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专题13.19 等边三角形（直通中考）
【要点回顾】
【知识点一】等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫等边三角形.
【知识点二】等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【知识点三】等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点三】含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
一、单选题
1．（2023·贵州·统考中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化
立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰长为
，则底边上的高是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·统考中考真题）在 和 中， ．已
知 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线 ，菱形 和等边 在 ， 之间，点A，F分别
在 ， 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
4．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图， 为等边三角形， ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建·统考中考真题）如图，点F在正五边形 的内部， 为等边三角形，则
等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·福建·统考中考真题）如图，面积为1的等边三角形 中， 分别是 ， ， 的
中点，则 的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2018·福建·中考真题）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，
∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心， 长为半
径作弧交 的延长线于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线 ，等边三角形 的顶点 在直线 上， ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2017·湖南常德·中考真题）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一
动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ．
二、填空题
11．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形 顶点A和C，且 ， ，则的度数为 ．
12．（2020·辽宁·中考真题）如图，以 为边，在 的同侧分别作正五边形 和等边 ，连接
，则 的度数是 ．
13．（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，则 的
最大值与最小值的差为 ．
14．（2020·江苏常州·中考真题）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、 于点E、F．若
是等边三角形，则 °．
15．（2016·广西贺州·中考真题）如图，在 ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角
形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB△的度数为 ．16．（2013·广西贵港·中考真题）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的
中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= ．
17．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在 中， ．点 ， 分别在边 ，
上，连接 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．若点 刚好落在边 上，
，则 的长为 ．
三、解答题
18．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，△ 是等边三角形， 在直线 上， ．
求证： ．
19．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图， 是等边 的中线，以 为圆心， 的长为半径画弧，交 的延长线于 ，连接 ．
求证： ．
20．（2021·湖北·统考中考真题）已知 和 都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用
无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当 时，作 的中线 ；
（2）如图2，当 时，作 的中线 ．
21．（2012·贵州遵义·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运
动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不
与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．22．（2020·四川凉山·统考中考真题）如图，点P、Q分别是等边 边AB、BC上的动点（端点除外），
点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M， 的大小是否变化？若变
化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M， 的大小是否变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．23．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC
上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理
由．24．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的
底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：
如图1，若 和 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： ；
图1
（2）解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在
同一条直线上，CM为 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间
的数量关系并说明理由.
图2参考答案
1．B
【分析】作 于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得
，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作 于点D，
中, ， ，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键
是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
2．C
【分析】过A作 于点D，过 作 于点 ，求得 ，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
综上， 的值为 或 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
3．C
【分析】如图，由平角的定义求得 ，由外角定理求得，
，根据平行性质，得 ，进而求得 ．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴∵
∴
∵
∴
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定
角之间的数量关系是解题的关键．
4．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得 ，再根据平行线的性质可得
，然后根据角的和差即可得．
【详解】解： 为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
5．C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形
的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰
三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．【详解】∵ 是正五边形，
∴∠ABC= =108°，AB=BC，
∵ 为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC= =66°，
∴ =∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
【点拨】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是
解题关键．
6．D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是 ．
【详解】∵ 分别是 ， ， 的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是 ．
故选D．
【点拨】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
7．A
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，
即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB
是解本题的关键．
8．C
【分析】由等边三角形的性质求解 ，再利用等腰三角形的性质可得
，从而可得答案．
【详解】解：∵ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解
本题的关键．
9．A
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平
行线的性质得到∠1的度数．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，
∵ ，
∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线
的性质．
10．0＜CD≤5．
【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：（1）当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立，
(2)当点D与点A重合时，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD，CD=CB，
∴CD= BE=5，
∴0＜CD≤5，
故答案为：0＜CD≤5．
【点睛】本题考查的是等腰三角形、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
的一半是解题的关键．
11．102°
【分析】根据题意可求出 的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
【详解】 三角形ABC为等边三角形
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．66°
【分析】由 是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及
∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理求出答案．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA= ．
故答案为：66°．
【点拨】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内
角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
13．12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形
的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6<BE<8+6，
∴2<BE<14，
∴2<AD<14．
∴则 的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化
为BE从而求解，是一道较好的中考题．14．30
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线
的性质得到∠B=∠BCF.
15．120°
【分析】先证明△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题．
【详解】解：如图：AC与BD交于点H．
∵△ACD， BCE都是等边三角形，
∴CD=CA，△CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，
∴∠AOH=∠DCH=60°，
∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．
故答案为：120°
【点拨】本题考查（1）全等三角形的判定与性质；（2）等边三角形的性质.16．2
【详解】解：如图，连接FD，
∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°．
∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，AB=6，PB=1，
∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF为△ABC的中位线．
∴EF∥AB，EF= AB=3，△ADF为等边三角形．∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°．
∵△PQF为等边三角形，∴∠2+∠3=60°，FP=FQ．∴∠1=∠2．
∵在△FDP和△FEQ中，FP=FQ，∠1=∠2，FD=FE，∴△FDP≌△FEQ（SAS）．∴DF=QE．
∵DF=2，∴QE=2
故答案为：2．
17．
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出 ，即可求解．
【详解】解：∵将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．点 刚好落在边 上，在 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．详见解析
【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得 ．
【详解】证明：∵△ 是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴ ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度
不大．
19．见解析
【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出 ，再利用等边对等角即可．
【详解】证明： 为等边 的中线，
，
，
，
【点拨】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．
20．（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】（1）连接 ，交 于点 即可；
（2）先延长 ，相交于点 ，再连接 ，相交于点 ，然后连接 ，交 于点 即可．
【详解】解：（1）如图，连接 ，交 于点 ，则 即为所求．（2）分以下三步：
①延长 ，相交于点 ，
②连接 ，相交于点 ，
③连接 ，交 于点 ，
则 即为所求．
【点拨】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练
掌握等边三角形的性质是解题关键．
21．（1）2（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由见解析
【详解】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°．
∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°．
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x．
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC= QC，即6﹣x= （6+x），解得x=2．
∴当∠BQD=30°时，AP=2．
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF．∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°．
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ．
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°．
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）．
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF．∴四边形PEQF是平行四边形．
∴DE= EF．
∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE= AB．
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3．
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，设AP=x，则
PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= QC，即6﹣x= （6+x），求出x的值即可．
（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知
AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF
是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点
P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
22．（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．
【分析】（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性
质证全等即可；
（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角相
等可得 的度数；
（3）先证出 ，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．
【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，在△ABQ与△CAB中，
∴ ．
（2）角度不变，60°，理由如下：
∵
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，
∴
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角
形的性质证全等是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证 CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明 DEH≌△FEC
（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论； △ △
（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出 GCD为等
△边三角形，则DG＝CD＝CG，证明 EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取△CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在 DEH和 FEC中，
△ △
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在 EGD和 FCD中，
△ △，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助
线构建等边三角形是解题的关键．
24．(1）见解析
(2) ；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出 BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出 BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠A△DC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ △ 和 是顶角相等的等腰三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ， ，
理由如下：由（1）的方法得， ，∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直
角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
