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专题06 反比例函数的特殊三角形、四边形的十一类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数中的全等三角形与k 型
题型二、反比例函数中的等腰三角形
题型三、反比例函数中的等边三角形
题型四、反比例函数中的等腰直角三角形
题型五、反比例函数中的直角三角形
题型六、反比例函数中的平行四边形
题型七、反比例函数中的菱形
题型八、反比例函数中的矩形
题型九、反比例函数中的正方形
题型十、反比例函数中的角度与等角
题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类别
具体
内容
核心知识点
易错点
特殊
三角
形存
在性
问题
等腰
三角
形存
在性
1. 分类讨论：分别以三个顶点为
等腰三角形顶点，两腰相等；2. 利
用两点间距离公式列方程求解；3.
结合反比例函数解析式验证点坐
标的有效性
1. 漏解：未完整进行分类讨论，遗漏某一
种顶点情况；2. 增解：未验证求得的点是
否在反比例函数图象上，保留不符合条件
的解；3. 计算错误：两点间距离公式应用
时符号或平方运算出错
直角
三角
形存
在性
1. 分类讨论：分别以三个顶点为
直角顶点；2. 利用勾股定理逆定
理或斜率乘积为-1（垂直判定）列
方程；3. 结合反比例函数有意义
筛选结果
1. 忽略直角顶点在原点或坐标轴上的特
殊情况；2. 混淆斜率垂直的条件，忽略斜
率不存在的特殊情形；3. 未考虑反比例函
数x≠0 的限制，得到无效点坐标
目 录
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等腰
直角
三角
形存
在性
1. 结合等腰与直角的双重条件分
类；2. 利用全等三角形或坐标变
换确定点的位置关系；3. 代入反
比例函数解析式求解验证
1. 分类重复或遗漏，同一位置重复计算；
2. 坐标变换时横纵坐标对应关系错误；3.
未同时满足等腰和直角两个条件，只满足
一个就得出结论
特殊
四边
形存
在性
问题
平行
四边
形存
在性
1. 分类讨论：已知边为平行四边
形的边或对角线两种情况；2. 利
用平行四边形对角线中点坐标重
合（中点公式）列方程；3. 利用
平移性质确定点坐标
1. 只讨论已知边为边的情况，遗漏已知边
为对角线的情形；2. 中点坐标公式计算错
误，横纵坐标弄混；3. 平移方向考虑不全，
导致漏解
矩形
存在
性
1. 先满足平行四边形，再附加直
角或对角线相等条件；2. 分类讨
论已知顶点的位置关系；3. 利用
勾股定理或垂直条件验证
1. 直接按平行四边形求解后未验证矩形
的特殊条件；2. 对角线相等条件应用时计
算错误；3. 忽略矩形四个顶点都在反比例
函数图象上的限制，保留不在图象上的点
菱形
存在
性
1. 先满足平行四边形，再附加邻
边相等或对角线垂直条件；2. 利
用两点间距离公式计算邻边长度
列方程；3. 结合反比例函数验证
点坐标
1. 混淆菱形与平行四边形的判定条件，遗
漏邻边相等的验证；2. 对角线垂直条件应
用错误；3. 出现四个顶点共线的无效情况
未排除
正方
形存
在性
1. 同时满足矩形+菱形的判定条
件；2. 利用坐标变换或三垂直全
等求点坐标；3. 代入反比例函数
逐一验证
1. 只满足矩形或菱形一个条件，未同时验
证两个要求；2. 三垂直全等模型中对应边
的坐标对应错误；3. 分类不全面，遗漏不
同位置的正方形情况
通用
问题
分类
讨论
原则
按照已知点、未知点的角色分类，
保证不重不漏
分类标准混乱，出现重复讨论或者漏解
解的
验证
所有求得的点必须满足反比例函
数解析式，同时满足点不重合、图
形不退化（不能三点共线等）
求得方程的解后直接作为结果，未排除不
符合图形要求或不在反比例函数上的增根
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题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数中的全等三角形与k 型
典例1 如图，反比例函数
k
y
x
=
在第一象限内的图象与矩形OABC的两边相交于D ，E 两点，
2
2
CE
AD
=
=
．若矩形OABC的面积为9
2 ，则k 的值是（ ）
A．6
B．8
C．4
D．3
变式1-1 如图，在平面直角坐标系中，ABC
的顶点A、C 均在函数
1 (
0)
y
x
x
=
的图象上，顶点B 在函数
3 (
0)
y
x
x
=
的图象上，且AB
x
轴，BC
y
轴．若
3
2
AB
BC =
，则线段AB 的长为（ ）
A．1
B．2 2
3
C．2
D．2
变式1-2 如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(
)
4,3 ，顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的
图象经过点B ，则k 的值为（ ）
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A．12
B．24
C．27
D．32
变式1-3 如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点A、B 的坐标分别为(
)
1.5,3 、(
)
6.5,3 ，动点C 在双曲
线
k
y
x
=
上，且满足
90
ACB
=
，当OC 长度最小时，k 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4.5
D．6
类型二、反比例函数中的等腰三角形
典例2 如图，等边OAB
的边长为5，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象交OA于点C ，交AB 于点D ，且
3
OC
BD
=
，则k 的值为（ ）
A．
9
3
8
−
B．9
3
4
C．15
3
4
D．
15
3
4
−
变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，点A、C 关于坐标原点对称，且均在反比例函数
6
y
x
−
=
图象上，AB
y
⊥
轴于点B，CD
y
⊥
轴于点 D，连结AD、BC ，则四边形ABCD的面积为_______．
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变式2-2 如图，菱形OABC的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是10 和6
（AC
OB
），反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点C，则k 的值为______；
