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1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题09 一元二次方程的解法—公式法、因式分解法的十三类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断方程根的情况及求参 题型二、新定义运算 题型三、与赵爽弦图结合 题型四、方程根为整数解求参 题型五、与等腰三角形结合 题型六、解一元二次方程—公式法 题型七、解一元二次方程—因式分解法 题型八、换根法 题型九、平均数法 题型十、无理方程 题型十一、十字相乘法与分组分解法 题型十二、兄弟矩形与勾系一元二次方程 题型十三、勾股圆方图注 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类 别 具体内容 知识点概括 易错点概括 公 式 法 前提条件 一元二次方程化为一般形式：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0） 忽略𝑎≠0的前提，错误将非一元 二次方程套用公式求解 根的判别式𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐，方程有实根的 条件是𝛥≥0 遗漏𝛥< 0的情况，直接开平方计 算导致错误；将判别式符号记 反，误将𝛥< 0判定为有实根 目 录 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 求根公式 当𝛥≥0时，方程的根为𝑥= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 分子漏写−𝑏，错写为 𝑏±√𝛥 2𝑎；分母 漏写2，错写为 −𝑏±√𝛥 𝑎 ；根号内计 算错误，符号处理出错 解题步骤 1. 化为一般形式，确定(a、b、c)的值； 2. 计算判别式𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐，判断实根 存在性；3. 𝛥≥0时代入求根公式计算 根，𝛥< 0说明无实根 确定(a、b、c)时遗漏符号，比如 方程2𝑥2 −3𝑥−1 = 0中错把𝑏记 为3、𝑐记为1；𝛥计算时错误套用 𝑏2 −4𝑎𝑐的符号，将负负得正计 算错误 根的情况 分类 1. 𝛥> 0：两个不相等的实数根；2. 𝛥= 0：两个相等的实数根；3. 𝛥< 0：无实 数根 混淆“无实数根”与“无解”的应用 场景，未说明范围直接写无解； 误将𝛥= 0判定为只有一个根，错 误表述根的数量 因 式 分 解 法 原理依据 若两个因式的乘积为0，则至少其中一 个因式为0，即𝑎𝑏= 0 ⇔𝑎= 0或𝑏= 0 忽略“乘积为0”的前提，若𝑎𝑏= 𝑘(𝑘≠0)，错误推出𝑎= 0或𝑏= 0 提公因式 法 若方程各项含有公因式，提取公因式后 分解为两个一次因式乘积求解 方程两边同时除以含未知数的 公因式，丢失一个根；提取公因 式后剩余项符号错误 公式法 （因式分 解的乘法 公式） 利用平方差公式𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎− 𝑏)、完全平方公式𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2分解因式 完全平方公式符号错误，错将 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2分解为(𝑎+ 𝑏)2；平 方差公式应用错误，错将𝑎2 + 𝑏2 分解为(𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏) 十字相乘 法 对于𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= (𝑥+ 𝑚)(𝑥+ 𝑛)，满足 (m+n=p，mn=q)；𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= (𝑎1𝑥+ 𝑐1)(𝑎2𝑥+ 𝑐2) 常数项的符号与一次项系数符 号匹配错误，分解后乘积展开与 原方程不一致；二次项系数不为 1 时，十字相乘的系数组合错误 解题步骤 1. 将方程整理为右边为0的形式；2. 将 左边因式分解为两个一次因式乘积；3. 未将方程整理为右边为0 就直 接分解，导致求解错误；分解后 3 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 令每个因式为0，得到两个一元一次方 程；4. 解一元一次方程得到原方程的根 只写一个根，遗漏另一个因式对 应的根 适用特点 能直接分解为一次因式乘积的一元二 次方程，求解过程比公式法更简便快捷 强行使用因式分解法分解无法 分解的方程，浪费时间且出错； 不会灵活选择方法，所有方程一 律套用公式法 共 通 易 错 点 方法通用 解完方程后可以代入原方程验证根的 正确性 结果不检验，出现计算错误无法 发现；对根的化简不彻底，保留 非最简二次根式 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断方程根的情况及求参 典例1 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A． 2 4 0 x + = B． 2 2 1 0 x x + + = C． 2 2 0 x x + − = D． 2 2 1 0 x x + + = 变式1-1 关于x 的一元二次方程 2 6 0 x x m + + = 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A． 9 m B． 9 m C． 9 m = D． 6 m 变式1-2 关于x 的方程 2 6 3 0 kx x − + = 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 变式1-3 若关于x 的一元二次方程 2 ( 1) 2 1 0 a x x − + + = 有实数根，则a =________（写出一个满足条件的值）． 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型二、新定义运算 典例2 对于实数, , , a b c d ，定义运算 a b ad bc c d = − ，我们把它叫做二阶行列式，例如： 1 2 1 4 2 3 2 3 4 = −= −．若有两个不相等的实数x ，满足 3 8 4 kx x x = − ，则k 的值可以是（ ） A．1 − B．20 C．202 D．2025 变式2-1 对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下： ( ) 2 2 * ( ) m m n m n m n n m n m n + + = + + ，若 ( ) * 2 10 x − = ，则实数x 的值为（ ） A．3 或4 − B．4 −或8 C．8 D．3 变式2-2 定义运算： 2 * 1 m n mn mn = − −．