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专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根据等边三角形的性质求角
题型二、根据等边三角形的性质求边
题型三、与等边三角形有关的多解题
题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题
题型五、等边三角形的性质和判定综合题
题型六、含30°角的直角三角形
题型七、斜边的中线等于斜边的一半
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。
- 解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三
角形；常作高线构造含30°的直角三角形。
- 易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件；忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定；30°直
角三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根据等边三角形的性质求角
典例1（25-26 七年级下·上海·阶段检测）如图，在
中，
，
是等边三角形，则
___________度．
题型模版
目 录
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1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。
2.方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。
变式1-1（25-26 七年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形
中，
，则
的度数是_______．
变式1-2（25-26 八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边三角形
中，
，
分别是
，
上的
动点（不在端点），且
，
交
于点
，则
的大小为_____．
变式1-3（25-26 八年级下·全国·周测）如图，
和
都是等边三角形，连接
，
相交于点
，
则
的度数是__________．
题型二、根据等边三角形的性质求边
典例2（25-26 八年级下·四川达州·阶段检测）已知
为等边三角形，
为
的高，延长
至
E，使
，连接
，则
_____．
题型模版
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1.特征：已知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2 倍边长。
2.方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1:√3:2，列式求解。
变式2-1（25-26 八年级下·河南平顶山·期末）如图，点
、
、
分别在等边
的各边上，且
于点
，
于点
，
于点
，若
，
的长为________
．
变式2-2（25-26 七年级下·海南海口·期末）如图，在等边
中，点
是边
上的一点，
关于
成轴对称，则
的度数是________°；点
是边
上任意一点，点
是边
上任意一点，若
，则
的最小值是________．
变式2-3（25-26 七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点
是等边三角形
内任意一点，过点
向三边作垂线，垂足分别是
，，
，若
，则
的值为________．
题型三、与等边三角形有关的多解题
典例3（25-26 七年级下·四川成都·期末）在等边三角形
中，点
在直线
上，点
在直线
上，
且
．若
的边长为2，
，则线段
的长为________．
题型模版
1.特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。
2.方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。
变式3-1（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边
边长为
为
上一点，
．动
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点
由
出发以
的速度沿
边向点
运动，同时动点
由点
出发以
的速度沿
边向点
运
动．若存在某一时刻使得
与
全等，则
_____
．
变式3-2（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边
，点D 为射线
上一点，连接
，作
，交直线
于点E．若
，则
的长为_______．
变式3-3（25-26 七年级下·江西九江·期末）在等边
中，点
是
的中线
上一点，
，
点
是
边上一点，若
，则
的度数为________．
题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题
典例4（25-26 八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB 的同一侧作
和
，
和
都是等边三角形，连接
、
交于点H，下列选项正确的序号是______．
①
；②
；③
；④连接
，则
平分
；
题型模版
1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。
2.方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等）逐一推理论证或排除。
变式4-1（25-26 七年级下·四川达州·阶段检测）分别以
的两边
、
向形外作等边
和等
边
，
、
分别交
、
于点H、G，
、
相交于点F，连接
并延长交
于M 点，
则下列结论中正确的是______．（填序号）
①
；②
；③
；④
平分
；⑤
平分
．
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变式4-2（25-26 八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知等边三角形
，点
在
上，
点
在
的延长线上，
于点
于点
交
于点
，则下列结论：①
；②
；③
；④
．其中一定正确的是____．（填序号）
变式4-3（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图，在等边
中，
于
，
是线段
上一
点，
是边
上一点，且满足
，
是
的中点，连接
，则下列四个结论：①
；②
；③
；④
；⑤当
时，
．其中正确的结论是
________．（填序号）
题型五、等边三角形的性质和判定综合题
典例5（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在
中，
，
，点
是
外
一点，连接
、
，
，过点
作
分别交
、
于点
、
．
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(1)求证：
是等边三角形；
(2)连接
交
于点
，若
，
，求
的长．
题型模版
1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。
2.方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。
变式5-1（25-26 八年级下·内蒙古·期末）如图，
是等边三角形，
是
的中点，
，垂
足为
，
是由
沿
方向平移得到的，连接
，已知
过点
，
交
于点
．
(1)求
的度数；
(2)若
，求
的长度；
(3)求证：
是等边三角形．
变式5-2（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点
为线段
上一点．
，
是等
边三角形，线段
，
交于点
，线段
，
交于点
，连接
．
(1)求证：
；
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(2)求证：
为等边三角形；
(3)将
绕点
按逆时针方向旋转
，其他条件不变，如图
．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否
仍然成立（不要求证明）．
变式5-3（25-26 八年级上·辽宁大连·期末）在
中，
，
是高，E 是
上一
点．
(1)如图1，若
平分
，
①求
的度数；（用含
的式子表示）
②求证：
．
(2)如图2，当
，
时，若点F 在射线
上，且
，求
的值．
题型六、含30°角的直角三角形
