关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
热点 06 全等三角形与特殊三角形
中考数学中《全等三角形与特殊三角形》部分主要考向分为五类：
一、三角形的重要定理（每年1~2道，3~7分）
二、全等三角形（每年1道，4~8分）
三、等腰三角形（每年1~2题，3~7分）
四、直角三角形（每年1~2题，3~7分）
五、三角形的综合（每年1~2题，3~9分）
全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中
起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要。首先，
全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，
小题、简单题均有可能出现。而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌
握对应知识技巧后一半都能拿下。而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤
用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。
考向一：三角形的重要定理
【题型1三角形的三边关系】
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；实际操作时，只需要两较小边长之和大于最长
边即可；
2、在等腰三角形中考三边关系时，只需满足--两腰长之和大于底边长即可；
3、做题时，注意看题目中是让求第三边的长还是求三角形的周长，不要因此失分。
1．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．4
【答案】B
【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计
算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长为2时，
∵等腰三角形的周长为12，
12−2
∴它的一条腰长= =5，
2
∵2+5=7>5，
∴能组成三角形；
当等腰三角形的一腰长为2时，
∵等腰三角形的周长为12，
∴它的底边长=12−2−2=8，
∵2+2=4<8，
∴不能组成三角形；
综上所述：它的一条腰长是5，
故选：B
2．（2025·四川泸州·一模）已知△ABC中，AB=3，AC=5 ，第三边BC的长为一元二次方程
x2−7x+10=0的一个根，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握三
角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形三边之间的关系确定第三边BC的长，最后求出三
角形的周长即可．
【详解】解：x2−7x+10=0，
解得：x=2或5，
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵2+3=5，
∴BC≠2，
∵5+3>5，5−3<5，
∴BC=5，
∴三角形的周长为：
AB+AC+BC=3+5+5=13，
故选：D．
3．（2024·江苏扬州·一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方
形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（ ）
A．0<a<4 B．2<a<8 C．2<a<4 D．4<a<8
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
由题意知，第三个长方形的宽为(8−2a)，依题意得a+a>(8−2a)，a−a<(8−2a)，计算求解然后判
断作答即可．
【详解】解：由题意知，第三个长方形的宽为(8−2a)，
∵围成如图②所示的三棱柱形物体，
∴a+a>(8−2a)，a−a<(8−2a)，
解得，2<a<4，
故选：C．
4．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知三角形的两边长分别为4cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．12cm
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边，求出三角形第三边长的范围，再根据范围逐一判断即可求解．
【详解】解：设第三边的长为xcm，
由题意可得，8−4<x<8+4，
∴4<x<12,
观察选项，只有选项C符合题意
故选：C.
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【题型2三角形的内角和定理与外角的性质】
1、三角形三个内角的和=180°，三角形的一个外角=与之不相邻2个内角的和；
2、三角形有关角的这两个定理通常可以交换着用，有时可用内角和又可用外角的题，可能外角用着更
方便；
3、等腰三角形顶角的外角=底角的2倍；
在求角度的问题中，内角和定理和外角的性质是常用的等量关系，也是求任何角度都要首选的等量关
系，这个思想要根深蒂固！
1．（2025·河南周口·一模）如图所示，直线a∥b，∠2=32°，∠1=65°，则∠A的度数（ ）
A．32° B．33° C．34° D．35°
【答案】B
【分析】该题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据a∥b得出∠DBC=∠1=65°，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵a∥b，
∴∠DBC=∠1=65°，
∴∠A=∠DBC−∠2=65°−32°=33°，
故选：B．
2．（2025·湖南长沙·模拟预测）将一副三角板如图放置，其中∠BAC=∠ADE=90°，∠E=45°，
∠C=30°，点D落在线段BC上，且AE∥BC，则∠AFD的度数为（ ）
A．90° B．85° C．75° D．65°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质，利用平行线性质求出∠EAC的度数，再
利用外角的性质即可求解．
【详解】解：∵∠C=30°，AE∥BC，
∴∠EAC=∠C=30°，
∵∠E=45°，
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠AFD=∠EAC+∠E=30°+45°=75°．
故选：C．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，AB∥CD，M、N为直线AB上的两点，连接CN，ME⊥CN于点
E，点F在CN上，连接DF，CF=DF，若∠EMN=70∘，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用这些性
质找出角之间的关系来求解∠D的度数．先根据平行线性质和直角三角形性质求出∠C的度数，再依
据等腰三角形性质得出∠D与∠C的关系，进而求出∠D．
【详解】解：∵ ME⊥CN，
∴ ∠MEN=90°．
∴ ∠MNE=180°−∠EMN−∠MEN=180°−70°−90°=20°．
∵ AB∥CD，
∴ ∠C=∠MNE=20°．
∵ CF=DF，
∴ ∠D=∠C=20°．
故选：A．
4．（2025·陕西榆林·一模）如图，点D，E分别在线段AC，BC上，连接AE，BD交于点F．若
∠A=27°，∠B=45°，∠C =38°，则∠DFE的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】A
【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据
∠DFE=∠A+∠ADF，∠DFE=∠A+∠ADF求解即可．
【详解】解：∵∠B=45°，∠C =38°，
∴∠ADF=∠B+∠C=45°+38°=83°，
∵∠A=27°，
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠DFE=∠A+∠ADF=27°+83°=110°．
故选：A．
5．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，
如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握
正多边的外角和等于360°是解题的关键．
根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出∠B=150°，然后可得每一个外角为30°，进而即可
求解．
【详解】解：依题意，AB=BC，∠ACB=15°，
∴∠BAC=15°
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=150°
∴这个正多边形的一个外角为180°−150°=30°，
360
所以这个多边形的边数为 =12，
30
故选：C．
6．（2025·广东·模拟预测）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F=30°，
∠E=45°，∠D=90°，则∠ABF的度数为（ ）
A．30° B．15° C．60° D．25°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质，熟记三角形内角和定理、三角形外角
性质是解题的关键，根据三角形内角和定理求出∠DAE=45°，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵∠E=45°，∠D=90°，∠DAE+∠D+∠E=180°，
∴∠DAE=45°，
∵∠DAE=∠F+∠ABF，∠F=30°，
∴∠ABF=15°，
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：B．
7．（2025·河北·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一
个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持
不变，则图中∠ECF应（ ）
A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10°
【答案】C
【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得到∠BCD=∠ABD−∠D=40°，
再由平角的定义即可求出∠ECF．掌握平角的定义是解题的关键．
【详解】解：∵∠ABD=75°，∠D=35°，
∴∠BCD=∠ABD−∠D=75°−35°=40°，
∵∠ACE=90°，
∴∠ECF=180°−∠BCD−∠ACE=180°−40°−90°=50°，
∴50°−30°=20°，
故选：C．
8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F．若AC=BD，
AB=ED，BC=BE，∠ACB=50°，则∠AFB= ．
【答案】100°
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可
用SSS判定△ABC≌△DEB，即可得∠ACB=∠DBE=50°，根据三角形的外角即可得．
【详解】解：在△ABC和△DEB中，
¿
∴△ABC≌△DEB(SSS)，
∴∠ACB=∠DBE=50°，
∴∠AFB=∠ACB+∠DBE=50°+50°=100°，
故答案为：100°．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【题型3 三角形中的“三线”】
三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：
1、中线
常见“用途”：平分线段、平分面积；
辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；
2、高线
常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；
辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；
3、角平分线
常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；
辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等
腰；
4、中垂线
常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；
5、辅助线类型：连接两点
由△的三线组成的几个“心”：
△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；
△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；
△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，DE．若
△ABC的面积是8，则△BDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角
形的中线与面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
1
∴S = S =4，
△ABD 2 △ABC
∵E是AB的中点，
1 1
∴S = S = ×4=2，
△BDE 2 △ABD 2
故选：A．
2．（2025·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，D为AC中点，DE∥BC，若△ABC的面积为10，则
△BDE的面积为（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得
1
S = S =5，根据平行线分线段成比例可得AE=EB，再根据三角形中线平分三角形面积即可
△ABD 2 △ABC
求解．
【详解】解：∵在△ABC中，点D是AC的中点，
1
∴S = S =5，AD=DC
△ABD 2 △ABC
∵DE∥BC
AE AD
∴ = =1
EB DC
∴AE=EB
1 1
∴S = S = ×5=2.5，
△BDE 2 △ABD 2
故选：B．
3．（2025·安徽亳州·一模）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若
BD
BF=3EF，则 =（ ）
DC
4 6 3 2
A． B． C． D．
3 5 2 3
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作EG∥DC，构造相似三角形是解题的关键．
AE 1
先利用三角形的中线的定义得到 = ，过点E作EG∥DC交AD于G，再根据相似三角形的性质
AC 2
EF 1
得到DC=2≥¿，由BF=3FE得到 = ，最后由相似三角形的性质即可得到结论．
BF 3
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：如图，
∵BE是△ABC的中线，
AE 1
∴ = ，
AC 2
过点E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE=∠ADC，∠AEG=∠C，
∴△AGE∽△ADC，
EG AE 1
∴ = = ，
DC AC 2
∴DC=2≥¿．
∵BF=3FE，
EF 1
∴ = ．
