文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 10 讲 三角形与四边形中的计算（压轴题）
（限时120分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·山东德州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于
点E，D为AC上一动点．连接DO，DE．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．当DE⊥AC时，则∠COE=2∠B B．OE⊥DE时，则四边形OCDE为正方形
C．当DO平分∠CDE时，则DC=DE D．当D为AC中点时，△ADE是等腰三角形
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，角平分线的性
质，直角三角形的斜边上的中线的性质，利用上述性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论，利用正方
形的性质对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
【详解】解：∵∠COE为圆心角，∠B为同弧所对的圆周角，
∴∠COE=2∠B，
∴A的结论正确；
∵OE⊥DE，
∴∠OCD=∠OED=90°，
只有当DE⊥AC时，四边形OCDE为正方形，
∴B的结论不一定成立；
过点O作OE'⊥DE，垂足为E'，如图，
∵OD平分∠CDE，OC⊥AC，OE'⊥DE，
∴OE'=OC．
∵OE=OC，
∴OE=OE'，
即点E与点E'重合，
∴OE⊥DE，
在Rt△DOC和Rt△DOE中，
¿，
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴Rt△DOC≅Rt△DOE(HL)，
∴DC=DE．
∴C选项的结论正确；
∵BC为圆的直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEC=90°，
∵D为AC中点，
∴DE为Rt△AEC斜边上的中线，
1
∴DE=AD= AC，
2
∴△ADE是等腰三角形，
∴D选项的结论正确．
故选：B．
2．（2025·浙江宁波·一模）在菱形ABCD中， 点E，F分别是AB， AD的中点， 连接CE， CF．若
3
sin∠ECF= ，CE=10， 则BC的长为（ ）
5
A．4√5 B．4√3 C．3√6 D．6
【答案】A
【分析】延长BA，CF交于点M，证明△CBE≌△CDF(SAS)，△AMF≌△DCF(AAS)，可得
3
CE=CF=FM=10，过E点作EN⊥CF于N点，结合sin∠ECF= 可得EN=6，CN=8，MN=12，
5
再进一步可得答案.
【详解】解：延长BA，CF交于点M，
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，
∴AB=BC=CD=AD，BE=AE=AF=DF，AB∥CD，∠D=∠B，∠M=∠FCD
在△BCF和△DCF中
¿，
∴ △CBE≌△CDF(SAS)，
∴ CE=CF=10，
在△AMF和△CDF中
¿，
∴ △AMF≌△DCF(AAS)，
∴ AM=CD，MF=CF=10，
过E点作EN⊥CF于N点，
∴∠CNE=90°
3
∵ sin∠ECF= ，CE=10，
5
∴EN=6，CN=8，
∴ NF=CF−CN=2，
∴MN=10+2=12，
在Rt△ENM中
EM=√EN2+M N2=√122+62=6√5，
1
即EM=AE+AM= AB+AB=6√5，
2
∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=BC=4√5，
故选：A．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，
正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
3．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为AB和BC的中点，CE=5，
15
DF= ，AB=4√2，则BC的长为（ ）
2
A．√33 B．√34 C．√35 D．√37
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股逆定理以及勾股定理，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．先过点F作HF∥AB，交CE于一点H，结合平行四边形的性质以及中点，
1 1 5
得BE= AB=2√2,CF= BC，再证明△CHF∽△CEB，得出FH=√2，CH= ，然后证明
2 2 2
1 1 1 3
△FHO∽△DCO，得出HO= HC= ,FO= FD= ，运用勾股逆定理得△HOF是直角三角形，最后
5 2 5 2
运用勾股定理列式进行计算，即可作答．
【详解】解：过点F作HF∥AB，交CE于一点H，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC，
E，F分别为AB和BC的中点，
∵ 1 1
∴BE= AB=2√2,CF= BC
2 2
∵HF∥AB，
∴∠CHF=∠HEB,∠CFH=∠B，
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△CHF∽△CEB
CF CH FH 1
∴ = = = ，
CB CE BE 2
∵BE=2√2，CE=5
5
∴FH=√2，CH=
2
∵HF∥AB，
∴HF∥CD，
∴∠CHF=∠HCD,∠OFH=∠CDO，
∴△FHO∽△DCO，
OD OC CD 2BE
∴ = = = =4，
OF HO HF HF
1 1 1 3
∴HO= HC= ,FO= FD= ，
5 2 5 2
在△HOF中，FO2=2.25,HO2=0.25,FH2=2，
则FO2=HO2+FH2，
故△HOF是直角三角形，
∴∠CHF=90°，
∵HF∥AB，
∴∠BEC=90°，
∴BC=√BE2+EC2=√8+25=√33，
故选：A．
4．（2025·江西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2√5，点D是边AC的中点，
沿BD翻折三角形ABD得到三角形EBD，使点A落在同一平面的点E处，若BE⊥AC，则AB的长度为
（ ）
A．5 B．5√2 C．5√3 D．√3
【答案】B
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相
似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．记AC、BE的交点为F，设AB=AC=2a，DF=b，
则DC=AD=a，CF=a−b，AF=a+b，由翻折的性质可知，BE=AB=2a，DE=AD=a，∠E=∠A，
证明△EFD∽△AFB，得EF=2a−2b，由勾股定理得，得，5b2+2ab=3a2①； 5b2−8ab=−3a2②；
3 6 2
①−②得，10ab=6a2，可求b= a，则BF= a，CF= a，由勾股定理得，BF2+CF2=BC2，即
5 5 5
(6 a ) 2 + (2 a ) 2 =(2√5) 2 ，可求满足要求的解，a= 5√2 ，进而可求AB的值．
5 5 2
【详解】解：如图，记AC、BE的交点为F，设AB=AC=2a，DF=b，则DC=AD=a，CF=a−b，
AF=a+b，
由翻折的性质可知，BE=AB=2a，DE=AD=a，∠E=∠A，
∵BE⊥AC，
∴∠EFD=90°=∠AFB，，
∵∠EFD=90°=∠AFB，∠E=∠A，
∴△EFD∽△AFB，
DF DE b 1
∴ = ，即 = ，
BF AB BF 2
解得，BF=2b，
∴EF=2a−2b，
由勾股定理得，BF2+AF2=AB2，即(2b) 2+(a+b) 2=(2a) 2，整理得，5b2+2ab=3a2①；
DF2+EF2=DE2，即b2+(2a−2b) 2=a2，整理得，5b2−8ab=−3a2②；
①−②得，10ab=6a2，
3
∴b= a，
5
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6 2
∴BF= a，CF= a，
5 5
由勾股定理得，BF2+CF2=BC2，即 (6 a ) 2 + (2 a ) 2 =(2√5) 2 ，
5 5
5√2 5√2
解得，a= 或a=− （舍去），
2 2
∴AB=2a=5√2，
故选：B．
5．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，BE:CE=1:2，
CF
连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°后，点A对应点为点F，连接CF、DF，则 的值是（ ）
DF
√5 √15 √5 √10
A． B． C． D．
5 5 3 5
【答案】D
【分析】过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，作FH⊥CD于点H，根据旋转的性质和正方形的
性质得到∠B=∠G，∠BAE=∠FEG，再证明△ABE≌△EGF，得到AB=EG，BE=FG，设BE=a，
则CE=2a，AB=BC=CD=3a，得到EG=3a，FG=a，CG=a，再根据勾股定理求出CF=√2a，证
明四边形FHCG为矩形，得到CH=FG=a，FH=CG=a，DH=2a，根据勾股定理求出DF=√5a，即
可求解．
【详解】解：如图，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，作FH⊥CD于点H，则
∠G=∠FHC=90°，