变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为(
)
5,0 ，点C 在反比例函数
k
y
x
= （
0
k
，
0
x
）的图象上，连结OA、OC ，以OA、OC 为邻边构造菱形OABC．若菱形OABC的面积为20 ，则k 的
值为________．
题型三、反比例函数中的等边三角形
典例3 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x 轴的负半轴上，顶点B ，C ，D 都在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象上，且边BC 经过原点O，若平行四边形ABCD的面积为18，则k =__________．
变式3-1 如图，在菱形ABCO中，点
(
)
10,0
A −
，点(
)
,8
B a
，AC 与BO交于点D ，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的
图象经过点D，则k 的值为________．
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变式3-2 已知点(
)
,
P m n 是反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
=
图形上的动点，PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴，分别交反比例函
数
(
)
3
0
y
x
x
=
的图像于点A、B ，点C 是直线
2
y
x
=
上的一点．
(1)请用含m 的代数式表示P、A、B 三点坐标．
(2)在点P 的运动过程中，联结AB ，三角形PAB的面积是否变化，若不变，请求出三角形PAB的面积；若
改变，请说明理由．
(3)在点P 运动过程中，是否存在以AP 为直角边的三角形APC 和三角形PAB全等，如果存在，请求出关于
m 的方程（不必求解）．
变式3-3 已知点
( , )
P m n 是反比例函数
6 (
0)
y
x
x
=
图形上的动点，PA
x
∥轴，PB
y
∥
轴，分别交反比例函
数
3 (
0)
y
x
x
=
的图像于点A、B，点C 是直线
2
y
x
=
上的一点．
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(1)请用含m 的代数式表示P、A、B 三点坐标．
(2)在点P 的运动过程中，连接AB ，PAB
的面积是否变化，若不变，请求出PAB
的面积，若改变，请说
明理由．
(3)在点P 运动过程中，是否存在以AP 为直角边的
APC
△
和PAB
全等，如果存在，请求出m 的值．
题型四、反比例函数中的等腰直角三角形
典例4 【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI 技术已悄然
渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生
一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题．
【条件设置】将图1 放置在直角坐标系中（图2），设点O 为坐标原点，水平直线OC 为横轴，过点O 的铅
垂线为纵轴．小球从y 轴上的A 点出发，到达x 轴上的B 点后改变方向运动到挡板CG 上D 点处，其中DC
x
⊥
轴，垂足为C，
90
ABD
=
，小球运动都为直线型路径．
【初步发现】
(1)如图2，若AB 的函数关系式为
4
4
3
y
x
= −
+
．
①则点A 坐标为________；点B 坐标为________；
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②聪明的小宛发现当AB
BD
=
时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D 的坐标为________；
【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个
全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标．
【应用探究】
(2)已知直线1 :
2
2
l
y
x
=
+
与x 轴交于点B，与y 轴交于点A，过反比例函数
k
y
x
=
图象一点E，在第二象限构
造等腰直角ABE
，使得
90
BAE
=
，求反比例函数的表达式；
【拓展延伸】
(3)如图4，将直线1 :
2
2
l
y
x
=
+
绕点A 旋转45得到2l ，直接写出2l 的函数表达式．
变式4-1 探究下列问题：
【模型建立】
(1)如图，在ABC
中，
90 ,
ACB
CB
CA
=
=
，直线ED经过点C ，过点A作AD
ED
D
⊥
于
，过点B 作BE
ED
⊥
于E ．求证：AD
CE
=
；
【模型应用】
(2)直线1
3
4
4
l
y
x
=
+
：
与,x y轴分别交于点
,
A B ，将直线1l 绕点B 顺时针旋转45得到直线2l ，求直线2l 的函数
表达式；
【拓展探究】
(3)一次函数
3
8
4
y
x
=
+ 的图象与,x y轴分别交于点
,
A B ，点C 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，若ABC
为等腰直角三角形，请直接写出k 的所有可能的值．
变式4-2 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数
4
y
kx
=
+ （k 为常数，
0
k
）的图象与x 轴，y 轴分别交
于A，B 两点，与反比例函数
m
y
x
=
（m 为常数，
0
m
）在第二，四象限分别交于C ，D 两点，点
(
)
3,
D
b ，
2
OB
OA
=
．
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(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P 在坐标轴上，以点O，D ，P 为顶点的等腰三角形有 个，当点P 在x 轴负半轴时，求等腰三角形ODP
的面积；
(3)如图2，已知函数
m
y
kx
x
=
−
的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质．
变式4-3 已知反比例函数
1
1
2
k
y
x
=
的图象与一次函数
2
2
y
k x
b
=
+ 的图象交于A、B 点，(
)
1,
A
n ，
1 , 2
2
B
−
−
．
(1)求两函数的解析式；
(2)在x 轴上是否存在点P，使AOP
为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理