例如： 2 4*2 4 2 4 2 1 7 = − −= ，则方程2* 0 x = 的根______． 变式2-3 新定义运算： min ,a b ，当a b 时， min ,a b b = ；当a b 时， min ,a b a = ．例如： min 1,3 1 − = −； min 1, 2 2 −− = −．若 2 min 7, 3 4 x x − − = + ，则x 的值为_____． 题型三、与赵爽弦图结合 典例3 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等 的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF a = ，DF b = ，连接AE ，BE，若ADE 与 BEH 的面积相等，则 2 2 2 2 b a a b + 值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1 如图①是第14 届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所 5 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长AD为25，小 正方形的边长EF 为17，则AE 的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式3-2 如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方 形构成．若 3 EFGH ABCD S S = 正方形 正方形 ，则AF AE = ________． 变式3-3 如图1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为2x 和4 2 x −（其 中2x 为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若 图2 中阴影小正方形的面积为1，则x 的值为___________． 题型四、方程根为整数解求参 典例4 关于x 的一元二次方程( ) 2 3 1 2 + = m x x 的两根均为整数，则整数m 的值为（ ） A．0 B．1 − C．0 或1 − D．0 或1 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-1 已知关于x 的方程( ) 2 1 2 1 0 a x x a − + − −= 的根都是整数，那么符合条件的整数a 的个数是（ ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-2 设m 满足不等式 40 m ，且关于x的一元二次方程 2 2 2 ( 2) ( ) 2 2 x a m mx a am − + − = + − 有两个整数根， 则符合条件的整数m 的个数为______． 变式4-3 已知关于x 的方程( )( ) ( ) 2 4 8 80 12 32 0 k k x k x − − − − + = 的解都是整数，求整数k 的值为_____． 题型五、与等腰三角形结合 典例5 一个等腰三角形两腰长分别是关于x 的一元二次方程 2 6 2 0 x x n − + + = 的两个根，则n 的值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式5-1 一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程 2 16 55 0 x x − + = 的两个实数根，则这个等腰三角 形周长为（ ） A．11 B．27 C．5 或11 D．21 或27 变式5-2 等腰三角形边长分别为a ，b ，2 ，且a ，b 是关于x 的一元二次方程 2 6 2 0 x x n − + + = 的两个根， 则n 的值为______． 变式5-3 等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b 是关于x 的一元二次方程 2 6 2 0 x x m − + + = 的两 个实数根，则m 的值为________． 题型六、解一元二次方程—公式法 典例6 用公式法解方程 2 5 2 3 x x + = ． 方程化为一般形式，得 ， 所以a = ，b = ，c = ， 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以 2 Δ 4 b ac = − = ， 所以 2 4 2 b b ac x a − − = = ， 所以 1x = ， 2x = ． 变式6-1 解方程： (1) 2 2 4 1 x x − = ； (2) 2 3 6 3 0 x x − + = ． 变式6-2 用公式法解一元二次方程： 2 3 4 3 2 0 x x − + = ． 变式6-3 解方程： (1) 2 2 99 x x − = ； (2) 2 3 6 1 0 x x − + = ． 题型七、解一元二次方程—因式分解法 典例7 解方程： (1) ( ) ( ) 2 3 5 2 5 x x − = − ； (2) 2 1 5 2 1 0 2 x x − + = ． 变式7-1 解方程： (1) 2 12 27 0 x x + + = (2)( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 x x − = − 变式7-2 解方程： (1) 2 25 0 x − = ； (2) ( 3) 4(3 ) x x x − = − 8 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式7-3 解方程： (1) 2 2 1 7 x −= ； (2) ( ) ( ) 2 1 3 1 x x x − = − ． 题型八、换根法 典例8 问题：已知方程 2 1 0 x x− + = ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍． 解：设所求方程的根为y，则 2 y x = ，所以 2 y x = ，把 2 y x = ，代入已知方程，得 2 1 0 2 2 y y + −= ． 化简，得 2 2 4 0 y y + − = ，故所求方程为 2 2 4 0 y y + − = ． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程 2 2 1 0 x x + −= ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 __________________； (2)已知关于y 的一元二次方程 2 0 cy by a + + = 的根（ 0 c ，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元 二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x 的一元二次方程( ) 2 2 4 (4 8) 4 0 ( 15) m x m x m + + + + = 有两个不等于零的实数根，求一个一元 二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 变式8-1 阅读材料： 已知方程 2 1 0 x x− + = ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍． 