文档文本内容
1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题08 二次函数中的特殊三角形存在性问题的三类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足等腰、直角或等腰直角三角形的动点是否存在，需分类讨 论。 - 解题方法：等腰三角形用两腰相等（距离公式）列方程；直角三角形用斜率垂直（\(k_1k_2=-1\)）或勾股 定理；等腰直角结合两者，注意分类不重不漏。 - 易错提醒：忽视动点与顶点重合的临界情况；分类讨论时遗漏某种腰或直角对应情形；计算中根号开方 时丢负根；未检验所求点是否在抛物线或给定范围内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 典例1（2026·西藏林芝·二模）如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ． 目 录 2 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求这个抛物线的函数表达式； (2)点 的坐标为 ，点 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面积的最大值； (3)点 为抛物线对称轴上的点，是否存在点 使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形 面积的最大值为 (3)存在点 使 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）连接 ，设点 ，然后根据割补法表示出四边形 的面积，进而根据二次函数 的性质进行求解即可； （3）由 可知：对称轴为直线 ，由题意可设 ，然后根据两点间距离公式可 得 ， ， ， 进而根据等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线 交 轴于点 和点 ，可知： ，解得： ， ∴这个抛物线的函数表达式为 ； （2）解：连接 ，设点 ，由题意可知 ， 令 时，则有 ，即 ， ∵ ，点 的坐标为 ， 3 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵ ，开口向下，且 ， ∴当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ； （3）解：存在点 使 为等腰三角形，理由如下： 由 可知：对称轴为直线 ，由题意可设 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， 由 为等腰三角形可分： 当 时，则有 ，解得： ， ∴ ； 当 时，则有 ，解得： ， ∴ 或 ； 当 时，则有 ，解得： ， ∴ （不符合题意，舍去）或 ； 综上所述：当 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 或 或 ． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，求动点坐标，常分三类（三边任一等）。 2.方法：设动点坐标，利用距离公式表示三边平方，分情况列方程（如两腰相等），解方程并验证。 变式1-1（2026·青海海东·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交 于点 ， ，与 轴交于点 ．一次函数的图象过点 、 ． 4 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的 的取值范围； (3)若 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使得以 ， ， 三点为顶点的三角形是以 为腰 的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线 的解析式 ；抛物线的解析式 (2) 或 (3)存在，点M 坐标为 或 或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据函数图象，结合 的横坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴为直线 ，设 ，可得 ， ， ，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ， 将点 ， 分别代入得： ， 解得： 直线 的解析式为 ； ∵抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线为： ； 5 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的 的取值范围为 或 ． （3）解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 设 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， 当 时， ∴ ， 解得： ， ∴ 或 ； 当 时， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 综上：点M 坐标为 或 或 ． 变式1-2（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点 ， ，与y 轴交于点 C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是抛物线上的动点，过点P 作 轴于点D，交直线 于点E，当点P 在第一象限时，求线段 6 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的最大值； (3)在（2）的条件下，当 取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 为等腰三角形？ 若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q 的坐标为 或 或 或 或 ． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C 坐标求出直线 解析式，设点P 坐标为 ，则 ，求出 的关系 式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为 ，设 ，求出 ， ， ， ，分三种情况列方程求解 即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于 ， 两点， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：设直线 的解析式为 ， 将点 、 代入，得 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 设点P 坐标为 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为 ； 7 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∵当 时， 有最大值， ∴ ， 设点Q 的坐标为 ， ∵ 、 ， ∴ ； ； ， 当 即 时， ，即 ， 解得 ， ∴点Q 的坐标为 或 ； 当 即 时， ， 解得 或 ， ∴点Q 的坐标为 或 ； 当 即 时， ， 解得 ， ∴点Q 的坐标为 ． 综上所述，点Q 的坐标为 或 或 或 或 ． 