由．
(3)求
AOB
S
；
(4)若
1
2
y
y
，直接写出x 的取值范围．
题型五、反比例函数中的直角三角形
典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y
ax
b
=
+
的图象l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
(
)
1,2 ,
,1
M
N n
两点．
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(1)求一次函数y
ax
b
=
+
的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式
k
ax
b
x
+
的解集；
(3)点P 是y 轴上一动点，当PMN
是以MN 为底边的等腰三角形时，求出点P 的坐标．
变式5-1 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y
ax
b
=
+
的图象l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
1 ,4 ,
,1
2
M
N n
两点．
(1)求一次函数y
ax
b
=
+
的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式
k
ax
b
x
+
的解集；
(3)点P 是y 轴上一动点，当
PON
△
是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
变式5-2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点(
)
3,4
P
和点B ，过点B 作直线
AB
x
∥轴，交y 轴于点(
)
0,3
A
．
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(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 落在AB 边的下面，求点C 的坐标．
变式5-3 在平面直角坐标系xOy 中，已知OAB
为等边三角形，
6
AB =
，点C 为AB 的中点，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象经过A，B 两点，且与OC 交于点D，
15
BOE
=
，点B 的横纵坐标之和为3 6 ．
(1)点C 的坐标为________；（请直接写出结果）
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求线段CD的长度．
题型六、反比例函数中的平行四边形
典例6 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
3,2
A
在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，过点A 作AC
x
⊥
轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图，点B 在反比例函数的图象上且在点A 的右侧，过点B 作BD
x
⊥
轴于点D，连接AB 、OB ，OB 交
AC 于点F，若点C 是OD 的中点，求
ABF
△
的面积；
(3)点N 在反比例函数的图象上，点M 坐标为(
)
0,m ，若CMN
是等边三角形，求m 的值．
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变式6-1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A的坐标为(2,2)，点M 是反比例函数
2 (
0)
y
x
x
=
的图
象上一点，点N 是一次函数
2
y
x
= −+
的图象上一点．
(1)连接OA，与一次函数
2
y
x
= −+
的图象相交于点B ．
i）求点B 的坐标及AB 的长；
ii）连接
,
AM MN ，若点M 在直线OA的上方，当四边形AMNB 是矩形时，求AM
MN 的值；
(2)连接
,
,
AM MN AN ，是否存在点N 使得AMN
为等边三角形？若存在，求出满足条件的点N 的坐标；若
不存在，请说明理由．
变式6-2 如图，一次函数
1
y
k x
b
=
+
的图象与反比例函数
2k
y
x
=
的图象交于点
(
)
2,4
A
，(
)
4,
B
m
−
，与x 轴交
于点C ，其中
1k ，
2k ，b 均为常数．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集________；
(3)在x 轴上是否存在点D，使得ACD
为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点D 的坐标；如果不存
在，请说明理由．
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变式6-3 如图，一次函数y
ax
b
=
+
的图像经过点(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
，点P 在一次函数的图像上，过点P 分
别作x 轴和y 轴的平行线交反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
的图像于M，N 两点，连接MN ．
(1)求a，b 的值；
(2)若PMN
是腰长为3 的等腰直角三角形，求点P 的坐标和k 的值．
题型七、反比例函数中的菱形
典例7 如图1，在平面直角坐标系中，直线
4
y
x
−
=
+
与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象相交于点(
)
,3
A a
和
点
(
)
3,
B
b ，点C，D 分别是x 轴和y 轴的正半轴上的动点，且满足CD
AB
∥
．
(1)求a，b 的值及反比例函数的解析式；
(2)如图2，若
2
OD =
，求四边形ABCD的面积；
(3)若点E 是反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
图象上的一个动点，当BCE
是以BE为直角边的等腰直角三角形时，
求点E 的坐标．
变式7-1 直线y
x
b
−
=
+ 与双曲线
k
y
x
=
（
0
x
）交于点
(
)
1,6
A −
，与x 轴交于点B，点C 是线段AB 上一点．
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(1)求k，b 的值；
(2)如图，过点C 作y 轴的垂线l，l 与
k
y
x
=
（
0
x
）的图象交于点D，当线段
10
CD =