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°后，点A对应点为点F，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC=CD，
∴∠AEB+∠BAE=90°，∠B=∠G，
∴∠BAE=∠FEG，
在△ABE和△EGF中，
¿，
∴△ABE≌△EGF(AAS)，
∴AB=EG，BE=FG，
设BE=a，
∵BE:CE=1:2，
∴CE=2a，AB=BC=CD=3a，
∴EG=3a，FG=a，
∴CG=EG−CE=3a−2a=a，
在Rt△FGC中，
CF=√FG2+CG2=√a2+a2=√2a，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCG=90°，
又∵∠G=∠FHC=90°，
∴四边形FHCG为矩形，
∴CH=FG=a，FH=CG=a，
∴DH=CD−CH=3a−a=2a，
在Rt△FHD中，
DF=√FH2+DH2=√a2+(2a) 2=√5a，
CF √2a √10
∴ = = ，
DF √5a 5
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性
质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
6．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB的中点，E是边
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为y，
s= y−6，则s与x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4 3
【分析】先求出AB=10，则AD=BD=5，sinA= ，sinB= ，过点E作EM⊥AB于M，过点F作
5 5
4x
FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，则EM= ，S =2x，设BF=a，则
5 △ADE
3a S
CF=8−a，FN= ， 3a ，证△AED和△BHD全等得AE=BH=x，再利用勾股定理得
5 △≝¿= 2 ¿
FH2=a2+x2，FE2=(6−x) 2+(8−a) 2，再证FH=FE，进而求得a，S ，根据y=S −¿列出函数
△≝¿¿ △ABC
关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10，
∵ D为AB的中点，
∴ AD=BD=5，
BC 8 4 AC 6 3
又sinA= = = ，sinB= = = ，
AB 10 5 AB 10 5
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
过点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，如图：
EM
在Rt△AEM中，AE=x，sinA= ，
AE
4x
∴EM=AE⋅sinA= ，
5
1 1 4x
∴S = AD⋅EM= ×5× =2x，
△ADE 2 2 5
设BF=a，则CF=BC−BF=8−a，
FN
在Rt△BFN中，sinB= ，
BF
3a
∴FN=BF⋅sinB= ，
5
1 1 3a 3a
∴S = BD⋅FN= ×5× = ，
△DBF 2 2 5 2
在△AED和△BHD中，
¿，
∴△AED≌△BHD(SAS)，
∴AE=BH=x，
在Rt△BFH中，BF=a，BH=x，
由勾股定理得：FH2=BF2+BH2=a2+x2，
在Rt△CEF中，CE=AC−AE=6−x，CF=8−a，
由勾股定理得：FE2=CE2+CF2=(6−x) 2+(8−a) 2，
∵ED=DH，DF⊥DE，
∴DF为线段EH的垂直平分线，
∴FH=FE，
∴a2+x2=(6−x) 2+(8−a) 2，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
25−3x
∴a= ，
4
3a 75−9x
∴S = = ，
△DBF 2 8
75−9x 75+7x 25−3x 3x+7
∴S +S =2x+ = ，CF=8−a=8− = ，
△ADE △DBF 8 8 4 4
1 1 3x+7 1
∴S = CE⋅CF= (6−x)× = (−3x2+11x+42)，
△CEF 2 2 4 8
1 1
而S = AC×BC= ×6×8=24，
△ABC 2 2
∴y=S −¿，
△ABC
75+7x 1
即y=24− − (−3x2+11x+42)，
8 8
3 9 75
整理得：y= x2− x+ ，
8 4 8
∵s= y−6，
3 9 75 3 9 27 3
∴s= x2− x+ −6= x2− x+ = (x−3) 2 ，
8 4 8 8 4 8 8
27 27
当x=0时，s= ，当x=6时，s= ，顶点坐标为(3,0)，
8 8
( 27) ( 27)
∴该函数图象是抛物线，与y轴交于点 0, ，顶点为(3,0)，且过点 6, ，
8 8
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二
次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键．
7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC边上一点，F是CD边上
一点，∠EAF=60°，连接EF交AC于点G，若AB=4，则下列结论错误的是（ ）
A．EF的最小值为2√3 B．CG的最大值为1
C．△CEF面积的最大值是√3 D．EG⋅GF的最小值是3
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】D
【分析】先证明△AEF是等边三角形；得出EF=AE，说明当AE最小时，EF最小，根据垂线段最短，得
出当AE⊥BC时，AE最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据
CG=AC−AG，AC=4为定值，得出当AG最小时，CG最大，根据AG⊥EF时，AG最小，此时CG最
大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据S +S =S =4√3，
△CEF △AEF 四边形AECF
得出S =4√3−S ，说明当△AEF最小时，△CEF面积最大，根据△AEF为等边三角形，得出当边
△CEF △AEF
1
长EF最小时，△AEF面积最小，求出△AEF的最小值为 ×2√3×3=3√3，最后求出结果即可判断C选
2
项；设EG=x，EF=t，根据EG⋅GF=EG(EF−EG)=− ( x− 1 t ) 2 + 1 t2 ，根据二次函数性质，说明
2 4
EG⋅GF有最大值，求出最大值为3，即可判断D选项．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠BCD=180°−60°=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠B=∠BAC=60°，
∴∠ACF=∠BCD−∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴在△BAE和△CAF中，
∵¿，
∴△BAE≌△CAF(ASA)，
∴AE=AF，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形；
∴EF=AE，
∴当AE最小时，EF最小，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵垂线段最短，
∴当AE⊥BC时，AE最小，
∵△ABC为等边三角形，
1
∴此时BE=CE= BC=2，
2
根据勾股定理得：AE=√AB2−BE2=2√3，
∴EF的最小值为2√3，故A正确，不符合题意；
∵CG=AC−AG，AC=4为定值，
∴当AG最小时，CG最大，
当AG⊥EF时，AG最小，此时CG最大，
∵△AEF是等边三角形，
1 1
∴当AG⊥EF时，∠EAG=∠FAG= ×60°=30°，EG=FG= EF，
2 2
∴∠BAE=60°−∠EAG=30°，
∴此时AE平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴此时AE⊥BC，
∴此时AE=2√3，
∴EF=AE=2√3，
1
∴此时EG= EF=√3，
2
根据勾股定理得：AG=√AE2−EG2=3，
∴此时CG=4−3=1，
即CG的最大值为1，故B正确，不符合题意；
∵△BAE≌△CAF，
∴S =S ，
△CAF △BAE
∴S =S +S =S +S =S ，
四边形AECF △CAF △ACE △BAE △ACE △ABC
1
∴S =S = ×4×2√3=4√3，
四边形AECF △ABC 2
∴S +S =S =4√3，
△CEF △AEF 四边形AECF
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴S =4√3−S ，
△CEF △AEF
∴当△AEF最小时，△CEF面积最大，
∵△AEF为等边三角形，
∴当边长EF最小时，△AEF面积最小，
∵EF的最小值为2√3，此时EF上的高为3，
1
∴△AEF的最小值为 ×2√3×3=3√3，
2
∴△CEF面积的最大值为4√3−3√3=√3，故C正确，不符合题意；
∵EG+GF=EF，
∴GF=EF−EG，
∴EG⋅GF=EG(EF−EG)，
设EG=x，EF=t，
∴EG⋅GF=EG(EF−EG)
=x(t−x)
=−x2+xt
=− ( x− 1 t ) 2 + 1 t2 ，
2 4
1 1
∴当x= t时，EG⋅GF取最大值 t2 ，
2 4
1 1
∴此时FG=t− t= t，
2 2
∴此时EG=GF，
∵△AEF为等边三角形，