8 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 典例2（2026·甘肃定西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， ， 点 是抛物线与 轴的交点，连接 ， ． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点 ，使 是以点 为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． (3) ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ，当 时，求 的最小值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据点 、 的坐标可知 是等腰直角三角形， ，过点 作 ，可知 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点 的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式， 把直线 的解析式和抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点 的坐标； （3）过点 作 轴，使 ，连接 ，过点 作 轴，可知四边形 是矩形，根据 可证 ，根据全等三角形的性质可知 ，根据两点之间线段最短，可知 ，根据矩形的性质可得点 的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式 求出 的长度即为 的最小值． 【详解】（1）解： 抛物线 过 ， 可得： ， 解得： ， 9 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 抛物线的解析式为 ； （2）解：当 时，可得： ， 点 的坐标为 ， ， 点 的坐标为 ， ， 是等腰直角三角形， ， 过点 作 ， 则 ， ， 点 的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ， 可得： ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 解方程组： ， 可得： （与点 重合，舍去）， ， ； 10 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：如下图所示，过点 作 轴，使 ，连接 ，过点 作 轴， 四边形 是矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短，可得： ， 点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成直角三角形，求动点坐标，常分三类（每个角为直角）。 2.方法：设动点坐标，利用斜率乘积为-1 或勾股定理列方程，分三种直角情况求解并检验是否在抛物线上。 变式2-1（2026·甘肃金昌·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于点 、 ， 顶点为 ． 11 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线的解析式和点 的坐标； (2)点 是第一象限内抛物线上的一个动点，设 的面积为，求出的最大值，并求出此时点 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形，且 为斜边？ 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ； (2) ， (3) 或 【分析】（1）将点 、 的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得 、的值即可；利用配 方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点 的坐标； （2）利用待定系数法确定直线 解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F 的坐标，然后根据两点 间的距离公式求得 长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E 的横坐 标，易得其纵坐标，则点E 的坐标可得； （3）利用两点之间的距离公式得出 ， ， ，利用勾股定理得出 ，解出n 的值，进 而可求出点P 的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于点 、 ， ． 解得 ． ，则 ； （2）解：当 时，则 ， ∴ ， 如图，作 轴交 于点 ， 12 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， 设直线 的解析式为： ， 则 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为： ， 设 ，则 ， ， ， 当 时， ， 此时，点 的坐标是 ； （3）解：设 ， 、 ， ， 同理： ， ， 当 时， ，即 整理得： 解得 或 ． 当 时，则 ， 当 时，则 ． 综上： 或 ． 变式2-2（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交x 轴于 ， 13 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 两点，交y 轴于点C． (1)求抛物线F 的函数表达式； (2)点P是线段 上的一个动点，沿 以每秒1 个单位长度的速度由点O 向点B 运动，过点P 作 轴， 交抛物线于点E，交直线 于点M．在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时， ？ (3)设抛物线F 顶点为D，点N 是y 轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N 为顶点的 三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N 点坐标为 或 或 或 【分析】(1) 将 ， 代入抛物线表达式，利用待定系数法求解． (2) 先求出点 坐标和直线 表达式，用表示 和 的长度，列方程求解． (3) 先求顶点 坐标，设 ，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点． 【详解】（1）解：将 ， 代入 ， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ． （2）解：设 ， 当 时， ， ， 设直线 解析式为 ， 14 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 轴， ， ， ， ， 当 时， ， 解得 或 （舍去）， 时， ． （3）解：存在点N，使得以点B，D，N 为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， ， 设 ， ， ， ①当 为斜边时， 解得 或 ， 或 ； ②当 为斜边时， 解得 ， ； ③当 为斜边时， 解得 ， 15 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ； 综上所述：N 点坐标为 或 或 或 ． 