时，求点D 的坐标；
(3)双曲线
k
y
x
=
（
0
x
）上是否存在点E，使得
COE
△
是以OC 为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出
点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式7-2 如图，一次函数y
mx
n
=
+
（m ，n 为常数，
0
m
）的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
,1
B a
两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式．
(2)结合图形，请直接写出不等式
0
k
mx
n
x −
−
的解集．
(3)点(
)
0,
P
b 是y 轴上的一点，若ABP
是以AB 为直角边的直角三角形，求b 的值．
变式7-3 如图，一次函数
1
5
2
y
x
=
+
和
2
y
x
−
=
的图象相交于点A，反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点A．
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(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x 轴上是否存在点P，使ABP
为直角三角形，若存在请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．
题型八、反比例函数中的矩形
典例8 如图，一次函数
1y
mx
n
=
+ （m ，n 为常数，
0
m
）的图象与反比例函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
2, 2
A
−
−
、
(
)
,1
B a
两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)结合图形，请直接写出不等式
1
2
y
y
的解集；
(3)点(
)
0,
P
b 是y 轴上的一点，若ABP
是以AB 为直角边的直角三角形，求b 的值．
变式8-1 一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
0
m
y
x
x
=
的图象交于
(
)
2,
A
a 、(
)
8, 1
B
−
两点．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP
是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，
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请说明理由．
变式8-2 如图1，已知
(
)
1,0
A −
，(
)
0, 2
B
−
，平行四边形ABCD的边AD
BC
、
分别与y 轴、x 轴交于点E
F
、，
且点
(
)
0,2
E
为AD中点，双曲线
k
y
x
=
（k 为常数，
0
k
）经过C
D
、
两点．
(1)求k 值；
(2)如图2，点G 是y 轴正半轴上的一个动点，过点G 作y 轴的垂线，分别交反比例函数
k
y
x
= （k 为常数，
0
k
）
图像于点M ，交反比例函数
3 (
0)
2
y
x
x
= −
的图像于点N ，当FM
FN
=
时，求G 点坐标；
(3)点P 在双曲线
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上，若以点A
B
P
Q
、、、
为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满
足要求的所有点Q 的坐标 ．
变式8-3 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股
四边形．
(1)如图，在直角坐标系xOy 中，直线
1
y
x
= −+ 与双曲线
6
y
x
−
=
相交于A
B
、两点，点
( 3,0)
P −
在x 轴负半轴
上，Q 为直角坐标平面上一点．
①分别求出A
B
、两点的坐标；
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②如图，当四边形APQB 是平行四边形时，请证明平行四边形APQB 是勾股四边形．
(2)在（1）的条件下，当以A
B
P
Q
、、、
为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q 点的坐标．
题型九、反比例函数中的正方形
典例9 如图，已知Rt
ABC
△
在平面直角坐标系中，其中
90
A
=
，AB
AC
=
，且(
)
2,0
A −
、(
)
0,1
B
、(
)
,
C m n ．
(1)求C 点坐标；
(2)将ABC
沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图像上．请
求出这个反比例函数和此时的直线B C
的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线B C
交y 轴于点G ．若存在x 轴上的点M 和反比例函数图像上的点P ，使得由P 、
G 、M 、C四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点M 和点P 的坐标；若不存在满足题意的平行
四边形，请说明理由．
变式9-1 如图1，已知点
(
)
(
)
1,0 ,
0, 2
A
B
−
−
，平行四边形ABCD的边AD与y 轴交于点
(
)
0,2
E
，且E 为AD中
点，双曲线
k
y
x
=
经过C
D
、
两点．
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(1)求反比例函数表达式；
(2)点P 在双曲线
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上，若以点A
B
P
Q
、、、
为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求
的所有点Q 的坐标；
(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH（如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN
HT
⊥
，交
AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN
HT 的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直
接写出其值．
