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专题 13.4 等边三角形的性质与判定
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 利用等边三角形的性质求角度】............................................................................................................1
【考点二 利用等边三角形的性质求线段】............................................................................................................4
【考点三 等边三角形的判定】................................................................................................................................8
【考点四 等边三角形的判定和性质】..................................................................................................................11
【考点五 含30°的直角三角形】.........................................................................................................................16
【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】..............................................................................................................18
【过关检测】............................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 利用等边三角形的性质求角度】
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若 为等边三角形，且 ，则 的度数=
．
【答案】60°/
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质等知识．利用等边
三角形的性质得到 ， 又由已知 即可证明 ，则
，利用三角形外角的性质和等量代换即可求出答案．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 是等边三角形，点 、 、 分别在 、 、
上，若 ， ，则 度．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，先由等边三角形的
性质得到 ，再由三角形外角的性质证明 ，据此利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知点 ， 是 上的三等分点， 是等边三角形，那
么 的度数为 ．
【答案】120度/【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出 ，进而利用三角形
内角和定理求出即可．
本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是得出 的度数．
【详解】解： 是 的三等分点，且 是等边三角形，
， ，
， ，
又∵ ， ，
，
．
故答案为： ．
3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在等边 中， 平分 ， ，则
的度数是 度．
【答案】15
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理得到
，再由等边对等角得到 ，则
．
【详解】解：∵在等边 中， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：15．
【考点二 利用等边三角形的性质求线段】
例题：（2024·广西桂林·一模）如图，在等边 中， ， 平分 ，点 在 的延长线上，
且 ，则 的长为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得 ，
，然后可得 ，进而问题可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图， 是等边三角形，高 ，P为 上一动点，E
为 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】6【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称—最短路线问题，由等边三角形的性质可得 、 两点关
于直线 对称，连接 ，则 与 的交点即为使 是最小值的 点，即 的最小值为
，求出 即可得解．
【详解】解：∵ 是等边三角形， 为高，
∴ 、 两点关于直线 对称，
连接 ，则 与 的交点即为使 是最小值的 点，即 的最小值为 ，
∵E为 的中点，
∴ ，即 为 的高，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形 的边长为3，过 边上一点P作
于点 为 延长线上一点，取 ，连接 ，交 于点M，则 的长为 ．
3
【答案】
2
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作 交 于点F，证 是等边三角形，再证明 ，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】过P作 交 于点F．
∵ 是等边三角形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形 的边长为4，D是边 的中点，E在边上， ，点F在边 的延长线上，且 ，则 的长为 ．
【答案】1
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角
形
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，含 的直角三角形的性质等知识，
熟练运用各个定理是解题的关键．
解法一：过点D分别作 于点M，作 于点N，连接 ，证明 及可证明
，在 中，利用 即可求出 ，再求出 ，即可求出结果；
解法二：过点D作 ，交 于点G，证明 即可证明 ，再根据中位线定理，
求得 ，即可求得结果．
【详解】解法一：如解图①，过点D分别作 于点M，作 于点N，连接 ，
∵D是 的中点，
∴ 是 的平分线， ，
， ，
，
，
，
，
，在 中， ， ，
，同理， ，
，
， ．
多解法
解法二：如解图②，过点D作 ，交 于点G，
则 ， ，．
，
，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
又∵D是边 的中点
∴ ，
，
．
∵D是 的中点，∴G是 的中点，
，
， ，
故答案为：1．
【考点三 等边三角形的判定】
例题：如图，在 中， ，点 在边 上，连接 ．若 ，求证：
是等边三角形．【答案】详见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是 的等腰三角形是等边三角形即可求证．
【详解】证明： ，
为等腰三角形，
又 ，
，
是等边三角形．
【变式训练】
1．如图，点 在 的外部，点 在边 上， 交 于点 ，若 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 是等边三角形．理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识．
（1）根据三角形内角和定理得到 ，再根据 ，判定
，即可得到 ．
（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得 ，进而得出
，可得 是等边三角形．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） 是等边三角形．理由：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
2．如图， 中，D为 边上一点， 的延长线交 的延长线于F，且 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)当 等于多少度时， 是等边三角形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时， 是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明 ，再由对顶角相等得到
，由垂线的定义和三角形内角和定理推出 ，再由
，得到 ，推出 ，由此即可证明 是等腰三角形；