BF 3
∵GE∥BD，
∴∠GEF=∠FBD，∠EGF=∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
GE EF 1
∴ = = ，
DB BF 3
DC 2
∴ = ，
DB 3
BD 3
∴ = ．
DC 2
故选：C．
4．（2025·陕西·模拟预测）如图，AD,AE分别是△ABC的高线和中线．若△ABC的面积为12，AD=4
，则BE的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
1
【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得S = S =6，
△ABE 2 △ABC
再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵AE是△ABC的中线，△ABC的面积为12，
1
∴S = S =6，
△ABE 2 △ABC
∵AD分别是△ABC的高线，AD=4，
1 2×6
∴ BE⋅AD=6，则BE= =3，
2 4
故选：B．
5．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是
（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式
的运算是解题的关键．
由题意得出大、小正方形的边长，再求出AE=2√2，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再
代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案．
【详解】解：∵大正方形面积为32，小正方形的面积为8，
∴大正方形边长BC为4√2，小正方形的边长BD为2√2，
∴AE=4√2−2√2=2√2，
1 1
= BC⋅AE+ BD⋅AE
2 2
1
= AE(BC+BD)
2
1
= ×2√2×(4√2+2√2)
2
=12．
故选：C．
6．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点
E，若AB=2,BC=4，则△ABC的高AD与CE的比是（ ）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1:2 B．1:1 C．2:1 D．1:3
【答案】A
【分析】本题主要考查与高有关的计算，根据等积关系求解即可．
【详解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，AB=2,BC=4，
1 1
∴ AB⋅CE= BC⋅AD，
2 2
AD AB 2 1
∴ = = = ，
CE BC 4 2
故选：A．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C
都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（ ）
5 2√10 √10 4√10
A． B． C． D．
4 5 2 5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出BC的长，再由
三角形面积求出△ABC中边BC上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键．
【详解】解：设△ABC中边BC上的高为h，
由勾股定理得：BC=√12+32=√10，
1 1 1 1
∵S = BC⋅h=2×3− ×2×2− ×1×1− ×3×1=2，
△ABC 2 2 2 2
1
∴ ×√10h=2，
2
2√10
∴h= ，
5
2√10
即△ABC中边BC上的高为 ，
5
故选：B．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分别是边BC上的中线
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
和高，AE＝2，S =√5，则CE＝（ ）
△ABD
3
A．√5－1 B．√3－1 C．1 D．
2
【答案】A
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出BD，
再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得AD=CD，然后根据勾股定理求出DE，进而得出答案．
【详解】∵AE=2，S =√5，
△ABD
1
∴ BD⋅AE=√5，
2
解得BD=√5．
∵AD是Rt△ABC的中线，
∴AD=CD=BD=√5．
在Rt△ADE中，DE=√AD2−AE2=1，
∴CE=CD−DE=√5−1．
故选：A．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若AB=AC=5，BC=6，点E为BC的中点，过点E作EF⊥AC
于点F，则EF的长为（ ）
9 12 5
A．2 B． C． D．
5 5 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理，连接AE．由等腰三角形三线合一性质可知
AE⊥BC，CE=3，再由勾股定理求出AE=√AC2−CE2=4，进而由三角形面积求出高EF．
【详解】如图，连接AE．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵AB=AC，点E为BC的中点，BC=6，
∴AE⊥BC，CE=3，
∵AC=5，
∴在Rt△ACE中，AE=√AC2−CE2=√52−32=4，
1 1
∵S = AE·CE= AC·EF，
△ACE 2 2
AE⋅CE 3×4 12
∴EF= = = ．
AC 5 5
故选C．
10．（2024·重庆·三模）如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，AB⊥CE于点E，CE与BD相交于点H，
已知AD=HD=2，CD=6，则△ABC的面积为 ．
【答案】24
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA证明△ADB≌△HDC，得到BD=CD=6，
1
再根据△ABC的面积= AC·BD解答即可求解，证明△ADB≌△HDC是解题的关键．
2
【详解】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠HDC=∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠A+∠HCD=90°，∠DHC+∠HCD=90°，
∴∠A=∠DHC，
在△ADB与△HDC中，
¿，
∴△ADB≌△HDC(ASA)，
∴BD=CD=6，
∵AC=AD+CD=2+6=8，
1 1
∴△ABC的面积= AC·BD= ×8×6=24，
2 2
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：24．
考向二：全等三角形
【题型4 全等三角形的性质与判定】
1、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；
2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL
3、证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
4、有关三角形全等问题应用的三个方向：
①证边相等就证它们所在的三角形全等；
②证角相等就证它们所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等线段、相等角
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件 ，使
△ACD≌△CBE．
【答案】AD=CE或∠ACD=∠B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使△ACD≌△CBE，已知AC=BC，CD=BE，则可以添加一对边AD=CE，从而利用SSS来判定
其全等，或添加一对夹角∠ACD=∠B，从而利用SAS来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
∵CD=BE，
∴添加AD=CE或∠ACD=∠B，
可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：AD=CE或∠ACD=∠B．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理
是解题的关键．
（1）利用AAS即可证得△ABC≌△BAD；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠DBA的度数，再根据全等三角形的性质即可得出∠CAB的度数．
【详解】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
¿，
∴△ABC≌△BAD(AAS)；
（2）解：∵∠DAB=70°，∠D=90°，
∴∠DBA=90°−70°=20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA=20°，
故答案为：20．
1
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大于 BC长为半径
2
画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=2√3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关
键是：
（1）直接利用SSS证明△ABD≌△ACD即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出∠BDA=∠CDA=60°，利用三线合一性质得出DA⊥BC，
BE=CE，在Rt△BDE中，利用正弦定义求出BE，即可求解．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）证明：由作图知：BD=CD．
在△ABD和△ACD中，
∵¿
∴△ABD≌△ACD．
（2）解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC=120°，
∴∠BDA=∠CDA=60°．
又∵BD=CD，
∴DA⊥BC，BE=CE．
∵BD=2，
√3
∴BE=BD⋅sin∠BDA=2× =√3，
2
∴BC=2BE=2√3．
4．（2024·云南·中考真题）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．
求证：△ABC≌△AED．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“
SAS”证明△ABC≌△AED，即可解决问题．
【详解】证明：∵ ∠BAE=∠CAD，
∴ ∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
¿，
∴ △ABC≌△AED(SAS)．
5．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF．
若________，则AB=CD．
请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成
立，并说明理由．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出
∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，再由全等三角形的判定和性质得出AC=BD，结合图形即可证明；②
得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出△AEC≌△BFD(SAS)，结合图形即可证明；熟练
掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①CE∥DF；
∵AE∥BF，CE∥DF，
∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，
∵AE=BF，
∴△AEC≌△BFD(AAS)，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD；
选择②CE=DF；
无法证明△AEC≌△BFD，
无法得出AB=CD；
选择③∠E=∠F；
∵AE∥BF，
∴∠A=∠FBD，
∵AE=BF， ∠E=∠F，
∴△AEC≌△BFD(ASA)，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD；
故答案为：①或③（答案不唯一）
【题型5 角平分线的性质】
1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题）
2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
1．（2024·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，作ED∥AB，交BC于
点D，若BD=6，AB=10，则DC的长为（ ）
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
24 18
A． B．9 C． D．8
5 5
【答案】B
【分析】先证∠CBE=∠DEB，则DE=BD=6，BC=BD+CD=6+CD，再证明△CDE∽△CBA
得CD:CB=DE:AB，即CD:(6+CD)=6:10，由此即可求出CD的长．此题主要考查了等腰三角形
的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问
题的关键．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵ED∥AB，
∴∠DEB=∠ABE，
∴∠CBE=∠DEB，
∴DE=BD=6，
∴BC=BD+CD=6+CD，
∵ED∥AB，
∴∠CED=∠A，∠CDE=∠CBA
∴△CDE∽△CBA，
∴CD:CB=DE:AB，
即CD:(6+CD)=6:10，
∴CD=9，
故选：B
2.（2024·云南·模拟预测）在△ABC中，∠BAC,∠ACB的平分线相交于I，DE过点I且DE∥AC，若
AD=3cm,CE=5cm，则DE=（ ）cm
A．8 B．6 C．7 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等
边”及“等边对等角”证明EI=CE=5cm，DI=AD=3cm，即可求解．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：∵DE∥AC，
∴∠ACI=∠CIE，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠ECI，
∴∠ECI=∠CIE，
∴EI=CE=5cm，
同理可得：DI=AD=3cm，
∴DE=DI+EI=5+3=8(cm)；
故选：A．
3．（2024·四川泸州·二模）在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D使BD=AB，连接AD，得
∠D=15°，设AC=a，则AB=DB=2a，BC=√3a，CD=(2+√3)a，Rt△ACD中
AC 1 2−√3
