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热点 07 相似三角形
中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为三类：
一、黄金分割及平行线分线段成比例（每年1道，3分）
二、相似三角形的判定与性质（每年1~2道，3~12分）
三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~14分）
相似三角形在中考数学中的地位永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是
应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、
填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途
径。基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。
考向一：平行线分线段成比例
【题型1 比例与比例线段】
1、比例的性质：
a:b=c:d⇔ad=bc
；
a:c=c:b⇔c2 =a⋅b
2、比例中项： ，此时，c为a、b的比例中项；
a,b,c,d a和b c和d
3、比例线段：在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线
a,b,c,d
段 叫做成比例线段简称比例线段；
1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，R 为待测电阻，R 为可调电阻，R，R ，R 为已知电
y x 1 2
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阻，E为直流电压源，A为电流表，调节R 的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有
x
R R
y = 2 ，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过R 的电阻求得
R R x
1 x
R 的电阻，现已知R =2Ω，R =8Ω．当R =4Ω时电流表读数为0，那么此时将R 减小3Ω，则R 需
y 1 2 x y x
要如何变，电流表示数才能为0？
A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω
2．（2025·广东深圳·一模）已知a，b，c，d成比例线段．若a=5cm，b=10cm，d=8cm，则c的长为
（ ）
A．2.5cm B．4cm C．10cm D．16cm
3．（2025·上海黄浦·一模）已知线段a=2cm，b=3cm，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c
的长为（ ）
A．6cm B．√6cm C．−√6cm D．±√6cm
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），
山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高
m
线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则 的值为 ．
n
5．（2025·上海虹口·一模）已知线段a是线段b、c的比例中项，b=2cm，c=8cm，那么a= cm．
【题型2黄金分割】
黄金分割：把线段AB分成两条线段 AC,BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把
√5−1
线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中
AC= AB
≈0.618 ．
AB C AB 2 AB
1．（2024·广东深圳·三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，
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事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车H9的设计
中应用了白银分割（图1)；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东
方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的A4纸，
对折后得到两个全等的A5纸、A5纸折叠后得到两个全等的A6纸等等（图2)，A4纸，A5纸、A6纸
等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形．
如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从
而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为( )
A．√2 B．√2+1 C．√5−1 D．√5
√5−1 √5−1
2．（2025·江西·模拟预测）定义：若线段AB上有一点C满足AC= AB或BC= AB，则称点
2 2
C为线段AB的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点M,N是线段AB的黄金分割点，若
AB=8，则线段MN的长为 ．
3．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支
撑点C是靠近点B的黄金分割点，即AC2=AB⋅BC，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支
撑点C，D之间的距离 cm．（结果保留根号）
4．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种
“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，
BE>AE．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
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小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作
完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽MN为2cm）
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法
折出一个正方形，然后把纸片展平，则
NC=______cm；
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩
形，再把纸片展平，则AC=_______cm；
③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到
图3中所示的AD处，则AD=AB=_______
cm；
④展平纸片，按照所得到的点D折出DE，
CD
则 = _______，我们将这个比值称为黄金
BC
比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄
金矩形，如图4矩形BCDE就是一个黄金矩
形．
活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．
如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以2a为腰长的黄金三角形△A′B′C′．（要求：尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法）
步骤一：作一条线段GH，使得GH的长度等于△A′B′C′的腰长；
步骤二：作一条线段PQ，使得PQ的长度等于△A′B′C′的底边长；
步骤三：作黄金三角形△A′B′C′．
【题型3 平分线分线段成比例】
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满分技巧
AC BD
=
如图：AB∥CD∥EF⇔CF DE
1．（2025·河南·一模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC=50cm，
CE=30cm，BD=45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点
A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，则EF=（ ）
10 15 9
A． B． C．4 D．
3 2 2
3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，AB⊥BD,CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，
EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（ ）
AE BE AE AB
A． = B． =
EC ED DE CD
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EF DF AD AE
C． = D． =