1
∴此时AG⊥EF，∠EAG=∠FAG= EAF=30°，
2
∴此时∠BAE=60°−∠EAG=30°，
∴AE平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴此时AE⊥BC，
∴此时EF=AE=2√3，
1
∴EG=GF= EF=√3，
2
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴EG⋅GF=√3×√3=3，
即EG⋅GF的最大值为3，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和
性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
8．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,4)，点M是抛物线
b
y=ax2+bx+2(a≠0)对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上能
a
使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上存在3个不
b
同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值是（ ）
a
A．−8 B．8√2或−8 C．2 D．2或−8
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用、圆的切线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．正确分情况讨
论，找出抛物线的对称轴的位置是解题关键．如图（见解析），分三种情况：①当∠AOM=90°时，则
点M在与OA垂直的直线l 上运动（不含点O），②当∠OAM=90°时，则点M在与OA垂直的直线l 上运
1 2
动（不含点A），③当∠OMA=90°时，则点M在以OA为直径的圆上运动，圆心为OA的中点P，判断出
这个抛物线的对称轴（图中的l 和l ）与⊙P相切，由此计算即可得．
3 4
【详解】解：由题意可知，有以下三种情况：
①如图，当∠AOM=90°时，OA⊥OM，△AOM为直角三角形，
则点M在与OA垂直的直线l 上运动（不含点O），且M点是l 与抛物线对称轴的交点；
1 1
②当∠OAM=90°时，OA⊥AM，△AOM为直角三角形，
则点M在与OA垂直的直线l 上运动（不含点A），且M点是l 与抛物线对称轴的交点；
2 2
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
③当∠OMA=90°时，OM⊥AM，△AOM为直角三角形，
则点M在以OA为直径的圆上运动，圆心为OA的中点P；
∵O(0,0),A(3,4)，
∴P (3 ,2 ) ，⊙P的半径为 1 OA= 1 ×√32+42= 5 ，
2 2 2 2
b
抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴为直线x=− ，
2a
∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，
∴这个抛物线的对称轴（图中的l 和l ）与⊙P相切时，只有一个点M，使△AOM为直角三角形；
3 4
|3 ( b )| 5
∴ − − = ，
2 2a 2
b b
解得 =1或 =−4，
2a 2a
b b
∴ =2或 =−8，
a a
故选：D．
9．（2025·广东广州·一模）如图，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，D是AB边上一点，且CB=CD，
过点B作BF⊥CD交CD于点E，交AC于点F，过点F作FH⊥AB于点H，分别以点B,D为圆心，大于
1
BD长为半径画弧，两弧交于点Q，连接CQ并延长交BD于点M，交BF于点N．记△BDE的面积为S ，
2 1
四边形DEFH的面积为S ，△BCE的面积为S ，请判断下列结论中正确个数为（ ）
2 3
DM−MN HM
①CM∥FH；②△BCF是等腰三角形；③ = ；④S +S =S ．
MN BN 1 2 3
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由作图知，CM是线段BD的垂直平分线，从而判断结论①；利用等角的余角相等求得∠FBA=∠MCB，
再利用三角形的外角性质，证明∠BFC=∠BCF，利用等角对等边判断结论②；证明△DCM∽△NBM，
利用相似三角形的性质，结合等量代换，从而判断结论③；证明△BCM≌△DCM≌△FBH，利用全等
三角形的性质判断结论④．
【详解】解：由作图知，CM是线段BD的垂直平分线，
∴CM⊥AB，CD=CB，∠MCD=∠MCB，
∵FH⊥AB，
∴CM∥FH，结论①正确；
∵∠A=45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴∠ACM=∠A=45°，
∵BF⊥CD，CM⊥AB，
∴∠CEN=∠BMN=90°，
∵∠CNE=∠BNM，
∴∠NCE=∠NBM，
∵∠MCD=∠MCB，
∴∠FBA=∠MCB，
∵∠BFC=∠A+∠FBA=45°+∠FBA，∠BCF=∠ACM+∠MCB=45°+∠FBA，
∴∠BFC=∠BCF，
∴BC=BF，
∴△BCF是等腰三角形，结论②正确；
∵∠DCM=∠NBM，∠DMC=∠NMB=90°，
∴△DCM∽△NBM，
DM CD
∴ = ，
MN BN
∵BC=CD=BF，
DM FN+BN DM FN
∴ = ，即 = +1，
MN BN MN BN
DM FN
∴ −1= ，
MN BN
DM−MN FN
∴ = ，显然FN≠HM，
MN BN
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DM−MN HM
∴ ≠ ，结论③错误；
MN BN
∵BC=CD=BF，∠BCM=∠DCM=∠FBH，∠BMC=∠DMC=∠FHB=90°，
∴△BCM≌△DCM≌△FBH，
∴S =S =S ，
△BCM △DCM △FBH
由题意得S =S =S =S +S ，S =S =2S −S =2(S +S )−S =S +2S ，
△BCM △DCM △FBH 1 2 3 △BCE △BCM △BDE 1 2 1 1 2
∴S +S ≠S ，结论④错误；
1 2 3
故选：C．
(3 √3)
10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示A (1,√3)，A , ，A (2,√3)，A (3,0)作折线
1 2 2 2 3 4
A A A A 关于点A 的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以
1 2 3 4 4
此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动
时间为t．当t=2025时，点P的坐标为（ ）
( √3) ( √3) ( √3)
A． 1012.5,− B． 2022, C．(2016.0) D． 1010,
2 2 2
【答案】A
【分析】由题意得，OA =A A =A A =A A =2，A A =A A =A A =A A =1，进而可得点P从
1 3 4 4 5 7 8 1 2 2 3 5 6 6 7
O运动到A 的路程=OA +A A +A A +A A +A A +A A +A A +A A =12，把点P从O运动到
8 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
A 作为一个循环，由于2025÷12=168⋯⋯9，因而把点A 向右平移168×6个单位，可得t=2025时点
8 6
(3 √3) (9 √3)
P的坐标，由A 与A , 关于点A (3,0)中心对称可得A ,− ，再利用坐标与图形变化——
6 2 2 2 4 6 2 2
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
平移即可求出当t=2025时点P的坐标．
【详解】解：由题意得：
OA =A A =A A =A A =2，
1 3 4 4 5 7 8
A A =A A =A A =A A =1，
1 2 2 3 5 6 6 7
∴点P从O运动到A 的路程
8
=OA +A A +A A +A A +A A +A A +A A +A A
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
=2+1+1+2+2+1+1+2
=12，
把点P从O运动到A 作为一个循环，
8
∵2025÷12=168⋯⋯9，
∴把点A 向右平移168×6个单位，可得t=2025时点P的坐标，
6
(3 √3)
∵A 与A , 关于点A (3,0)中心对称，
6 2 2 2 4
(9 √3)
∴A ,− ，
6 2 2
9
∵168×6=1008， +1008=4.5+1008=1012.5，
2
( √3)
∴当t=2025时，点P的坐标为 1012.5,− ，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点坐标规律探索，坐标与图形变化——平移，已知两点坐标求两点距离，中点坐
标公式等知识点，由点P的运动规律得出“把点A 向右平移168×6个单位，可得t=2025时点P的坐标”
6
是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025·河南郑州·一模）如图，等边三角形ABC的顶点A在x轴上， BC∥x轴，AC=6．直线
