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1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据角平分线的性质定理求解 题型二、角平分线的性质和判定综合 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结 合全等、对称或求周长/角度。 - 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等 或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 - 易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象；角平分线作 垂线时误作斜线；角平分线判定中未说明点在角的内部；作图题遗漏作图痕迹说明。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据角平分线的性质定理求解 典例1 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在 中，以顶点A 为圆心，以适当长为半径画弧， 分别交 于点M、N，再分别以M、N 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射 线 交边 于点D，作 于点E，若 ， ， 的面积为13，则 的长为 __________ 目 录 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知 平分 ，过点 作 于点 ，利用角平分线的性质可得 ，再根据 列方程求解； 【详解】解：过点 作 于点 ， 由作图痕迹可知， 平分 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2.方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式求 解。 变式1-1（25-26 八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 交 于点 ．若 ， ， 的面积为8，则 的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得 和 ，过点 作 于点 ，过点 作 3 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 于点 ，根据角平分线得 ，则有 ，结合 ，解得 ，即可得 ． 【详解】解：∵ 是中线， ， ∴ ， ∵ 的面积为8， ∴ ， 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图， ∵ 是角平分线， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， 则 ， ∵ ， ∴ ， 则 ． 变式1-2（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， 的面积为12， 平分 交 于 ， ， 分别是 和 上的动点，连接 ， ，则 的最小值为________． 4 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】4 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径， 套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点 关于 的对称点 ，作 边上的高 ，连接 ，如图： ∵ 平分 ， ∴点 必在 上， ∵点 关于 的对称点为 ， ∴ ， ∴ ， ∴当 ， ， 三点共线时， 有最小值，最小值为 ， ∵ ， ∴当 时， 有最小值，最小值为 ， ∵ 的面积是12， ， 边上的高为 ， ∴ ， 解得 ， ∴ 的最小值为4． 变式1-3（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， 是 的中线，动点 在 边上，连接 ．若 ， 的面积是3，则 的最小值为______________． 5 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】2 【分析】因为 是 的中线，所以 和 面积相等，可先求出 的面积．已知 的 面积和 的长度，结合 ，用三角形面积公式可求出 的长度．因为 是角平分线，根据角平 分线的性质，点D 到 和 的距离相等，可得D 到 的距离等于 ．因为G 在 上，根据垂线段 最短， 的最小值即为D 到 的距离． 【详解】解：∵ 是 的中线， ， ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ， 解得 ． ∵ 是 的角平分线， ∴点 到 的距离等于 ． 又∵点 在 上， ∴ 的最小值就是点 到 的距离， 即 ． 题型二、角平分线的性质和判定综合 典例2 （25-26 八年级下·山西运城·期末）如图，已知 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ． (1)连接 ， ，若 ，求 的周长； (2)若 ，求证： 平分 ． 【答案】(1) 的周长 ； (2)证明： ， 垂直平分 ， 垂直平分 ， 6 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 平分 ． 【分析】（1）证明 ， ，进一步求解即可； （2）证明 ，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接 ， ∵ 垂直平分 ， ， 同理： ， 的周长 ． （2）略 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上）进行证明。 2.方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式2-1（25-26 八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示， 于点E， 于点F， ． (1)求证： ； (2)求证： 平分 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 7 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵ 于点E， 于点F， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵ 于点E， 于点F， ， ∴ 平分 ． 变式2-2（25-26 八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ， ， ，在边 上截取 ，连接 ． (1)求证： 平分 ； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1) 证明： ， ． ． 在 与 中， ， ， ． ． ， ． 平分 ． (2) 【分析】（1）证明 ，得出 ，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明 ，即可解答； 8 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）解：在 和 中， ， ， ． ． ． 变式2-3（24-25 八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P 为 内部一点， 于点E， 于点F，且 ，求证：点 P 在 的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在 中， ，点E 在边 上， ， 于点F， ． ①求证： 平分 ； ②若 ， ， 的面积是54，求线段 的长． 【答案】(1) 证明：连接 ，如图1， ∵ 于点E， 于点F， ∴ ， 在 和 中， 9 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ， ∴ ， ∴点P 在 的平分线上； (2) ①证明：∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 而 ， ， ∴ 平分 ； ②15 【分析】（1）连接 ，如图1，根据“ ”可证明 ，所以 ，从而得到 结论； （2）①先证明 ，得到 ，然后根据（1）的结论可判断 平分 ； ②利用三角形面积公式得到 ，由于 ， ，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得 ． 