（2）根据（1）所求，只需要满足 即可，再由三角形外角的性质即可得到 的度数，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：当 时， 是等边三角形，证明如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角
的性质等等，证明 是解题的关键．
【考点四 等边三角形的判定和性质】
例题：如图，已知 和 均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上， 与 交于点 ．
(1)求证： ；(2)若 与 交于点N， 与 交于点 ，连接 ，求证： 为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质：
（1）根据已知条件证明 即可得证；
（2）证明 ，再证明 可得 ，进而证明 为等边三角形；
【详解】（1）证明： 和 均是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得 ，
，
由（1）得 ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
为等边三角形．【变式训练】
1．如图，在等边 中，点 在 内， ，且 ， ．
(1)试判定 的形状，并说明理由；
(2)判断线段 ， 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) 是等边三角形，理由见解析；
(2) ，理由见解析．
【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到 是等边三角形；
（2）证明 ，即可．
【详解】（1）解： 是等边三角形．
理由： 是等边三角形，
．
又 ， ，
，
，
是等边三角形．
（2）解： ．
理由：由（1）知 是等边三角形，
，
．
，
．
在 和 中，，
．
2．如图，在 中， ，点D在 内部， ， ，点E在 外部，
．
(1)求 的度数；
(2)判断 的形状并加以证明；
(3)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2) 是等边三角形，证明见解析
(3)
【分析】（1）首先证明 是等边三角形，推出 ，再证明 ，推出
即可解决问题．
（2）只要证明 得到 即可证明 是等边三角形；
（3）首先证明 是含有30度角的直角三角形，求出 的长，进而利用勾股定理求出 的长，则由
等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解： ， ，
是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
，，
．
（2）解： 是等边三角形，证明如下：
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是等边三角形．
（3）解：如图所示，连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
，
，
∵ ，即 ， ，
，
，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直
角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
【考点五 含30°的直角三角形】
例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在 中， 垂直平分 ，
交 于点E， ，则 的值为 cm．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到
，求出 ，由此得到 ，利用直角三角形的性质求
出 的值
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
故答案为3
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，交 于
点D，若 ，则 ．【答案】12
【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐
角互余
【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，掌握以上知
识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余，可得 ，根据三角形角平分线定义可得
，可得 ，即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：12．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， ， ，
的长是 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质即
可求得 ，再根据含有30°角的直角三角形的性质即可求得BD，进而得到线段 的长度．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ；
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在 中， ， ，垂足为点 ，
， ，则AB的长为 ．
【答案】4
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角
边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到 ， ，再求出 ，
得到 ，则 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ ，
， ，
∵
，
，
，
，
．
故答案为： ．【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】
例题：（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在 中， ， 为 边上的中线，
则 的长等于 ．
【答案】4
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， 为 边上的中线，
∴ ，
故答案为：4．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在 中， 是边 的中点，若
，则 ．
【答案】3
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．在 中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，
即可求出 的长．
【详解】解：在 中， 是边 的中点， ，
．
故答案为3．
2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在 中， ， 于点D，
，E是斜边 的中点，连接 ，则 的度数为 ．【答案】45
【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边
上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到 ， ，根据互余和
求得 ，进而得到 ，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解
即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵E是斜边 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，
点P是 的中点，若 ，则 的长为 ．
【答案】8【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得 ，从而得到
，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是 的中点， ，
∴ ．
故答案为：8
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在等边 中， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质三边相等，即可求解．
【详解】解：在等边 中， ，
∴ ，
故选：A．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，等边 的顶点B在直线b上， ，则 的
度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、等边三角形的性质
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作 直线l，根据等边三角形性质求出
，根据平行线的性质求出 ， ，即可求出答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
过C作 直线l，
∵直线 直线m，
∴直线 直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， 交 于点