y=−x+8与AC交于点P，且AP=2PC，则点B的坐标为 ．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(3−2√3,3√3)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点A作BC的垂线段，交于点D，过
点P作BC的垂线段交于点M，延长MP交OA于点N，可求得点C的纵坐标，利用相似三角形的性质得到
点P的纵坐标，代入解析式可得点P的坐标，即可得到点B的坐标，作出辅助线熟练运用相似三角形的性质
是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作BC的垂线段，交于点D，过点P作BC的垂线段交于点M，延长MP交OA于
点N，
∵三角形ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=DC=AC×sin60°=3√3，
∵BC∥x轴，PM⊥BC，
∴∠ADM=∠DMN=∠MNA=90°，
∴四边形DANM为矩形，
∴DA=MN=3√3，∠C=∠PAN，
∵∠CPM=∠APN，
∴△CPM∽△APN，
PN AP
∴ = =2，
PM PC
2
∴PN= MN=2√3，
3
把y=2√3代入y=−x+8，
可得2√3=−x+8，
解得x=8−2√3，
∴P(8−2√3,2√3),
PN
∵DM=AN= =2，
tan60°
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴D(6−2√3,3√3)，
1
∵BD=DC= AC=3，
2
∴B(3−2√3,3√3)，
故答案为：(3−2√3,3√3)．
12．（2025·陕西西安·一模）如图，点D在等腰直角三角形ABC内，DB=3，DC=4，∠BDC=135°，
E、F分别在AB和AC上满足AF=√2AE，则√2DE+DF的最小值为 ．
【答案】√34
【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键
在于构造相似三角形进行转化．
过点C作CH⊥CD，使CH=√2BD，连接DH,FH，证明△BED∽△CFH，推出HF=√2DE，则
√2DE+DF=HF+DF≥DH，可知当点D，F，H在同一条直线时，√2DE+DF取最小值，最小值为
DH，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥CD，使CH=√2BD，连接DH,FH，
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵CH⊥CD，
∴∠HCA+∠ACD=90°，
∵∠BDC=135°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC+∠ACB=135°，由勾股定理得AC=√2AB，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB−(∠DBC+∠DCB)=135°−45°=90°，
∴∠HCA=∠ABD，
∵AF=√2AE，AC=√2AB，
∴CF=√2BE，
CF CH
∴ = =√2，而∠HCA=∠ABD
BE BD
∴△BED∽△CFH，
HF CH
∴ = =√2，
DE BD
∴HF=√2DE，
∴√2DE+DF=HF+DF≥DH，
∴当点D，F，H在同一条直线时，√2DE+DF取得最小值，最小值为DH，
在Rt△DCH中，CH=√2BD=3√2，DC=4，
∴DH=√CH2+DC2=√34，
∴√2DE+DF的最小值是√34，
故答案为：√34．
13．（2025·江西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，O是斜边AB的中
点，现将点B绕着点O按顺时针方向旋转α(0°<α≤360°)角度得到点D，连接BD，CD．若△BCD是轴
对称图形，则△BCD边BC上的高为 ．
【答案】√3或√3+2或2−√3
【分析】连接OC，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=4，根据直角三角形的斜边中线定
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
理可得OB=OC= AB=2，推出△BOC是等边三角形，得到∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，由旋转
2
可得：OB=OD，△BCD是轴对称图形，分三种情况讨论：当BC=BD=2时，当BC=CD时，当
BD=CD时，结合对称、三角函数求解即可．
【详解】解：连接OC，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，
∴ AB=2BC=4，
∵ O是斜边AB的中点，
1
∴ OB=OC= AB=2，
2
∴ OB=OC=BC=2，
∴ △BOC是等边三角形，
∴ ∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，
由题意可得：OB=OD，
△BCD是轴对称图形，分以下三种情况：
当BC=BD=2时，BD=OB=OD=2，如图，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∴ △BOD是等边三角形，
∴ ∠OBD=60°，
∴ ∠EBD=180°−∠OBC−∠OBD=60°，
√3
∴ ED=sin60°·BD= ×2=√3，即△BCD边BC上的高为√3；
2
当BC=CD时，如图，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∵ OD=OB=OC=BC=2，
∴ △COD是等边三角形，
∴ ∠OCD=60°，
∴ ∠FCD=180°−∠OCB−∠OCD=60°，
√3
∴ DF=sin60°·CD= ×2=√3，即△BCD边BC上的高为√3；
2
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当BD=CD时，当D在BC右侧时，
过点O作OH⊥BC于点H，
√3
∴ OH=sin60°·OB= ×2=√3，
2
∵ △BOC是等边三角形，
∴ OH垂直平分BC，
∵ BD=CD，
∴点D在OH的延长线上，
∴ DH=OH+OD=√3+2，即△BCD边BC上的高为√3+2；
当D在BC左侧时，同理可得 OE=√3，
∴DE=OD+OE=2−√3，即△BCD边BC上的高为2−√3；
综上所述，△BCD边BC上的高为√3或√3+2或2−√3，
故答案为：√3或√3+2或2−√3．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，三角函数，旋转的性质，
等边三角形的判定与性质，对称的性质，掌握相关知识是解题的关键．
14．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°．点E、F、G、H分别是边
1
AB、BC、CD、DA的中点，在直线FG上方有一动点P，且满足S = S ．则△ADP周
△PFG 8 四边形EFGH
长的最小值为 ．
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】2√21+8/8+2√21
1
【分析】证明出四边形EFGH为矩形，在FG上方作直线l∥FG，且l到FG的距离为 EF，说明点P在l
4
上，作点A关于l的对称点A'，连接A'D，交l于点P'，则△ADP'为所求，利用勾股定理求出A'D，即可
求出最小周长．
【详解】解：如图，连接AC、BD交于O，
∵ E F G H AB BC CD DA
点 、 、 、 分别是边 、 、 、 中点，
∴EH、FG为△ABD、△CBD的中位线，
1
∴EH∥BD∥FG，EH= BD=FG，
2
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH为矩形，
1
在FG上方作直线l∥FG，且l到FG的距离为 EF，
4
1
∵S = S ，
△PFG 8 四边形EFGH
∴点P在l上，
作点A关于l的对称点A'，连接A'D，交l于点P'，
由对称性质得，P' A=P'A'，
∴P' A+P'D=P' A'+P'D，
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由两点之间线段最短得，此时P' A'+P'D最短，最短值为A'D的长，则△P' AD周长最小，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=8，
∴OA=OC=4，
∴OD=OB=√AB2−AO2=√82−42=4√3，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，且AB=BC=8，
∴BE=BF=4，又∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴EF=4，
∴l到FG的距离为1，
∴点A到l的距离为5，
∴点A'到l的距离为5，
∴OA'=A A'−AO=10−4=6
∴A'D=√OD2+OA'2√(4√3) 2+62=2√21，
∵AD=8，
∴△ADP周长的最小值为2√21+8，
故答案为：2√21+8．
【点睛】本题考查了轴对称−线段最短问题，涉及菱形性质、中点四边形性质、三角形中位线性质的应用、
勾股定理、等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到
点P的运动路线是本题的解题关键．
15．（2025·广东广州·模拟预测）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB,BC上，沿垂直于
EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF=α，则∠C'NM= （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平面