解：设所求方程的根为y ，则 2 y x = ，所以 2 y x = ， 把 2 y x = 代入已知方程，得 2 1 0 2 2 y y + −= ， 化简得 2 2 4 0 y y + − = ， 所以，所求方程为 2 2 4 0 y y + − = ， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程 2 2 0 x x + − = ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 __________． (2)已知方程 2 3 5 0 x x + − = ，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为 __________． 变式8-2 阅读下列材料： 问题：已知方程 2 1 0 x x− + = ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍． 解：设所求方程的根为y ，则 2 y x = ，所以 2 y x = ，把 2 y x = ，代入已知方程，得 2 1 0 2 2 y y + −= ． 化简，得 2 2 4 0 y y + − = ， 故所求方程为 2 2 4 0 y y + − = 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程 2 2 1 0 x x + −= ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ； (2)已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它 的根分别是已知方程根的倒数． 变式8-3 阅读理解： 例题 已知方程 2 1 0 x x− + = ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 2 y x = 把 2 y x = 代入已知方程，得 2 ( ) 1 0 2 2 y y + −= 化简，得： 2 2 4 0 y y + − = ， 故所求方程为 2 2 4 0 y y + − = 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请根据阅读材料提供的“换根法”求新方程（要 求：把所求方程化成一般形式） 10 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)已知方程 2 2 5 7 0 x x− − = ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数； (2)已知关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （a b c 、、是常数， 0 a ）有两个不等于零的实数根，求一个 一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数 题型九、平均数法 典例9 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程( ) 4 6 x x + = ． 解：原方程可变形， 得( ) ( ) 2 2 2 2 6 x x + − + + = ( ) 2 2 2 2 6 x + − = （根据1） ( ) 2 2 2 6 2 x + = + ( ) 2 2 10 x + = 直接开平方并整理，得 1 2 10 x = −+ ， 2 2 10 x = −− ，我们称这种解法为平均 数法． 任务： (1)小论文中的根据1 是______． (2)用平均数法解方程( )( ) 2 6 5 x x + + = 的两个解分别是 1x =______， 2x = ______． (3)请用平均数法解方程：( )( ) 3 1 5 x x − + = ． 变式9-1 某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程：( ) 4 6 x x + = 解：原方程可变形， 得( ) ( ) 2 2 2 2 6 x x + − + + = 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 2 2 2 2 6 x + − = ( ) 2 2 2 6 2 x + = + ( ) 2 2 10 x + = 直接开平方并整理，得 1 2 10 x = −+ ， 2 2 10 x = −− ， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程( )( ) 2 6 5 x x + + = 时写的解题方程： 解：原方程可变形，得( ) ( ) 5 x x + − + + = ○ ○ ( ) 2 2 5 x + − = ○ ( ) 2 2 5 x + = + ○ 直接开平方并整理，得 1x =☆， 2x =▽ 上述过程中“”，“○”，“☆”，“▽”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：( )( ) 3 1 5 x x − + = ． 变式9-2 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程( ) 4 6 x x + = ． 解：原方程可变形， 得( ) ( ) 2 2 2 2 6 x x + − + + = ( ) 2 2 2 2 6 x + − = （根据1） ( ) 2 2 2 6 2 x + = + ( ) 2 2 10 x + = 直接开平方并整理得 1 2 10 x = −+ ， 2 2 10 x = −− ，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 12 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 下面是用平均数法解方程( )( ) 2 6 5 x x + + = 时写的解题过程， ( ) ( ) 4 @ 4 @ 5 x x + − + + = ( ) 2 2 4 @ 5 x + − = ( ) 2 2 4 5 @ x + = + 直接开平方并整理，得…… 任务： (1)小论文中的根据1 是______． (2)小明用平均数法解方程( )( ) 2 6 5 x x + + = 时，将方程写为( ) ( ) 5 x a b x a b + − + + = 的形式，请问式子中 的a =______，b = ______． (3)请用平均数法解方程：( )( ) 3 1 5 x x − + = ． 