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专题20 共定点等边三角形的六大结论及应用
六大结论基本模型：如图，△ABC和△CDE是共顶点（C）三角形，则有以下六大结论.
结论1：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE 结论2：∠AOB=60°
结论3：△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP=BQ，PC=QC 结论4：△PCQ是等边三角形
结论5：∴ 结论6：点C在∠AOE的平分线上
1．如图， 为线段 上一动点（不与点 、 重合），在 同侧分别作正三角形 和正三
角形 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ，以下七个结
论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ 是等边三角形；⑦点 在 的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解析】
【分析】
由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得
∠ACD=∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；由△ACD≌△BCE， 可得
∠CAP=∠CBQ，可得 故⑤正确，角边角证明△ACP≌△BCQ得AP=BQ，其
结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ=∠ACB=60°判定两
线 ，结论②正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，
可证明点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确；即正确结论共6个．【详解】
解：如图1所示：
∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD， ∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE， ∴结论①正确；
∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAP=∠CBQ，
故⑤正确，
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠BCD=60°，
在△ACP和△BCQ中， ，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，PC=QC， 故③正确，
∴△PCQ是等边三角形，故⑥正确
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∴ ， 故②正确，
若DE=DP，
∵DC=DE， ∴DP=DC， ∴∠PCD=∠DPC，
又∵∠PCD=60°，
∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立， ∴结论④错误；过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点， 如图2所示：
∵CM⊥AD，CN⊥BE，
∴CM=CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故选：D．
【点睛】
本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行
线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判
定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已
知角的角平分线上．
2．已知如图 是锐角三角形，分别以边AB、AC为边向外作 和 ， 和
均为等边三角形，且BE和CD交于点F，连接AF．
（1）求证： ；
（2）求出 的度数；
（3）求证： ．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）由 和 均为等边三角形，可得边角关系，由SAS即可证明 ；（2）由 可得点A、F、C、E四点共圆，再由圆的性质即可求解；
（3）由点A、F、C、E四点共圆，可得 ，再由 内角和为 可得
，由点A、F、B、D四点共圆，同理可得 ，从而可得
，故可得 ．
【详解】
解：（1）∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴在三角形 和 中，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴点A、F、C、E四点共圆，
∴ ，
∵ 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（3）由（2）点A、F、C、E四点共圆，点A、F、B、D四点共圆，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，四点共圆的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，
解题的关键是熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想．
3．已知：如图， ABC、 CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段
AD、BE的中点．△ △
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断 MNC的形状，并说明理由；
(3)连接OC△，求证：OC是∠AOE的平分线．
【答案】(1)∠DOE的度数是60°
(2) MNC是等边三角形，理由见解析
(3)△见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证明
△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得
∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM
＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可
得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；
（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H，根据全等三角形的性
质可得AD＝BE，S ACD=S BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．
△ △
(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，
＝∠BEC＋60°＋∠BED，
＝∠CED＋60°，
＝60°＋60°，
＝120°，
∴∠AOE=120°，
∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．
(2)
MNC是等边三角形，理由如下：
△∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝ AD，BN＝ BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中， ，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
(3)
连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H．
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，S ACD=S BCE，
△ △
∴ ，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AD，CH⊥BE，
∴OC是∠AOE的平分线．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分
线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．
4．如图，已知 CAD与 CEB都是等边三角形，BD、EA的延长线相交于点F．
△ △
（1）求证： ACE≌△DCB．
（2）求∠F的△度数．
（3）若AD⊥BD，请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到CB=CE，CD=CA，∠BCE=∠DCA=60°，由全等三角形的判定定