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
内的点D'处，然后还原．若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE=4，EB=8，MN与GH
的交点为P，则PH的长为 ．
【答案】 90°−α/−α+90° 3√5
【分析】①连接CC'，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，
再结合平行线的性质即可求解；
②记HG与NC'交于点K， 可证：△AEH≌△BFE≌△DHG≌△CGF，则AE=CG=DH=4，
DG=BE=8，由勾股定理可求HG=4√5，由折叠的性质得到：∠NC'B'=∠NCB=90°，∠8=∠9，
∠D=∠GD'H=90°，NC=NC'，GD=GD'=8，则NG=NK，KC'=GC=4，由NC'∥GD'，得
3
△HC'K∽△H D'G，继而可证明HK=KG，由等腰三角形的性质得到PK=PG，故PH= HG=3√5．
4
【详解】解：①连接CC'，由题意得∠C'NM=∠4，MN⊥CC'，
∵MN⊥EF，
∴CC'∥FE，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∴∠3+∠4=∠3+∠2=90°，∠1+∠BEF=90°，
∴∠2=∠4，∠1=90°−α，
∴∠4=90°−α
∴∠C'NM=90°−α，
故答案为：90°−α；
②记HG与NC'交于点K，如图：
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，HE=FE，∠HEF=90°，
∴∠5+∠6=∠7+∠6=90°，
∴∠5=∠7，
∴△AEH≌△BFE，
同理可证：△AEH≌△BFE≌△DHG≌△CGF，
∴AE=CG=DH=4，DG=BE=8，
在Rt△HDG中，由勾股定理得HG=√DH2+DG2=4√5，
由题意得：∠NC'B'=∠NCB=90°，∠8=∠9，∠D=∠GD'H=90°，NC=NC'，GD=GD'=8，
∴NC'∥GD'，
∴∠NKG=∠9，
∴∠8=∠NKG，
∴NG=NK，
∴NC−NG=NC'−NK，
即KC'=GC=4，
∵NC'∥GD'，
∴△HC'K∽△H D'G，
HK C'K 1
∴ = = ，
HG D'G 2
1
∴HK= HG，
2
∴HK=KG，
由题意得MN⊥HG，而NG=NK，
∴PK=PG，
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
∴PH= HG=3√5，
4
故答案为：3√5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
16．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M、N分别是边AD、AB上的
点，连接MN，将菱形ABCD沿MN翻折，使点A的对称点E落在对角线BD上，给出下面四个结论：
①△MED∽△ENB；
②若∠DME=15°，则∠ENB=105°；
③若菱形边长为4，M是AD的中点，连接MC，则MC=2√3；
④若DE:BE=2:5，则AM:AN=3:4．
上述结论中，正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据一线三等角基本模型可得可知△MED∽△ENB，可知①正确；根据相似三角形的性质可得
∠BEN=∠DME=15°，再利用三角形内角和定理可知②正确；作MH⊥CD交CD的延长线于点H，利
用含30度角的直角三角形的性质得DH=1,MH=√3，再根据勾股定理可得MC的长，则③正确；设
DE=2a，BE=5a，则AB=AD=BD=7a，设BN=x，则AN=EN=7a−x，利用相似三角形的性质可
2a(7a−x) 10a2
得EM=AM= ，DM= ，再根据AM+DM=7a可得答案．
x x
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
由折叠性质可知，∠A=∠MEN=60°，
∴∠MED+∠BEN=120°
∵∠MED+∠DME=120°，
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠DME=∠BEN，
∵∠ADB=∠ABD，
∴△MED∽△ENB，故①正确；
∵∠DME=15°，
∴∠BEN=∠DME=15°
∴∠ENB=180°−60°−15°=105°，故②正确；
如图，作MH⊥CD交CD的延长线于点H
在Rt△DMH中，∠H=90°，由①得：∠ADB=∠BDC=60°，
∴∠MDH=60°,∠DMH=30°，
∵M是AD的中点，
∴DM=2，
∴DH=1,MH=DM⋅sin60°=√3
∴CM=√M H2+CH2=2√7，故③错误；
∵DE:BE=2:5，
设DE=2a,BE=5a，则AB=AD=BD=7a，设BN=x，则AN=EN=7a−x，
∵△MED∽△ENB，
ME ED DM
∴ = =
EN BN EB
ME 2a DM
∴ = =
7a−x x 5a
2a(7a−x) 10a2
∴EM=AM= , DM=
x x
∵AM+DM=7a，
2a(7a−x) 10a2
∴ + =7a，
x x
8
解得：x= a，经检验符合题意；
3
13 13
∴AM= a,AN= a，
4 3
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AM:AN=3:4，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，
含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键．
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·河北·模拟预测）如图，点B,F,A,D在同一直线上，BF=AD，BC∥EF，BC=EF，线段
AC与线段EF交于点G（点G不与点F,E重合），连接DG，∠ABC=45°，AB=8，DE>AB．
(1)求证：AC∥DE；
(2)若点G是EF的中点，则点G是否是AC的中点，并说明理由；
(3)设DG=x，若对于x的一个数值，能找到两个不同位置的点G，求x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)当点G是EF的中点时，点G是AC的中点，理由见解析
(3)当4√2A'B．
∴AC+BC>AP+PB，
奶站应建在点P处，才能使A，B到它的距离之和最短；
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)如图2，作点P关于OM的对称点P'，作点P关于ON的对称点P″，连接P'P″交OM于A，ON于B，此
时△PAB的周长最小，
连接OP',OP″，
由对称得∶OP= OP'=OP″ =4，∠P'OA=∠POA ，∠POB=∠P'OB， AP=AP',BP=BP″
∵∠MON=45，
∴∠P″OP'=90°
∴P'P″=√42+42=4√2
∴△PAB的周长=PA+PB+AB=P' A+P″B+AB=P'P″=4√2，
即△PAB周长的最小值是4√2；
(3)如图3，分别作点E关于CD，AB的对称点E ,E ，，分别作点H，E 于BC的对称点H'，E ，延长
1 2 2 3
DC，AB交于点I，过点E 作E K⊥E E ，过点E作EE'⊥E K于点E'，
1 1 2 3 1
∴E F=EF，EH=E H=E H',GH=GH' ，
1 2 3
∴四边形EFGH的周长= EF+FG+GH+HE=E F+FG+GH'+H E
1 2
∴当点E，F，G，H'，E ，共线时，四边形EFGH的周长最小，
3
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠A=60°，∠ADC=90°
∴∠I=30°，
在Rt△CBI中，CI=2BC=60√3m，BI=√(60√3) 2 −(30√3) 2=90(m)，
∵CD=40√3m．
∴DI=CD+CI=100√3m，
DI
在Rt△ADI中，AD= =100m，AI=2AD=200√3m．
√3
∵DE=DE =20m，
1
∴AE=120m，
在Rt△AEO中，
∵∠AEO=30°，
1 1
∴AO= AE= (100−20)=40(m),OE=40√3m, OB=AI−AO−BI=200−40−90=70(m)，
2 2
∴E E =2OB=140m，
2 3
在Rt△EE'E 中，∠EE E'=30°
1 1
1
∴EE'= ×40=20m，
2
∴.E K=140−20=120(m)，
3
∴E K=E E'+E'K=20√3+80√3=100√3(m)．
1 1
由勾股定理得∶E E =√(100√3) 2+1202=20√111(m)；
1 3
即小明行走的最短路程是20√111m．
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】此题是四边形的综合题，考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，含30°角的直角三角形的性
质等知识，掌握轴对称的最短路径问题正确作图是解答此类题目的关键．
19．（2025·陕西西安·一模）【问题探究】如图1，某公园的一块空地，由△ABE和四边形BCDE组成，
BE∥CD，AB=AE=32米，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路AM（小路面积忽略不计），
将这块空地分成面积相等的两部分（点M在CD边上），请在图中确定点M的位置，并计算小路AM的长．
（结果保留根号）
过E作ET⊥CD于T，过A作AP⊥CD于P，交BE于Q，如图2所示，完成以下题目：