tan15°= = = =2−√3．类比这种方法，可以得到tan22.5°的值为（ ）
DC 2+√3 (2+√3)(2−√3)
1
A．√2+1 B．√2−1 C．√2 D．
2
【答案】B
【分析】如图，Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=∠CAB=45°，∠BAD=∠CAD=22.5°，作
DE
DE⊥AB于E，则DE=CD，设CD=m，则DE=m，BD= =√2m，
sin45°
CD
AC=BC=CD+BD=m+√2m，根据tan22.5°= ，求解作答即可．
AC
【详解】解：如图，Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=∠CAB=45°，∠BAD=∠CAD=22.5°，
作DE⊥AB于E，
又∵AD是∠CAB的角平分线，
∴DE=CD，
DE
设CD=m，则DE=m，BD= =√2m，
sin45°
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AC=BC=CD+BD=m+√2m，
CD m
∴tan22.5°= = =√2−1，
AC m+√2m
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切．熟练掌握角平分线的性质，等角对
等边，正弦，正切是解题的关键．
4．（2024·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分
∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．√2 B．√3 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得∠BAC和AC，
结合角平分线的性质得到∠CAD和DC，当DE⊥AB时，线段DE长度的最小，结合角平线的性质可
得DE=DC即可．
【详解】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
AC
在Rt△ABC中，tan∠B= ，解得AC=2√3，
CB
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=30°，
DC
∴tan∠CAD= ，解得DC=2，
CA
当DE⊥AB时，线段DE长度的最小，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=DC=2．
故选∶C．
5．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别
1
交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部
2
相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 ．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】3√5
【分析】本题考查了作图−基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的
判定与性质等知识．根据基本作图可判断BF平分∠ABC，过F作FG⊥AB于G，再利用角平分线
的性质得到GF=CF=3，根据勾股定理求出AG=√AF2−FG2=√52−32=4，证明
Rt△CBF≌Rt△GBF，得出BG=BC，设BG=BC=x，则AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，
根据勾股定理得出82+x2=(4+x) 2，求出x=6，根据勾股定理求出BF=√CF2+BC2=√32+62=3√5．
【详解】解：过F作FG⊥AB于G，
由作图得：BF平分∠ABC，FG⊥AB，∠C=90°，
∴GF=CF=3，
在Rt△AFG中根据勾股定理得：AG=√AF2−FG2=√52−32=4，
∵FG=CF，BF=BF，
∴Rt△CBF≌Rt△GBF(HL)，
∴BG=BC，
设BG=BC=x，则AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
AC2+BC2=AB2，
即：82+x2=(4+x) 2，
解得：x=6，
∴BC=6，
在Rt△BCF中根据勾股定理得：BF=√CF2+BC2=√32+62=3√5．
故答案为：3√5．
6．（2024·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作
BF∥AC，且BF=AE，连接CF．若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为 ．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】60
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作CM⊥AB，
CN⊥BF，根据等边对等角结合平行线的性质，推出∠ABC=∠CBF，进而得到CM=CN，得到
S =S ，进而得到四边形EBFC的面积等于S ，设AM=x，勾股定理求出CM的长，再利
△CBF △ACE △ABC
用面积公式求出△ABC的面积即可．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BF∥AC，
∴∠ACB=∠CBF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，
则：CM=CN，
1 1
∵S = AE⋅CM,S = BF⋅CN，且BF=AE，
△ACE 2 △CBF 2
∴S =S ，
△CBF △ACE
∴四边形EBFC的面积=S +S =S +S =S ，
△CBF △CBE △ACE △CBE △CBA
∵AC=13，
∴AB=13，
设AM=x，则：BM=13−x，
由勾股定理，得：CM2=AC2−AM2=BC2−BM2，
∴132−x2=102−(13−x) 2，
119
解：x= ，
13
∴CM=
√
132−
(119) 2
=
120
，
13 13
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∴S = AB⋅CM=60，
△CBA 2
∴四边形EBFC的面积为60．
故答案为：60．
7．（2025·贵州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，以B为圆心，适当长为半径画弧，分
1
别交AB和BC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE长为半径画弧，两弧在∠ABC内部
2
3
交于点F，作射线BF交AC于点G，若CG= ，则△ABG的面积为 ．
2
15
【答案】
4
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、尺规作图—作角平分线，过点G作GH⊥AB于点H，由
3
题意可知BG平分∠ABC，由角平分线的性质定理可得GH=GC= ，再由三角形面积公式计算即可
2
得解．
【详解】解：过点G作GH⊥AB于点H，
由题意可知BG平分∠ABC，
∵GC⊥BC，
3
∴GH=GC= ，
2
1 15
∴S = AB⋅GH= ．
△ABG 2 4
15
故答案为： ．
4
8．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线
1
段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧
2
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=2，AD=4MD，则
AM= ．
【答案】6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP平分∠ABC，根据角平分
线的性质可知DM=MN=2，结合AD=4MD求出AD，AM．
【详解】解：作图可知BP平分∠ABC，
∵AD是边BC上的高，MN⊥AB，MN=2，
∴MD=MN=2，
∵AD=4MD，
∴AD=8，
∴AM=AD−MD=6，
故答案为：6．
9．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，
点D为OA的中点，连接BD．点P为OC上一点，连接DP，先以点P为圆心，DP长为半径画弧，交
1
BD于点E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线PF交DE
2
于点C．若DG=DO，A(0,2)，则点P的坐标为 ．
(√5+1 )
【答案】 ,0
2
【分析】证明Rt△DOP≌Rt△DGP(HL)得GP=OP，结合点D为OA的中点，A(0,2)得
OA=2,DG=OD=AD=1，由勾股定理得BD=√5，所以BG=BD−DG=√5−1，连接PB，由于
∠BGP=∠BCP=90°，所以BG2+PG2=CP2+BC2，即(√5−1) 2+m2=(2−m) 2+22，解出m的值
即可解答．
【详解】解：由作图可知，PF⊥DB，
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠POD=∠PGD=90°，
又∵DG=DO，DP=DP，
∴Rt△DOP≌Rt△DGP(HL)，
∴GP=OP，
∵点D为OA的中点，A(0,2)，
∴OA=2,DG=OD=AD=1，
∵四边形OABC是正方形，
∴AB=OA=2，
∴BD=√AD2+AB2=√12+22=√5，
∴BG=BD−DG=√5−1，
如图，连接PB，
设PO=m，则PG=m，CP=2−m，
∵∠BGP=∠BCP=90°，
∴BG2+PG2=CP2+BC2，
即(√5−1) 2+m2=(2−m) 2+22，
√5+1
解得：m= ，
2
(√5+1 )
∴点P的坐标为 ,0 ，
2
(√5+1 )
故答案为： ,0 ．
2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练
掌握以上知识点是解答本题的关键．
10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=8，
CD=5，则BD= ．
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】3
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD=AD．
求出AD=8−5=3，由线段垂直平分线的性质推出BD=AD=3．
【详解】解：∵AC=8，CD=5，
∴AD=8−5=3，
∵D在AB的垂直平分线上，
∴BD=AD=3．
故答案为：3．
【题型5 线段垂直平分线性质】
1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；
1．（2025·山东济南·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=36°，分别以点A和B为圆心，
1
以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD，再以点A
2
为圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接AE．若AD=4，则BC的长为（ ）
A．2√5+2 B．2√5+1 C．3+√5 D．4+√5
【答案】C
【分析】证明出△EAD∽△EBA，求出ED，再由三线合一求出DC，即可求解BC．
【详解】解：由题意得，直线MN垂直平分AB，AD=AE=4，
∴DA=DB=4，
∴∠DAB=∠B=36°，
∴∠AED=∠ADE=∠B+∠DAB=72°，
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=36°，
∴∠DAE=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAD∽△EBA，
EA ED
∴ = ，
EB EA
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4 ED
∴ = ，
ED+4 4
解得：ED=2√5−2（舍负），
∵AD=AE=4，AC⊥ED
1
∴DC= DE=√5−1，
2
∴BC=BD+DC=4+√5−1=3+√5，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性
质，三角形的内角和、外角定理等知识点，运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
1
2．（2025·贵州遵义·一模）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，
2
两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E．若D为BC的中点，
AC=8,CD=5，则△ABC的面积为（ ）
A．40 B．36 C．24 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的定义、勾股定理、三角形中位线等知
识点，熟练掌握三角形中位线的定义是解题的关键．
1
如图：连接AD，由题意可得DE垂直平分线段AC可得AE=CE= AE=4，DE⊥AC，即
2
∠DEC=90°；再运用勾股定理可得DE=3；然后说明DE是△ABC的中位线可得AB=2DE=6、
DE∥AB，即∠DEC=∠A=90°；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意可得DE垂直平分线段AC，
1
∴AE=CE= AE=4，DE⊥AC，即∠DEC=90°
2
∵CD=5，
∴DE=√CD2−CE2=3，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，DE∥AB，
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠DEC=∠A=90°，
1 1
∴△ABC的面积为 AB⋅AC= ×6×8=24．
2 2
故选C．
3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，连接CD．
若∠A=70°，∠ABC=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．18° D．22°
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的
性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠DBC，根据线段垂直平分线的性质
得到DB=DC，得到∠DCB=∠DBC=30°，然后计算即可解答．
【详解】解：∵∠A=70°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−70°−60°=50°，
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC=60°，
1
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
2
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=30°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=20°。
故选：B.