变式9-2 综合探究：如图，点
(
)
1,6
A
和
(
)
,2
B n
是一次函数
1y
kx
b
=
+ 的图象与反比例函数
(
)
2
0
m
y
x
x
=
的图
象的两个交点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点P 是y 轴上的一个动点，当PAB
的周长最小时，求点P 的坐标；
(3)设直线AB 交y 轴于点C，点M 是坐标平面内一个动点，点Q 在y 轴上运动，以点A，C，Q，M 为顶点，
AC 为一边的四边形能构成菱形吗?若能，请直接写出点Q 的坐标；若不能，说明理由．
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变式9-3 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(
)
,6 ,
a
AB
x
⊥
轴于点
3
,
4
AB
B OB =
，反比例函数
k
y
x
=
的图
像的一支分别交
,
AO AB 于点
,
C D ，延长AO 交反比例函数的图像的另一支于点E，已知D 的纵坐标为3
2 ．
（1）求反比例函数的解析式及直线OA 的解析式；
（2）连接BC，已知
(
)
4, 3
E
−
−
，求
CEB
S
（3）若在x 轴上有两点
( ,0),
(
,0)
M m
N
m
−
，将直线OA绕点O旋转，仍与
k
y
x
=
交于
,
C E ，能否构成以
,
,
,
E M C N 为顶点的四边形为菱形，如果能请求出m 的值，如果不能说明理由．
题型十、反比例函数中的角度与等角
典例10 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
12
y
x
=
+
与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
( ,8)
A m
，B 两点，
C 为反比例函数图象第四象限上的一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)当四边形ABOC 的面积为56
3 时，求此时点C 的坐标；
(3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点E 是平面内一点，点F 在直线AB 上，是否存在这
样的点C ，E ，F ，使四边形ACEF 是“美好菱形”？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，说明理由．
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变式10-1 如图所示，单位长度为1 的网格平面直角坐标系中，
1
1
y
k x
b
=
+
与双曲线
(
)
2
2
0
k
y
x
x
=
交于点
(
)
1,3
A
和点(
)
3,
B
m ．
(1)求反比例函数和一次函数解析式；
(2)直接写出不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集_______；
(3)确定格点C，使四边形OACB为菱形，并求出菱形OACB的面积．
变式10-2 定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该
反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形ABCD的
顶点
(
)
2,3
A
、
(
)
6,1
C
在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，所以矩形ABCD是反比例函数
6
y
x
=
的伴随矩形，直线
BD是反比例函数
6
y
x
=
的伴随直线．
(1)如图2，已知反比例函数
k
y
x
=
的图象经过矩形ABCD的顶点(
)
3,4
A
，AB
y
轴，BC
x
轴，
2
AB =
，
3
BC = ，
求反比例函数的表达式，并判断矩形ABCD是否为该反比例函数的伴随矩形．
(2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点．
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(3)如图3，已知矩形ABCD和矩形EFGH 都是反比例函数
12
y
x
=
的伴随矩形，且对应的伴随直线均为
2
y
x
=
．
①求证：直线AE 与直线CG 的交点M 始终在直线
2
y
x
=
上；
②若矩形ABCD的周长为30，矩形EFGH 的周长为6，直接写出点M 的坐标．
变式10-3 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形
ABCD的“友好函数”，例如：如图1，矩形ABCD，经过点(
)
1,1
A −
和点
(
)
3,3
C
的一次函数
1
3
2
2
y
x
=
+
是矩
形ABCD的“友好函数”．
(1)如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为
(
)
(
)
(
)
(
)
2,1 ,
6,1 ,
6,3 ,
2,3
A
B
C
D
，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
经过点B，
求反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”；
(2)矩形ABCD在第一象限，AB
x
∥轴，AD
y
∥
轴，且点A 的坐标为(
)
1,2 ，正比例函数
1y
ax
=
经过点A，
且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数
2
(
0)
k
y
x
x
=
经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”．
①如图3，当OC
OA
时，将矩形ABCD沿AC 折叠，点B 的对应点为E，若点E 落在y 轴上，求k 的值；
②设矩形ABCD的周长为y，当矩形ABCD的周长
4
y =
时，设矩形ABCD的面积为
1S ；当矩形ABCD的周
长
8
y =
时，设矩形ABCD的面积为
2
S ，求出
2
1
S
S
−
的值．
题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值
典例11 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A，B ，C 给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某
条坐标轴平行或共线，且A，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点A，B ，C 的相伴矩