AB DB BD BF
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点G是重心，连接AG交BC于点D，BC=4，
2
cos∠ACB= ，F是边AC上一点，当FG⊥AD时，则CF的长为（ ）
5
5 3
A．1 B． C． D．√3
3 2
5．（2025·上海崇明·一模）如图，AB∥CD∥EF，AE:CE=3:2，BF=6，那么BD的长等于 ．
6．（2025·上海长宁·一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AD=2，DF=1.5，BC=2.4，那么BE的长是
．
7．（2023·安徽宿州·一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且
H是BC的中点．若AH=4，CG=6，则AB的长为 ．
考向二：相似三角形判定与性质
【题型4 相似三角形的性质】
相似三角形的性质：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相
似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质
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的考察。
1．（2025·河南开封·一模）如果两个相似三角形的对应边之比是1:4．那么它们的面积之比是（ ）
A．1:4 B．1:6 C．1:8 D．1:16
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，已知OA:OD=2:3，△ABC的
面积为8，则△≝¿的面积为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
3．（2025·河北邯郸·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知△ABC∽△≝¿．测得
AC=3cm，DF=4cm，△≝¿的面积为16cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．6cm2 B．9cm2 C．10cm2 D．12cm2
4．（2025·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若A A′=3OA′，B′C′=5，
则BC的长为（ ）
A．15 B．20 C．10 D．5
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若
S 1 S
△BDE = ，则 △BDE 的值为（ ）
S 3 S
△CDE △BAC
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1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 9 16
【题型5 相似三角形的判定】
重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型；
相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对
应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和
网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。
1．（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定△ABD∽△ACB的是（ ）
BC DC
A．∠ADB=∠ABC B．∠DBA=∠C C．AB2=AD⋅AC D． =
AC BC
2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，
垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使
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CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，
∠AED=60°，求CF的长．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，求证：
△ACD∽△CBD．
4．（2025·上海徐汇·一模）在矩形ABCD中连接AC，过点D作AC的垂线交AC于E，AB于F．
(1)证明：△ABC∽△DEA；
(2)若EF=1，ED=2，连接FC，求tan∠FCA的值．
5．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BH⊥AC于点H，求证：
△AHB∽△BHC；
AB 4 BE
（2）如图2，已知∠ABC=∠D=90°，E为BD上一点，且AE=AB，若 = ，求 的值；
BC 5 CD
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E为边CD上一点，且
DE
AE=AB，BE⊥CD，求 的值．
CE
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考向三：相似三角形的应用
【题型6 相似三角形的应用】
相似三角形在实际生活中的应用：
（一）建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯
光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是
（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
2．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像A′B′平行，已知玻
璃棒AB=12厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A′B′的长是（ ）厘米
A．5 B．6 C．8 D．4
3．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方
法．
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(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测
得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学
测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求
旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度
明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同
一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，
并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D′处，
采用同样方法，测得C′G′=1.2m，D′G′=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
4．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口
内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数
学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高
度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和
GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处
（即ED=2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG=4m），从
C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数
据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
5．（2025·陕西咸阳·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践
活动．
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甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条
AB长0.4m，木条CD长0.6m，DB长0.2m（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处
悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪．
任务：测量校园内凉亭MN的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）．
工具：简易测高仪、卷尺．
实践活动
