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专题 13.4 等边三角形的性质与判定
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 利用等边三角形的性质求角度】............................................................................................................1
【考点二 利用等边三角形的性质求线段】............................................................................................................4
【考点三 等边三角形的判定】................................................................................................................................8
【考点四 等边三角形的判定和性质】..................................................................................................................11
【考点五 含30°的直角三角形】.........................................................................................................................16
【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】..............................................................................................................18
【过关检测】............................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 利用等边三角形的性质求角度】
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若 为等边三角形，且 ，则 的度数=
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 是等边三角形，点 、 、 分别在 、 、
上，若 ， ，则 度．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知点 ， 是 上的三等分点， 是等边三角形，那么 的度数为 ．
3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在等边 中， 平分 ， ，则
的度数是 度．
【考点二 利用等边三角形的性质求线段】
例题：（2024·广西桂林·一模）如图，在等边 中， ， 平分 ，点 在 的延长线上，
且 ，则 的长为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图， 是等边三角形，高 ，P为 上一动点，E
为 的中点，则 的最小值为 ．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形 的边长为3，过 边上一点P作于点 为 延长线上一点，取 ，连接 ，交 于点M，则 的长为 ．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形 的边长为4，D是边 的中点，E在边
上， ，点F在边 的延长线上，且 ，则 的长为 ．
【考点三 等边三角形的判定】
例题：如图，在 中， ，点 在边 上，连接 ．若 ，求证：
是等边三角形．
【变式训练】
1．如图，点 在 的外部，点 在边 上， 交 于点 ，若 ， ，
．
(1)求证： ；(2)若 ，判断 的形状，并说明理由．
2．如图， 中，D为 边上一点， 的延长线交 的延长线于F，且 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)当 等于多少度时， 是等边三角形？请证明你的结论．
【考点四 等边三角形的判定和性质】
例题：如图，已知 和 均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 与 交于点N， 与 交于点 ，连接 ，求证： 为等边三角形．
【变式训练】
1．如图，在等边 中，点 在 内， ，且 ， ．
(1)试判定 的形状，并说明理由；
(2)判断线段 ， 的数量关系，并说明理由．
2．如图，在 中， ，点D在 内部， ， ，点E在 外部，
．(1)求 的度数；
(2)判断 的形状并加以证明；
(3)连接 ，若 ，求 的长．
【考点五 含30°的直角三角形】
例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在 中， 垂直平分 ，
交 于点E， ，则 的值为 cm．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，交 于
点D，若 ，则 ．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， ， ，
的长是 ．
3．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在 中， ， ，垂足为点 ，， ，则AB的长为 ．
【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】
例题：（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在 中， ， 为 边上的中线，
则 的长等于 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在 中， 是边 的中点，若
，则 ．
2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在 中， ， 于点D，
，E是斜边 的中点，连接 ，则 的度数为 ．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，
点P是 的中点，若 ，则 的长为 ．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在等边 中， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，等边 的顶点B在直线b上， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， 交 于点
，则 的长为（ ）
A．18 B．10 C．11 D．124．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为等边三角
形，过点 作 的延长线于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A．6.5 B．6.8 C．7 D．7.2
5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 如图， 中， ， ， 于
点 ， ，点 在边 上，点 在边 上，连接EF．若 ， ，则线段 的长
为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
二、填空题
6．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图， 是等边三角形 的中线，且 ，延长
至点E，使 ，连接 ，则 的长是 ．
7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，已知 是 平分线上一点， ， 交
于点 ， ，垂足为 ，且 ，则 等于 ．
8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 中， ， ， 与 相交于点 ，则 的度数是 ．
9．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 中， ，点D是边
上的动点，连接 ，以 为边在 的左下方作等边 ，连接 ，则点D在运动过程中，线段
长度的最小值是 ．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半
轴上，点 ， ， …在射线 上，点 ， ， …在射线 上， ， ， ，
…均为等边三角形，以此类推，若 ，则 的横坐标为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·全国·期中）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点E，使 ．
(1)求证： ；(2)若F是 的中点，连接 ，且 ，求 的周长．
12．（24-25八年级上·重庆秀山·阶段练习）已知a，b，c是 的三边长．
(1)若a，b，c满足， ，试判断 的形状；
(2)化简： ．
13．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图， 与 均为等边三角形并且B，C，D三点共线．
(1)求证： 平分 ；
(2)试探究 之间的数量关系，并证明．
14．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图， 为等边三角形，点D与点C关于直线 对称，E，F
分别是边 和 上的点， ， 与 交于点G， 交 于点H．
(1)求 的度数，并证明．
(2)求证 ．
(3)连接 ，判断 的形状并说明理由．
15．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点，
， ， ， ，连接 ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．（直接写出答案）
16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知 是等边三角形，点 分别为边 上的动点
（点 与线段 ， 的端点不重合），运动过程中始终保持 ，连接 相交于点 ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图①，当点 分别在 边上运动时， 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，
求出它的大小；
(3)如图②，当点D，E分别在 的延长线上运动时， 的大小是否变化？若变化，请说明理由；
若不变，求出它的大小．
17．（24-25八年级上·全国·期末）已知： 为等边三角形．
(1)如图1，点D、E分别为边 上的点，且 ．
①求证： ；
②求 的度数．
(2)如图2，点D为 外一点， ， 、 的延长线交于点E，连接 ，猜想线段 、、 之间的数量关系并加以证明．
(3)如图3，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，直接写出 的最大值与最小值的
差．
18．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知在 中， ， ，点 是平面内一
点，连接 、 、 ， ．
(1)如图1，点 在 的内部．
①当 ，求 的度数；
②当 平分 ，判断 的形状，并说明理由；
(2)如果直线 与直线 相交于点 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数（直接
写出答案）．
