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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 - 解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等 边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 - 易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角）；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计 算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1（25-26 七年级下·上海浦东新·期末）如图，在 中， ， ， ， 则 的度数为________． 目 录 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2.方法：设顶角或底角为x，利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1（25-26 八年级下·四川泸州·期末）如图，在 中， ， ， 边上的高为 ， 则 的度数为________． 变式1-2（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在 中， ， ， 交 于点 ，则 的度数为_____°． 变式1-3（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图， ， 都是等腰三角形， ， ， 若 ， ，则 的度数是________． 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中， ， ， 是 的 垂直平分线， ，则 的长度为______． 题型模版 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：已知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 2.方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式2-1（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，在 中， ， ， 的垂直平分 线分别交 ， 于点 ， ，若 ，则 的长为______． 变式2-2（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在 中， 是 边上的点， ， 点 在 的垂直平分线上， ，则 的长为_____． 变式2-3（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰三角形 中， ， ，点 为线段 上一点， ， ，若 ，则 的值为___________． 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3（25-26 八年级下·江西九江·期末）将 绕直角边 的中点 旋转，得到 ．且 的直角顶点 落在 的斜边 上， 所在直线与 所在直线交于点 ，如图，若 是等腰三 角形，则 的度数为__________． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2.方法：分类讨论（如锐角/钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，在 中， ， ，点 在直线 上，连接 ，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时， 的度数为_______． 变式3-2（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， ，将边 绕点 顺时针旋转 （ ）得到线段 ， 的垂直平分线 交直线 于点 ，在旋转过程中，当 ， ， 三 点共线时， 的度数为______． 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图， 是 的高， 平分 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，并交 于点 ．若 ，则下列结论中： 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① ；② ；③ ；④ ． 正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式4-1（25-26 八年级上·北京丰台·期中）在 中， ， ，将 按如图所示的 方式依次折叠： 有下面四个结论： ① 平分 ；② ；③ ；④ 的周长等于 的长．所有正确结论的序 号为_____． 变式4-2（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中，点 分别在边 上， ， 是 的平分线， ．给出下面四个结论：① ；② ；③若 ，则 是等边三角形；④若 平分 ，则 ．上述结论中，正确结论的序号有______． 变式4-3（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，在 直角 中， ， ，点 为 中点，直角 绕点 旋转， ， 分别与边 ， 交于 ， 两点，下列结论： 是等 腰直角三角形； ； ； ，其中正确结论是___________ 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形 的对角线 ， 交于点 ，点 在 上， ， ， ． (1)求证： ； (2)若 ，求证： ． 题型模版 1.特征：已知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2.方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰 中， ，点 是线段 延长线上一点，点 在线段 上，连接 交 于点 ， ． (1)求证： ； 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 ，求 的度数． 变式5-2（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 、 于 点 、 ，连接 ，过点 作 于点 ，点 在 上，连接 ， 与 互余． (1)判断 与 的位置关系，并说明理由． (2)若 ， ，求 的长． 变式5-3（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1， 是等腰三角形， ， ， 过点B 作 于点C，在 上截取 ，连接 、 并延长 交 于点P； (1)求证： ； (2)试说明 平分 ； (3)如图2，将 绕着点C 旋转一定的角度，那么 与 的位置关系是否发生变化，说明理由． 