，过点E 作EQ
AG
⊥
交AG 的延长线于Q ，推导出DP
EQ
=
，
90
DPG
EQG
=
=
，即可证明
(
)
AAS
DPG
EQG
≌
，得到PG
GQ
=
，再根据全等三角形的性质推导出
(
)
2
21
BC
BF
FC
AP
AQ
AP
PG
=
+
=
+
=
+
=
进而求出AG ，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】证明：（1）略
（2）解：由（1）中模型可知，AEP
BAG
≌
，CBG
DCH
≌
，
∴
3
AP
BG
=
=
，
6
AG
EP
=
=
，
4
CG
DH
=
= ，
3
CH
BG
=
= ，
则
(
) (
)
1
1
1
1
1
4
6
3 6
4
3
3 6
3 6
3 4
3 4
50
2
2
2
2
2
ABCDE
S
=
+
+ + +
−
−
−
−
=
实线围成的图形
；
（3）解：过点D 作DP
AG
⊥
于P ，过点E 作EQ
AG
⊥
交AG 的延长线于Q ，
由（1）中模型可知，
AFB
DPA
≌
△
△
，
AFC
EQA
≌
△
△
，
∴DP
AF
=
，EQ
AF
=
，BF
AP
=
，FC
AQ
=
，
∴
12
DP
EQ
AF
=
=
=
，
∵
,
DP
AG EQ
AG
⊥
⊥
，
∴
90
DPG
EQG
=
=
，
∵
DGP
EGQ
=
∴
(
)
AAS
DPG
EQG
≌
，
∴DG
GE
=
，PG
GQ
=
，
∵BF
AP
=
，FC
AQ
=
，
∴BC
BF
FC
AP
AQ
=
+
=
+
，
∵
21
BC =
，
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∴
21
AP
AQ
+
=
，
∴
21
AP
AP
PG
GQ
+
+
+
=
，
∴
21
AP
AP
PG
PG
+
+
+
=
，
∴
10.5
AP
PG
+
=
，
∴
10.5
AG =
，
∴
1
1 10.5 12
63
2
2
ADG
S
AG DP
=
=
=
．
10．（25-26 七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点D 为直线BC 上一动点，
以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角ADE
，使
90 ,
DAE
AD
AE
=
=
．
(1)当点D 在线段BC 上时，如图1，请判断CE 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，判断
,
,
BC CD CE 三条线段数量关系，并说明理由；
(3)当点D 在线段CB 的延长线上时，直接判断CE 与BC 的位置关系，并直接写出
,
,
BC CD CE 三条线段的数
量关系．
【答案】(1)解：CE
BC
⊥
，
理由：
90
BAC
DAE
=
=
，
BAC
CAD
DAE
CAD
−
=
−
，
BAD
CAE
=
，
在ABD
与
ACE
△
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
ABC
ACE
=
，
∵ABC
是等腰直角三角形，且
90
BAC
=
，
45
ABC
ACB
=
=
，
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∴
45
ACE
ABC
=
=
，
∴
90
BCE
ACB
ACE
=
+
=
，
∴
90
ABC
ACE
+
=
，
∴CE
BC
⊥
；
(2)解：CE
BC
CD
=
+
，
理由：∵ABC
ADE
、
是等腰直角三角形，
∴
,
,
90
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
在ABD
和ACE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴BD
CE
=
，
∵BD
BC
CD
=
+
，
∴CE
BC
CD
=
+
；
(3)
,
BC
CE CD
BC
CE
⊥
=
+
．
【分析】（1）根据“SAS”即可证明
ABD
ACE
△
△
≌
，再根据等腰直角的性质即可说明；
（2）同（1）的方法判断出
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，得出BD
CE
=
，再根据BD
BC
CD
=
+
，可得出结论；
（3）同（2）的方法可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：
,
BC
CE CD
BC
CE
⊥
=
+
，
理由：如图3，
∵ABC
ADE
，
是等腰直角三角形，
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∴
,
,
90
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
=
，
∴
BAC
BAE
DAE
BAE
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在ABD
和ACE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴
ADB
AEC
=
，
∴BD
CE
=
，
∵CD
BD
BC
=
+
，
∴CD
CE
BC
=
+
，
∵
90
ADE
AED
+
=
，即
90
ADB
CDE
AED
+
+
=
，
∴
90
AEC
CDE
AED
+
+
=
，
∴
90
DCE
=
，即BC
CE
⊥
，
∴
,
BC
CE CD
BC
CE
⊥
=
+
．
11．（25-26 八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】
（1）如图1，在ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，直线l 经过点A，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂
足分别为D，E ．求证：
ABD
CAE
△
△
≌
；
【变式探究】
（2）如图2，在ABC
中，AB
AC
=
，直线l 经过点A，点D ，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
=
=
，
求证：ED
BD
CE
=
+
；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB ，AC 为一边
向外作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
=
=
，AB
AD
=
，AC
AE
=
，AG 是边BC 上的高．延长GA交
DE 于点H ，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1S ，
2
S 大小关系，并说明理由．
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【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）
1
2
S
S
=
，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．
（1）利用AAS证明
ABD
CAE
≌
△
△
即可；
（2）证明
(
)
AAS
EAC
DBA
≌
得到CE
AD
=
，EA
BD
=
，则ED
EA
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
（3）过点D 作DM
AH
⊥
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
⊥
于点N，先证明
(
)
ABG
DAM AAS
≌
得到AG
DM
=
．同理可证明：AGC
ENA
≌
得到AG
EN
=
．则DM
EN
=
，即可得到
1
1
2
S
AH DM
=
?
