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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 题型三、根据角平分线的性质定理求解 题型四、角平分线的性质和判定综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结 合全等、对称或求周长/角度。 - 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等 或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 - 易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象；角平分线作 垂线时误作斜线；角平分线判定中未说明点在角的内部；作图题遗漏作图痕迹说明。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 典例1 （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中，边 的垂直平分线 分别交边 于点E，F， 是线段 的垂直平分线，若 的周长为38， ，则 的长为________． 题型模版 目 录 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2.方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 变式1-1（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图， 的边 的长为 ，面积为 ， 边 的垂直平分线 交 于点 ，若 为 边上的动点， 为线段 上一个动点，则 的最小值 为________ ． 变式1-2（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中， ， l 是 边的中垂线，点E 是直线l上动点．点F是直线 上动点，当 ， ， 时，则 的最小值为___________． 变式1-3（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在 中，D 为 中点， 交 于F， ，则 的长为______ ． 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例2 （25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 上的一点，连接 ，作 交 于点 ， 交 于点 ，且 平分 ，连接 ． 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)证明： 垂直平分 ； (2)若 面积为 ，求 的周长． 题型模版 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 2.方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式2-1（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，射线 在 内，点 为射线 上一点，过点 作 ， ，且 ． (1)求证： 是 的平分线； (2)连接 ，求证： ． 变式2-2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中，直线垂直平分边 ，分别交 于点 ，连接 ． (1)若 ， 的周长为 ，则 的长为______； (2)已知点 在线段 上，且点 在边 的垂直平分线上，连接 ，试判断点 是否在边 的垂直平 分线上，并说明理由． 变式2-3（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如图1，四边形 中， ， ， ，则称四边形 为直角筝形． 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)连接对角线 、 交于点 ，得到图2，请证明： 垂直平分 ； (2)在图2 中，若 ，点 在射线 上（不与点 重合），点 是平面内一点，以 、 、 、 为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的 的度数． 题型三、根据角平分线的性质定理求解 典例3 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在 中，以顶点A 为圆心，以适当长为半径画弧， 分别交 于点M、N，再分别以M、N 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射 线 交边 于点D，作 于点E，若 ， ， 的面积为13，则 的长为 __________ 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2.方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式求 解。 变式3-1（25-26 八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 交 于点 ．若 ， ， 的面积为8，则 的面积为_________． 变式3-2（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， 的面积为12， 平分 交 于 ， ， 分别是 和 上的动点，连接 ， ，则 的最小值为________． 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， 是 的中线，动点 在 边上，连接 ．若 ， 的面积是3，则 的最小值为______________． 题型四、角平分线的性质和判定综合 典例4 （25-26 八年级下·山西运城·期末）如图，已知 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ． (1)连接 ， ，若 ，求 的周长； (2)若 ，求证： 平分 ． 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上）进行证明。 2.方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式4-1（25-26 八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示， 于点E， 于点F， ． 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)求证： 平分 ． 变式4-2（25-26 八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ， ， ，在边 上截取 ，连接 ． (1)求证： 平分 ； (2)若 ， ，求 的长． 变式4-3（24-25 八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P 为 内部一点， 于点E， 于点F，且 ，求证：点 P 在 的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在 中， ，点E 在边 上， ， 于点F， ． ①求证： 平分 ； ②若 ， ， 的面积是54，求线段 的长． 