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 典例3（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，其 中点 ，对称轴为 ，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的表达式． (2)点 是抛物线对称轴上一动点． a：当 的周长最小值时，求 的值． b：点 是对称轴右侧抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰直角三角形时，请求出所有 点的坐 标． 【答案】(1) (2)a：2；b： 或 或 【分析】（1）根据抛物线 与x 轴交于点 ，称轴为 求解即可； （2）a：先求出点C 和点B 的坐标，如图所示，连接 交对称轴于P，连接 ，根据轴对称最短路径可 知 与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P 为直角顶点时，由对称性可知 ；当点B 为直角顶点时，若点P 在x 轴的下方时，作 于点H，设 ，对称轴与x 轴交于点G，证明 得 ， ，则 ，代入函数解析式即可求解；若点P 在x 轴的上方时，作 于点H，设 ，对称轴与x 轴交于点G，同样的方法求解即可． 16 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于点 ，称轴为 ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 ； （2）解：a：当 时， ， ∴点C 的坐标为 ． 当 时， ， 解得 ， ∴点B 的坐标为 ， 如图所示，连接 交对称轴于P，连接 ， 由轴对称的性质可知 ， ∴ 的周长为 ， 此时 的周长最短， 设直线 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 当 时， ， 17 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴点P 的坐标为 ． ∴ ， ， ∴ ； b：当点P 为直角顶点时，如图， ∵点P 在对称轴上， ∴此时点Q 与点A 重合，即 ； 当点B 为直角顶点时， 如图，若点P 在x 轴的下方时，作 于点H，设 ，对称轴与x 轴交于点G， ∴ ． ∵ ． ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，代入抛物线解析式得， ， 整理得， ， 解得 （舍去）， ， 18 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 如图，若点P 在x 轴的上方时，作 于点H，设 ，对称轴与x 轴交于点G， 同理可证 ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，代入抛物线解析式得， ， 整理得， ， 解得 ， （舍去）， ∴ ． 综上所述，点Q 的坐标为 或 或 ． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰直角三角形，求动点坐标，需同时满足等腰和直角。 2.方法：设动点坐标，分两类（直角顶点为动点或定点），用距离相等和垂直条件列方程组求解并验证。 19 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-1（25-26 九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，已知抛物线 与x 轴交于点 ， ，与y 轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若 时，二次函数 的最大值为m，求m 的值； (3)当点P 在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得 是以 为直角边的等腰直 角三角形，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)m 的值为 或 (3)点P 的横坐标为0 或 或 或 【分析】（1）将点 ， 代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组得到a，b 的值即可求得解 析式； （2）先求出抛物线的对称轴，再根据题意分情况进行讨论m 的值，从而得到结果； （3）设 ，分情况讨论：①当点D 为直角顶点，分为 和 ；②当点A 为直角顶点，利用一线 三垂直证明三角形全等，设不同情况下含t 的点P 坐标，代入到二次函数解析式求出点P 的横坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将点 ， 代入抛物线解析式， 得： ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵抛物线的解析式为 ， ∴抛物线的顶点式为 ， ∴抛物线的顶点为 ，对称轴为 ， 当 时，y 随x 的增大而减小，当 时，y 随x 的增大而增大， 20 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 若 ，即 时， 当 时，函数有最大值m， ∴ ， 解得： （舍去）， ； 若 ，即 时， 当 时，函数有最大值为 （舍去）， 若 ， 当 时，函数有最大值为m， ∴ ， 解得： （舍去）， ， 综上所述，m 的值为 或 ． （3）解：设 ，则 ， ①当点D 为直角顶点， （i）当 时， 如图，作 交对称轴于点M，记抛物线对称轴与x 轴交点为N， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 在 和 中， 21 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 代入抛物线解析式得： ， 解得 （舍去）， ， ∴点P 的横坐标为 ； （ii）当 时， 如图，作 交对称轴于点M， 同理可证 ， ∴ ， ， ∴设点 ， 代入抛物线解析式得： ， 解得： （舍去）， ， ∴点P 的横坐标为 ； ②当点A 为直角顶点， 如图，过点A 作y 轴平行线，作 交于点M， 交于点N， 22 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同理易证得 ， ∴ ， ， ∴ ， 代入抛物线解析式得： ， 解得： ， ， ∵点P 在对称轴左侧， ∴ ， ∴点P 的横坐标为 ； 当点P 在x 轴下方时， 如图，过点P 作 轴交x 轴于点M，记对称轴与x 轴交点为N， 同理易证得 ， ∴ ， ， ∴点P 为 ， 代入抛物线解析式得： ， 23 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得： ， ， ∵点P 在对称轴左侧， ∴ ， ∴点P 的横坐标为 ， 综上所述，点P 的横坐标为0 或 或 或 ． 