典例6（26-27 八年级上·全国·开学考试）如图，已知
，点P 在边
上，
，点M，N
在边
上，
．若
，则
的长是____．
题型模版
1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1:√3:2。
2.方法：利用特殊角边比关系，已知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。
变式6-1（25-26 八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱
垂直于横梁
，
，
，
，则
的长度为______m．
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变式6-2（2026·四川攀枝花·中考真题）在
中，
是
边上的中线，
，
则
的面积为_______．
变式6-3（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在
中，
，
，
，
的平分线
交
于点
，
、
分别是
和
上的动点，则
的最小值是__________．
题型七、斜边的中线等于斜边的一半
典例7（26-27 八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：
）测量某三角形
部件的尺寸．已知
，点D 为边
的中点，点A，B 对应的刻度分别为2，8，则
的长为_____
题型模版
1.特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。
2.方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。
变式7-1（25-26 八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，
的直角顶点
和
顶点
分别在
轴正半轴及
轴正半轴上运动，若
，
，则在运动过程中，线段
的最大值是
_____．
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变式7-2（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，
中，
，
，
，
，
线段
的两个端点
，
分别在边
，
上滑动，且
，若点M，N 分别是
，
的中点，则
的最小值为_____．
变式7-3（25-26 八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，
中，
，
，
的垂直平分
线相交于点P，分别交
于点E，F，与
，
分别交于点D，G．
，若
的周长是
，
则
________
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线
，等边三角形
的顶点
，分别在直线
，
上，直线与
的夹角为
，则
的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧
面示意图（忽略材料的厚度），支架
与
交于点O，
．椅面
与地面水平线l 平行
，
，
，
，则支架
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边
，
，
与
交于点D，
于
点E，若
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．3
D．
4．
（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
和
中，
，
，
，
点P 在
的延长线上，
的延长线交
于点M，连接
，则下列结论错误
．．的是（ ）
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A．
B．
C．
D．点B 到
的距离不相等
5．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期末）如图，
和
均是等边三角形，A，C，B 三点共线，
与
相交于点P，
与
分别与
，
交于点M，N．有下列结论：①
；②
；
③
；④
；⑤
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
二、填空题
6．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）如图，在
中，
，点
为
上的一点，
，
在
的右侧作
，使得
，
，连接
，
交
于点
，若
，则
的度数为________．
7．
（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形
中，
，
，
，
连接
、
相交于点
，点
在边
上，连接
交
于点
，
．若
，则
的长为
________．
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8．（25-26 七年级下·海南海口·期末）如图，在等边
中，点
是边
上的一点，
关于
成
轴对称，则
的度数是________°；点
是边
上任意一点，点
是边
上任意一点，若
，
则
的最小值是________．
9．（25-26 七年级下·山东东营·期末）如图，
，点
、
、
…在射线
上，点
、
、
在射线
上，
、
、
均为等边三角形，从左起第1 个等边三角形的边长记
为
，第2 个等边三角形的边长记为
，以此类推，若
，则
_____________．
10．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，已知
，
，点
是射线
上一动
点（P 与
不重合），当以
、
、
三点中某两点与
点构成的三角形是等腰三角形时，
的度数为
______．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·山东烟台·期中）如图，
是
的高，点
是
的中点，过点
作
的垂
线交
于点
，交
的延长线于点
，
．
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(1)求证：
是等边三角形；
(2)若
，求
的长．
12．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在
中，
，
，
于点
，
且
，
，
分别是边
，
上的点，且
．
(1)求证：
是等边三角形；
(2)若
，
，求
的长．
13．（25-26 八年级上·四川南充·期中）如图，在等边
中，
，
与
交于点P，
，
垂足为Q．
(1)求
的度数；
(2)若
，
，求
的长．
14．（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）如图①，已知
是等边三角形，点E 在线段
上，点D
在直线
上，且
，以
为边作等边三角形
，连接
．
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(1)求证：
；
(2)写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图②，若点E 在线段
的延长线上，其它条件不变，直接写出
，
，
之间的数量关系．
15．
（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）等边三角形
中，
为
边上的高，点
，分别为线段
，
上一点（点
不与点
，
重合，点
不与点
，
重合），
所在直线交
于点
，将图形沿
翻折，得到点
的对应点
；
(1)如图1，若点
落在
上，则
的度数为______；如图2，若点
落在
上，则
的度数为
_____；
(2)如图3，若
，求
的度数；
(3)若点
落在
延长线上时，请直接
．．写出
，
和
之间的等量关系．
16．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相
同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形．
【模型初现】
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(1)如图1，
与
都是等腰三角形，其中
，
，
，则
，即
，所以
，以上判定全等的依据是 ．
A．
B．
C．
D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，已知
、
、
三点共线，分别以
、
为边向外作等边
和等边
，
、
交
于点
，证明：
，并求出
的度数；
【模型深化】
(3)如图3，
、
是等腰直角三角形，
，
，
，连接
、
，
探究
、
的数量关系与位置关系，并给出证明；
【拓展延伸】
(4)如图4，
是等腰直角三角形，其中
，
，
，连接
，请直接写出
、
、
之间的数量关系．