，则 的长为（ ）A．18 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性
质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得 ，再根据垂直定义可得 ，从
而在 中，利用含30度角的直角三角形的性质 ，然后利用角的和差关系求出
，从而可得 ，再利用等角对等边可得 ，最后进行计算即可解答．
【详解】解： ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
故选：A．
4．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为等边三角
形，过点 作 的延长线于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A．6.5 B．6.8 C．7 D．7.2
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性
质
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含 角的直角三角形的性质，作于 ，则 ，证明 ，得出 ，求出 ，再由
含 角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 如图， 中， ， ， 于
点 ， ，点 在边 上，点 在边 上，连接EF．若 ， ，则线段 的长
为（ ）A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判
定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．取 的
中点 ，连接 ，证明 是等边三角形，推出 ，即可求得
．
【详解】证明：取 的中点 ，连接 ，如图，
∵ 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题
6．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图， 是等边三角形 的中线，且 ，延长至点E，使 ，连接 ，则 的长是 ．
【答案】3
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的
判定是解决问题的关键．
先求出 ，再求出 ，证出 ，得出 ．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
，
∵ 为中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，已知 是 平分线上一点， ， 交
于点 ， ，垂足为 ，且 ，则 等于 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形【分析】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，过 作 于 ，由
角平分线的定义得到 ，由含30度角的直角三角形的性质得到 ，由角平分线
的性质推出 ．
【详解】解：过 作 于 ，
平分 ， ，
，
，
，
，
，
， ， 平分 ，
．
故答案为：3．
8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 中， ， ， 与 相交于
点 ，则 的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质， 全等三角形的判定和性质． 本题中求证 是解题
的关键 ．证明 ，可得 ，根据 ，
即可求得 ，即可得到答案．【详解】解：∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
．
故答案为：
9．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 中， ，点D是边
上的动点，连接 ，以 为边在 的左下方作等边 ，连接 ，则点D在运动过程中，线段
长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，
垂线段最短等知识．解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问
题．
如图，取 的中点Q，连接 ，证明 ，推出 ，推出当 时，
最小，此时 的值最小．
【详解】解：如图， 取 的中点Q，连接 ．
则 ．∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴当 时， 最小．
∵ ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半
轴上，点 ， ， …在射线 上，点 ， ， …在射线 上， ， ， ，
…均为等边三角形，以此类推，若 ，则 的横坐标为 ．【答案】
【知识点】坐标与图形、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质等等．过点 作 轴于点 ，根据等边三
角形的性质、等腰三角形的判定可得 ，然后利用等腰三角形的性质可得 的长，即可得
点 的横坐标，同样的方法分别求出点 的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，即点 的横坐标为 ，
同理可得：点 的横坐标为 ，
点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
归纳类推得：点 的横坐标为 （ 为正整数），
则点 的横坐标为 ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·全国·期中）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点E，使 ．
(1)求证： ；
(2)若F是 的中点，连接 ，且 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握
等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到 .进一步证明 ， ，即可
得到结论；
（2）求出 ，得到 ，则 .即可得到 ，由 是等边三角
形即可得答案．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ .
又∵ 是中线，
∴ 平分 ，
∴ .∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）可知 ，
又∵F是 的中点，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴ .
∵ 是中线，
∴
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长为
12．（24-25八年级上·重庆秀山·阶段练习）已知a，b，c是 的三边长．
(1)若a，b，c满足， ，试判断 的形状；
(2)化简： ．
【答案】(1) 为等边三角形
(2)
【知识点】化简绝对值、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等边三角形的判定
【分析】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差
小于第三边，建立不等式解决问题．
（1）根据非负数的性质，可得出 ，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到 ， ， ，然后去绝对值符号后化简即可．【详解】（1）解： ，
且 ，
，
∴ 为等边三角形；
（2）解： ， ， 是 的三边长，
， ， ，
原式 ．
13．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图， 与 均为等边三角形并且B，C，D三点共线．
(1)求证： 平分 ；
(2)试探究 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定：
（1）作 、 ，由 ，可知 ， ，由全等三角形性质
知 ，据此得出 平分 ；
（2）在 上截取 ，连接 ，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出 为
等边三角形，进而得到 ，最后根据 ，得到 ．
【详解】（1）证明：如图①，作 ，垂足为点 ，作 ，垂足为点 ，和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
；
，且 ，
， ，
，
，
又 ， ，
点 在 的平分线上，即 平分 ；
（2）解： ，证明如下：
如图，在 上截取 ，连接 ，
，
，
又 ，，
，且 ，
又 ，
，即 ，
为等边三角形，
，
又 ，
．
14．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图， 为等边三角形，点D与点C关于直线 对称，E，F
分别是边 和 上的点， ， 与 交于点G， 交 于点H．
(1)求 的度数，并证明．
(2)求证 ．
