文档内容
专题 08 平行四边形的性质和判定的八类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
类型二、利用平行四边形的性质求面积
类型三、利用平行四边形的性质求动点问题
类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
类型五、利用平行四边形的性质证明
类型六、利用平行四边形的判定和性质求解
类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图
类型八、利用平行四边形的判定和性质证明
压轴专练
类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
方法总结
1. 性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角
线互相平分）。
2. 构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。
解题技巧
1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。
2. 性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互
相平分”。
例1．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在 中，若 ， ， ，则
．
【答案】 /23度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得
，即得 ，进而根据等腰三角形的性质得 ，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1-1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个 木框，推动
得到 ．现测得 ， ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到 ，由
，代入计算即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， 的对角线相交于点 ，过点 的直线 分
别交 ， 于点 ， ， ． 的长度是 ．【答案】4
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
根据平行四边形的性质证明三角形全等推导出对应边相等关系．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴
故答案为：4 ．
【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中，点 在 边上，且 于点 ，
平分 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了平行四边形的性质，含 度角的直角三角形，平行线的定义，等腰三角形的判定，掌
握以上知识点是解题的关键．
通过平行四边形的性质，结合角平分线的定义可得到 ，由等角对等边得到 ，最后
根据在直角三角形中， 度角所对的直角边等于斜边的一半即可求出 的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ．
平分 ，
，
，
，．
，
．
又 ，
， ，
．
故答案为： ．
类型二、利用平行四边形的性质求面积
方法总结
1. 公式应用：平行四边形面积 = 底 × 对应高，需确保底和高互相垂直对应。
2. 割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。
解题技巧
1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。
2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。
例2．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形 是平行四边形，若平行四边形 的面积
是 ，则阴影部分的面积 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形
的性质可得 ，再证得 ，可得 ，从而得到阴影部分的面积等
于 ，即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ， ，
，，
阴影部分的面积等于 ．
故答案为： ．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是 内任意一点．若 的面积是
6，则涂色部分的面积是 ．
【答案】3
【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式
=底×高．过E作 ，交BC于M，交 于N， 的面积+ 的面积 平行四边形
的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：过E作 ，交BC于M，交 于N，如图所示：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
平行四边形 的面积，
∴阴影部分的面积 ，
故答案为：3．
【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形 的边 上两点，点G
是边 上一点，若平行四边形 的面积是 ，则 与 以及 的面积之和为
．
【答案】 /10平方厘米
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等高三角形，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边
形的性质得出 、 、 、 、 是等高三角形，设等高三角形的高为 ，进而推
出阴影部分面积和空白部分面积相等，即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
、 、 、 、 是等高三角形，
设等高三角形的高为 ，
则 ， ，
，
四边形 的面积是 ，
，
故答案为： ．
【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图， 的面积是32，点E，G在 上，点F，H
在 上，且 ， ，点M，N在 上，点P在 上，则阴影部分的面积是 ．【答案】16
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质和三角形的面积即
可得到结论．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 ，四边形 ，四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴阴影部分的面积
，
故答案为：16．
类型三、利用平行四边形的性质求动点问题
方法总结
1. 分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。
2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。
解题技巧
1. 参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。
2. 排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。
例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形 的边长为 ，动点 从点 出发，沿的路径以 的速度运动；动点 从点 出发，沿 的路径以 的
速度运动．若动点 同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为 ，则
当 的值为 时，点 ， ， 以及 的边上一点 恰好能构成一个平行四边形．
【答案】 或
【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性
质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
【详解】解：当点 在线段 上，点 在线段 上时，如图①．
四边形 为平行四边形，
， ．
是等边三角形，
和 是等边三角形，
，
，
，
；