考向三：等腰三角形
【题型7 等腰三角形的性质与判定】
1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一”
2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等
证等腰；
3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”；
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，
F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18 B．9√2 C．9 D．6√2
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转
化是解题关键．连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形
AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解．
【详解】解：连接AD，如图：
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，点D是BC中点，AE=CF
∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC
∴△ADE≌△CDF，
1
∴S =S +S =S +S =S = S
四边形AEDF △AED △ADF △CFD △ADF △ADC 2 △ABC
1
又∵S =6×6× =18
△ABC 2
1
∴S = S =9
四边形AEDF 2 △ABC
故选：C
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分
别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（ ）
A．√5 B．√10 C．2 D．2√2
【答案】A
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE，
∠CAE=90°，DE=BC=1，推出△ACE是等腰直角三角形，CE=4，过点A作AH⊥CE于点H，
得到HD=1，利用勾股定理求出AD的长．
【详解】解：由旋转得△ABC≌△ADE，∠CAE=90°，
∴AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=1，
∴△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4，
过点A作AH⊥CE于点H，
1
∴AH= CE=CH=HE=2，
2
∴HD=HE−DE=2−1=1，
∴AD=√AH2+H D2=√22+12=√5，
故选：A．
3．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，
则BD的长是（ ）
A．√10−√2 B．√6−√2 C．2√2−2 D．2√2−√6
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点D作DE⊥CB
的延长线于点E，则∠BED=90°，由∠ACB=90°，AC=BC=2，可得AB=2√2，
∠A=∠ABC=45°，进而得到CD=2√2，∠DBE=45°，即得△BDE为等腰直角三角形，得到
DE=BE，设DE=BE=x，由勾股定理得(2+x) 2+x2=(2√2) 2 ，求出x即可求解，正确作出辅助线是
解题的关键．
【详解】解：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，则∠BED=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=√22+22=2√2，∠A=∠ABC=45°，
∴CD=2√2，∠DBE=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE=BE，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设DE=BE=x，则CE=2+x，
在Rt△CDE中，CE2+DE2=CD2，
∴(2+x) 2+x2=(2√2) 2 ，
解得x =√3−1，x =−√3−1（舍去），
1 2
∴DE=BE=√3−1，
∴BD=√(√3−1) 2+(√3−1) 2=√6−√2，
故选：B．
4．（2024·江西·中考真题）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，
请判断△BDE的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线
于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知AB=3，BC=5，求CF的长．
【答案】（1）△BDE是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②CF=2．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性
质和等腰三角形的判定是解题的关键；
（1）利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，利用平行线的性质得到∠BDE=∠CBD，推出
∠BDE=∠ABD，再等角对等边即可证明△BDE是等腰三角形；
（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；
②由①得DA=DF，利用平行四边形的性质即可求解．
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：（1）△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠BDE=∠ABD，
∴EB=ED，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）①∵▱ABCD中，
∴AE∥BC，AB∥CD，
同（1）∠ABE=∠CBE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴∠BAF=∠EAF，
∵AE∥BC，AB∥CD，
∴∠BGA=∠EAF，∠BAF=∠F，
∵∠BGA=∠CGF，
∴∠BGA=∠BAG，∠DAF=∠F，∠CGF=∠F，
∴AB=AG，DA=DF，CG=CF，
即△ABE、△ABG、△ADF、△CGF是等腰三角形；共有四个，
故选：B．
②∵▱ABCD中，AB=3，BC=5，
∴AB=CD=3，BC=AD=5，
由①得DA=DF，
∴CF=DF−CD=5−3=2．
【题型8 等腰三角形的常见模型】
手拉手全等：
条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点
结论：有SAS类三角形全等；
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
双平等腰：
条件：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED
若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成
立。即：三条件满足“知2得1”
1．（2024·新疆·中考真题）【探究】
（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，
并说明理由．
【运用】
（2）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，点E在AC上，CE=2√3．点D是直线BC上的动点，连
接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出
BD的长．
【答案】（1）① CA=CE+CD，理由见解析；② CE=CA+CD，理由见解析；（2）6−√3或
6+2√3．
【分析】（1）① CA=CE+CD．证明△BAD≌△CAE(SAS)可得BD=CE，即得
BC=BD+CD=CE+CD，进而可得CA=CE+CD；② CE=CA+CD．同理①即可求解；
（2）分点D在BC上，∠EFC=90°和点D在BC的延长线上，∠CEF=90°两种情况，画出图形，
结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，
等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：（1）① CA=CE+CD，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
∵AC=BC，
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴CA=CE+CD；
② CE=CA+CD，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，
∴CE=BD=BC+CD=CA+CD，
即CE=CA+CD；
（2）解：分两种情况：如图，当点D在BC上，∠EFC=90°时，
∵△ABC和△≝¿都是等边三角形，
∴∠EFD=∠ECD=60°，
∴C、D、E、F四点共圆，
∵∠EFC=90°，
∴CE为该圆的直径，
∴∠CDE=90°，
∵CE=2√3，∠ECD=60°，
1
∴CD=CE·cos60°=2√3× =√3，
2
∴BD=BC−CD=6−√3；
如图，当点D在BC的延长线上，∠CEF=90°时，
∵△ABC和△≝¿都是等边三角形，
∴∠ACB=∠EFD=60°，
∴∠ECD=120°，
∴∠ECD+∠EFD=180°，
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴C、D、E、F四点共圆，
∵∠CEF=90°，
∴CF为该圆的直径，
∴∠CDF=90°，
∵∠EDF=60°，
∴∠CDE=90°−60°=30°，
∴∠CED=180°−120°−30°=30°，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE=2√3，
∴BD=BC+CD=6+2√3；
综上，BD的长为6−√3或6+2√3．
2．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三
角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交与点O、AD与BC交于点P、BE与CD交于点Q．
求证：
(1)AD=BE；
(2)△CPQ是等边三角形
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过等边三角形的
性质找出三角形全等的条件．
（1）由等边三角形的性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
由等式性质推出∠ACD=∠BCE，从而证明出△ACD≌△BCE(SAS)，根据全等三角形的对应边相
等得AD=BE；
（2）由全等三角形的对应角相等得∠QBC=∠PAC，根据平角定义可推出∠ACP=∠BCQ=60°，
从而证明△ACP≌△BCQ(ASA)，根据全等三角形的对应边相等得PC=CQ，从而根据有一个角为
60°的等腰三角形是等边三角形可得结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠QBC=∠PAC，
∵∠BCD=180°−∠ACB−∠DCE=180°−60°−60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
∵∠QBC=∠PAC,AC=BC,∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴PC=CQ又∠PCQ=60°，
∴△CPQ是等边三角形．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
(1)求证：DB=DE；
(2)在BC上取一点F，连接EF，添加一个条件，使四边形BDEF为菱形，直接写出这个条件．
【答案】(1)见解析
(2)在BC上取一点F，使得BF=DE,
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线 的定义、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定
方法成为解题的关键．
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠DBE=∠DEB,然后根据等角对等边即可证明结论；
（2）根据菱形的判定定理即可解答．
【详解】（1）解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠CBE,
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
（2）解：如图：在BC上取一点F，使得BF=DE,连接EF，则四边形BDEF为菱形，理由如下：
∵DE∥BC，BF=DE,
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴四边形BDEF为平行四边形，
∵DB=DE，
∴四边形BDEF为菱形．
4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，已知
DE∥BC且DB=DE．
(1)求证：BE是△ABC的角平分线；
(2)若∠A=65°，∠C=45°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)80°
【分析】（1）根据等腰三角形性质及平行线性质，等量代换得到∠DBE=∠CBE，再由角平分线定
义求证即可得到答案；
（2）由三角形内角和定理得到∠ABC=70°，由（1）得到∠ABE=35°，在△ABE中，再根据三角
形内角和定理求解即可得到∠AEB=80°．
【详解】（1）证明：∵ DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵ DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB，
∴∠DBE=∠CBE，即BE是△ABC的角平分线；
（2）解：在△ABC中，∠A=65°，∠C=45°，则∠ABC=180°−65°−45°=70°，
由（1）知∠DBE=∠CBE，则∠ABE=35°，
∴在△ABE中，∠AEB=180°−65°−35°=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形性质、平行线性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌
握相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键．
考向四：直角三角形
【题型9 直角三角形的性质与判定】
1、直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半
2、直角三角形的判定：
①有一个角是90°的三角形时直角三角形
②有两个角互余的三角形是直角三角形
③勾股定理的逆定理
1．（2025·贵州黔南·一模）将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1=40°，则
∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】本题考查了三角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握角的和差计算是
解题的关键．
根据题意，∠1=∠BED=40°，△BDE中，∠BDE=90°−40°=50°，根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图所示，∠B=90°，
根据题意，∠1=∠BED=40°，
在△BDE中，∠BDE=90°−40°=50°，
∴∠2=∠BDE=50°，
故选：C ．
2．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知
AB=4√3,∠B=30°，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．√3 D．2√3
【答案】A
【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含30°的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键．
根据折叠得到∠EAD=∠B，AE=BE，再结合含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：由折叠的性质可知：∠EAD=∠CAD，AC=AE，∠AED=∠C，
∵∠C=90°，∠B=30°，
1
∴AC= AB，
2
∵∠BAC=180°−30°−90°=60°，
1
∴∠EAD=∠CAD= ∠BAC=30°，
2
1
∴DE= AD，
2
∵AC=AE，
1
∴AE= AB，
2
∵AB=4√3，
1
∴AE= AB=2√3，
2
设DE=x，则AD=2x，
根据勾股定理，得AE2+DE2=AD2，
∴(2√3) 2+x2=(2x) 2，
解得：x=2．
∴DE=2．
故选：A ．
3．（2025·河南开封·一模）用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图，∠ACB=90°，D为
边AB的中点，点A、B对应的刻度分别为1，6．则CD的长为（ ）
A．3.5cm B．3cm C．2.5cm D．2cm
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可
求解．
【详解】解：由题意得：AB=6−1=5cm，
∵ ∠ACB=90°，D为边AB的中点，
1
∴ CD= AB=2.5cm，
2
故选：C．
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，将线段BA绕点B逆时
针旋转90°得到线段BD，过D作DE⊥BC于E，若AB=4，则CE长为（ ）
A．√3 B．2√3−2 C．√3−1 D．2
【答案】B
【分析】利用旋转的性质，得到∠ABD=90°,AB=BD，证明△ACB≌△BED，得到BE=AC，利
用CE=BC−BE以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴∠ABD=90°,AB=BD，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=∠DBC=90°−∠ABC=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=∠C=90°，
∴△ACB≌△BED(AAS)，
∴BE=AC，
∵∠C=90°,∠ABC=30°,AB=4，
1
∴BE=AC= AB=2，
2
∴BC=√AB2−AC2=2√3，
∴CE=BC−BE=2√3−2，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
【题型10 勾股定理】
勾股定理及其逆定理
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三
角形
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；
8,15,17及其倍数
☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三
角形勾股定理方向去想。
1．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC
上一点E，若AB=3，AE=2，则DE的长为（ ）
A．2√3 B．4√2 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．根据角平分线可知，∠BAE=∠DAE，∠CDE=∠ADE，结合四边形ABCD是
平行四边形，AD∥BC，∠BAD+∠CDA=180°，从而得到∠BAE=∠BEA，∠DEC=∠CDE，
∠EAD+∠EDA=90°，最后在Rt△AED中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3
∴AB∥CD，AB=CD=3，AD=BC，AD∥BC
∴∠BAD+∠CDA=180°，∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠CED
∵ ∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E
1 1
∴ ∠BAE=∠DAE= ∠BAD，∠CDE=∠ADE= ∠CDA
2 2
1 1
∴∠EAD+∠EDA= ∠BAD+ ∠CDA=90°，∠BAE=∠AEB，∠DEC=∠CDE
2 2
∴AB=BE=3，CD=EC=3
∴BC=BE+CE=3+3=6=AD
∵AE=2
∴DE=√AD2−AE2=√62−22=√32=4√2
故选：B．
2．（2025·安徽阜阳·一模）如图，折叠矩形纸片ABCD，使得顶点A，C重合，点D落在D′处，然后还原，
得到折痕EF．已知：AB=9，BC=3，则折痕EF的长为（ ）
10 15
A．√10 B．2√3 C． D．
3 4
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是
解题的关键．
分别连接AC、AE、CF、AC与EF相交于O，由折叠知△ADE≌△CD′E，∠AED=∠CED′，
所以A、E、D′共线，可以证明四边形AFCE为菱形，则AE=AF=CF，作EH⊥AF，证明四边
形ADEH是矩形，所以EH=AD=3，设AF=x，则CF=x，BF=9−x，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，分别连接AC、AE、CF、AC与EF相交于O，
由折叠知△ADE≌△CD′E，
∴∠AED=∠CED′，
∴A、E、D′共线，
由折叠知CF∥D′E，
∴CF∥AE，
∵AF∥CE，AF=CF，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AE=AF=CF，
作EH⊥AF，则∠AHE=∠BHE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，∠ADC=∠DAB=∠B=90°，
∴∠ADC=∠DAB=∠AHE=90°，
∴四边形ADEH是矩形，
∴EH=AD=3，
设AF=x，则CF=x，BF=9−x，
在直角△BCF中，(9−x) 2+32=x2，
解得：x=5，即CF=5，
∴AF=CF=AE=5，
同理AH=4，
∴HF=AF−AH=5−4=1，
∴EF=√H F2+EH2=√12+32=√10，
故选：A．
3．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AD的长为（ ）
A．2 B．2√2 C．2√3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到
∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=90°，根据CD=2得到AC=2CD=4，最后根据勾股定理求解即
可得到答案
【详解】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵A´D=A´D，∠ABD=60°，
∴∠ACD=∠ABD=60°，
∴∠DAC=90°−60°=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=√42−22=2√3，
故选：C．
4．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点
A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1−√3 C．0 D．3−2√3
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作CF⊥AE于点F，利用菱形的性
质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】解：作CF⊥AE于点F，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠ABC=120°，
∴∠FBC=60°，
∵BC=2，
1
∴BF= BC=1，CF=√BC2−BF2=√3，
2
∴AF=AB+BF=3，
∴AE=AC=√AF2+CF2=√32+(√3) 2=2√3，
∵点E表示的数是3，
∴点A表示的数是3−2√3，
故选：D．
5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是边AC的中
点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE=
．
3
【答案】
2
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出BD的长，折叠得到CD=DF，
CE=EF,∠EFD=90°，设CE=x，在Rt△BFE中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是边AC的中点，
1
∴CD= AC=3，
2
∴BD=√BC2+CD2=5，
∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
∴CD=DF=3，CE=EF,∠EFD=90°，
∴BF=BD−DF=2,∠BFE=90°，
设CE=x，则：EF=x,BE=BC−CE=4−x，
在Rt△BFE中，由勾股定理，得：(4−x) 2=x2+22，
3
解得：x= ；
2
3
∴CE= ；
2
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
故答案为： ．
2
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将点C折叠到AB边的点
E处，折痕为∠AD，则CD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
由勾股定理求出AB=10，再根据折叠性质得AE=AC=6，CD=ED，∠AED=∠C=90°，设
CD=ED=x，则BD=BC−CD=8−x，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
由折叠性质可知：AE=AC=6，CD=ED，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB−AE=10−6=4，∠BED=90°，
设CD=ED=x，则BD=BC−CD=8−x，
∴ED2+BE2=BD2，即x2+42=(8−x) 2，
∴x=3，即CD=ED=3，
故答案为：3．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若
AB=4，BC=6，则CF= ．
7
【答案】 /0.875
8
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程．由矩
1
形的性质推出CD=AB=4，∠C=90°，由线段中点定义得到CM= BC=3，由折叠的性质得到：
2
7
MF=DF，设FC=x，由勾股定理得到(4−x) 2=32+x2，求出x= ，得到FC的值．
8
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，∠C=90°，
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵M是BC中点，
1 1
∴CM= BC= ×6=3，
2 2
由折叠的性质得到：MF=DF，
设FC=x，
∴FD=4−x，
∴MF=4−x，
∵M F2=MC2+FC2，
∴(4−x) 2=32+x2，
7
∴x= ，
8
7
∴FC= ．
8
7
故答案为： ．
8
考向五：三角形的综合题
【题型11 全等三角形与特殊三角形的综合应用】
1．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分线于点E．
【发现结论】
结论1：∠AEB=___________∠ACB；
结论2：当图1中∠ACB=90°时，如图2所示，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于
点G，交AC的延长线于点H．则AE与EG的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：AH=GF；
（2）在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求证：FN=NH+√2AE．
1
【答案】【发现结论】结论1： ；结论2：相等（或AE=EG）；【应用结论】（1）见解析；（2）
2
见解析
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等
角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出
1 1
∠AEB=∠MAE−∠ABE= ∠MAC− ∠ABC， ∠ACB=∠MAC−∠ABC，即可得出
2 2
1
∠AEB= ∠ACB；
2
1
结论2：根据已知∠ACB=90°，和结论1 ∠AEB= ∠ACB，得出∠AEB=45°，根据角平分线