即线段 的长为15． 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 典例3 （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中，边 的垂直平分线 分别交边 于点E，F， 是线段 的垂直平分线，若 的周长为38， ，则 的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 ， ， ， ，进而得到 ， 结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 垂直平分 ， ， ， ， 是线段 的垂直平分线， ， ， ， 的周长为38， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2.方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 11 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-1（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图， 的边 的长为 ，面积为 ， 边 的垂直平分线 交 于点 ，若 为 边上的动点， 为线段 上一个动点，则 的最小值 为________ ． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得 ，则 ，当点 ，点 ，点 共线且 时， 有最小值，即 有最小值为垂线段 的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接 ， ， 垂直平分 ， ， ， 当点 ，点 ，点 共线且 时， 有最小值，即 有最小值为垂线段 的长， 此时 ， ． 变式3-2（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中， ， l 是 边的中垂线，点E 是直线l上动点．点F是直线 上动点，当 ， ， 时，则 的最小值为___________． 【答案】 12 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出 ，将 转化为 ．根据垂线段最短可知当C、 E、F 三点共线且 时， 的值最小，最小值为点C 到直线 的距离，利用三角形面积公式即 可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l 是 边的中垂线，点E 是直线l 上动点， ∴ ， ∴ ， ∵点F 是直线 上动点， ∴当C、E、F 三点共线且 时， 的值最小，最小值为点C 到直线 的距离， 设点C 到直线 的距离为h， ∵ ，且 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小为 ． 变式3-3（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在 中，D 为 中点， 交 于F， ，则 的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D 是 中点且 ，得 是 的垂直平分线，所以 ．由 ， 结合邻补角关系，推出E 在 的外角平分线上，所以E 到 的距离与E 到 的距离相等．过E 作 13 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得 ，再证明 ， 得到对应边相等．根据 的长度，结合线段和差关系列等式，求解 的长度． 【详解】连接 ， ∵ 是 中点， ， ∴ 是 的垂直平分线， ∴ ． 过 作 ，交 的延长线于 ． ∵ ，且 ， ∴ ， 即 平分 ． 又 ， ， ∴ ，且 ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 代入 ， 得 ． 14 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例4 （25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 上的一点，连接 ，作 交 于点 ， 交 于点 ，且 平分 ，连接 ． (1)证明： 垂直平分 ； (2)若 面积为 ，求 的周长． 【答案】(1)证明： ， ， ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， 点 和点 在 的垂直平分线上， 垂直平分 ； (2)30 【分析】（1）证明 ，可得 ，从而得到点 和点 在 的垂直平分线上 即可． （2）由三角形的面积可求出 ，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 15 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 的周长为30． 题型模版 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 2.方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式4-1（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，射线 在 内，点 为射线 上一点，过点 作 ， ，且 ． (1)求证： 是 的平分线； (2)连接 ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由 、 得 ；结合已知 、公共边 ，用 定理证明 ，由全等三角形对应角相等，得 ，从而证出结论． （2）由（1）中 得 ，又已知 ，根据线段垂直平分线的判定定理，得 直线 是 的垂直平分线，因此 ． 【详解】（1）证明： ， ， ． 在 和 中， ． ， 16 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 平分 ． （2）由（1）知 ， ． 又 ， 点 、 都在 的垂直平分线上． ． 变式4-2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中，直线垂直平分边 ，分别交 于点 ，连接 ． (1)若 ， 的周长为 ，则 的长为______； (2)已知点 在线段 上，且点 在边 的垂直平分线上，连接 ，试判断点 是否在边 的垂直平 分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点 在边 的垂直平分线上，理由如下： 连接 、 ， 直线垂直平分边 ，点 在直线上， ， 点 在边 的垂直平分线上， ， ， 点 在边 的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到 ，得到 ，再利用三角形的周长 17 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到 ，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解： 直线垂直平分边 ，分别交 ， 于点 ， ， ， ， 的周长为 ， ， ， ， 即 ； （2）略 变式4-3（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如图1，四边形 中， ， ， ，则称四边形 为直角筝形． (1)连接对角线 、 交于点 ，得到图2，请证明： 垂直平分 ； (2)在图2 中，若 ，点 在射线 上（不与点 重合），点 是平面内一点，以 、 、 、 为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的 的度数． 【答案】(1)证明： ， ∴点 在 的垂直平分线上； ， ∴点 在 的垂直平分线上， 垂直平分 ． (2) ， ， ， 【分析】（1）考查中垂线的定义；（2）关键点在于对点 位置的分类讨论，分四种情况选取不同的直角顶 点：①点 在线段 的延长线上， 是直角顶点；②点 在线段 的延长线上， 是直角顶点；③ 18 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点 在线段 上， 是直角顶点；④点 在线段 上， 是直角顶点. 【详解】（1）略 （2）共有四种可能的情形， ①当点 在线段 的延长线上，如图， 此时 ， 故 ； ②当点 在线段 的延长线上，如图， 此时 ③当点 在线段 上，如图， 此时 , 平分 ， ④当点 在线段 上，如图， 19 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 此时 ， 故 . 