当点 在线段 上，点 在线段 上时，如图②．
同理可得 和 是等边三角形， ．
， ，
，
；
当点 在线段 上，点 在线段 上时，如图③．
同理可得 和 是等边三角形， ．
， ，，
．
当停止运动时， ，且 ，
（不合题意，舍去）．
综上所述，当 的值为 或 时，点 ， ， 以及 的边上一点 恰好能构成一个平行四边形．
故答案为： 或 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在 中， ， ， ，点
为直线 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】作点A关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点H，连接 交直线 于点 ，连接
，由轴对称的性质可知当点M与 重合时， 的值最小，即为 的长．再结合平行四边形
的性质，含 的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作点A关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点H，连接 交直线 于
点 ，连接 ，
∴ ， ， ，
∴当点M与 重合时， 的值最小，即为 的长．∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ 的最小值为5．
故答案为：5．
【变式3-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ， ．动点 从点 出发，沿射线 以每秒 的速度运动．动点 同
时从点 出发，在线段 上以每秒 的速度向点 运动；当动点 到达点 时，动点 也同时停止运
动．设点 的运动时间为 秒，当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时， 的值为
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形 为平
行四边形时，②当四边形 为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方
程即可求解．
【详解】解：∵ ，动点 同时从点 出发，在线段 上以每秒 的速度向终点 运动，
∴运动时间为 （秒），
， 的速度为每秒 ， 到达 的时间为 （秒），
当 在 点以及 点的左边时，即 时， ，
当 在 的右边时，即 时， ，
以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形 为平行四边形时， ， ，
∴ ，
解得： ；②当四边形 为平行四边形时， ， ，
∴ ，
解得 ，
综合上述，当 或 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为： 或 ．
【变式3-3】（2024·江西南昌·模拟预测）在 中， ， ， ，点 为平行四边形
边上的动点，且满足 是直角三角形，则 的长度是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分 和 两
种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
（ ）当 时，
①作 于 ，如图 所示，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ 为直角三角形， ，
∴此时点 和点 重合，
∴此时 ；
②当 时，如图 ， ；
（ ）当 时，如图 ， ，
∴ ；
综上， 的长度是 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
方法总结
1. 逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。
2. 反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。
解题技巧
1. 性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。
2. 图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。
例4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图， 的对角线 ， 交于点O， 平分 交
于点E，且 ， ，连接 ．下列结论：① ；② ；
③ ；④ ．成立的个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相
关性质定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出 、 ，进而得到 是等边三角形，又根据
，证得 ，易证得 是 的中位线，进而得到 ；利用 得到
，进而得到 ；根据勾股定理求出 的长即可．
【详解】解： ，
，
四边形 是平行四边形，
、 ，
平分 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
点E是 的中点，
是 的中位线，
、 ，
，
故①正确；
，
，故②正确；
、 ，
，
，
，
故③正确；
在 中， ，由勾股定理得，
，
，
在 中， ，由勾股定理得，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共有4个，
故选：A．
【变式4-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知
， ， ，点F是边 中点，则下列结论：①
是等边三角形，② ，③ ，④四边形 是平行四边形，其中正确结论的个数是（
）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①根据“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”即可判定；
②利用“直角三角形中 所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断；
③利用勾股定理，可得 ，再根据线段之间的关系，代换即可；
④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定．
【详解】解：由题可知， ，则 ，
，
是等边三角形，故①正确；
， ，
，
点F是边 中点，
，
，故②正确；
在 中， ，
则 ，即 ，
是等边三角形，点F是边 中点， ，
， ，
，故③正确；
， ，
，即 ，
， ，
，则 ，
，
，
，，
在 中，点F是边 中点，
，
，
，则 ，
又 ，
四边形 是平行四边形，故④正确；
故选：A．
【变式4-2】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形 中， 是对角线 上的两点．添加
下列条件中的一个：① ；② ；③ ；④ ．能使四边形
是平行四边形的条件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边
形的判定是解题的关键．①连接 交 于点 ，证出 由对角线互相平分的四边形是平行四边
形可得出结论；②证明 由全等三角形的性质得出 ，根据一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明 与 全等，则可得出结论；④证明
，得出 ，根据 得出 ，根据一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形可得出结论．
【详解】解：连接 交 于点 ，① 正六边形 ，
，
和 是等边三角形，
， ，
又 ，
，
四边形 是平行四边形，故①符合题意；
② ， ，
，
，
又 ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故②符合题意；
③ ， ， ，
与 不一定全等，不能得出四边形 是平行四边形，故③不符合题意；
④ ， ， ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故④符合题意，
则符合题意得有3个，
故选：C．
【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图， 是 的对角线，过点B作交 于点G，垂足为E，过点D作 交 于点H，垂足为F，连接 ．则下列结论：①