2
的定义得出∠ABE=∠GBE，进一步推出∠AEB=∠GEB，利用ASA证明△ABE≌△GBE，即可得
出AE=EG；
[应用结论]（1）根据过点E作AF的垂线交BF于点G，得出∠AEH=∠GEF=90°，推出
∠AHE=∠GFE，结合结论2： AE=EG，利用AAS证明△AEH≌△GEF，即可证明AH=GF；
（2）连接FH，AG，延长AG交FH于点N，根据垂线的定义得出∠AEG=∠FEH=90°，由结论
2得：AE=EG，由（1）过程得：△AEH≌△GEF，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性
质，推出∠EAG=∠EGA=45°，AG=√2AE，EH=EF，根据对顶角相等得出
∠NGH=∠EGA=45°，推出∠EFH=∠EHF=45°，进一步得出∠AFN=∠FAN=45°，
∠NGH=∠NHG=45°，根据等角对等边得出FN=AN=NG+AG，NH=NG，即可证明
FN=NH+√2AE．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分线于点E，
1 1
∴∠MAE=∠CAE= ∠MAC，∠ABE=∠CBE= ∠ABC，
2 2
1 1
∴∠AEB=∠MAE−∠ABE= ∠MAC− ∠ABC，
2 2
又∵∠ACB=∠MAC−∠ABC，
1
∴∠AEB= ∠ACB，
2
1
故答案为： ；
2
结论2：
1
∵∠ACB=90°，由结论1得∠AEB= ∠ACB，
2
1
∴∠AEB= ×90°=45°，
2
∵BD是∠ABC的平分线，过点E作AF的垂线交BF于点G，
∴∠ABE=∠GBE，∠AEG=90°，
∴∠GEB=∠AEG−∠AEB=90°−45°=45°，
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠AEB=∠GEB，
在△ABE和△GBE中，
¿，
∴△ABE≌△GBE(ASA)，
∴AE=EG，
故答案为：相等（或AE=EG）；
[应用结论]（1）证明：∵过点E作AF的垂线交BF于点G，
∴∠AEH=∠GEF=90°，
∴∠AHE+∠EAH=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠GFE+EAH=90°，
∴∠AHE=∠GFE，
又∵由结论2得：AE=EG，
∴在△AEH和△GEF中，
¿
∴△AEH≌△GEF(AAS)，
∴AH=GF；
（2）证明：如图，连接FH，AG，延长AG交FH于点N，
∵过点E作AF的垂线交BF于点G，
∴∠AEG=∠FEH=90°，
∵由结论2得：AE=EG，由（1）过程得：△AEH≌△GEF，
180°−90°
∴∠EAG=∠EGA= =45°，AG=√AE2+EG2=√2AE，EH=EF，
2
180°−90°
∴∠NGH=∠EGA=45°，∠EFH=∠EHF= =45°，
2
∴∠AFN=∠FAN=45°，∠NGH=∠NHG=45°，
∴FN=AN=NG+AG，NH=NG，
∴FN=NH+√2AE．
2．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关
系是______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、
位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
【答案】(1)BE=3AD；AD⊥BE
(2)一致；理由见解析
3√10
(3)BE=
5
【分析】（1）延长DA交BE于点H，根据旋转得出CD=AC=1，CE=BC=3，
∠ACD=∠ACB=90°，根据勾股定理得出AD=√12+12=√2，BE=√32+32=3√2，根据等腰三角
1 1
形的性质得出∠ADC=∠DAC= ×90°=45°，∠CBE=∠CEB= ×90°=45°，根据三角形内
2 2
角和定理求出∠BHD=180°−45°−45°=90°，即可得出结论；
AD AC 1
（2）延长DA交BE于点H，证明△ACD∽△BCE，得出 = = ，∠ADC=∠BEC，根据三
BE BC 3
角形内角和定理得出∠EHN=∠DCN=90°，即可证明结论；
1
（3）过点C作CN⊥AB于点N，根据等腰三角形的性质得出AN=ND= AD，根据勾股定理得出
2
AN AC √10
AB=√12+32=√10，证明△ACN∽△ABC，得出 = ，求出AN= ，根据解析（2）得出
AC AB 10
3√10
BE=3AD= ．
5
【详解】（1）解：延长DA交BE于点H，如图所示：
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，
∴CD=AC=1，CE=BC=3，∠ACD=∠ACB=90°，
∴根据勾股定理得：AD=√12+12=√2，BE=√32+32=3√2，
∴BE=3AD，
∵CD=AC，CE=BC，∠ACD=∠ACB=90°，
1 1
∴∠ADC=∠DAC= ×90°=45°，∠CBE=∠CEB= ×90°=45°，
2 2
∴∠BHD=180°−∠ADC−∠CBE=180°−45°−45°=90°，
∴AD⊥BE．
（2）解：线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长DA交BE于点H，如图所示：
∵将△CAB绕点C旋转得到△CDE，
∴CD=AC=1，CE=BC=3，∠ACD=∠BCE，∠DCE=∠ACB=90°，
AC CD 1
∴ = = ，
BC CE 3
∴△ACD∽△BCE，
AD AC 1
∴ = = ，∠ADC=∠BEC，
BE BC 3
∴BE=3AD；
又∵∠ENH=∠CND，∠HEN+∠ENH+∠EHN=180°，∠CND+∠CDN+∠DCN=180°，
∴∠EHN=∠DCN=90°，
∴AD⊥BE；
（3）解：过点C作CN⊥AB于点N，如图所示：
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据旋转可知：AC=CD，
1
∴AN=ND= AD，
2
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，
∴根据勾股定理得：AB=√12+32=√10，
∵∠ANC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ACN∽△ABC，
AN AC
∴ = ，
AC AB
AN 1
即 = ，
1 √10
√10
解得：AN= ，
10
√10
∴AD=2AN= ，
5
3√10
根据解析（2）可知：BE=3AD= ．
5
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解
题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
3．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若
∠BAD=∠C，则AB2=BD⋅BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E
在AB上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，
∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．
√13−1 24√5
【答案】（1）见解析；（2）BE= ；（3）FG=
3 11
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AB BD
【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得出 = ，即可证明结论；
BC AB
（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，解直角三角形得出
√3 1
CF=AC×sin60°=2× =√3，AF=AC×cos60°=2× =1，证明△BDG∽△BCF，得出
2 2
DG BG BD 1 1 √3
= = = ，求出DG= CF= ，根据勾股定理得出
CF BF BC 2 2 2
BG=√BD2−DG2=
√
22−
(√3) 2
=
√13
，得出AB=AF+BF=1+√13，证明△BED∽△BAD，得
2 2
BE BD √13−1
出 = ，求出BE= ；
BD AB 3
DE BE
（3）连接BD，证明△BED∽△GEB，得出 = ，求出DE=2，证明△ABE为直角三角形，得
BE EG
出∠AEB=90°，根据勾股定理求出BG=√BE2+EG2=√42+82=4√5，证明△DFG∽△CFB，得
FG 6
出 = ，求出结果即可．
4√5−FG 5
【详解】解：（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
AB BD
∴ = ，
BC AB
∴AB2=BD⋅BC；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
则∠AFC=∠AGD=90°，
∴DF∥DG，
∵∠BAC=60°，
√3 1
∴CF=AC×sin60°=2× =√3，AF=AC×cos60°=2× =1，
2 2
∵D为BC的中点，
1
∴BD=CD= BC=2，
2
∵DF∥DG，
∴△BDG∽△BCF，
DG BG BD 1
∴ = = = ，
CF BF BC 2
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 √3
∴DG= CF= ，
2 2
∴BG=√BD2−DG2=
√
22−
(√3) 2
=
√13
，
2 2
∴BF=2BG=√13，
∴AB=AF+BF=1+√13，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠AED=∠CAD，
∴∠AED=∠CDA，
∴∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠BED=∠ADB，
∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BAD，
BE BD
∴ = ，
BD AB
BE 2
即 = ，
2 1+√13
√13−1
解得：BE= ；
3
（3）连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD=AB=BC=5，AD∥BC，
2
∵∠ABC=2∠EBF，
∴∠ABD=∠CBD=∠EBF，
∴∠EBF−∠DBF=∠CBD−∠DBF，
即∠DBE=∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠G，
∴∠DBE=∠G，
∵∠DEB=∠BEG，
∴△BED∽△GEB，
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DE BE
∴ = ，
BE EG
∵DG=6，
∴EG=DE+6，
DE 4
∴ = ，
4 DE+6
解得：DE=2，负值舍去，
∴EG=2+6=8，
∴AE=AD−DE=3，
∵AE2+BE2=32+42=52=AB2，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，
∴∠BEG=180°−90°=90°，
∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：
BG=√BE2+EG2=√42+82=4√5，
∴BF=BG−FG=4√5−FG，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CFB，
FG DG
∴ = ，
BF BC
FG 6
即 = ，
4√5−FG 5
24√5
解得：FG= ．
11
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和
性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α(0°<α<45°)．将线段CA绕
点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
图1 图2 图3
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，求证：△ABC≌△CED；
(2)如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交
于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接
EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD=20，求△CEF的面积．
【答案】(1)见详解
(2)PC=PD
(3)30
【分析】（1）利用“AAS”即可证明；
（2）可知∠A=90°−α，证明△ACF≌△DCF，则∠CDF=∠A=90°−α，可得
∠BCD=90°−α，则∠BCD=∠CDF，故PC=PD；
（3）①翻折得FP=FE，根据等角的余角相等得到∠FED=∠FDE，故FE=FD，则FP=FD，即
点F是PD中点；
②过点F作FM∥CP交CD于点M，连接EM，设CE=m，DE=CB=n，则BE=CB−CE=n−m，
由翻折得PB=BE=n−m，故PE=2n−2m，因此PC=2n−m=PD，在Rt△PDE中，由勾股定理
得：(2n−m) 2=(2n−2m) 2+n2，解得：n=3m或n=m（舍，此时α=45°） ，在Rt△CDE中，由
1 3
勾股定理得：m2+(3m) 2=202，解得：m2=40，则S = CE⋅DE= m2=60，由FM∥BC，得
△CDE 2 2
DF DM 1
到 = =1，S =S ，因此S = S =30，故S =30．
PF CM △CEM △CEF △CEM 2 △CED △CEF
【详解】（1）证明：如图，
由题意得，CA=CD,∠ACD=90°，
∴∠1+∠2=90°
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠2=∠D，
∵∠ABC=90°，
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠B=∠DEC，
∴△ABC≌△CED(AAS)；
（2）猜想：PC=PD
证明：∵∠ABC=90°，∠ACB=α
∴∠A=90°−α，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∵CA=CD,CF=CF，
∴△ACF≌△DCF，
∴∠CDF=∠A=90°−α，
∵∠ACD=90°，∠ACB=α，
∴∠BCD=90°−α，
∴∠BCD=∠CDF，
∴PC=PD；
（3）解：①由题意得FP=FE，
∴∠P=∠FEP，
∵∠DEC=90°，
∴∠PED=90°，
∴∠P+∠FDE=90°，∠FEP+∠FED=90°，
