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专题12 构造等腰三角形的常用方法（解析版）
类型一 作一腰的平行线构造构造等腰三角形
1．如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD＝CF，连接DE交BC于E．
求证：DE＝EF．
【思路引领】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证
△DGE≌△FCE即可，
【解答】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点，
∴∠ECF＝∠DGE，
∴∠DGB＝∠ACB
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∵BD＝CF，
∴DG＝CF．
由∠ECF＝∠DGE，∠DEG＝∠CEF，DG＝CF可得
△DGE≌△FCE（AAS），
∴DE＝EF．【总结提升】此题考查学生对全等三角形的判定和性质的理解和掌握．此题的关键是过 D点作AF的平
行线交BC于G点，然后利用角角边定理证明△DGE≌△FCE，这是此题的关键．
2．（2020秋•义马市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一
点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．请猜想PN与BM之间的数量关系，
并证明．
【思路引领】作PF∥AC交BC于F，交BD于E．根据平行线的性质得到PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝
45°，求得∠BEP＝90°，得到∠BPE＝∠PBE＝45°，求得BE＝PE．根据全等三角形的性质得到PN＝
BF；根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得PB＝PF，得到BM＝MF，于是得到结论．
【解答】解：PN＝2BM，
理由：如图，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．
∵BD⊥AC，PF∥AC，
∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，
∴∠BEP＝90°，
∴∠BPE＝∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∵PM⊥BC，
∴∠PMB＝∠PEN＝90°，
∵∠BNM＝∠PNE，
∴∠NPE＝∠EBF，
∵∠PEN＝∠BEF＝90°，
∴△PEN≌△BEF（ASA），
∴PN＝BF；
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∵∠PFB＝∠C，
∴PB＝PF，
∵PM⊥BF，
∴BM＝MF，
∴PN＝2BM．
【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（2020秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，
线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．
（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；
（2）求证：BG＝CF．
【思路引领】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
（2）作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG＝CF，只要证明BG＝CM，CF＝CM即可．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AD∥EF，
∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，
∴∠F＝∠FGA，∴AG＝AF，
∵CF＝6，AG＝2，
∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；
（2）作CM∥AB交FE的延长线于M．
∵BG∥CM，
∴∠B＝∠MCE，
∵E是BC中点，
∴BE＝EC，
在△BEG和△CEM中，
{
∠B=∠MCE
)
BE=EC ，
∠BEG=∠MEC
∴△BEG≌△CEM，
∴BG＝CM，
∵AD∥EF，
∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，
∵∠1＝∠2，
∴∠F＝∠FGA，
∵AB∥CM，
∴∠FGA＝∠M，
∴∠F＝∠M，
∴CF＝CM，
∴BG＝CF．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，
构造全等三角形，属于中考常考题型．类型二 利用角平分线+垂线构造等腰三角形
4．（2021春•万柏林区校级月考）如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则
△PBC的面积是 3 cm2．
【思路引领】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB
＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出
1
S△APC ＝S△EPC ，再根据S△PBC ＝S△BPE +S △EPC = S△ABC 即可得出结论．
2
【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
{∠ABP=∠EBP
)
BP=BP ，
∠APB=∠EPB
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC ＝S△CPE ，
1 1
∴S△PBC ＝S△BPE +S△CPE = S△ABC = ×6＝3（cm2），
2 2
故答案为：3．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三
1
角形的面积，找出S△PBC = S△ABC 是解题的关键．
2
5．（2021秋•上杭县期中）已知：如图，DE平分∠AEB，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：AD平分
∠BAC．
【思路引领】延长ED交AB于F，设AC与DE交于G，根据角平分线的定义得到∠AED＝∠BED，根
据三角形外角的性质得到∠AGD＝∠CAE+∠AED，∠AFE＝∠B+∠BEF，求得AF＝AG，根据等腰三角
形的性质即可得到结论．
【解答】证明：延长ED交AB于F，设AC与DE交于G，
∵DE平分∠AEB，
∴∠AED＝∠BED，
∵∠AGD＝∠CAE+∠AED，∠AFE＝∠B+∠BEF，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠AGD＝∠AFE，
∴AF＝AG，
∵ED⊥AD，
∴AD平分∠BAC．
【总结提升】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，垂直的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
类型三 利用截长补短法构造等腰三角形
6．（2021秋•拱墅区期中）如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为
25° ．
【思路引领】在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，先由线段垂直平分线的性质得AB＝AE，
则∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝50°，再由AB+BD＝DC，得到△ACE是等腰三角形，得∠EAC
＝∠C，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，
∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，
∴AB＝CE，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
1
∴∠C= ∠AEB＝25°，
2
故答案为：25°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识；
熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2020秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C的度
数．
【思路引领】如图，在DC上截取DH，使得DH＝DB，连接AH．首先证明AB＝CH＝AH，推出∠B＝
∠AHD，∠C＝∠HAC，设∠C＝x，∠AHB＝∠B＝2x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可．
【解答】解：如图，在DC上截取DH，使得DH＝DB，连接AH．
∵BD＝DH，AD⊥BH，
∴AB＝AH，
∵AB+BD＝DC，DC＝DH+HC，
∴AB＝CH＝AH，
∴∠B＝∠AHD，∠C＝∠HAC，设∠C＝x，∠AHB＝∠B＝2x，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+120°＝180°，
∴x＝20°，
∴∠C＝20°
【总结提升】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参
数构建方程解决问题．
8．（2023春•雨城区校级期中）已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．
（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；
（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和
等于BC，若有请写出结论并完成证明．【思路引领】（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．只要证明△BEA≌△BED，CE＝CD即可解决问
题；
（2）结论：BC＝BE+AE．如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，
再证明EA＝EH＝EF＝CF即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．
∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE，
∴△BEA≌△BED，
∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°，
∴∠CED＝72°，
∴CE＝CD，
∴BC＝BD+CD＝AB+CE．
（2）结论：BC＝BE+AE．
理由：如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，
∴EF＝EH，
∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝40°，∴∠EBA＝∠EBC＝20°，
∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°，
∴AE＝EH，
∵∠BFE＝∠C+∠FEC，
∴∠CEF＝∠C＝40°，
∴EF＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+AE．
【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
类型四 利用倍角关系构造构造等腰三角形
9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，AD平分∠BAC，∠ABC＝3∠C，BE⊥AD垂足为E，AB＝8，BE＝
2.5，则AC＝ 1 3 ．
【思路引领】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根据三角形外
角的性质，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF＝∠C，根据等
腰三角形的判定，可得BF＝CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．
【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
{∠AEB=∠AEF
)
AE=AE ，
∠BAE=∠FAE
∴△ABE≌△AFE（ASA），∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF＝8，BE＝EF＝2.5，
∴BF＝5，
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C，
∴BF＝CF＝5，
1 1
∴BE= BF= CF，
2 2
∴AC＝AF+CF＝8+5＝13，
故答案为：13．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性
质，等量代换，等式的性质，利用等量代换得出∠CBF＝∠C是解题关键．
10．已知 E 为△ABC 内部一点，AE 延长线交边 BC 于点 D，连接 BE、CE，∠BED＝∠BAC＝
2∠DEC， 如图，若AC＝AB，求证：BE＝2AE．
【思路引领】在EB上截取EF＝AE，利用AAS即可证得△ABF≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等
即可证得；
【解答】解：在EB上截取EF＝AE，连接AF，设∠BED＝2 ，
∴∠FAE＝∠AFE＝ ， α
∴∠AEC＝∠AFB，α
∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝2 ，∠ABE+∠BAD＝∠BED＝2 ，
α α∴∠CAE＝∠ABE
{∠AEC=∠AFB
)
∵在△ABF和△CAE中， ∠CAE=∠ABE ，
AB=AC
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF＝AE＝EF，
∴BE＝2AE；
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关
键．
11．（2022秋•金州区期中）如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD
＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明．
【思路引领】延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，可得△ABE是等边三角形，即可求得AC＝
AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解题．
【解答】解：AC＝BD+CD，理由如下：延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠AEB＝60°，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，
即∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝CD，
∴BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AC＝BE＝BD+CD．
【总结提升】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了等腰三角形的性质，本题中求证 CD
＝DE是解题的关键．
类型五 作底边的平行线构造等腰三角形
12．如图，等边△ABC中，D在边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：
BG＝EG．
【思路引领】利用全等三角形判定依据SAS，可得△BFD≌△DCE，则DB＝DE，结合DG与BC互相
垂直，即可证得本题结论．
【解答】证明：过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F．∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，
∴CD＝BF．
又∵AD＝CE，
∴FD＝CE．
又∵∠DFB＝∠DCE＝60°，
在△BFD和△DCE中，
{
BF=CD
)
∠DFB=∠ECD
FD=CE
∴△BFD≌△DCE（SAS），
∴DB＝DE．
又∵DG⊥BC，
∴BG＝EG．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全
等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（2012秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上
一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：PD＝DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．
【思路引领】（1）过P做BC的平行线至AC于F，易证△APF是等边三角形，再证明△PFD与△QCD
全等，得出结论；
（2）利用△APF是等边三角形，PE⊥AC，得出AE＝EF，再由△PFD≌△QCD，得出CD＝DF，由此
得出DE与AC的关系解决问题．【解答】（1）证明：
如图，
过P做PF∥BC交AC于点F，
∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠AFP＝60°，
∴△APF是等边三角形；
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ
∴△PFD≌△QCD，
∴PD＝DQ．
（2）△APF是等边三角形，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF，
1
DE＝EF+DF= AC，
2
∵AC＝1，
1
DE= ．
2
【总结提升】此题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．
类型六 构造等边三角形
15．（2013秋•华容区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝ 30 ° ．
【思路引领】根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，过点B作BF＝BC，连接EF，然后求出
∠BEC＝∠ECB＝50°，根据等角对等边可得BC＝BE，再求出∠CBF＝20°，然后求出∠EBF＝60°，判
断出△BEF是等边三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠EFD＝40°，再求出
∠EDF＝70°，然后根据∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝20°，
1 1
∴∠ABC＝∠ACB= （180°﹣∠A）= （180°﹣20°）＝80°，
2 2
过点B作BF＝BC，连接EF，
∵∠ECB＝50°，
∴∠BEC＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE，
又∵∠CBF＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×80°＝20°，
∴∠EBF＝∠ABC﹣∠CBF＝80°﹣20°＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EFB＝60°，BF＝EF，
∴∠EFD＝180°﹣∠EFB﹣∠CFB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵∠DBC＝60°，
∴∠DBF＝∠DBC﹣∠CBF＝60°﹣20°＝40°，
∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∴∠DBF＝∠BDC，
∴BF＝DF，
∴EF＝DF，
1 1
∴∠EDF= （180°﹣∠EFD）= （180°﹣40°）＝70°，
2 2∴∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角和等角对等边的性质，三角形的内
角和定理，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于根据角的度数相等得到相等的角．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P为三角形内的一点，且∠PCA＝20°，∠PAB＝20°，求
∠PBC的度数．
【思路引领】以BC为边在BC上方作等边△DBC，连接DA，利用等边三角形的性质可得 DB＝BC＝
DC，∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，从而结合已知可得AB＝AC，∠DBA＝∠DCA＝20°，再利用三角
形的内角和定理可得∠BAC＝100°，然后利用角的和差关系可得∠PAC＝80°，从而可得∠APC＝80°，
进而可得AC＝CP，然后利用SAS证明△DBA≌△DCA≌△BCP，从而利用全等三角形的性质，即可解
答．
【解答】解：以BC为边在BC上方作等边△DBC，连接DA，
∴DB＝BC＝DC，∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，
∵∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴AB＝AC，∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝20°，∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝20°，
∵∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°，
∵∠PAB＝20°，
∴∠PAC＝∠BAC﹣∠PAB＝80°，
∵∠PCA＝20°，
∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝80°，∴∠CAP＝∠APC＝80°，
∴AC＝CP，
∴AB＝AC＝CP，
∵∠DBA＝∠DCA＝∠PCB＝20°，
∴△DBA≌△DCA≌△BCP（SAS），
1
∴∠ADB＝∠ADC＝∠PBC= ∠BDC＝30°，
2
∴∠PBC的度数为30°．
【总结提升】本题考查了全全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题
目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