形，在点A，B ，C 所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点A，B ，C 的最佳相伴矩形．例如，图1中
的矩形
1
1
1
1
A BC D ，
2
2
2
2
A B C D ，
3
3
3
3
A B C D 都是点A B
C
，，
的相伴矩形，矩形
3
3
3
A B CD 是点A B
C
，，
的最佳相
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伴矩形．
(1)如图2 ，点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,4
B
，
(
)
1,
C
t （t 为整数）．
①如果
3
t =
，则点A B
C
，，
的最佳相伴矩形的面积是________．
②如果点A B
C
，，
的最佳相伴矩形的面积是18，请写出一个符合题意的t 值_______．
(2)如图3，已知点
( , )
E m n 在函数
(
)
6
0
y
x
x
=
的图象上，且点D 的坐标为(
)
3,1 ，点F 的坐标为( 1,0)
−
，
①求点D
E
F
，，
的最佳相伴矩形的面积S关于m 的函数表达式，
②当m = 时S的值最小，最小值等于 ．
变式11-1 换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例
如：已知两个函数
(
)
1
6
0
y
x
x
= −+
，
(
)
2
5
0
y
x
x
=
当x 取何值时，
1
2
y
y
？根据“代数”的思想要解一元二
次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形M ，如果存在另一个矩形N ，它的周长和面积都是原矩形的2 倍，那么我们
称N 是M 的“加倍矩形”，M 是N 的“双半矩形”．请你研究矩形N 是否存在“双半矩形”M ．我们利用数形
结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数
7
y
x
= −+ 和反比例函数
10
y
x
=
的
部分图象，其中x 和y 分别表示矩形N 的“双半矩形”M 的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形N 的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形M 的“双半矩形”Q ？如果存在，请求出Q 的边长；如果不存在，请说明理由．
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（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C ，D ，E 为顶点的平行四边形？若存在，请直
接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式11-2 在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC的边长为n（n 为正整数），点A在x 轴正半轴上，点C 在
y 轴正半轴上．若点
(
)
,
M x y 在正方形 OABC 的边上，且x ，y 均为整数，定义点M 为正方形OABC的“ LS
点”．
若某函数的图象与正方形OABC 只有两个交点，且交点均是正方形OABC 的“ LS 点”，定义该函数为正方形
OABC的“ LS 函数”．例如：如图1，当
2
n =
时，某函数的图象
1
C 经过点(
)
0,1 和(
)
2,2 ，则该函数是正方形
OABC的“ LS 函数”．
(1)当
1
n = 时，若一次函数y
kx
t
=
+ 是正方形OABC的“ LS 函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）；
(2)如图2，当
3
n = 时，函数
m
y
x
=
（
0
x
）的图象经过点D (
)
1,3 ，与边AB 相交于点E ，判断该函数是不
是正方形OABC的“ LS 函数”，并说明理由．
变式11-3 如图1，四边形ABCD为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且
2
OA
OB
=
，反比例函数
27
y
x
=
在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
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(1)求点C 的坐标；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x 轴向右平移得到正方形A B C D
，点A恰好落在反比例函数的图象上，求此
时点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P 为y 轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A、P、Q 为顶点的四边形
为菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知点A、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C、D 是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、
D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD 是一
次函数y＝x+1 图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比
例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式．
2．如下图，反比例函数
(
)
1
1
1
0
k
y
k
x
=
与一次函数
(
)
2
2
2
0
y
k x
b k
=
+
的图象都经过点
(1,
)
A
m 和点
( 2, 2)
B −
−
，
以AB 为边作正方形ABCD（点A、B、C、D 逆时针排列）．
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(1)求m 的值和一次函数
2y 的解析式．
(2)求点C 的坐标．
(3)将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ ，在平移过程中，使点A 的对应顶点M 始终在第一象限内且在反
比例函数