理即可得到结论；
（2）设BC与EF相交于G，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，根据三角形的内角和即可得到
结论；
（3）根据垂直的定义得到∠ADF=90°，求得∠DAF=30°，根据直角三角形的性质得到AF=2DF，
根据全等三角形的性质得到AE=BD，于是得到结论．
【详解】
（1）∵△CAD与△CEB都是等边三角形，
∴CB＝CE，CD＝CA，∠BCE＝∠DCA＝60°，
∴∠BCD＝∠ECA，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）设BC与EF相交于G，
由（1）可知△ACE≌△DCB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°，
而∠BGF＝∠AGC，
∴∠F＝∠BCE＝60°；
（3）EF＝BD+2DF，理由如下：
∵AD⊥BD，
∴∠ADF＝90°，
∵∠F＝60°，
∴∠DAF＝30°，
∴AF＝2DF，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，
∴EF＝AE+AF＝BD+2DF．【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形
是解题的关键．
5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作 ACD和 BCE，且
CA=CD，CB=CE， ，直线AE与BD交于点F． △ △
（1）如图1，证明： ACE≌△DCB；
（2）①如图1，若 △ ，则 =________；
②如图2，若 ，则 ______；（用含 的式子表示）
（3）将图2中的 ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），
如图3，试探究 △ 与 的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）120°，180°-β；（3）∠AFB=180°-α，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，
∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC），代入求出即可得出①②的结论；
（3）由“SAS”可证 ACE≌△DCB，可得∠AEC=∠DBC，由三角形内角和定理可求解．
【详解】 △
解：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，在 ACE和 DCB中
△ △
∵ ，
∴△ACE≌△DCB；
（2）①∵∠ACD=60°，
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC=60°，
∴∠AFB=180°-60°=120°
故答案为：120；
②当∠ACD=β时，∠AFB=180°-β，理由是：
∵∠ACD=β，
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC=β，
∴∠AFB=180°-（∠CAE+∠DBC）=180°-β；
故答案为：180°-β．
（3）∠AFB=180°-α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在 ACE和 DCB中，
△ △
∵ ，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，
如下图，∵∠FGE=∠CGB，
∴∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综
合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题．要熟练掌握全等三角形的判定和性质定理．
6．如图①，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一
边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）当点D在线段AM上时（如图①），则AD BE（填“＞”“＜”或“=”），∠CAM=
度；
（2）当点D在线段AM的延长线上时（如图②），直线BE与直线AM的交点为O，求∠AOB的
度数；
（3）当动点D在线段AM的反向延长线上时，直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB的
度数是否发生变化？若变化，请求出∠AOB的度数，若不变，请说明理由．
【答案】（1）=；30；（2）60°；（3）不变，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，则AD=BE；根据等边三角形的性质可以直接得出
∠CAM的度数；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就
可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，进而得到∠AOB的度数；
（3）当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE就可以得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM= ∠BAC，
∴∠CAM=30°，
故答案为：=，30；
（2）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠DCB，∠BCE=∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°；
（3）不变，理由如下：
∵点D在线段MA的延长线上，且△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
同理可得：∠CAM=30°，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形
的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
7．已知点C为线段 上一点，分别以 、 为边在线段 同侧作 和 ，且
， ， ，直线 与 交于点F．
（1）如图①，试说明： ；
（2）如图①，若 ，则 ________°；如图②，若 ，则________°；如图③，若 ，则 ________°；
（3）如图④，若 ，求 的值（用含 的代数式表示）；
（4）若A、B、C三点不在同一直线上，线段 与线段 交于点C（交点F至少在 、 中
的一条线），如图⑤，若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）120，90，60；（3） ；（4） ，见解析
【解析】
【分析】
（1）求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，
∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；
（3）根据全等三角形的性质、三角形的内角和与三角形的外角性质求出即可．
（4）知道 ，得到 ，证明 即可求解．
【详解】
解：（1） ，
，
，
在 和 中，
，
，
（2）解：∵∠ACD=60°，
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC=60°，
∴∠AFB=180°-60°=120°；
当∠ACD=90°时，
∵∠ACD=90°，
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=90°，
∴∠AFB=180°-90°=90°；
同理：∠ACD=120°时
∠AFB=60°
故答案为：120，90，60
（3）由（1）可知 ，
，
故答案为：
（4） ，
理由如下： ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
即 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解此题的关键
是找出已知量和未知量之间的关系．
8．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．当点A位于______时，线段
AC的长取得最大值，最大值为______．（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1．如图2所示，分别以AB，AC为边，作等
边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出BE长的最大值．【答案】（1）CB的延长线，a+b；（2）①DC=BE，理由见解析；②4；