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1． （25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ， 点 到 的距离为 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 点 到 的距离为 ，即 ， ∵ 平分 交 于点 ， ， ∴ ， ∴ ． 2．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，在 中，以点 为圆心， 的长为半径作圆弧交 于 20 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点 ，再分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 和点 ，连接 交 于点 ．若 ， ，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得 ， 垂直平分 ，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后 利用等量代换即可得到 的周长． 【详解】解：由作图可得 ， 垂直平分 ， ∴ ， ∴ 的周长为 ． 3．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形 底边 的长为 ，面积是 ，腰 的垂直平分线 交 于点 ，若 为 边上的动点， 为线段 上一动点，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接 ，作 底边 上的高 ，再利用线段垂直平分线的性质得出 ，进一 步得出 ，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当 、 、 三点共线，且 与 重合时， 的值最小，即 的值最小，此时最小值为 的长，最后利用三角形的面 积公式解答即可． 21 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：如图，连接 ，作 底边 上的高 ， ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， 故当 、 、 三点共线，且 与 重合时， 的值最小，即 的值最小，此时最小 值为 的长． ∵等腰三角形 底边 的长为 ，面积是 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值是 ． 4．（25-26 七年级下·广东茂名·期末）如图，在 中，利用尺规作图作出了射线 交 于点P．根 据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A． 是 的平分线 B． C．点P 到 ， 的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断 为 的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知 为 的平分线， 故A 选项说法一定正确，不合题意； 为 的平分线， 22 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点P 到 ， 的距离相等， 故C 选项说法一定正确，不合题意； 设点P 到 ， 的距离为h， 则 ， 故B 选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出 ， 故D 选项说法不一定正确，符合题意． 二、填空题 5．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ，点 是 边上的动点，连接 、 ，若 的最小值是3，则 的度数为_______ ． 【答案】20 【分析】根据 有最小值可得 ，由此可得 ，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当 有最小值时，则有 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为 的角平分线， ∵ ∴ ． 6．（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）已知 中， ，分别以 、为圆心，以大于 为半径作弧，两弧相交于 ；作直线 交 于点D，连接 ， 平分 ，交 于点E， ， 的面积为12，则 的长为______． 23 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】过点 作 ，由题意得， 垂直平分 ，则 ，由角平分线性质得 ， 根据 的面积为12，列关于 的式子，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 ， 由题意得， 垂直平分 ， ， 平分 ， ， ， ， 的面积为12， ，即 ， ． 7．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图， 中， ， ， ，点 为 上 一点，连接 ，将 沿着 翻折，使得点 的对应点 落在 边的垂直平分线上，连接 ，则 的周长为_________． 【答案】14 24 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据翻折可得 ， ，再利用垂直平分线的性质可得 ，线段和差即 可解答． 【详解】解：根据翻折可得 ， ， 点 的对应点 落在 边的垂直平分线上， ， 的周长为 ． 8．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形 中， ， 、 分别为 的角 平分线， 、 相交于点 ． （1）则 的度数为________； （2）若 平分 ，当 ， ， 的面积为 时，则 的面积为________． 【答案】 / 度 【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据角平分线性质定理得 ，结 合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出 ，再通过 证明 ， ，则 ， ， ，根据三角形面积公 式求出 ， ，再根据 的面积 求解即可． 【详解】解：（1） ， ， 分别为 的角平分线， ， ； （2）如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 25 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， 平分 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 同理可得 ， ， ， ， ， ， 的面积 ， ， ， 为 的角平分线， ， ， ， ， 的面积 ． 三、解答题 9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ， 是边 的中点，点 ， 分别 在线段 ， 上，且 ． 26 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1) 与 平行吗？请说明理由； (2)若 ，点 在线段 的垂直平分线上，求 的度数． 【答案】(1)平行，理由如下： ∵ 是边 的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ； (2) 【分析】（1）先证明 ，再结合等腰三角形的定义进行等量代换证明平行； （2）先根据平行线的性质得到 ，然后由线段垂直平分线的性质得到 ，再由 等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ∵点 在线段 的垂直平分线上， ∴ 27 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ 10．（2026 八年级下·山东青岛·专题练习）如图， ，点E 为 的中点， 平分 ， 过点E 作 ，垂足为F，连接 、 ． (1)求证： 是 的平分线． (2)求证：线段 垂直平分 ． 【答案】(1) 证明：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ， 28 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ 是 的平分线； (2) 证明：由（1）知 ， ∴ ， ∵ ， ∴线段 垂直平分 ． 