1y 的图象上（点M 与点A 不重合），当正方形MNPQ 与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求
重叠正方形的边长．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
图像上，将点A先向下平移至点B ，
再向右平移至图像上另外一点C ，以AB 、BC 为一组邻边作矩形ABCD，连接OA、OD ，点E 在x 轴正半
轴上．
(1)如果
2
k =
，且
45
AOE
=
，求点A的坐标；
(2)求证：点B 在直线OD 上；
(3)如果
1
2
OA
BD
=
，求证：
1
3
DOE
AOE
=
．
4．如图，点A是直线
2 (
0)
y
x x
=
上一点，过点A作x 轴平行线，与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
交于点B ，以AB
为边向下作ABC
，点C 恰好在x 轴上，且
30
ACO
=
，
45
ABC
=
，若ABC
的面积为2 3
2
+
，求k 的
值．
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5．（1）平面直角坐标系中，直线
2
2
y
x
=
+
交双曲线
(
0)
k
y
x
x
=
于点M ，点M 的纵坐标是4 ．
①求k 的值；
②如图 1，正方形ABCD的顶点C 、D 在双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
上，顶点A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，
求点D的坐标；
（2）平面直角坐标系中，如图 2，C 点在x 轴正半轴上，四边形ABCO为直角梯形，AB
CO
，
90
OCB
=
，
OC
CB
=
，D为CB 边的中点，AOC
OAD
=
，反比例函数的
(
)
0
m
y
x
x
=
图像经过点A，且
60
OAD
S
=
△
，
求m 的值．
6．利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．
(1)如图①，EH 是
MEN
的三等分线，
2
MEH
HEN
=
，点D 在EH 上，过点D 作DA
EN
∥
，交EM 于
点A，分别过点A、点D 作AB
EN
⊥
，DC
EN
⊥
，垂足为B 、C ，AB 交EH 于点F ，点O是DF 的中点，
连接AO 并延长交CD于点G ．猜想AG 与AE 的数量关系，并说明理由．
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(2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数
(
)
1
0
y
x
x
=
的图象成功将锐角三等分，作法如下：
1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知
AOB
的顶点与原点O重合，角的一边OB 与x 轴正方向重合；
2．在平面直角坐标系里，绘制函数
(
)
1
0
y
x
x
=
的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P ；
3．以P 为圆心，以2OP 为半径作弧，交函数
1
y
x
=
的图象于点R ；
4．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点T ；
5．连接OT ，得到
TOB
．
请根据以上作法，证明
1
3
TOB
AOB
=
．
(3)如图③，在平面直角坐标系中，点A在x 轴上，请你利用反比例函数
k
y
x
=
（
0
k ，
0
x
）的图象作出
线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）
7．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B 分别为(
)
,0
m
、(
)
0,n ，顶点C 在反比例函数
1 (
)
0
k
x
y
x
=
上，顶点D 在反比例函数
2 (
)
0
k
x
y
x
=
上．
(1)如图1，当D 点坐标为(
)
4,1 时．
①求
2k 的值；
②求m，n 的值；
(2)如图2，当m，n 满足什么关系时，
1
2
k
k
，并说明理由；
(3)如图3，当
1
2
k
k
=
时，在AD的延长线上取一点E，过点E 作EF
EA
⊥
交x 轴于点F，交反比例函数图象
于点G，当G 为EF 的中点，对于每一个给定的m 值，点E 的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用
含m 的代数式表示）
8．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P 分别作x 轴、
y 轴的垂线，若由点P 、原点O、两个垂足A
B
、为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点
P 是平面直角坐标系中的“美好点”．
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【尝试初探】
（1）点
(2,3)
C
_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点
(4, )
D
b 是第一象限内的一个“美好点”，则b = _______；
【深入探究】
（2）若“美好点”
( ,6)(
0)
E m
m
在双曲线
k
y
x
=
（
0
k
，且k 为常数）上，则k =_______；
【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点
( , )
P x y 是第一象限内的“美好点”．
①求y 关于x 的函数表达式，并求出自变量x 的取值范围；
②在图2 的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是x 与y 的几组对应值，请将下表填写完整．
x
3
4
5
6
7
8
y
描点：根据表中各组对应值(
)
,x y ，在图2 的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各
点，画出函数图像；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2 分，部分选对的得1
分，有选错的不得分）
A．图象与经过点(
)
2,2 且平行于坐标轴的直线没有交点；
B．y 随着x 的增大而减小；
C．y 随着x 的增大而增大；
D．图象经过点
3
10, 2
；
④对于图象上任意一点( , )
x y ，代数式(2
) (
2)
x
y
−
−