变式9-3 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程( ) 4 6 x x + = ， 解：原方程可变形，得：( ) ( ) 2 2 2 2 6 x x + + + = - ． ( ) 2 2 2 2 6 x + − = ( ) 2 2 2 6 2 x + = + ( ) 2 2 10 x + = 直接开平方并整理，得： 1 2 10 x = −+ ， 2 2 10 x = −− ， 我们称小明这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程( )( ) 3 7 5 x x + + = 时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：( ) ( ) 5 x a b x a b + + + = - ． ( ) 2 2 5 x a b + − = ( ) 2 2 5 x a b + = + 直接开平方并整理，得： 1 2 x c x d ＝，＝．上述过程中的a b c d ，，，表示的数分别为_____，_____，_____， 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 _____； (2)请用“平均数法”解方程：( )( ) 5 3 5 x x − + = ． 题型十、无理方程 典例10 “转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解一元二次方程，利用直接开平 方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式 方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新 的方程，例如： 解无理方程 1 2 x + = 解：方程两边同时平方，得： 1 4 x+ = ， 解这个一元一次方程，得： 3 x = ， 检验：当 3 x = 时，左边 3 1 2 = + = =右边， 所以， 3 x = 是原方程的解． 通过上面的学习，请解决以下三个问题： (1)方程 2 3 x− = 的解为______； (2)解无理方程 2 3 x x + = ． (3)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点( ) 5,3 B ， 90 OAB B = = ， 7 OC BC + = ，求点C 的坐标． 变式10-1 阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉 的或比较简 单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解 决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有未知数的方程)．解无理方程关键是要 去掉 根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无 理方 程也必须检验． 例如∶解方程 2 12 2 x x + = ． 解：两边平方得： 2 2 12 4 x x + = ． 解得： 1 2 x = ， 2 2 x = − 经检验， 1 2 x = 是原方程的根， ∴ 2 2 x = −代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是 2 x = ． 解决问题∶ (1)填空∶已知关于x 的方程( ) 3x a − ＝x 有一个根是 1 x = ，那么a 的值为_____； (2)求满足( ) 6 x + = x 的x 的值． 变式10-2 阅读与理解： 阅读材料：像 1 3 x x + −= 这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项： 1 3 ; x x −= − ；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x2. 解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5 检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程 1 1 2 2 x x − + = ． 变式10-3 阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问 题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所 以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 2 12 2 x x + = 解：两边平方得： 2 2 12 4 x x + = 解得： 1 2 x = ， 2 2 x = − 经检验， 1 2 x = 是原方程的根， 2 2 x = −代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是 2 x = ． 解决问题： （1）填空：已知关于x 的方程3 = x a x − 有一个根是 1 x = ，那么a 的值为 ； （2）求满足 6 x x + = 的x 的值； （3）代数式 2 2 9 (8 ) 9 x x + + − + 的值能否等于8 ? 若能，求出x 的值；若不能，请说明理由． 题型十一、十字相乘法与分组分解法 典例11 用十字相乘法解下列方程： (1) 2 6 7 0 x x + − = ； (2) 2 2 3 0 x x − − = ； (3) 2 2 5 3 0 x x − − = ； (4) 2 2 15 7 0 x x + + = ． 变式11-1 阅读材料：解方程 2 2 35 0 x x + − = ，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 2 2 35 x x + − ； ①竖分二次项与常数项： 2 x x x = ， ( ) ( ) 35 5 7 − = − + ， ②交叉相乘，验中项： （2）若 0 ab = ，则 0 a = 或 0 b = ； （3）故此方程可以这样写出求解过程： 2 2 35 0 x x + − = ， ( )( ) 5 7 0 x x − + = ， ∴ 5 0 x −= 或 7 0 x + = 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③横向写出两因式： ( )( ) 2 2 35 5 7 x x x x + − = − + ∴ 1 5 x = ， 2 7 x = −． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1) 2 5 4 0 x x + + = ； (2) 2 2 10 0 x x + − = ； (3)已知关于x 的方程 ( ) ( ) 2 3 3 0 0 x a x a a − − − = ，若方程有一个根大于2 ，请直接写出a 的取值范围． 