；②四边形 是平行四边形；③ ；④ 平分 的周长；⑤
，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性
质成为解题的关键．
利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
， ，
，
，
，
， ，故①正确；
，
，
∴ ，
，即 ，
∴四边形 是平行四边形，故②正确；
，而 不一定等于 ，故③错误；
， ，
，
∴ 平分 的周长，故④正确；
如图，过点E作 ，并延长 交 于点N，∵ ，
，
∴ ，
，
，
，故⑤正确，
综上，正确的有4个．
故选；C．
类型五、利用平行四边形的性质证明
方法总结
1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线
性质。
2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。
解题技巧
1. 标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。
2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺
路。
例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，垂足分别为
E，F，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的
判定和平行四边形的性质，证明 是解题的关键．
（1）由 证明 即可；
（2）由全等三角形的性质得 ，根据平行四边形的性质得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作
于 ，过点 作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟
练掌握平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质证明 即可；
（2）先在 中由勾股定理求解 ，然后由面积法求解 ，最后在 中运用勾股定理求解
即可．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图， 的对角线 ， 相交于点 ，点 在
上，点 在 上，连接 ，使 恰好经过点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ， ，求 的长．
(3)记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，用等式表示 和 的关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质推出 ， ，得到 ，即可证明
推出 ．
（2）求出 ，由平行四边形的性质推出 ，由勾股定理求出 即可得到
．
(3)利用全等，将四边形 的面积转化为 的面积. 进而得到 和 的关系.
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ．
又 ，
，
．
（2）解： ， ，
，即 ．
四边形 是平行四边形， ，
， ．
， ，
， ．
（3）证明：∵四边形 是平行四边形，对角线 交于点 ，
，
在 和 中，
．
在 和 中，，
，
，
，
.
故答案为： .
【变式5-3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①， 的对角线 ， 相交于点 ，直
线 过点 ，与 ， 分别交于点 ， ．求证： ．
（2）如图②，将 沿过对角线交点 的直线 折叠，使点 落在点 处，点 落在点 处，
交 于点 ， 与 ， 分别交于点 ， ．求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角
形全等，从而推出 ；
（2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角
形全等，进而推出 ．【详解】证明：（1） 四边形 为平行四边形，
， ，
．
在 和 中：
，
．
证明：（2）由（1）知， ．
由折叠的性质可知， ， ，
， ．
，
，
．
在 和 中：
，
．
类型六、利用平行四边形的判定和性质求解
方法总结
1. 先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。
2. 再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。
解题技巧
1. 判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。2. 性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。
例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， 是边 上一点，
，连接 ， ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握
利用中位线定理判定平行四边形，结合等腰三角形性质和勾股定理计算边长是解题的关键．
（1）利用三角形中位线定理得 与 的关系，结合 ，证明 与 平行且相等，判定平行
四边形
（2）结合平行四边形性质和角度条件推导出 ，再由 得到 与 的数量关系，在直
角三角形中用勾股定理求 ，进而得 的长．
【详解】（1）证明： ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
， ，即 ．
，
．
，
四边形 是平行四边形．
（2）解： 四边形 是平行四边形， ，
， ．
，
．
，
，，
．
在 中， ， ，
，
（负值已舍去），
．
【变式6-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形 的对角线 交于O， ，连接
．
(1)求证四边形 是平行四边形；
(2)若点E是 的中点， 的面积为2，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
（2）利用平行四边形的性质求面积即可．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明： 为平行四边形，
， ．
，
．
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：当E为 中点时， 的面积 的面积 ．
，
的面积 的面积 ．
，
的面积 的面积 ，的面积 的面积 ．
∴四边形 的面积 ．
【变式6-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在 中， 是 的中点，延长 至 ，使得
，连接 ，延长 至点 ，使得 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)连接 交 于点 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四
边形的判定与性质是解题的关键．
（ ）证明 是 的中位线, 得 ，即 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（ ）由（ ）可知， 是 的中位线，四边形 为平行四边形，则 ，
， ， ，然后由勾股定理求出 ，故
， ．
【详解】（1）证明： ∵ 是 的中点， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：由（ ）可知， 是 的中位线，四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ 是 的中点，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ，点D在边BC所在的直线
上，过点D作 交AB于点E， 交AC于点F．
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证： ．
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、
图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
(3)若 ， ，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)当点D在边BC的延长线上时， ；当点D在边BC的反向延长线上时，