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出
CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最
△大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
【详解】
解：（1）由题意可知，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为
AB+BC，即a+b，
故答案为：CB的延长线，a+b；
（2）①DC=BE，理由如下：
∵△ABD与 ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，A△C=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在 CAD与 EAB中，
△ △
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴DC=BE；
②线段BE长的最大值是4，
由（1）得，点D在CB的延长线上时，CD最大，最大值为DB+BC=AB+BC=4，
∵△CAD≌△EAB，
∴DC=BE，
∴线段BE长的最大值为4．
9．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如
果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合
∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．
根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而
求∠BAC的度数．
(1)
证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)
证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)
解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
10．如图1，点M为锐角三角形 内任意一点，连接 ．以 为一边向外作等边
三角形 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的值最小，则称点M为 的费马点．若点M为 的费马点，求此
时 的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明
作法以及理由．
【答案】（1）见解析；（2） ： ； ；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB
（2）连接MN，由（1）的结论证明ΔBMN为等边三角形，所以BM=MN，即
AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可
求此时∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度数；
（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线
段EC和BF的交点即为△ABC的费马点．
【详解】
解：（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ．
而 ，
∴ ．
在 与 中，∴ ．
（2）连接 ．由（1）知， ．
∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∴当E、N、M、C四点共线时， 的值最小．
此时， ： ；
．
（3）如图2，分别以 的 ， 为一边向外作等边 和等边 ，连接 ，
相交于M，则点M即为 的费马点，由（2）知， 的费马点在线段 上，同理也在线
段 上．因此线段 与 的交点即为 的费马点．
（方法不唯一，正确即可）
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的
关键．
11．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．
（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；
（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 °；
（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是
°；
（4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 °．
【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得∠ABC＝∠DBE＝60°，从而得 ；通过证明 ，得
；通过证明 ，得 ，根据等边三角形的性质分析，即可完成
证明；
（2）结合题意，通过证明 为等边三角形，得 ；结合（1）的结论，根
据三角形外角性质，推导得 ，从而完成求解；
（3）同理，通过证明 为等边三角形，得 ；通过证明 ，得
；根据三角形外角性质，推导得 ，从而完成求解；
（4）根据题意，通过证明 为等边三角形，推导得 ，通过证明 ，
得 ，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60°
∴ ， ，
∴
∵BA＝BC，BD＝BE
和 中∴
∴
和 中
∴
∴
∴ 为等边三角形；
（2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC
∴ 为等边三角形；
∴
根据题意，AE和CD相交于点O
∵
∴
∵
∴
∴ ，即直线AE和CD的夹角是
故答案为： ；
（3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC
∴ 为等边三角形；
∴
∵ ， ，∠ABC＝∠DBE＝60°
∴
∵BA＝BC，BD＝BE
和 中∴
∴
如图，延长 ，交CD于点O
∴
∵
∴
∴ ，即直线AE和CD的夹角是
故答案为： ；
（4）∵BA＝BC，
∴
∵∠ACB＝60°
∴
∴ 为等边三角形
∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE
∴
∵ ，
∴
和 中
∴
∴
分别延长CD、AE，相较于点O，如下图：∴
∵
∴
∴ ，即直线AE和CD的夹角是
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟
练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
12．如图，已知点B（-2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动
点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果
变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）∠BAC的度数不变化；理由见详解．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理，以及对顶角相等，即可得到结论成立；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G．运用“AAS”证明 ACH≌△ABG得
AH=AG．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证； △（3）运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从
而求∠BAC的度数．
【详解】
解：（1）由题意，在△ACF和△BDF中，
，
∵∠ABD=∠ACD，∠AFC=∠BFD，
∴∠BDC=∠BAC；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，如图：
则∠AHC=∠AGB=90°，
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACH≌△ABG （AAS）
∴AH=AG．
∴AD平分∠CDM．
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP=BD，连接AP．
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即 ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°． △
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，
综合性较强．