变式3-2（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）如图，已知二次函数的图像与x 轴交于点 两 点，与y 轴交于点C，其中点C 可由点B 绕原点逆时针旋转 得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G 为抛物线上一动点，连接 ，当点C 到直线 的距离最大时，求 的面积为多少； (3)当点P 在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得 是以 为直角边的等腰直 角三角形，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点D 坐标为 或 或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得 时，点C 到 的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D 的坐标，构造三垂直全等，表示出点P 坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： ， 由题意得：点C 的坐标为 ， ∴ ，解得： ， 24 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴抛物线的解析式为： ． （2）解：设点C 到 的距离为h，则 ， ∵点C 到直线 的距离最大， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 设直线 的解析式为： ， ，解得： ， ∴直线 的解析式为： ， 联立 ，解得： 或 ， ∴点G 的坐标为 ， ∴ ， ∵点C 的坐标为 ， ∴ ， ∴ ． 25 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：∵抛物线的解析式为： ． ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∴设点D 的坐标为 ， ， ①点D 为直角顶点， Ⅰ、 ，作 对称轴于点M，则 ， ∴ ， ∴点P 为 ， ∴ ，解得： （不合题意，舍去）， ∴点D 的坐标为 ， Ⅱ． ，如图2，点 ， ∴ ，则 ， ∴ （取负值）， ∴点D 的坐标为 ， 26 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②A 为直角顶点，过点A 作y 轴的平行线，作 轴的平行线于点M， 轴的平行线于点N，则 ， ∴ ， ∴点P 为 ， ∴ ，解得 ， ∵点P 在对称轴左侧， ∴ ， ∴点D 坐标为 ； 综上，点D 坐标为 或 或 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（25-26 九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD 在平面直角坐标系中， ， ， ， 抛物线 经过点A 和点B． (1)求抛物线的解析式； 27 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)点E 在x 轴上方的抛物线上，连接 ，当 是以 为底的等腰三角形时，求点E 的坐标． 【答案】(1) (2)点E 的坐标为 或 ． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E 的坐标为 ，解方程 ，即可求解． 【详解】（1）解：将点 ， 代入关系式 ， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的关系式为 ； （2）解： ∵ ， ， 是以 为底的等腰三角形， ∴点E 的坐标为 ， 当 时， ， 整理得 ， 解得 ， ∴点E 的坐标为 或 ． 2．（25-26 九年级上·河南商丘·期末）如图，直线 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，已知二 次函数的图象经过点B，C 和点 ． 28 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的 等腰三角形？如果存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， ， ， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练 掌握以上知识点是解题的关键． （1）用待定系数法解题即可； （2）求出抛物线的对称轴，分类讨论当 时和当 时，结合勾股定理和等腰三角形的性质求 解． 【详解】（1）解：对于直线 ， 当 时， ； 时， ； ∴ ， ， ∵ ， 设二次函数解析式为 ， 代入 得， ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为 ； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为 ， ∴ ， 29 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ； ①如图1，当 时， ， ∴ ， ； ②如图2，当 时， 过点C 作 于点H， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 综上所述：存在， ， ， ． 3．（25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线 经过 、 两点，D 是抛物线的顶点 30 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P 为抛物线上一点，若使得 ，求出点 的坐标； (3)E 在y 轴上，若 为直角三角形，直接写出点E 的坐标． 【答案】(1) ， (2) 或 (3) 或 或 或 【分析】（1）将 、 两点代入 ，解得b、c 即可得到解析式，再化为顶点式即可 得到顶点坐标； （2）设点 ，根据三角形面积公式以及 ，即可算出y 的值，代入抛物线解析式即可得到P 点坐标． （3）先设 ，由（1）得 ，结合 ，运用两点距离公式表示出∴ ， ， ，再根据 为直角三角形，进行分类讨论且进行作图，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：将 、 两点代入 ， ， 解得 ， 抛物线解析式为 ， ， 顶点坐标为 ； （2）解： ， ， ， 31 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设点 ，则 ， ， 当 时， ， 解得 ， ， 此时 或 ； 当 时， ， 此时方程无解； 综上所述，P 点坐标为 或 ． （3）解：依题意，设 ， 由（1）得 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 为直角三角形， ∴当 时，如图所示： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 32 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得 ， 此时 ； ∴当 时，如图所示： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 此时 ； ∴当 时，如图所示： 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 33 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 则 解得 ， 此时 或 ， 综上：E 的坐标为 或 或 或 ． 4．（25-26 九年级上·宁夏吴忠·期末）已知，抛物线 经过点 和 ． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 的周长最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在， 请说明理由； (3)设第一象限内的点 在抛物线的对称轴上，当 是直角三角形时，求点 的坐标．