(3)DF的长为2或10
【分析】（1）要证明 ，先利用两组对边分别平行判定四边形 为平行四边形，得到
；再结合等腰三角形 的性质，推出 ，从而得到 ；最后通过线段和
的关系 ，结合 完成证明；
（2）当点 在 延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形 为平行四边形，再结合等腰三角形性
质证 ，通过线段的和差关系，分别推导 的数量关系；
（3）分三种位置情况，代入 ，结合（1）（2）的结论计算 的长度．【详解】（1）证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ．
（2）解：当 在 延长线上时： ；
当 在 反向延长线上时： ．
（3）解：情况1： 在 上由（1）知 ，
代入 ，得 ，
解得 ；
情况2： 在 延长线上由（2）知 ，
代入得 （无解，舍去）；
情况3： 在 反向延长线上由（2）知 ，
代入得 ，
解得： ．
综上所述， 的长为 或 ．
类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图
方法总结
1. 依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。
2. 依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计步
骤。
解题技巧
1. 先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。
2. 对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。
例7．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在 中，点 为 的中点，请仅用无刻度直尺完成
以下作图（保留作图痕迹）：(1)在图1中， ，作出 中 边上的高 ；
(2)在图2中，过点 作 的平行线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形底边上的高垂直平分底边和三角
形三条中线交于一点、平行四边形对角线相互平分是解答本题的关键．
（1）作出 中 边上的高 ；即找到 的中点即可，连接 ，交 于点 ，由平行四边形性
质可知 ， ，连接 并延长交 于 ，容易证明 ，从而可得
，即 是 中点，
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接 并延长交 延长线于 ，可得平行四边形
，由此即可解题．
【详解】（1）解：如图， 为所求，
（2）解：如图， 为所求，
【变式7-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在平行四边形 中，点E是 边上一点．请
仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．(1)在图（1）中， ，作一个三角形，使其面积为 的两倍；
(2)在图（2）中，E为 的中点，在 作一点F，使线段 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形
的判定与性质是解题的关键．
（1）连接 ， 即为所求，平行四边形 得到 ，则 等高，而
，故 ；
（2）连接 交于点 ，连接 并延长交 即为点 ，根据平行四边形 得到 ，
，继而可证明 ，则 ，那么可证明四边形 为平行四边形，则
．
【详解】（1）解：在图1中， 即为所求；
（2）解：如图，点 即为所求：
【变式7-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在 中，点E是边 的中点， 是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图1，在边 上找一点O，使 平分 的面积；
(2)如图2，分别在 边上找点P，M，N，作
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的判定与性质．
结合平行四边形的性质，连接BD交 于点O，则点O即为所求；
结合平行四边形的判定与性质，连接 交 于点O，连接 并延长，交 于点M，在 上任取
一点P，连接 并延长，交 于点N，连接 即可．
【详解】（1）如图1，连接 交 于点O，
则点O即为所求．
（2）如图2，连接 交 于点O，连接 并延长，交 于点M，在 上任取一点P，连接 并延
长，交 于点N，连接 ，
则 即为所求．
【变式7-3】（2025·浙江衢州·三模）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形 的边 上取一
点P，使得 是以 为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度
为半径作弧，分别交 ， 于点M，N；②以点A为圆心， 长为半径作弧，交 于点E：③以点
E为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前弧于点F；④连接 并延长，交 于点P．(1)通过作图可以得到 的依据是______；
(2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留
作图痕迹；
(3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线 ，发现 恰好经过点P，此时小聪同学发现
， ， 都是等腰三角形，求 的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【分析】（1）根据作图过程和三角形全等的判定方法可得答案；
（2）作线段 的垂直平分线交 于点P，即可得到 ；
（3）分①当 时，②当 时，③当 时三种情况，利用等腰三角形的性质，结合平
行线的性质和三角形的内角和定理分别求解即可．
【详解】（1）解：由作图过程可得 ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图，点P， 即为所求作：
（3）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
根据作图痕迹， 平分 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，∵ 是等腰三角形，
∴分三种情况：
①当 时，则 ，
由 ， ，
解得 ，
∴ ；
②当 时， ，
由 得 ，
解得 ，
∴ ；
③当 时， ，则 ，
由 得 ，则 ，不符合题意，
综上， 的度数为 或 ．
类型八、利用平行四边形的判定和性质证明
方法总结
1. 判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。
2. 性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。
解题技巧
1. 判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。
2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。
例8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在 中， ， 分别是边 ， 上的中线，
与 相交于点 ，点 ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： ；(3)试猜想 与 的数量关系并给予证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) ，证明见解析．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题．
（1）利用三角形中位线定理，分别证明 和 都平行且等于 的一半，从而得到 与 平行且
相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到 ，结合 是 中点的条件，即可推导出
；
（3）将四边形 的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比
等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推