【分析】（1）先利用 证出 ，得到 ，再利用 证出 ，得 到 ，即可证明结论； （2）由（1）知 ，得到 ，再利用 ，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．（26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）已知 中， 平分 ， 交 于点 ， 平分 ，交 于点D， 与 交于点 ． (1)如图1．求证： ； (2)如图2，连接 ，求证： 平分 ． 【答案】(1)证明： 平分 ， 平分 ， 设 ， ， ， ， ； (2)证明：过 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ， 29 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 平分 ， ， 平分 ， ， ． 平分 ． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到 ， ， 即可得到结论； （2）过 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，根据角平分线的性质得到 ， ，则 ．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26 八年级下·广东梅州·期中）图1 是一个平分角的仪器，其中 ， ． (1)如图2，将该仪器放置在 上，使点O 与顶点A 重合，点D，E 分别在边 ， 上，连接 并 延长，交 于点P．求证： 平分 ． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P 作 于点Q，若 ， ， 的面积为60，求 的长． 【答案】(1)证明：在 和 中， ， 30 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 , , 平分 ； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题 的关键． （1）易证明 ，则 ，从而得出结论； （2）过点P 作 于M，根据角平分线的性质定理得到 ，利用 求解即 可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P 作 于M， 平分 ， ， ， ， ， 解得： ． 13． （25-26 七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形 中，对角线 平分 ， ， 求证： ． 31 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ， 请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长 到 ，使 ，连接 请按小刚的思路 进行证明． (3)如图③，在四边形 中，对角线 平分 ， ， ，过点 作 ， 垂足为点 ，探究线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长 到 ，使 ，连接 ， ∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 32 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． (3)解∶ ；理由如下： 如图：作 于M， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 【分析】（1）小明的证明方法：证出 ，再证明 可得 ，再利用等量 代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出 得出 ，再证明 ，再利用 等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作 于M，先根据角平分线的性质得出 ，证明 得 33 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 出 ，证明 得出 ，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 14．（2026 八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图， 是 的角平分线． (1)如图①， 于点E， 于点F，连接 ．求证： 所在直线是 的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G 从点D 向点B 运动时， 于点E， 于点F，此时（1）中的结论是否 成立？请证明； (3)如图③，当点G 沿 方向从点D 沿 的延长线运动时， （或其延长线）于点E， （或 其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明． 【答案】(1) 证明：如图① 平分 ， ， ， ，则点D 在线段 的垂直平分线上； 在 和 中， ， ， ，则点B 在线段 的垂直平分线上； ∴ 所在直线是 的垂直平分线； (2) 成立，即 ，理由如下： 平分 ， ， ， ，则点G 在线段 的垂直平分线上； 在 和 中， 34 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ,则点B 在线段 的垂直平分线上， ∵点G 在直线 上， ∴ 所在直线是 的垂直平分线； (3)成立 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等 三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质及 证得 ，进而得到 ， ，利用线段垂直 平分线的判定定理可求证结论； （2）根据角平分线的性质及 证得 ，进而得到 ， ，利用线段垂直 平分线的判定定理可得结论； （3）根据角平分线的性质及 证得 ，进而得到 ， ，利用线段垂直 平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：成立，即 ，理由如下： 平分 ， ， ， ，则点G 在线段 的垂直平分线上； 在 和 中， ， ， ，则点B 在线段 的垂直平分线上， ∵点G 在直线 上， ∴ 所在直线是 的垂直平分线． 15．（25-26 八年级上·湖北荆门·期末）（1）如图1， 中， ， 平分 交 于D，过C 点作 的垂线交 的垂直平分线于M，连 ，N 在 的延长线上．求证： 平分 ； 35 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）把（1）中的“ 平分 交 于D”换成“ 平分 的外角 交直线 于D”，其他 条件不变，请在图2 中补全图形，并直接写出 的度数（用含 的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若 （如图3），且 ，作 于 ，求 的长度． 【答案】 （1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ，即 平分 ； （2）解：如图，连接 、 ，过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于点 ， ； （3） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，线段垂直平分线 的性质，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到 ，根据角平分线的定义得到 ，最后得到 ； （2）连接 、 ，过点 作 ，过点 作 交 的延长线于点 ，根据题意得到 36 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，证明 ，得到 ，根据等腰三角形的性质计算， 得到答案； （3）连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，根据角平分线的性质得到 ，证明 ，得到 ，根据题意列式计算即可． 【详解】（1） 略 （2） ， 由(1)可知： ， ∵ ， ， ∴ ， ∵点 在 的垂直平分线上， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． （3）解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ， ∵ ， 平分 ， ∴ ， ∵ ， 37 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， , 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ．