，
2
1
2
S
AH EN
=
?
，
1
2
S
S
=
．
【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l，CE ⊥直线l，
∴
90
BDA
AEC
=
=
，
∴
90
DAB
DBA
+
=
．
∵
90
BAC
=
，
∴
90
DAB
EAC
+
=
．
∴
DBA
EAC
=
．
在ABD
和CAE
中，
90
BDA
AEC
DBA
EAC
AB
AC
=
=
=
=
，
(
)
ABD
CAE AAS
≌
；
（2）证明：∵
EAB
是ABD
的外角，
∴EAB
ADB
DBA
?
?
?
．
∴EAC
BAC
ADB
DBA
?
?
?
?
．
∵
ADB
BAC
=
，
∴
EAC
DBA
=
．
在EAC
和DBA
中，
EAC
DBA
CEA
ADB
AC
AB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
EAC
DBA
≌
．
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∴CE
AD
=
，EA
BD
=
．
∴ED
EA
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
（3）
1S ，
2
S 大小关系是：
1
2
S
S
=
理由如下：
过点D 作DM
AH
⊥
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
⊥
于点N，如图所示：
∵AG
BC
⊥
，
∴
90
AGB
M
=
=
．
∴
90
ABG
BAG
+
=
．
∵
90
BAD
=
，
∴
90
BAG
DAM
+
=
．
∴
ABG
DAM
=
．
在ABG
和
DAM
△
中，
90
AGB
M
ABG
DAM
AB
AD
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABG
DAM AAS
≌
．
∴AG
DM
=
．
同理可证明：AGC
ENA
≌
．
∴AG
EN
=
．
∴DM
EN
=
．
∵
1
1
2
S
AH DM
=
?
，
2
1
2
S
AH EN
=
?
，
∴
1
2
S
S
=
．
12．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基
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本图形．
(1)如图①，在ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，直线l 经过点A，BD ⊥直线l，CE ⊥直线l，垂足分别为
D、E．可证得：DE 、BD、CE 的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件
改为：在ABC
中，AB
AC
=
，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有
BDA
AEC
BAC
=
=
=
，其中α
为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC
的边AB 、AC
为腰向外作等腰直角ABE
和ACG
，其中
90
BAE
CAG
=
=
，若AH
BC
⊥
，垂足为点H，延长HA交EG
于点M．求证：点M 是EG 的中点．
【答案】(1) DE
BD
CE
=
+
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质；
（1）证明
(
)
ABD
CAE AAS
≌
得
,
BD
AE AD
CE
=
=
，由此即可得出DE 、BD、CE 的数量关系；
（2）同（1）证
(
)
ABD
CAE AAS
≌
得
,
BD
AE AD
CE
=
=
，进而得DE
AE
AD
BD CE
=
+
=
+
，据此即可得
出结论；
（3）过点E 作EN
AG
∥
，交AM 的延长线于点N ，由等腰直角三角形，得到
,
AB
AE AC
AG
=
=
，根据同
角的余角相等得到
ABC
EAN
=
，再根据
180
BAC
EAG
+
=
和
180
AEN
EAG
+
=
得到
BAC
AEN
=
，即可证明
(
)
ASA
ABC
EAN
≌
，得到AC
EN
AG
=
=
，再由EN
AG
∥
，得到
,
N
MAG
MEN
MGA
=
=
，即可证明
(
)
ASA
EMN
GMA
≌
得到EM
GM
=
，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：DE 、BD、CE 的数量关系为：DE
BD
CE
=
+
，理由如下：
如图1 所示：
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∵
,
BD
l CE
l
⊥
⊥，
∴
90
BDA
AEC
=
=
，
∴1
2
90
+=
，
在ABC
中，
90
BAC
=
，
∴1
3
90
+=
，
∴
2
3
= ，
∵AB
AC
=
，
∴
(
)
ABD
CAE AAS
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
=
=
，
∴DE
AE
AD
BD CE
=
+
=
+
；
故答案为：DE
BD
CE
=
+
；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2 所示：
∵
BDA
AEC
BAC
=
=
=
，AB
AC
=
，
∴1
3 180
180
BAC
+=
−
=
−
，
在ABD
中，1
2
180
180
BDA
+ =
−
=
−
，
∴
2
3
= ，
∵
BDA
AEC
=
=
，AB
AC
=
，
∴
(
)
ABD
CAE AAS
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
=
=
，
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∴DE
AE
AD
BD CE
=
+
=
+
；
（3）解：证明：过点E 作EN
AG
∥
，交AM 的延长线于点N ，如图3 所示：
∵ABE
和ACG
都是等腰直角三角形，且
90
BAE
CAG
=
=
，
∴
,
AB
AE AC
AG
=
=
，
∵AH
BC
⊥
，
∴
90
ABC
HAB
+
=
，
∵
90
BAE
=
，
∴
90
HAB
EAN
+
=
，
∴
ABC
EAN
=
，
∵
90
BAE
CAG
=
=
，
∴
180
BAC
EAG
+
=
，
∵EN
AG
∥
，
∴
180
AEN
EAG
+
=
，
∴
BAC
AEN
=
，
∴
(
)
ASA
ABC
EAN
≌
，
∴AC
EN
=
，
∵AC
AG
=
，
∴EN
AG
=
，
∵EN
AG
∥
，
∴
,
N
MAG
MEN
MGA
=
=
，
∴
(
)
ASA
EMN
GMA
≌
，
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∴EM
GM
=
，
∴点M 是EG 的中点．