出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和 的面积，把两部分面积合并得证．
【详解】（1）解：∵ ， 分别是边 ， 上的中线，
∴ 是 的中点， 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，且 ；
又∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，且 ；
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ；
又∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（3）解：猜想 ，证明如下：
由（1） ， ，∴ ， ，
∴ ．
∵ 与 同高，
∴ ，
同理可得： ．
又 ， ，
∴ ．
【变式8-1】（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行
四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图①，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，求证： ， ．
【知识应用】
（2）如图②，在 中， 为 的中点．延长 到点 ，使得 ，延长 到点 ，使得
，连接 ， ， ．若 ，请你探究线段 与线段 之间的数量关系．写出你的结
论，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分；
（2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段 与 的数量关系．
【详解】解：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，， ．
（2）如图所示，过点 作 交 于点 ，连接 ， ，
．
， ，
，即 ，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
为 的中点，
， ， 三点在一条直线上，
．
在 和 中，
，
，
．
【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形 中，点O是对角线 中点，点E在边 上，
的延长线与边 交于点F，连接 ､ ，如图1．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)在（1）中，若 ，过点C作 的垂线，与 ､ ､ 分别交于点G､H､R，如图2
①当 ， 时，求 的长．
②探究 与 的数量关系，直接写出答案．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直
角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）由 可得 ，可得 ，可得结论；
（2）①由等腰三角形的性质可得 由勾股定理可求 ，由等腰三角形的性质可求 的长，
即可求解；
②如图，过点H作 于点M，证明 ，可得 ，由等腰直角三角形的
性质可得 ，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵平行四边形 中，点O是对角线 中点，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：①如图2，过点D作 于点N，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，
理由如下：如图，过点H作 于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形 中，点 在平行四边形 内，连
接 ， ， ， 是等腰直角三角形， ，其中 ．
(1)如图 ，求 的度数；
(2)如图 ，在 上取点 使得 ，求证： ；
(3)如图 ，在 问的条件下，若 、 、 在同一直线上，当 时，求平行四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设 ，可求出 ，由平行四边形的性质可得出 ，
，由 得出 ，进一步可得出结论；
（2）在 上截取 ，连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，得到 ，
，，证明 ，再证明 为等腰直角三角形，得 ，从而可得
出结论；
（3）过点 作 交于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ， 交 于点 ，
分别求出 、 的长，根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图，在 上截取 ，连接 ， ；
，
，即 ．
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，，
， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：过点 作 交于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ， 交 于点
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 设 ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∵ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．一、单选题
1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形 中，若∠A与∠B的度数之比为 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得 ，再根据 与 的度数之比为 ，即可
求出 的度数，即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
与 的度数之比为 ，
，
，
∴ ，
，
故选：B．
2．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形 中， 平分 交 边
于点 ，则线段 的长度分别为（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的
关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解．
先由平行四边形性质得到 ，结合平行线性质、角平分线定义得到 ，进而由等腰三
角形的性质得到 ，再数形结合得到 ，代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
故选：B．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线
AC上的两点．给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其
中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边
形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：①∵四边形 是平行四边形，
，
又 ，
∴四边形 是平行四边形；
故①能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；② 时，不能证明 ，
故②不能判定四边形 是平行四边形；
③∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
又 ，
，即 ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形；
故③能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；
④∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
又 ，
，即 ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形；
故④能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；综上所述，只有②不能判定四边形 是平行四边形