BC=BE=____ 米；②AP=____米；③S +S =____平方米：④CM=____米，AM=____米．
△ABE 梯形BCDE
①
【问题解决】某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形ABCD和以EF为直径的半圆构成，公园规
划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的入口在半圆上的点G处，E´G=F´G，再沿GM修
一条小路（小路的宽度忽略不计），使得GM将这块空地分成面积相等的两部分，已知
AB=80m,BC=140m,EF=2DF=40m，请你在图中找出点M的位置，并计算出小路GM的长．（结果
保留根号）
80√2 16√170
【答案】问题探究：①32√2；②2√2；③3584；④ ； ；问题解决：4√769米．
3 3
【分析】问题探究：①利用等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用等腰三角形的三线合一的性质，矩形的判定与性质解答即可；
③分别计算△ABE和梯形BCDE的面积即可；
④利用△AMD为整个图形的面积的一半的结论求得DM，则CM=CD−DM；再利用矩形的判定与性质
和勾股定理即可求得AM；
问题解决：空地由矩形ABCD和以EF为直径的半圆构成设GM交EF,BC分别于点P,M，过点G作
GN⊥BC于点N，交EF于点Q，得出EQ=QF，且Q为半圆的圆心，依题意，四边形QNDC,ABNQ是
矩形，设梯形ABMP，PDCM的面积分别为S ,S ，则S −S =2S ，进而证明△GPQ∽△GMN，得
1 2 1 2 △PQG
出MN=48，根据勾股定理，即可求解．
【详解】问题探究：解：①∵∠BAE=90°，AB=AE=32米，
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴BE=√2AB=32√2米，
∴BC=BE=32√2米．
故答案为：32√2；
②∵BE∥CD，∠C=90°，
∴四边形BCTE为矩形，
∴BE=CT=32√2米，
∵AP⊥CD，
∴四边形BCPQ为矩形，
∴PQ=BC=32√2米，
∵∠BAE=90°，AB=AE，
1
∴AQ= BE=16√2米，
2
∴AP=AQ+PQ=48√2米．
故答案为：48√2；
③∵∠BAE=90°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵BE∥CD，
∴∠D=∠AEB=45°，
∵ET⊥DT，
∴DT=ET=32√2米，
∴CD=CT+DT=64√2米．
1 1
∵S = AB·BE=521（平方米），S = (BE+CD)·BC=3072（平方米），
△ABE 2 梯形BCDE 2
∴S +S =512+3072=3584（平方米）．
△ABE 梯形BCDE
故答案为：3584；
④∵AM平分这块空地的面积，
1
∴S = (S +S )=1792（平方米），
△AMD 2 △ABE 梯形BCDE
1
∴ DM·AP=1792，
2
1
∴ ×48√2DM=1792，
2
112√2
∴DM= 米，
3
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
80√2
∴CM=CD−DM= 米．
3
∵四边形BCPQ为矩形，
∴CP=BQ．
∵∠BAE=90°，AB=AE，
1
∴BQ=QE= BE=16√2米，
2
∴CP=16√2米，
32√2
∴PM=CM−CP= 米，
3
∴AM=√AP2+PM2=
√
(48√2) 2+
(32√2) 2
=
16√170
米．
3 3
80√2 16√170
故答案为： ； ；
3 3
问题解决：如图所示，空地由矩形ABCD和以EF为直径的半圆构成设GM交EF,BC分别于点P,M，过
点G作GN⊥BC于点N，交EF于点Q，
∵E´G=F´G，则EQ=QF，且Q为半圆的圆心，
QNDC,ABNQ
依题意，四边形 是矩形，
设梯形ABMP，PDCM的面积分别为S ,S ，
1 2
依题意，S +S −S =S +S +S
1 扇形QEG △PQG 2 扇形QFG △PQG
∴S −S =2S
1 2 △PQG
∵PQ∥MN
∴△GPQ∽△GMN
PQ GQ
∴ =
MN GN
∵AB=80,BC=140,EF=2DF=40
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∴GQ= EF=20,QN=AB=80，
2
x 20
设PQ=x，则 =
MN 20+80
∴MN=5x
∴QD=QF+FD=40=NC，PD=x+40，MC=5x+40
∴AP=AD−PD=100−x，BM=100−5x
∵S −S =2S
1 2 △PQG
1 1 1
∴ (AP+BM)×AB− (PD+MC)×AB=2× ×GQ×PQ
2 2 2
1 1
∴ (100−x+100−5x)×80− (40+x+40+5x)×80=20x
2 2
48
解得：x=
5
∴MN=5x=48
∴GM=√GN2+M N2=√1002+482=4√769，
答：小路GM的长为4√769米．
【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的性质与判
定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（2025·河南郑州·一模）【感知特例】
（1）如图1，点A，B在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B，点P在线段AB上，且
PC⊥PD，垂足为P．结论：AC⋅BD=AP⋅BP
(请将下列证明过程补充完整)
证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD，
∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°，
∴∠C+∠APC=90°，
______.+∠APC=90°，
∴ ______= ______，(同角的余角相等)
∴△APC∽______，(两角分别相等的两个三角形相似)
∴ ______= ______，(相似三角形的对应边成比例)
即AC⋅BD=AP⋅BP．
【建构模型】
（2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段AB上，且∠CAP=∠DBP=∠CPD．结论
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AC⋅BD=AP⋅BP仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点，始终满足
∠CPD=∠A．设AP长为x(00)的图象经过格点A
x
k
和网格线上的点B，反比例函数y=− (x<0)的图象经过格点C．
x
(1)点B位于第________象限，其横坐标是________．
5
(2)若S = ，
△ABC 2
①求k的值；
②若△ACD与△ACB是全等三角形（点D不与点B重合），请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)一；2
5 15 15
(2) k=5；②(−2, )，(2, )或(−2, )
2 2 2
①
【分析】本题考查了反比例函数与几何，全等三角形的判定，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
k k
（1）根据y= (x>0)和y=− (x<0)关于y轴对称，即可解答；
x x
5
（2）①根据S = 可得点A与点B的纵坐标之差，设A(1,m)，表示出点B的坐标，列方程即可解答；
△ABC 2
②根据点A与点B的纵坐标之差，画出图形即可解答．
k k
【详解】（1）解：∵反比例函数y= (x>0)的图象经过格点A，反比例函数y=− (x<0)的图象经过格
x x
点C．
∴点A和点C关于y轴对称，
∵AC=2，
∴点A的横坐标为1，
∵点A和点B的横坐标差1，
∴点B的横坐标为2，
k
∵反比例函数y= (x>0)的图象经过网格线上的点B，
x
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴点B位于第一象限；
故答案为：一；2
5
（2）解：①∵S = ，
△ABC 2
5
×2
∴点A与点B的纵坐标之差为2 5，
=
2 2
( 5)
设A(1,m)，则B 2,m− ，
2
k
∵反比例函数y= (x>0)的图象经过格点A和网格线上的点B，
x
( 5)
∴m=2 m− ，
2
解得m=5，
∴k=1×5=5；
5
×2
②点A与点B的纵坐标之差为2 5，横坐标之差为1，
=
2 2
故可画如下图
5 15 15
∴ D (−2, ) (2, ) (−2, )
2 2 2
， 点 的坐标为 ， 或 ．
22．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过
道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下：
【问题】如何将物品搬过直角过道？
【情境】如图1是一直角过道示意图，O、P为直角顶点，过道宽度都是1.2m，矩形ABCD是某物品经过
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AB 0.8m
该过道时的俯视图，宽 为 ．
【操作】：
步 动
目标
骤 作
靠
1 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
边
推
2 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点O在边AD上
移
转 如图2，将矩形ABCD绕点O旋转，当线段OC、线段OB长度都不大于过
3
弯 道宽度时，可以顺利转弯．
