文档文本内容
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题06 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综
合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【一线三等角模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
=
= ，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
=
=
，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
目 录
2 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
=
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
=
+，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
=
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
=
，BE
CD
=
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
【手拉手模型及证法】
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
3 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形之一线三等角模型
典例1（25-26 八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在
中，
，
过点
在
外作直线，
于点
，
于点
．
(1)试说明：
；
4 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)如图②，将（1）中条件改为
，
，请问（1）中的结
论
是否还成立？请说明理由．
题型模版
1.特征：一条直线上出现三个相等角，构造全等或相似三角形，常用于求线段长度。
2.方法：利用同角的余角或补角相等，找出等角，再结合已知边角用ASA 或AAS 证明全等，从而得对应边
相等。
变式1-1（25-26 八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57 页C 组习题，如图
1，在
中，
，
，直线经过点C，且
于
，
于E．请直接写出
、
、
之间的数量关系．
（2）问题解决：在（1）的条件下，当直线
绕点C 旋转到图2 的位置时，求证：
．
（3）变式探究：如图3，
，
，
是经过
顶点C 的一条直线，并且经过
的
内部，点E、F 在射线
上，且
．请猜想
、
、
之间的数量关系，并说明理
由．
变式1-2（25-26 八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在
中，
，
，
是
过点A 的直线，
于点D，
于点E，且
．求证：
．
（2）如图②，在
中，
，D，A，E 三点都在直线l 上，并且有
，且
，请问
是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E 是D，A，E 三点所在直线l 上的两动点（D，A，E 三点互不重合），点F
为
平分线上的一点，且
和
均为等边三角形，连接
，
．若
，
试判断
的形状．
5 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
典例2（25-26 八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具
有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图
形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：如图1，若
和
均是顶角为
的等腰三角形，
、
分别是底边，求证：
；
(2)拓展探究：如图2，若
和
均为等边三角形，点B、D、E 在同一条直线上，连接
，则
的度数为__________；线段
与
之间的数量关系是__________；
(3)解决问题：如图3，若
和
均为等腰直角三角形，
，点B、D、E 在同一条
直线上，
为
中
边上的高，连接
．若等式
成立，请求出a 的值和b 的值．
题型模版
1.特征：两个等腰三角形共顶点，且顶角相等，通过旋转全等，证边角相等或求夹角。
2.方法：找到公共顶点，利用等腰性质及顶角相等，用SAS 证明两三角形全等，得对应边角相等。
变式2-1（25-26 八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
问题背景：
和
为等腰直角三角形，
，
，
，连接
．
问题初探：
（1）如图1，当B，E，C 三点在同一条直线上时，
6 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
①
与
的位置关系为_________．
②
与
的数量关系为_________．
拓展探究：
（2）如图2，当B，E，C 三点不在同一条直线上时，
与
交于点F，试判断（1）中
与
的位置
关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中
与
的位置关系和数量关系是否仍然成立．
变式2-2（25-26 八年级上·河南新乡·期中）
（1）如图1，
和
都是等边三角形，连接
，
．若
，则
的度数是________．
（2）如图2，
和
都是等边三角形，点
，，在同一条直线上，连接
．求证：
．
（3）如图3，
和
均为等腰直角三角形，
，点
，
，在同一条直线上，
于点
，连接
，求
的度数以及线段
，
，
之间的数量关系．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 八年级下·广东江门·期中）如图，
中，
，
，三角形的顶点在相互平
行的三条直线，、
、
上，且、
之间的距离为1，
、
之间的距离为3，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．7
7 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2．（25-26 八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在
，
中，
，
，
，C，D，E 三点在同一条直线上，连接
．以下四个结论：①
；②
；
③
；④
．其中错误的个数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在
中，
是
边上的高，
．连接
，交
的延长线于点E，连接
．则下列结论：
①
；②
；③
；④
，其中正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
二、填空题
4．
（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）如图，
，
，
于E，
于D．
，
，
______
5．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，
，
，
，连接
，
，
且
于点F，
与直线
交于点G．若
，
，则
的面积为____．
8 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6．（2026·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1 所示摆放，将两个三角板抽象成
如图2 所示的
和
，其中
，点
、
、
依次在同一条直线上，连结
．若
，
，则
的面积是____．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·四川成都·期末）如图，
与
为等腰三角形，
，
，
，
为线段
上一个动点，
与
相交于点
．
(1)如图1，求证：
平分
；
(2)如图2，在
延长线上取一点
，当
时，线段
与
有什么位置关系？并说明理由；
(3)如图3，若
，且
的面积为
，求
的长．
8．（25-26 七年级下·四川达州·期末）综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的
对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以
下问题：
9 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【建立模型】：
(1)如图1，在等腰直角三角形
中，
，
，直线l 经过点C，过点A 作
于点D，
过点B 作
于点E，直接写出
、
、
之间的数量关系：_________________；
【实践探究】：
(2)如图2，在
中，
，点D、E 分别在边
、
上，且
，
．若
，
求
的长度．
【拓展应用】：
(3)如图3，在
中，
，
，点D、E 分别是边
、
上的动点，以
为腰向右作
等腰
，使得
，且
，连接
、
，
．
①线段
和
有何数量关系，并说明理由；
②在点D、E 运动过程中，点F 位置也随之发生改变，若
，当线段
取得最小值时，求
的
面积．
9．（25-26 七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题
(1)如图1，
，
，
，
．点
在线段
上以
的速度由点
向点
运动，同时，点
以相同的速度在射线
上由点
向点
运动．它们运动的时间为
，当点
到达点
时，点
也停止运动．当
时，猜想：线段
与
之间的关系，并说明理由．
(2)【拓展】如图2，在
中，
，D，A，E 三点都在直线m 上，并且
猜
想：线段
、
、
之间的关系，并说明理由．
(3)【应用】如图3，在
中，
是钝角，
，
，
，
直线m 与
的延长线交于点F，若
，
的面积是12，则
与
的面积之和为 ．
10 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10．（25-26 七年级下·河南驻马店·阶段检测）根据题意，完成以下各题
(1)如图，
和
是等腰直角三角形，
，
，连接
，
，构建“手
拉手”模型，得到了
；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图
的划斜线部分，得到了
______ ．
(2)如图，
和
是等边三角形，
，连接
，
，
的延长线与
相交于点
．请
猜想
与
的大小关系，求
的度数；
(3)如图
，在
和
中，
，
，
，
，连接
，
．则
与
的数量关系为______，直线
与直线
的夹角为______；
(4)如图，
和
是等腰直角三角形，
，
，连接
，
，
是线段
的中点，连接
若
，请你直接写出
的长．