故选：B．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，对角线 ， 交于点O，EF过点O．下列
结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对
角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键．
逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ．
在 中：
∴ ，
∴ ， ．故①②正确．
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故④正确．
无法确定 ，故③不正确．
综上所述，正确结论的个数为 ．故选：C．
5．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形 的边 上一点，且 ，
相交于R，连接 ，且 恰好平分 ，若 ，则点C到 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三线合一定理，过点C作
于点E， 于点F，由角平分线的性质可得 ；可证明 ，则可推出
，由三线合一定理得到 的长，再利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作 于点E， 于点F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形，且点P、Q是平行四边形 的边 上一点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点C到 的距离为 ，
故选：D．
二、填空题
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中， ， 相交于点 ，点 ， 在对角
线 上，且 ， ．要使四边形 为平行四边形，则应添加的条件是
（写出一种情况即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握
平行四边形的判定定理．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加 ，可证明 ，结合 即可证明四
边形 为平行四边形．
【详解】解：添加的条件是 （答案不唯一）．
理由如下： ， ，
，即 ，
又 ，
∴四边形 为平行四边形，符合题意．
故答案为： （答案不唯一）．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片 折叠成如图所示的图形， 为折痕，点 的对应点为 ．若 ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关
键．
由折叠的性质，得 ， ，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得
，再由三角形的内角和为 可求出 的度数，即为 的度数．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ．
由折叠的性质，得 ， ，
．
四边形 是平行四边形，
，
．
在 中， ，
－ ，
．
故答案为： ．
8．（25-26八年级下·全国·周测）如图， ， ， ， ．若 ，
，则 的长为 ．【答案】130
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，掌握一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形，及等腰直角三角形的边长关系是解题的关键．
先根据 平行且等于 判定四边形 为平行四边形，得出 ；再通过构造等腰直角三角形
求出 的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算 ，从而得到 的长度．
【详解】解：∵ 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
,
过 作 于 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
，
，
在 中， ，
故 ．
故答案为： ．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知 ，
， ， ．当 时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为 cm．
【答案】28
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形 为平行四边形，根据平行四边形的性质
可得 ，通过勾股定理可求出 ，最后再根据线段的和与差即可求解．
【详解】解： ， ，
∴四边形 为平行四边形，
．
，
．
在 中， ， ，
，
，即点 到点 的距离为 ．
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在 中， ，将 绕点 逆时
针旋转角 得到 ，连接 ．当 为等腰三角形时， 的值为 ．
【答案】1或 或
【分析】分三种情况讨论，①点 在 上，则 是等边三角形，可证明 ，则 是等腰三
角形，根据勾股定理即可得到结论，②点 在 上，可证明 ，则 是等腰三角形，
根据等边三角形的性质即可得到结论；③ 是等腰三角形，且 ，作 于点 ，交于点 ，则 ，可证明 ，再推导出 ，则 ，所以 ，
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：①如图 1，当点 在 上时，
由旋转得 ，
，
∴ 是等边三角形，
， ，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
∴ 是等腰三角形，
，
，
∵ ，
，
；
②如图 2，当点 在 上时，
，
，，
∴ 是等腰三角形，
即当 是等腰三角形， 时， ；
③如图3， 是等腰三角形，且 ，作 于点 ，交 于点 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转得 ，
，
，
过点A作 ，
则 ， ，
，
，
；
综上所述， 或 或 ，故答案为：1或 或 ．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐
角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题
11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 的两条对角线 、 相交于点 ，点 、 分别
是 、 上的中点．连接 、 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证
明三角形全等是解题的关键．证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点 、 分别是 、 上的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ．
12．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ，
，垂足分别为 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 时，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用
即可证明 ；
（2）利用平行四边形对角线互相平分可求 ，因为 ，由勾股定理可求 ，
则平行四边形 的面积 可求．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS）；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴平行四边形 的面积 ．
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，
连接AE，ED，过点C作 交ED的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若 ， 的面积为8，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的
关键．