（不写过程，直 接写坐标） 【答案】(1) (2)存在，点P 坐标为 (3)当 是直角三角形时，点M 的坐标为 或 或 【分析】（1）由点A、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶 点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x 轴的另一个交点为点B，连接 交抛物线对称轴于点P，此时 的最小值为 ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B、C 的坐标利用待定 系数法即可求出直线 的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的 坐标特征即可求出点P 的坐标； （3）设点M 的坐标为 ，则 ， ， 34 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，分 、 、 三种情况，利用勾股定理可 得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将 ， 代入 中， 得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为点B，连接 交抛物线对称轴于点P，此时 的最小值为 ， 当 时，有 ， 解得： ， ， ∴点B 的坐标为 ， ∵抛物线的解析式为 ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 设直线 的解析式为 ， 将 、 代入 中， 得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵当 时， ， ∴当 周长最小时，点P 的坐标为 ． （3）解：如图，设点M 的坐标为 ， 35 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由勾股定理得， ， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当 时，有 ，即 ， 解得： ， ∴点M 的坐标为 ， ②当 时，有 ，即 ， 解得： ， ， ∴点M 的坐标为 或 ， ③当 时，有 ，即 ， 解得： ， ∴点M 的坐标为 （不符合题意，舍去）， 综上所述，当 是直角三角形时，点M 的坐标为 或 或 ． 5．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ． 36 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线的解析式及点 、 的坐标； (2)点 是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当 点运动到何处时， 的面积最大？求出 的最大面积及此时点 的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点 ，使 是以 为底的等腰直角三角形，请直接写出点 和点 的 坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为： ， ， (2)① 的最大值为 ，此时 ；② ， ． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将 代入，即可求得 、 的坐标； （2）①设点 ，其中 ，先利用待定系数法求得直线 的表达式为 ，设 ，那么 ，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其 对称轴为 ，设点 ，其中 ，过点 作 对称轴 于点， 设 交 轴于点 ，那么 ，先证明 ，得到 ，那么有 ，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的表达式为： ， 当 时， ，解得 或 ， ∵抛物线 与 轴交于 、 两点， ∴ ， ； 37 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综上，抛物线的表达式为： ， ， ； （2）解：设点 ，其中 ，连接 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， 连接 ，如图所示： 设直线 为 ，代入 ， ， ，解得 ， ∴直线 的表达式为 ， 设 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 取得最大值，最大值为 ， 当 时， ， ∴ ； ∴ 的最大值为 ，此时 ； ②∵抛物线的表达式为： ， ∴其对称轴为 ， 38 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设点 ，其中 ，过点 作 对称轴 于点，设 交 轴于 点 ，那么 ，如图所示： ∵ 是以 为底的等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，其中 ，在对称轴 上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （舍去）， ∴ ， ∴ ， ． 故答案为： ， ． 6．（24-25 九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线 与直线相交于点 和点 ， 点 39 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 坐标为 ， 点横坐标为 ． (1)求抛物线的函数解析式和 点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线 函数解析式； (4)若点 是 轴上方抛物线上的一个动点， 轴交 于点 ，若 是等腰直角三角形，直接写 出 点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 ， 点坐标为 ； (2)抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； (3)直线 函数解析式为 ； (4) 点坐标为 或 ． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角 形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （ ）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （ ）设 ，则 ，然后分为 当 ， ， 当 ， 两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的函数解析式为 ， 40 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 点横坐标为 ，且在抛物线上， ∴ ， ∴ 点坐标为 ； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为 ， ∴ ， ∴抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； （3）解：由（）得 点坐标为 ， ∵ 点坐标为 ， 设直线 函数解析式为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 函数解析式为 ； （4）解：设 ，则 ， 如图，当 ， ， ∴ ， 解得： （舍去）或 ， 此时 点坐标为 ； 如图，当 ， ， 41 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 解得： 或 （舍去）， 此时 点坐标为 ； 综上可得： 点坐标为 或 ．