∴∠FED=∠FDE，
∴FE=FD，
∴FP=FD，即点F是PD中点；
②过点F作FM∥CP交CD于点M，连接EM，
∵△ABC≌△CED，
∴DE=CB，
设CE=m，DE=CB=n，
∴BE=CB−CE=n−m，
57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由翻折得PB=BE=n−m，
∴PE=2n−2m，
∴PC=PE+CE=2n−m=PD，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：(2n−m) 2=(2n−2m) 2+n2，
整理得，3m2−4mn+n2=0，
解得：n=3m或n=m（舍，此时α=45°） ，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：m2+(3m) 2=202，
解得：m2=40，
1 1 3
∴S = CE⋅DE= m×3m= m2=60，
△CDE 2 2 2
∵FM∥BC，
DF DM
∴ = =1，S =S ，
PF CM △CEM △CEF
∴点M为CD中点，
1
∴S = S =30，
△CEM 2 △CED
∴S =30．
△CEF
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，
平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键．
1
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN= ∠BAC，
2
∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间
的数量关系．
（1）如图①，当∠BAC=90°时，探究如下：
由∠BAC=90°，AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN=BP且
∠PBM=90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP=MN，在Rt△PBM中，
BM2+BP2=M P2，则有BM2+NC2=M N2．
（2）当∠BAC=60°时，如图②：当∠BAC=120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之
58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
【答案】图②的结论是：BM2+NC2+BM⋅NC=M N2；图③的结论是：
BM2+NC2−BM⋅NC=M N2；证明见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边
的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°，在BK上截取
BQ=CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，构造全等三角形，得出AN=AQ，
∠CAN=∠QAB，再证明△AQM≌△ANM，得到MN=QM；在Rt△QHM中由勾股定理得
QH2+H M2=QM2，即 (√3 BQ ) 2 + ( BM+ 1 BQ ) 2 =QM2，整理可得结论；选③方法同②
2 2
【详解】解：图②的结论是：BM2+NC2+BM⋅NC=M N2
证明：∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°，在BK上截取BQ=CN，连接QA、QM，过点Q作
QH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC ∠C=∠ABQ CN=BQ
， ，
∴△ACN≌△ABQ
∴AN=AQ，∠CAN=∠QAB
又∵∠CAN+∠BAM=30°
∴∠BAM+∠QAB=30°
即∠QAM=∠MAN
又∵AM=AM，
∴△AQM≌△ANM，
∴MN=QM；
∵∠ABQ=60°,∠ABC=60°,
∴∠QBH=60°，
∴∠BQH=30°,
1 √3
∴BH= BQ，QH= BQ
2 2
1
∴HM=BM+BH=BM+ BQ，
2
59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在Rt△QHM中,可得：QH2+H M2=QM2
即 (√3 BQ ) 2 + ( BM+ 1 BQ ) 2 =QM2
2 2
整理得BM2+BQ2+BM⋅BQ=QM2
∴BM2+NC2+BM⋅NC=M N2
图③的结论是：BM2+NC2−BM⋅NC=M N2
证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=30°，在BK上截取BQ=CN，连接QA、QM，过点Q
作QH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC ∠C=∠ABQ CN=BQ
， ，
∴△ACN≌△ABQ
∴AN=AQ，∠CAN=∠QAB
又∵∠CAN+∠BAM=60°
∴∠BAM+∠QAB=60°
即∠QAM=∠MAN
又∵AM=AM，
∴△AQM≌△ANM，
∴MN=QM
在Rt△BQH中，∠QBH=60°，∠BQH=30°
1 √3
∴BH= BQ，QH= BQ
2 2
1
HM=BM−BH=BM− BQ，
2
在Rt△QHM中,可得：QH2+H M2=QM2
即 (√3 BQ ) 2 + ( BM− 1 BQ ) 2 =QM2
2 2
整理得BM2+BQ2−BM⋅BQ=QM2
∴BM2+NC2−BM⋅NC=M N2
60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2025·安徽·一模）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，点D，E在边BC上，且∠DAE=45°，
DC＝1，则DE的长是（ ）
5 4 3
A． B． C． D．√2
3 3 2
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造
出全等三角形是解题的关键．
由题意得出∠B=∠C=45°，BC=4，由旋转的性质，再证△ADE≌△ADF，得出，DE=DF，设
DE=x，则DF=x，CF=BE=BC−CD−DE=4−1−x=3−x，由勾股定理得出方程，解方程即
可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4√2，∠B=∠C=45°，
∴ BC=√2AB=4，
∵∠DAE=45°
∴∠DAE=∠B，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，
则∠B=∠ACF，∠BAE=∠CAF，AE=AF，BE=CF，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAF=∠CAF+∠CAD=∠BAE+∠CAD
=∠BAC−∠DAE=90°−45°=45°
∴∠DAE=∠DAF，
在△ADE和△ADF中
61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
¿，
∴△ADE≌△ADF(SAS)
∴DE=EF
设DE=x，则DF=x，
CF=BE=BC−CD−DE=4−1−x=3−x
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CD2+CF2=DF2，
即12+(3−x) 2=x2，
5
得x= ，
3
5
即DE= ．
3
故选：A．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋
转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（ ）
A．65° B．70° C．80° D．85°
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得∠B′ AC′=∠BAC，
由三角形内角和定理可得出∠B′ AC′=∠BAC=35°，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出∠B′ AC′=∠BAC，
∠BAC+∠B+∠C=180°，
∠BAC=180°−80°−65°=35°，
∵
∴∠B′ AC′=∠BAC=35°，
∴∠BAC′=∠BAC+∠B′ AC′=70°，
∴
故选：B．
3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水
深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BC=x，则BD=BA=(x+1)，由勾股定理列出方程进行
求解即可．
【详解】解：设BC=x，则BD=BA=(x+1)，
由题意，得：(x+1) 2=52+x2，
解得：x=12，即BC=12，
故选：C．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点
N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最
小值为（ ）
A．15 B．5+5√5 C．10+5√2 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N′的轨迹是解题的关键．由旋转的
性质结合AAS证明△AMN≌△GM N′，推出MG=AM=5，得到点N′在平行于AB，且与AB的距离
为5的直线上运动，作点M关于直线EF的对称点M′，连接M′B交直线EF于点N′，此时△MBN′周
长取得最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：过点N′作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF垂足为G，
∵矩形ABCD，
63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴∠A=∠MGN′=90°，
由旋转的性质得∠NM N′=90°，MN=M N′，
∴∠AMN=90°−∠NMG=∠GM N′，
∴△AMN≌△GM N′ (AAS)，
∴MG=AM=5，
∴点N′在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M′，连接M′B交直线EF于点N′，此时△MBN′周长取得最小值，最小
值为BM+BM′，
1
∵BM= AB=5，M M′=5+5=10，
2
∴BM+BM′=5+√52+102=5+5√5，
故选：B．
5．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图
案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（
△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若
EF：AH=1：3，则sin∠ABE=（ ）
√5 3 4 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【分析】设EF=x，则AH=3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE=4x，再根据勾股定理可
得AB=5x，即可求出sin∠ABE的值．
【详解】解：根据题意，设EF=x，则AH=3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH=BE=3x，EF=HE=x，
∴AE=4x，
∵∠AEB=90°，
∴AB=√AE2+BE2=5x，
64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AE 4x 4
∴sin∠ABE= = = ，
AB 5x 5
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于
1
AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；
2
以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大
1
于 HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
2
1
①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S = S ．
△BEF 6 △ABC
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象
信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
由作图可知MN垂直平分线段AC、AE平分∠BAC，进而证明∠C=∠EAC=∠BAE=30°可判定
①；再说明AB=AF可得AP垂直平分线段BF可判定②；根据直角三角形的性质可得
AC=2AB，AE=2BE可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④．
【详解】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
由作图可知AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°，故①正确，
∴AC=2AB，
∵AF=FC，
∴AB=AF，
65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AP垂直平分线段BF，故②正确，
∵AE=2BE，EA=EC，
∴EC=2BE，故③正确，
1
∴S ❑ = S ，
△ BEF 3 △BCF
∵AF=FC，
1
∴S ❑ = S ，
△ BFC 2 △ABC
1
∴S = S ，故④正确．
△BEF 6 △ABC
故选：D．
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当
1
长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
2
两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知
1
AD平分∠BAD，则可求∠CAD=∠DAB=30°，利用含30°的直角三角形的性质得出CD= AD，
2
1
利用等角对等边得出AD=BD，进而得出CD= BD，然后利用面积公式即可求解．
2
【详解】解： ∵∠C=90°,∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
由作图知：AD平分∠BAD，
∴∠CAD=∠DAB=30°，
1
∴CD= AD，∠B=∠BAD，
2
∴AD=BD，
1
∴CD= BD，
2