（1）由两直线平行，内错角相等可得到 ，由中点的性质得到 ，接着通过 判
定 ，由全等三角形的性质得到 ，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形
可证四边形 是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得 ，根据 ，结合等高的三角形的面积比等于底之比
得到 ，由此可求出 的面积．
【详解】（1）证明： ，
．
是 的中点，
．
在 和 中，，
，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
．
， 的 边上的高与 的 边上的高相等，
，
，
．
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点E在 内部，连接AE，BE，CE，DE，分别过点
A，D作 ， ．
(1)求证： ．
(2)设 的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先利用平行四边形 的性质得到 ，进而推出角的互补关系；再结合
、 的条件，得到对应角相等，最后用角边角判定三角形全等．
（2）求 的值，先利用平行四边形内点的面积性质：点 在平行四边形内部时， ；再结合（1）中 的结论，得 ，从而将四边形 的面积 转化为 ，
进而求出面积比值．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，同理可得 ，
在 和 中：
∴ ．
（2）解：∵点 在 内部，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ．
∵ 的面积为 ，四边形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形内的面积转化，掌握平行
四边形的边与角的性质、全等三角形的 判定、利用全等转化面积是解题的关键．
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， ， ， ，垂足分别为 ， ，
， ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，则 ____________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由等角推出 与 平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到
，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明；
（2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合 的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用
勾股定理计算 ．
【详解】（1）证明： ，
，
．
， ，
．
在 和 中：
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：由（1）得四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
，， ．
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、 角的直角三角形性质与勾股定理的应用，掌握一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形，及直角三角形中 角对的直角边为斜边的一半是解题的关键．
16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，
．点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，连接 并延长，交 于点
．设点 的运动时间为 ．
(1)求 的长（用含 的代数式表示）．
(2)当四边形 是平行四边形时，求 的值．
(3)当点 在线段 的垂直平分线上时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明 与 全等，得出 ，
再结合 的长度，用 减去 表示出 ；
（2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合 的条件，列 的方程求解 ；
（3）由垂直平分线的性质得 ，先通过勾股定理算出 的长度，再结合 的长度，用勾股定理
列方程求 ．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形，
， ，
．在 和 中：
，
．
由题意得 ，
．
，
．
（2）解： ，
当 时，四边形 是平行四边形，即 ，
解得 ．
故当四边形 是平行四边形时， 的值为 ．
（3）解：如图，过点 作 垂直平分 分别交 ， 于点 ， ．
， ，
，
．
，
，
易得 ．
是 的垂直平分线，， ．
由勾股定理，得 ，
即 ，
（负值已舍去）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质与勾股定理的应用，掌握
平行四边形的边与对角线性质、全等三角形的判定方法，及垂直平分线和勾股定理的综合应用是解题的关
键．
17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形 中， ，对角线 ， 相交于点
，且 ．
(1)求证：
．
四边形 为平行四边形．
(2)过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连结 若 ， ，求
的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，可得 ，利用 可证 ；
（2）根据 ，可得 ，又因为 ，则可得四边形 为平行四边形；
（3）可证 是 的垂直平分线，则 ，根据等腰三角形三线合一可知 ，再由
平行线的性质可求 ．
【详解】（1）证明： ，
．在 和 中，
同理可证 ，
．
又 ，
四边形 为平行四边形；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，
平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图 ，在四边形 中， ， ， ，
， ．动点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿 向终点 运动，点 从点 出发，以每
秒 个单位的速度沿射线 运动，点 和点 同时出发，当点 运动到点 时，点 也停止运动，设点
的运动时间为 （秒）（ ）．
(1) _________．
(2)当点 运动到 的垂直平分线上时，求 的值．(3)当以点 ，点 ，点 ，点 为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值．
(4)如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，则当点 落在直线 上时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）作 ，根据矩形的性质求出 ， ，然后用勾股定理计算 ；
（2）由垂直平分线性质得 ，结合直角三角形，用勾股定理列含 的方程，求解得 ；
（3）根据平行四边形“对边相等”，列 的绝对值方程，分类讨论 的位置解出 ；
（4）由对称性质、平行线性质推得等腰三角形，结合 ，分类讨论 的位置，列方程求 ．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，则 ，
， ，
， ，
，
，
．
（2）解：如图，同（1），过点 作 ，则 ， ，
点 在 的垂直平分线上，
， ，
在 中， ，则 ，
化简得 ，解得 ．
（3）解： 点 沿射线 运动，
，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
当 点未到达 点时，即 ，解得 ；
当 点过 点后，即 ，解得 ．
故 或 ．
（4）解：如图，当 在 上时：
根据对称的性质，可知 ，
，
，
，
，
，
，
解得 ；
如图，当 在 延长线上时：此时，点 已过 点，延长 于点 ，
根据对称的性质，可知 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得 ．
故 或 ．