推
4 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
移
【探究】：
(1)如图2，若BC=1.6m，OD=0.6m，则OC= ______m．
(2)在(1)的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计
算说明．
(3)如图3，物品转弯时被卡住(C、B分别在墙面PQ与PR上)，若∠CBP=30°，求OD的长．
(4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值______m．(结果保留根号)
【答案】(1)1
(2)不赞同思思同学的结论，计算见解析
8√3
(3) m
15
4√5
(4)
5
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）连接OB，根据勾股定理求出OB，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案；
（3）过点D作MN⊥OT于M，交PQ于点N，设OM=x，则OD=2x，根据勾股定理得出
0.82+x2=(2x) 2，求出x的值，即可得出答案；
（4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点O为AD的中点，OC⊥PQ，OB⊥PR，根据勾股定
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
理求出此时BC的长度即可．
【详解】（1）解：如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=0.8m，∠D=90°，
∵OD=0.6m，
∴OC=√CD2+OD2=√0.82+0.62=1(m)；
（2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下：
如图3，连接OB，
由(1)可求得OC=1m，
∵AD=BC=1.6m，OD=0.6m，
∴OA=AD−OD=1.6−0.6=1(m)，
∵AB=0.8m，
√41 √36
∴OB=√OA2+AB2=√12+0.82= > =1.2，
5 5
∵过道宽度都是1.2m，
∴该物品不能顺利通过直角过道，
∴不赞同思思的结论；
（3）解：如图4，过点D作MN⊥OT于M，交PQ于点N，
Rt△BCP ∠CBP=30°
中， ，
∴∠BCP=60°，
∵∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCN=∠ODM=30°，
∵∠CND=90°，
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1
∴DN= CD= ×0.8=0.4，
2 2
∵MN=1.2，
∴DM=1.2−0.4=0.8，
1
Rt△ODM中，OM= OD，
2
设OM=x，则OD=2x，
由勾股定理得：DM2+OM2=OD2，
0.82+x2=(2x) 2，
4√3
∴x= (负值舍)，
15
8√3
∴OD=2x= (m)；
15
8√3
答：OD的长是 m；
15
（4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点O为AD的中点，OC⊥PQ，OB⊥PR，且
OB=OC=1.2m，
2√5
∴OD=√OC2−CD2=√1.22−0.82= (m)，
5
4√5
∴AD=2OD= (m)，
5
4√5
∴BC的最大值为 m，
5
4√5
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意
正确列式是解题的关键．
23．（2025·贵州·模拟预测）同学们还记得吗？图1，图2是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们
研究过的两个图形．
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，OA 交AB于点E，
1 1 1 1
OC 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为________；
1
(2)受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、
BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形
OEAG的面积；
(3)受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的
延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的
长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)AE=BF
(2)16
(3)存在，2或3或6或7
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
（1）利用ASA判断出△AOE≌△BOF，即可得出答案；
（2）先求出S =16，再利用ASA判断出△AOE≌△BOG，即可求出答案；
△AOB
（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的对角线相交于点O，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45°，∠AOB=90°，
∵四边形A B C O是正方形，
1 1 1
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴AE=BF，
故答案为：AE=BF；
（2）解：如图③，连接OA，OB，
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ O ABCD
点 是正方形 的中心，
1 1
∴S = S = ×82=16，
△AOB 4 正方形ABCD 4
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAE=∠OBG=45°，OA=OB，∠AOB=90°，
∵m⊥n，
∴∠EOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG，
∴△AOE≌△BOG(ASA)，
∴S =S ，
△AOE △BOG
∴S =S +S =S +S =S =16；
四边形OEAG △AOE △AOG △BOG △AOG △AOB
（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，
∵ ABCD CEFG
四边形 和四边形 是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
EP EF
∴ = ，
QF AQ
∵QF=EQ−EF=4，
EP 2
∴ = ，
4 8
∴EP=1，
∴BP=BE−EP=7；
②当∠APF=90°时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
AB BP
∴ = ，
PE EF
∵PE=BE−BP=8−BP，
6 BP
∴ = ，
8−BP 2
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN−EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
PM AM
∴ = ，
AN FN
6 AM
∴ = ，
8 4
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7．
24．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下
问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且
∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连结ED'．
由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，
∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．
∴∠DAE=∠D' AE．
在△DAE和△D' AE中，
AD=AD'，∠DAE=∠D' AE，AE=AE，
_____．
∴DE=D'E．
∴①
又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，
∴在Rt△ECD'中，②_____．
∵CD'=BD=3，CE=4，
DE=D'E= _____．
∴ ③
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题解决】
（1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：
_________．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】
（2）如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD
的周长的一半，连接AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并
证明．
【拓展应用】
（3）如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究
BE、EF、DF的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）．