变式11-2 阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3 的多项式只 单纯用上述方法就无法分解，如 2 2 2 16 x xy y − + − ，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方 公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下： 2 2 2 2 16 ( ) 16 ( 4)( 4) x xy y x y x y x y − + − = − − = − + − − ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的 思想方法解决下列问题： 1．知识运用： 试用“分组分解法”分解因式： 2 2 x y xz yz − + − ； 2．解决问题： （1）已知a，b，c 为△ABC 的三边，且 2 2 2 2 b ab c ac + = + ，试判断△ABC 的形状． （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且 2 2 2 2 12 , 12 , 24 , 24 a ac k b bc k c ac k d ad k + = + = + = + = ， 同时成立． ①当k=1 时，求a+c 的值 ②当k≠0 时，用含有a 的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可） 变式11-3 在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面 以 2 7 6 x x + −为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，= 1 x −时， 2 7 6 0 x x + − = ，说明= 1 x −是方程 2 7 6 0 x x + − = 的一个解（或“根”）．由此推断 2 7 6 x x + −分解后有一个因式是( ) 1 x + ． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因 式是( ) 7x a + ． 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③于是 ( )( ) ( ) 2 2 7 6 1 7 7 7 x x x x a x a x a + − = + + = + + + ． 根据对应项系数相等，得 7 1 a + = ，则 6 a = −． ④所以 ( )( ) 2 7 6 1 7 6 x x x x + − = + − ． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解： 3 2 2 5 6 x x x + − −． 解：①把 1 x = 代入该式，得 3 2 2 5 6 0 x x x + − − = ．所以该多项式分解后有一个因式是 1 x−． ②因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是( ) 2 2x bx c + + ． 请继续完成下列步骤： ③填空：b = ______，c = ______； ④观察 2 2x bx c + + 的各项系数特点，利用“试根法 ．．．”对 2 2x bx c + + 进行因式分解； ⑤多项式 3 2 2 5 6 x x x + − −因式分解的结果为 3 2 2 5 6 x x x + − − = ______． (2)利用“试根法 ．．．”因式分解： 3 2 2 16 15 x x x + − − ． 题型十二、兄弟矩形与勾系一元二次方程 典例12 阅读下面材料，并完成问题． 任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A 的一半，则称矩形 , A B 是“兄 弟矩形”． 探究：当矩形A 的边长分别为7 和1 时，是否存在A 的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的： 设所求矩形的两边分别是x 和y，由题意，得 4 7 2 x y xy + = = ① ② 由①，得 4 y x = − ，③ 把③代入②，得 7 (4 ) 2 x x − = ， 整理，得 2 2 8 7 0 − + = x x ． 2 4 64 56 8 0 b ac − = − = ， A 的“兄弟矩形”B 存在． 18 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）若已知矩形A 的边长分别为3 和2，请你根据小亮的探究方法，说明A 的“兄弟矩形”B 是否存在？ （2）若矩形A 的边长为m 和n，当A 的“兄弟矩形”B 存在时，求 , m n应满足的条件． 变式12-1 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长 和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为 原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为 2 a ．若新正方形的周长是原正方形周长的一半， 则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4 和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积 分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x 的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4 和2 的矩形周长 和面积的一半． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m 和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分 别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将①~⑤分别补充完整； (2)按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 变式12-2【新定义】如图．四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形．a b c 、、是Rt ABC △ 和Rt EDB △ 的边长，易知 2 AE c = ．这时我们把关于x 的形如 2 2 0 ax cx b + + = 的一元二次方程称为“勾系一元二次方 19 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 2 2 0 ax cx b + + = 必有实数根； (3)若 1 x = −是“勾系一元二次方程” 2 2 0 ax cx b + + = 的一个根，且四边形ACDE 的周长是9 2 ．求ABC 的 面积． 