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1． （25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在ABC 中， 90 C = ， 8 BC = ，AD是ABC 的角平分线，DE AB ⊥ 于点E ，若 6 BD = ，则DE 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26 八年级上·湖北黄石·期末）如图，ABC 中， 8 AC = ， 5 BC = ，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点 D，交边AC 于点E ，则BCE 的周长为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26 八年级上·山东德州·月考）如图， ABC 的外角 ACN ， MAC 的平分线CD、AD交于点D， DE AB ⊥ 于E，DF BC ⊥ 于F，点P 在BN 上， 180 ADP ABC + = ，则下列结论中错误的是（ ） A．BD平分 ABC B． : : DAB DBC S S AB BC = C．若 31 BDC = ，则 49 DAM = D． 2 BP AE AB − = 二、填空题 4．（25-26 八年级上·重庆江津·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，以顶点A为圆心，适当长度为半径 画弧，分别交AC ，AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于1 2 MN 的长为半径画弧，两弧交于 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若 8 3 CD = ， 10 AB = ，则 ABD △ 的面积 ． 5．（25-26 八年级上·福建厦门·期末）如图，在 ABC 中，AB BC = ， 4cm AC = ， 2 8cm ABC S = ，边BC 的 垂直平分线为l ，点D是边AC 的中点，点P 是l 上的动点，则 PCD △ 的周长的最小值是 ． 6．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 90 BAC = ，BE 平分 ABC ， 3 AE = ，CD BE ⊥ ，与BE 的延长线交于点D，连接AD，F 为BC 边上一点，连接EF ，则以下结论： ① ACD CBD = ；② 180 ADC ADE + = ；③EF 的最小值为3；④ 2 BE CD = ，其中所有正确结论的序 号是： ． 三、解答题 7．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，在 ABC 中，AC 的垂直平分线EF 交BC 于点E，交AC 于点F， AD BC ⊥ 于点D，连接AE ，且AB CE = ． (1)求证：DE DB = ； (2)若 18 BAD = ，求 C 的度数． 8．（25-26 八年级上·重庆万州·期末）如图，在 ABC 中， BAC 的平分线与外角 CBM 的平分线相交于点 D，射线BD交AC 的延长线于点N，连接CD． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 14 AB = ， 8 BC = ， 12 CN = ， BCN △ 的面积为20，求 ABD △ 的面积； (2)若BC 是AN 的垂直平分线，求 ADC 的度数． 9．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ，D 为BC 中点，连接AD，EF 垂直平 分AC 交AB 于点E，交AD于点O，交AC 于点F，连接OB ，OC ． (1)若 20 CAD = ，求 BEF 的度数； (2)求证： AOB 是等腰三角形． 10．（25-26 八年级上·河北衡水·期中）如图，在 ABC 中，直线l 垂直平分边BC ，分别交AC BC ， 于点D， E，连接BD． (1)若BD AC ⊥ ，求 DBC 的度数； (2)若 ABD △ 的周长是19， 10 AC = ，求AB 的长； (3)在线段DE 上有一点P，其恰好也在边AC 的垂直平分线上，求证：点P 在边AB 的垂直平分线上． 11．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图，在 ABC 中, , AB AC BAC = = ，点D 在AC 的右侧且满足 , BC BD DBC = = ，连接 , AD CD ，其中2 180 + = ． 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： BAC BDC = ； (2)如备用图，延长CD至点M，使得CM BC = ． 求证：①AD平分 BDM ； ②点M 在线段BA的延长线上． 12．（24-25 八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在 ABC 中，AD平分 BAC 交BC 于D ，DE AB ⊥ 于 E ，DF AC ⊥ 于F ．求证：AE AF = ； （2）如图2，在（1）的情况下，如果 MDN EDF = ， MDN 的两边分别与 , AB AC 相交于 , M N 两点， 其他条件不变，请探究 , , AM AN AF 三条线段的等量关系．并加以证明； （3）如图3，在Rt ABC △ 中， 90 , 60 , 6 C BAC AC = = = ，AD平分 BAC 交BC 于D ， 120 MDN = ， ND AB ∥ ，求四边形AMDN 的周长． 13．（25-26 八年级上·广西南宁·月考）如图，在 ABC 中， 90 BAC ，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，F ，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点M ，N ，直线EF 与直线MN 交于点P ，已知AFN 的 周长为13cm ． (1)求线段BC 的长； (2)求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上； (3)①已知 52 FAN = ，则 FPN 的度数为______； 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②若 FAN = ，则 FPN =______．（用含的式子表示） 14．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形ABCD中， 180 B D + = ，BC CD = ． (1)求证：AC 平分 BAD ； (2) E 在AB 边上，连接DE ，若 2 AED ACD = ，求证：BE DE = ； (3)在（2）的条件下， 60 BAD = ，DF AC ⊥ 交CE 于F ，G 在AD边上，DG DF = ，GK BC ∥ 交AC 于 K ，过F 作FH BC ⊥ 于H ，若 6 CF KG − = ， 9 BH = ，求线段CH 的长．