【答案】（1）△ADE≌△AD'E，EC2+CD'2=ED'2，5；（2）DN2+BM2=M N2，证明见解析；
（3）EF2=2BE2+2DF2
【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵
活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）由旋转的性质可得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'，进而证明
△ADE≌△AD'E(ASA)可得DE=D'E，再说明∠ECD'=90°、CD'=BD=3，CE=4，再运用勾股
定理即可解答；
（2）由旋转的性质以及题意可得EF=DF+BE=DF+DF'=F'F，再证明△AEF≌AF'F(SSS)可得
∠EAF=∠F' AF，再结合正方形的性质可证△ABM≌△ADH(ASA)得AM=AH、BM=DH，易证
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
△AMN≌△AHN(SAS)可得MN=HN，最后在Rt△HND中运用勾股定理即可解答；
（3）如图4所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转
90°得到△AGH，连接HM，HE．过点H作HO⊥直线BC与O，则△ADF≌△AGH可得
DF=HG、AD=AG，再说明△BEM是等腰直角三角形，即BE=BM；由（2）知△AEH≌△AEF，
则AH=AF、EH=EF；再根据勾股定理可得(GH+BE) 2+(BM−GM2)=EH2，最后运用等量代换即
可证明结论．
【详解】解：（1）如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连结ED'．
由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，
∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．
∴∠DAE=∠D' AE．
在△DAE和△D'AE中，
AD=AD'，∠DAE=∠D' AE，AE=AE，
∴△ADE≌△AD'E(ASA)．
∴DE=D'E．
又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，
∴在Rt△ECD'中，EC2+CD'2=ED'2．
∵CD'=BD=3，CE=4，
∴DE=D'E=√CD'2+CE2=5．
故答案为：△ADE≌△AD'E，EC2+CD'2=ED'2，5．
（2）DN2+BM2=M N2，证明如下：
如图3，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF'，过点D作DH⊥BD交边AF'于点H，连接NH．
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由旋转得：AE=AF'，BE=DF'，∠BAE=∠DAF'．
由题意得：EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE，
∴EF=DF+BE=DF+DF'=F'F．
在△AEF和△AF'F中，
¿，
∴△AEF≌AF'F(SSS)，
∴∠EAF=∠F' AF．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵DH⊥BD，
∴∠ADH=∠HDB−∠ADB=45°，
在△ABM和△ADH中，
¿，
∴△ABM≌△ADH(ASA)，
∴AM=AH，BM=DH，
在△AMN和△AHN中，
¿，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，
∴MN=HN．
在Rt△HND中，DN2+BM2=M N2，
∴DN2+BM2=M N2；
（3）EF2=2BE2+2DF2，证明如下：
如图4所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到
△AGH，连接HM，HE．过点H作HO⊥直线BC与O，
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△ADF≌△AGH，
∴DF=HG，AD=AG，
∵∠CEF=45°=∠BEM，∠MBC=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BE=BM，
由（2）知△AEH≌△AEF，则AH=AF，EH=EF，
则由勾股定理有：(GH+BE) 2+BG2=EH2，即(GH+BE) 2+(BM−GM2)=EH2
又∵EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，
∴(GH+BE) 2+(BE−GH) 2=EF2，即2(DF2+BE2)=EF2，
∴EF2=2BE2+2DF2．
故答案为：EF2=2BE2+2DF2．
25．（2025·河南周口·一模）综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结
合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成
的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
AD
（1）如图1，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A=60°，则∠CBD=_____， 的值为_____．
BD
【问题解决】
（2）如图2，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上一点，
AE
且CD⊥DE，求 的值．
BC
【拓展应用】
（3）如图3，在“双垂四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=6，E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF=2，请直接写出△BDE的面积．
√3
【答案】（1）60°， ；（2）1；（3）6或12
3
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得∠ABD=30°，∠CBD=60°，进而可得
AD √3
=tan∠ABD=tan30°= ，即可求解；
BD 3
（2）根据等腰直角三角形的性质可证△ADE≌△BDC(ASA)，得到AE=BC，即可求解；
（3）如图，过点D作DP⊥AB于点P，由（2）知，AD=BD=6，△ADE≌△BDC，即得
√2
BP=DP= BD=3√2，CD=DE，进而由折叠可得四边形CDEF为正方形，连接DF，则
2
√2
DE= DF，∠EDF=∠BDP=45°，分两种情况：①当点D的对应点F在AB的上方时；②当点D的
2
对应点F在AB的下方时，
分别画出图形解答即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=60°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠A=90°−60°=30°，
∴∠CBD=90°−∠ABD=90°−30°=60°，
∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，
AD √3
∴ =tan∠ABD=tan30°= ，
BD 3
√3
故答案为：60°， ；
3
（2）∵∠ADB=90°，∠A=45°，
∴∠ABD=90°−∠A=90°−45°=45°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABC=90°−45°=45°，∠A=∠ABD，
∴∠A=∠CBD，AD=BD，
∵CD⊥DE，
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠CDE=90°，
∴∠BDC+∠BDE=90°，
∵∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
∴△ADE≌△BDC(ASA)，
∴AE=BC，
AE
∴ =1；
BC
（3）如图，过点D作DP⊥AB于点P，
由（2）知，AD=BD=6，
1
∴∠BDP= ∠ADB=45°，
2
∵∠A=45°，
√2
∴BP=DP= BD=3√2，
2
同理（2）可得，△ADE≌△BDC，
∴CD=DE，
由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形，
√2
连接DF，则DE= DF，∠EDF=∠BDP=45°，
2
分两种情况：①如图1，当点D的对应点F在AB的上方时，
∵∠EDF=∠BDP=45°，
DP DE √2
∴ = = ，∠BDF=∠PDE，
DB DF 2
∴△BDF∽△PDE，
EP DP √2
∴ = = ，
BF DB 2
∵BF=2，
√2
EP= BF=√2,
2
∴
∴BE=BP−PE=3√2−√2=2√2，
1 1
∴S = BE·DP= ×2√2×3√2=6；
△BDE 2 2
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②如图2，当点D的对应点F在AB的下方时，
同理可得BE=BP+PE=3√2+√2=4√2，
1 1
∴S = BE·DP= ×4√2×3√2=12；
△BDE 2 2
综上可得，△BDE的面积为6或12．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性
质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解
题的关键．
57