(3)连接 ，判断 的形状并说明理由．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)证明见解析
(3) 是等边三角形，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角
形的判定和性质
【分析】本题考查全等三角形和等边三角形的判定性质及应用，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定
方法是解题的关键，
（1）根据题意可证得 ，延长 至 ，使 ，根据等边三角形的判定与性质可得
，再由对顶角相等可得 ；
（2）由于 ，可得 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 ，进而证
得 ，即可得到答案；
（3）连接 ，根据全等三角形的判定方法及性质可得 ，最后根据等边三边形的判定可得结论．【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
又∵
在 和 中
∴ ，
延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ；
（2）解：由（1）得：∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵点D与点C关于直线 对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 也是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
在 和 中∴ ，
∴ ，
而 ，
∴
（3）解：连接 ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形．
15．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点，
， ， ， ，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3) 或 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握
以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得 ，结合 ，即可得证；
（2）由等边三角形的性质可得 ，由全等三角形的性质得出 ，即可得出
，从而得解；
（3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出 、 、 ，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ；
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知 是等边三角形，点 分别为边 上的动点
（点 与线段 ， 的端点不重合），运动过程中始终保持 ，连接 相交于点 ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图①，当点 分别在 边上运动时， 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小；
(3)如图②，当点D，E分别在 的延长线上运动时， 的大小是否变化？若变化，请说明理由；
若不变，求出它的大小．
【答案】(1)见解析；
(2) 的大小不变，
(3) 的大小不变，
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等边三角形的性质
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质，掌握全等三角
形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到 ， ，利用 定理证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的外角性质计算
即可．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ；
（2）解： 的大小不变，
理由如下：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 的大小不变，
理由如下：在 和 中，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
17．（24-25八年级上·全国·期末）已知： 为等边三角形．
(1)如图1，点D、E分别为边 上的点，且 ．
①求证： ；
②求 的度数．
(2)如图2，点D为 外一点， ， 、 的延长线交于点E，连接 ，猜想线段 、
、 之间的数量关系并加以证明．
(3)如图3，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，直接写出 的最大值与最小值的
差．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)猜想 ，证明见解析
(3) 的最大值与最小值的差为
【知识点】三角形三边关系的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边
三角形的判定和性质
【分析】（1）①先由等边三角形的性质得到 ， ，再根据“边角边”，证明三
角形全等即可．②利用全等三角形的性质得到 ，再根据三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）在 上取一点 ，使得 ，证明 ，得到 ，据此根据线段的和差
关系可证明 ；
（3）以 为边向外作等边 ，连接 ，根据“边角边”，得出 ，再根据全等三角形的性质，得出 ，再根据三角形的三边关系，求出 的取值范围，进而得出 的取值范围，即可
得出 的最大值和最小值，然后相减即可得出答案．
【详解】（1）①证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：猜想 ，证明如下：
如图2中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3中，以 为边向外作等边 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，最大值为 ，
∵ ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，三角形的
三边关系和三角形外角的性质等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于
中考常考题型．
18．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知在 中， ， ，点 是平面内一
点，连接 、 、 ， ．(1)如图1，点 在 的内部．
①当 ，求 的度数；
②当 平分 ，判断 的形状，并说明理由；
(2)如果直线 与直线 相交于点 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数（直接
写出答案）．
【答案】(1)① ；② 为等边三角形，见解析
(2) 的度数为 或 ．
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定
【分析】（1）①根据 ， 得 ，则 ，进而得
，再根据 ， 得 ，进而得 ，然后根据 ，
得 ，由此可得 的度数；
②根据 平分 ，设 ，则 ，根据 得 ，根据
得 ，则 ， ，再根据三角形内角和定理得
，则 ，进而得 ， ，
，由此可判定 的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线 与线段 交于点 时，设 ，则 ，
，再根据 得 ，再根据三角形内角和定理得
，则 ，②当直线 与 的延长线交于点 时，设 ，则
，再求出 ，得 ，根据 得 ，再
根据三角形内角和定理得 ，则 ，综上所述即可得出 的度数．
【详解】（1）解：①在 中， ， ，
，
，
又 ，
，， ，
，
在 中， ， ，
；
② 为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ， ，
，
， ，
在 中， ，
，
， ， ，
为等边三角形；
（2）解： 的度数为 或 ，理由如下：
直线 与直线 相交于点 ，且 是以 为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线 与线段 交于点 时，如图2①所示：设 ，
是以 为腰的等腰三角形，即 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
即 ，
②当直线 与 的延长线交于点 时，如图2②所示：
设 ，
，
，
是以 为腰的等腰三角形，即 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，，
，
综上所述： 的度数为 或 ．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角
形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