是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，
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请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数(
0)
x
的图象怎样平移得到？
9．如图1，已知矩形AOCB，
6
AB
cm
=
，
16
BC
cm
=
，动点P 从点A出发，以3cm s 的速度向点O运动，
直到点O为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm s的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，设点P 的运动
时间为( )
t s ．
（1）点P 到达终点O的运动时间是______ s，此时点Q 的运动距离是______cm ；
（2）当
2
t =
时，P 、Q 两点的距离为______cm ；
（3）当t 为何值时，点P 和点Q 之间的距离是10cm；
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OA所在直线为y 轴，1cm 长为单位长度建立平面
直角坐标系，连接AC ，与PQ 相交于点D ，若双曲线
k
y
x
=
过点D ，问k 的值是否会变化？若会变化，说
明理由；若不会变化，请求出k 的值．
10．如图，点A为反比例函数
1
(
0,
0)
m
y
m
x
x
=
的图像上一点，且点A的横坐标为a ，过点A作x 轴、y 轴
的平行线，分别交反比例函数
2
(
0,
0)
n
y
n
m
x
x
=
的图像于C 、B ，过点C 作y 轴的平行线，交反比例函
数
1y 的图像于D，连接AD
BC
、
．
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(1)当
1,
2,
1
m
n
a
=
=
= 时，求线段CD的长；
(2)若
2
n
m
=
；
①若
2
AC =
，求a 的值；
②求CD
AB 的值；
(3)当m
n
、的值一定时，四边形ABCD的面积是否随a 的变化而变化？若不变，请用含m
n
、的代数式表示四
边形ABCD的面积；若变化，请说明理由．
11．如图，直线
2
6
y
x
=
−与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交于点
)
(4,2
A
，与x 轴交于点B．
(1)求k 的值及点B 的坐标；
(2)当x ______ 时，
(
)
2
6
0
k
x
x
x
−
；
(3)在x 轴上是否存在点C，使得ABC
为等腰三角形，且AC
AB
=
？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，
请说明理由．
12．如图，一次函数
(
)
0
y
mx
n m
=
+
的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象交于第一、三象限内的A，B
两点，与y 轴交于点C，过点B 作BM
x
⊥
轴，垂足为点M，
2
BM
OM
=
=
，点A 的纵坐标为4．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直线AB 交x 轴于点D，过点D 作直线l
x
⊥
轴，如果直线l 上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形
OPAQ 是矩形，求出点P 的坐标．
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13．如图，已知点
(
)
,0
A a
，
(
)
0,
B
b ，且a 、b 满足
(
)
2
2
2
3
0
a
a
b
+
+
+
+
=
．四边形ABCD的边AD与y 轴
交于点E ，且E 为AD中点，双曲线
k
y
x
=
经过C 、D 两点．
(1)a =________，b = ________，D 点的坐标________；
(2)点P 在双曲线
k
y
x
=
上，点Q 在y 轴上（如图2），若以点A、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
请直接写出点Q 的坐标；
(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH（如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN
HT
⊥
，交
AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN
HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其
值，并说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
2
y
kx
=
+ （k 为常数，
0
k
）的图象与x 轴，y 轴分别交于A，
B 两点，与反比例函数
m
y
x
=
（
0
x
）的图象交于点
(
)
2,
C
a ，
2
OB
OA
=
．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点
(
)
1,
D
b 在反比例函数
m
y
x
=
（
0
x
）的图象上，则a __________b （填“>”“<”“=”）；
(3)直接写出不等式
2
m
kx
x
+
（
0
x
）的解集；
(4)点P 在x 轴的正半轴上，连接CP ，若ACP
是以AC 为腰的等腰三角形，直接写出ACP
的面积．
15．反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m
）和正比例函数
2y
nx
=
（
0
n
）相交于A、B 两点，点C 在
1
m
y
x
=
上，点A、
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C 均在第一象限，且点C 在点A的左上方，直线AC 、BC 与y 轴分别交于点F 、G ．
(1)如图1，已知点
(3,1)
A
，点
(1,3)
C
，
直接写出：①点B 的坐标是 ；②CG 与CF 的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点A坐标不变，随着点C 的变化，判断（1）中的“CG 与CF 的数量关系”是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线AC 、BC 与x 轴分别交于点E 、D ，经过探索发现：随着点A、C 的变化，DE 与FG 的乘
积只与m 的取值有关，请用只含m 的代数式表示DE 与FG 的乘积．