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6（25-26 八年级下·广东深圳·期末）如图，点 是 的边 的中点，且恰好在 的平分线上， ， ，垂足分别为 ， ． (1)求证： 是等腰三角形； 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 ， ，求 的长． 题型模版 1.特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2.方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1（25-26 八年级下·陕西西安·期末）在 中， ， ， 平分 ，交 边 于点D，点A 与点E 关于 所在直线对称，连接 ，延长 交 于点F．求证： (1) 是等腰三角形； (2) ． 变式6-2（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知在 中， ，分别过 ， 两点作互相平行 的直线 ， ，过点 的直线分别交直线 ， 于点 ， ． (1)如图1，若 ，求证： ； (2)如图2， ，判断线段 ， 与 之间的关系，并说明理由． 变式6-3（25-26 七年级下·福建泉州·期末）在 中， ， ， (1) 平分 ，交 于点 ，点 为 延长线上的一点． ①如图1，当点 为线段 上一点时，连接 ，若 ，则 是________三角形； ②如图2，当点 为线段 的延长线上一点时，若 ，求证： ； 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图3，在 上取点 ，使得 ，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为 ，取 的 中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于点 ，连接 ， ①请补全图形； ②求证： ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角的度数为（ ） A． B． 或 C． D． 或 2．（25-26 七年级下·上海浦东新·期末）如图，在 中，点D 在边 上， ．若 ， ，则 的周长为（ ） A．10 B．11 C．15 D．16 3．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在 中， ，点 在边 上，延长 至 点 ，使得 ，连接 ， 是 的中线，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24 八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在等腰 中，在 上分别截取 ，使 ．再分别以点P，Q 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点R，作射线 ， 交 于点D．已知 若点M、N 分别是线段 和线段 上的动点，则 的 最小值为（ ） 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D．6 5．（22-23 八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ，把 折叠，使 落 在 上，点 与 上的点 重合，展开后，折痕 交 于点 ，连结 、 ．下列结论：①图中 有4 对全等三角形；②若将 沿 折叠，则点 不一定落在 上；③ ；④ ， 上述结论中正确的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 6． （26-27 九年级上·全国·课后作业）如图，在 中，点D 是 的中点， ，则 _______． 7．（25-26 七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在 中， ， 为 中点，点 ， 分别 是 ， 上的动点，若 的面积为12，则 的最小值为________． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在 中， ， ，点 、 、 分 别是 边、 边、 边上的动点，连接 、 、 ，使 ，若 是等腰三角形， 那么 的度数为____________． 9．（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中， ， ， 和 关 于直线 对称， 的平分线交 于点 ，连接 ，当 为等腰三角形时， 的度数为 ________． 10．（25-26 八年级上·四川南充·期中）如图， 分别是 的高和角平分线， 与 相交于 G， 平分 交 于E，交 于M，连接 交 于H，且 ．有下列结论：① ； ② 是等腰三角形；③ ；④ ．其中，正确结论的个数 有________． 三、解答题 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图， 是等腰三角形， ， 是 的角 平分线，且 ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，点 是 上的动点，求 的最小值． 12．（25-26 七年级下·上海·期末）如图，已知在 中， ， 是边 上的中线，点 为 边上一点， 与 交于点 ， ， 交 的延长线于点 ． (1)如果 平分 ， ，求 的度数； (2)如果点 是边 中点，连接 ，求证： ． 13．（25-26 八年级下·四川成都·期末）已知 是等腰三角形， ， ，点 是边 上一点，连接 并延长与经过点 的直线相交于点 ，连接 ． (1)若 ，求 的度数； (2)当 是 的中点，过点 作 的平行线与经过点 的直线相交于点 ，点 在 延长线上，连接 ． 若 ，求证： ； 若 ，求证： 且 ． 14．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）已知 和 均为等腰三角形，且 ． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若 ， ，则 的度数为 ； (2)如图2，当 时， ①求证： ； ②过点 作 ，交 的延长线于点 ．若 ，求点 到 的距离． 15．（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）如图1，在 中， ，点D 是边 上一点，连接 ， 在 上取一点E，使得 ，连接 ． (1)试说明 ； (2)如图2，点F 是线段 上一点，且 ，连接 ．试说明 ； (3)如图3，若 ， ，求 的度数． 16．（25-26 七年级下·四川成都·期末）在 中， ， ，点E 为线段 上一点， 且 ，D 为线段 中点，作射线 ，过点E 作 交射线 于点F． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，过A 点作射线 ，使 ，过点D 作 交射线 于点G，连接 ， ，求 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 证： ； (3)如图3，过点F 作 于点M，连接 ． ①求证： ； ②若 ， 的面积为6，当 周长最小时，求线段 的值．