变式12-3 如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt ABC △ 和Rt BED △ 边长， 易知 2 AE c = ，这时我们把关于x 的形如 2 2 0 ax cx b + + = 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 2 2 0 ax cx b + + = 必有实数根； (3)若 1 x = −是“勾系一元二次方程” 2 2 0 ax cx b + + = 的一个根，且四边形ACDE 的周长是6 2 ，求ABC 的 面积． 题型十三、勾股圆方图注 典例13 我国是世界上最早研究一元二次方程的国家之一．在《九章算术》“勾股”章里就有涉及求方程 2 34 71000 0 x x − − = 的正根的问题．三国时期的赵爽（约182~250 年）对二次方程做出的贡献十分突出，他 巧妙地应用出入相补原理，从几何图形的直观出发，在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边关 系和由此引申的一系列有关二次方程的命题和结果．729 年，唐朝天文学家张遂（又名一行）在他的《大衍 20 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 历》中，用文字叙述给出了一元二次方程 2 0( 0, 0) x px q p q + + = 的求根公式： ( ) 2 1 4 2 x p q p = − − ．宋 朝著名数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》（1275 年）一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法，里面 包含配方法． 你能验证图中AD的长就是方程 2 2 x ax b + = 的一个根吗？张遂的求根公式完整吗？请用配方法求出 ( ) 2 2 0 4 0 x px q p q + + = − 的求根公式，并与之作一比较． 变式13-1【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元 二次方程进行求解的方法．以 2 3 10 0 x x + − = 为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为 2 3 10 x x + = ，即( ) 3 10 x x + = ； 第二步：如图1，构造一个长为 3 x + ，宽为x 的长方形，且面积为10； 第三步：如图2 ，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形 的边长为2 3 x + ，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到( ) 2 2 3 49 x + = ．虽 然在几何图形中x 的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得2 3 7 x + = ， 即可求得方程的两个根 1 2 x = ， 2 5 x = −． 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【方法理解】 (1)在图3的三个构图中，能体现方程 2 6 0 x x − − = 的解法的是_____（填序号） ； (2)利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程 2 6 0 x x − − = ． 变式13-2【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方 法．以 2 3 10 0 x x + − = 为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为 2 3 10 x x + = ，即( ) 3 10 x x + = ； 第二步：如图1，构造一个长为 3 x + ，宽为x 的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形 的边长为2 3 x + ，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到( ) 2 2 3 49 x + = ．虽 然在几何图形中x 的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得2 3 7 x + = ， 即可求得方程的两个根 1 2 2, 5 x x = = −． 【方法理解】 在图3 的三个构图中，能体现方程 2 6 0 x x − − = 的解法的是_____（填序号），观察图形可知( ) 2 2 1 x − = _____； 图3 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程 2 2 5 3 0 x x + − = 的解的图示（标注必要数据）． 变式13-3 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 2 2 35 0( 0) x x x + − = 为例，构造方法如下： 第一步：将原方程 2 2 35 0 ( 0) x x x + − = 变形为( 2) 35 ( 0) x x x + = ； 第二步：画四个长为 2 x+ ，宽为x 的矩形，按如图1 所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1 中大正方 形的面积可表示为 2 ( 2) x x + + ，还可表示为四个矩形与一个边长为2 的小正方形面积之和，即 2 4 ( 2) 2 4 35 4 x x + + = + ． 第三步：得新方程 2 ( 2) 144 x x + + = ．因为x 表示边长，所以2 2 12 x + = ，即 5 x = ． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程 2 6 0( 0) x x x + − = ，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完 整： 第一步：将原方程 2 6 0( 0) x x x + − = 变形为x （____________） 6 = ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1 标明各边长），并写出 后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如 2x ax b + = 的一元二次方程可以构造图2 来解．已知图2 是由四个面积为3 的相 同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 23 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．