66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
CD⋅AC
S 2 CD 1
∴ △ACD= = = ，
S 1 BD 2
△ABD BD⋅AC
2
又△ACD的面积为8，
∴△ABD的面积是2×8=16，
故选B．
8．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→C→B以1
cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y(cm2)随时间x（s）变化的函数图象，
则该三角形的斜边AB的长为（ ）
A．5 B．7 C．3√2 D．2√3
【答案】A
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
1
由图象可知，△ABP面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到 AC⋅BC=6，由图象可知
2
AC+BC=7， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知，△ABP面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，△ABP的面积最大，
1
∴ AC⋅BC=6，即AC⋅BC=12，
2
由图象可知，当x=7时，y=0，此时点P运动到点B，
∴AC+BC=7，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2=(AC+BC) 2−2AC⋅BC=72−2×12=25，
∴AB=5．
故选：A
二、填空题
9．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，将△ABC绕
点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连结BB′，则△A′BB′的周长为
．
67关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】3+√3/√3+3
【分析】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、
等边三角形的判定与性质等知识．由∠ACB=90°，∠A=60°，得∠ABC=30°，则AB=2AC=2，
BC=√AB2−AC2=√3，由旋转得AC=A′C，BC=B′C，A′B′=AB=2，则△A A′C是等边三角
形，所以∠BCB′=∠AC A′=60°，A A′=AC=1，则△BB′C是等边三角形，A′B=1，所以
BB′=BC=√3，即可求得△A′BB′的周长为3+√3，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∴BC=√AB2−AC2=√22−12=√3，
由旋转得AC=A′C，BC=B′C，A′B′=AB=2，
∴△A A′C是等边三角形，
∴∠BCB′=∠AC A′=60°，A A′=AC=1，
∴△BB′C是等边三角形，A′B=AB−A A′=2−1=1，
∴BB′=BC=√3，
∴A′B+A′B′+BB′=1+2+√3=3+√3，
∴△A′BB′的周长为3+√3，
故答案为：3+√3．
10．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．如果
∠BAF=55°，那么∠DAE= ，∠AEF= ，∠EFC= ．
【答案】 17.5° 72.5° 55°/55度
【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以
上知识点．
先根据矩形的性质得到∠BAD=90°，进而根据角的运算得到∠DAF=35°，再根据折叠的性质得到
68关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
△ADE≌△AFE，根据三角形全等的性质得到∠DAE=∠EAF= ∠DAF=17.5°，从而结合题意
2
进行角的运算即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAF=55°，
∴∠DAF=∠BAD−∠BAF=35°，
由折叠得△ADE≌△AFE，
1
∴∠DAE=∠EAF= ∠DAF=17.5°；
2
又∵∠D=∠B=90°，
∴∠AED=90°−∠DAE=72.5°=∠AEF，∠BFA=90°−∠BAF=35°，
∴∠EFC=180°−∠AFB−90°=55°．
故答案为：17.5°，72.5°，55°．
11．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点
F，若AD=4，则EF= ．
【答案】2
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三
角形的性质，得到△AFE为含30度角的直角三角形，AE=AD=4，根据含30度角的直角三角形的
性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB，AD=4，
∴∠FAD=90°,∠EAD=60°,∠AFE=90°,AD=AE=4，
∴∠FAE=30°，
1
∴EF= AE=2；
2
故答案为：2．
三、解答题
12．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一
道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
69关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进
10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很
直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的
地方OA″，两次位置的高度差PQ=h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含
α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)秋千绳索的长度为14.5尺
h
(2)能，OA=
cosβ−cosα
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点A′作A′B⊥OA，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，OA=OA′=x，
AB=4，A′B=10，得出OB=x−4．在Rt△OA′B中，由勾股定理解得x=14.5，即可求解；
（2）由题可知，∠OPA′=∠OQA″=90°，OA′=OA″=OA．在Rt△OA′P中，得出
OP=OA⋅cosα，同理，OQ=OA⋅cosβ．再根据OQ−OP=h，列等式即可求出OA．
【详解】（1）解：如图，过点A′作A′B⊥OA，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
70关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由题可知，OA=OA′=x，AB=4，A′B=10，
∴OB=OA−AB=x−4．
在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2=OA′2
∴102+(x−4) 2=x2．
解得x=14.5．
答：秋千绳索的长度为14.5尺．
（2）能．
由题可知，∠OPA′=∠OQA″=90°，OA′=OA″=OA．
在Rt△OA′P中，OP=OA′ ⋅cosα=OA⋅cosα，
同理，OQ=OA″ ⋅cosβ=OA⋅cosβ．
∵OQ−OP=h，
∴OA⋅cosβ−OA⋅cosα=h．
h
∴OA= ．
cosβ−cosα
13.如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，
且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；
71关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，
且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：
证明△ABC≌△AED，即可求得∠BAC=∠EAD；
应用（1）：以点A为圆心，以AB长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，以点A为圆心，
以AC长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点D，连接AD，AE；
应用（2）：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点D，以点C为
圆心，以BC长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，连接DE．
【详解】感悟：
∵AB=AE，
∴∠B=∠E．
在△ABC和△AED中
¿
∴△ABC≌△AED．
∴∠BAC=∠EAD．
应用：
（1）：以点A为圆心，以AB长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，以点A为圆心，以
AC长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点D，连接AD，AE，图形如图所示．
（2）：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点D，以点C为圆心，
以BC长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，连接DE，图形如图所示．
根据作图可得：CD=AC，CE=BC，
又∠ACB=∠DCE，
72关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△ACB≌△DCE，
∴∠CDE=∠BAC，DE=AB.
15．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线
段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用
等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，
AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）DE+CD=AE，理由见详解，（2）AD=√2BE+DF，理由见详解，（3）
AD=√2BE−DF，理由见详解
【分析】（1）直接证明△ABE≌△BCD，即可证明；
（2）过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，先证明Rt△AEM≌Rt△FEN，可得
√2
AM=NF，结合等腰直角三角形的性质可得：MD=DN= DE， NF=ND−DF=MD−DF，
2
√2 √2
即有NF=AM=AD−MD=AD− DE，NF= DE−DF，进而可得
2 2
√2 √2
AD− DE= DE−DF，即可证；
2 2
（3）过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，先证明
△HAE≌△GEF，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
【详解】（1）DE+CD=AE，理由如下：
73关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，
∴∠ABE=∠C，
∵AB=BC，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE=CD，AE=BD，
∴DE=BD−BE=AE−CD，
∴DE+CD=AE；
（2）AD=√2BE+DF，理由如下：
过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，BD平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴√2AD=√2CD=BD，
即DE=BD−BE=√2AD−BE，
∵EN⊥CD，EM⊥AD，
∴EM=EN，
∵AE=EF，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
∴AM=NF，
∵EM=EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC=90°，
∴四边形EMDN是正方形，
∴ED是正方形EMDN对角线，MD=ND，
√2
∴MD=DN= DE， NF=ND−DF=MD−DF，
2
√2 √2
∴NF=AM=AD−MD=AD− DE，NF= DE−DF，
2 2
√2 √2
∴AD− DE= DE−DF，即AD=√2DE−DF，
2 2
∵DE=√2AD−BE，
∴AD=√2(√2AD−BE)−DF，
74关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即有AD=√2BE+DF；
（3）AD=√2BE−DF，理由如下，
过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如图，
∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°，
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°，
∴∠HAE=∠FEG，
又∵AE=EF，
∴△HAE≌△GEF，
∴HE=FG，
∵在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
∴∠FDG=∠BDC=45°，
∴∠DFG=45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
√2
∴FG= DF，
2
√2
∴HE=FG= DF，
2
∵∠ADB=45°，AH⊥HD，
∴△ADH是等腰直角三角形，
√2
∴HD= AD，
2
√2 √2
∴DE=HD−HE= AD− DF，
2 2
√2 √2
∴BD−BE=DE= AD− DF，
2 2
∵BD=√2AD，
√2 √2
∴√2AD−BE= AD− DF，
2 2
∴AD=√2BE−DF．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分
线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边
75关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
之间的数量关系，是解答本题的关键．
76