嘉琪在解一元二次方程： 2 4 0 x x − + = ■ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相 等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．若关于x 的一元二次方程 2 2 3 1 1 0 kx k x − + + = 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A． 9 k − B． 9 k −且 0 k C． 1 k −且 0 k D． 1 k −且 0 k 3．已知直角三角形有两条边长分别是方程 2 14 48 0 x x − + = 的两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ） A．10 B．2 7 C．10 或8 D．10 或2 7 4．若关于x 的一元二次方程( ) 2 1 3 1 0 a x x + + −= 有两个实数根，且关于y 的分式方程 1 3 2 2 a y y y − + = − − − 的解 为正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为（ ） A．1 − B．0 C．1 D．3 5．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，连接EG 、EF ，记AED 的面积为 1S ，四 边形EFCG 的面积为 2 S ，若A、E、G 三点共线， 8 AG = ， 1 2 1 12 S S = ，则阴影部分的面积是（ ） A．6 B．8 C．12 D．20 6．已知关于x 的一元二次方程( ) ( ) 2 1 2 1 0 k x k x k + − − + = 有实数根，则k 的取值范围是 ____________． 7．如果关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 a ）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么 称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 2 0 x x + = 的两个根是 1 0 x = ， 2 1 x = −，则方程 2 0 x x + = 是 “邻根方程”．关于x 的方程 ( ) 2 2 2 0 x m x m − − − = （m 是常数）是“邻根方程”，则m 的值是________． 8．将4 个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义 a b ad bc c d = − ，上述记号就叫做 二阶行列式，若 1 1 0 1 1 x x x x + + = − + ，则x =______． 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．在Rt ABC △ 中， 90 A = ，点O为BC 的中点，M 为AC 边上一点，连接OM ， 1 OM AM = = ．当以C 、 O、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，BC 的长为__________． 10．如果关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3 倍，则称这 样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有________．（填序号） ①方程 2 4 3 0 x x − + = 是三倍根方程； ②若( 3)( ) 0 x mx n − + = 是三倍根方程：则 2 2 9 10 0 m mn n + + = ； ③若p，q 满足 3 pq = ，则关于x 的方程 2 4 0 px x q + + = 是三倍根方程． 11．新运算： 2 2 3 a b a a b = − − ，例如： 2 3 5 3 2 3 3 5 12 = − − = − ．若关于x 的方程 5 x m = 有两个不 相等的实数根，解答下列各题： (1)求m 的取值范围； (2)当 7 m = 时，用配方法解此方程． 12．小芳在解关于x 的方程15 7 4 x x − + − = 时采用了下面的方法： 解：( )( ) 15 7 15 7 x x x x − + − − − − ( ) ( ) 2 2 15 7 x x = − − − ( ) ( ) 15 7 x x = − − − 8 = ． 因为15 7 4 x x − + − = ，① 所以15 7 2 x x − − − = ．② ( ) 2 + ① ② ，得15 3 x − = ． 两边平方，得15 9 x − = ， 6 x = ． 经检验， 6 x = 是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知 8 3 5 x x + + + = ，则 8 3 x x + − + =________． (2)若 2 2 3 9 2 3 a a + + − = ，求a 的值． (3)实数m 满足 2 2 2 2 3 2 10 3 2 m m m m m + − + − − = ，求m 的值． 13．已知ABC 的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x 的一元二次方程 ( ) 2 1 2 1 4 0 2 x k x k − + + − = 的两 个实数根． (1)求证：无论k 为何值，方程总有两个实数根； (2)当k 为何值时，ABC 是等腰三角形，并求ABC 的周长． 14．定义：若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于x 的方程 2 3 0 x x c + + = 是常数根一元二次方程，求c 的值； (2)如果关于x 的方程 2 5 1 0 x mx m + + + = 是常数根一元二次方程，求m 的值； (3)若关于x 的常数根一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 中不含零根，求证：关于y 的方程 2 1 0 acy by + + = 是 常数根一元二次方程． 15．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为 已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 3 2 2 3 0 x x x − − = 通过因式分 解可以把它转化为 2 ( 2 3) 0 x x x − − = ，解方程 0 x = 和 2 2 3 0 x x − − = ，可得方程 3 2 2 3 0 x x x − − = 的解． 问题： （1）方程 3 2 2 3 0 x x x − − = 的解是 1 0 x = ， 2x = ______， 3x =______； （2）求方程 3 2 6 16 x x x = + 的解； 拓展： （3）用“转化”思想求方程 3 2 6 3 1 x x x − + = −的解．