实 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的，点A经过点C望向凉亭顶端
践 M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂
操 线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示．
作
获 乙负责测量，得到点B到地面的垂直
取 距离BE=0.58m,BH=3.04m．
数
据
示
意
图 解 利用得到的数据求出凉亭MN的高
决 度．
问
题
6．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段MN表示直立的灯杆，灯泡P在其上端
某处，线段AB表示一棵树，线段BC表示它在地面上的影子，线段EF表示小明．
(1)请确定灯泡P所在的位置，并画出小明站在EF处的影子；
(2)若小明的身高EF=1.5m，当小明离灯杆的距离NF=4m时，影子长为3m，求灯泡P离地面的高度．
7．（2025·陕西西安·一模）学习完锐角三角函数知识后，雷莹老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，
格格所 在小组的任务为测量校园里一棵树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达树的底部．于是，
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格格所在 小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量，并完成了如下的测量报告：
课题 测量树的高度
测量 平面镜、测倾器和皮尺
工具
说明：
测量 ①D、C、B、F四点共线，DE、AB均
示意
垂直于DF；
图及
②平面镜放置于C处，且大小忽略；
说明
③测倾器放置于F处，且高度忽略．
测量 格格站在D处，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A，格格眼睛与地面高度
过程 DE=1.5米，格格到平面镜的距离CD=4.5米，平面镜到测倾器的距离为
及相 CF=34米，测得∠AFB=39°，
关数
据
参考 sin39°≈0.6,cos39°≈0.8,tan39°≈0.8
数据
请你根据以上测量报告，求树AB的高度．
8．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的
高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度CD=2.8m，标杆与雕塑
的水平距离BD=20m，人的眼睛与地面的高度EF=1.8m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求醒
狮雕塑AB的高度．
9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同
一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿
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祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过
的知识来测量上天台AB的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，
无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着BC方
向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得CE=2.4m，小
海眼睛到地面的距离DE为1.6 m；然后，小江沿CB方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的
仰角为45°，此时，测得CG=11.5m，测角仪的高度FG也为1.6 m．已知点B，G，C，E在同一水平
直线上，且AB,FG,DE均垂直于BE，求该上天台的高度AB．
【题型7 位似变换】
位似图形满足的条件：
①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；
②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）
1．（2023·河南洛阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,1)，以原点O为位似中心，
将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
(1 ) ( 1 )
A． ,1 B． − ,1
2 2
C．(8,16)或(−16,−8) D．(8,16)或(−8,−16)
2．（2025·河南安阳·一模）如图，已知线段AB的两个端点坐标分别为A(1,1)，B(2,1)，以原点O为位似
中心在第一象限内画线段CD，若CD=2，则点D的坐标为（ ）
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(3 ) ( 3)
A．(4,2) B． ,3 C．(2,4) D． 3,
2 2
3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，A，B是⊙O上的点，A′，B′是⊙O外的点，△AOB和△A′OB′是
位似图形，位似中心为点O，点A，B对应点是点A′，B′，OB′交⊙O于点C，若OC=2B′C，
AB=2，则A′B′的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025·广西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．
若点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B′的坐标为（ ）
A．(−4,−8) B．(−4,8) C．(−8,4) D．(4,−8)
5．（2024·云南昆明·模拟预测）如图▱ABCD与▱AEFG关于点A 成位似图形，若他们的位似比为2:3，
则▱ABCD与▱AEFG的面积比为（ ）
A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:3
6．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，点A(1,0)与点A'(−2,0)是对
应点，△ABC的面积是3，则△A'B'C'的面积是 ．
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7．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，A(0,−1)，B(2,0) ，以A为位似中心，把△ABC按
相似比1:3放大，放大后的图形记作△ADE，则点D的坐标为 ．
8．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′．已知△ABC的面
OA 1
积为3， = ，则△A′B′C′的面积为 ．
OA′ 3
9．（2024·陕西西安·模拟预测）⊙O 与⊙O 的半径分别为R、r，如果在直线O O 取一点P，使
1 2 1 2
O P R
1 = =k，那么称⊙O 与⊙O 关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作⊙O 与⊙O 的位似比
O P r 1 2 1 2
2
（规定：同心圆关于圆心位似）．
(1)如图①，已知⊙O 和点P，画⊙O ，使⊙O 与⊙O 关于点P位似，且⊙O 与⊙O 的位似比为
1 2 2 1 2 1
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1
；
2
(2)如图②，已知⊙O 和⊙O 关于点P位似，直线l经过点P且与⊙O 相切，切点为A，请判断直线
1 2 1
l与⊙O 的位置关系，并说明理由．
2
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在▱ABCD中，点O是边CD上一点，连接AO并延长，交BC的延长线
于点E．若CO=2OD，BC=6，则BE的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
2．（2025·山东·一模）如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F，若
AD=3，AB=5，则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上
的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△≝¿的面积为（ ）
A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2
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4．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线
于点E，对角线BD交AG于点F．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若
BD
BF=3EF，则 =（ ）
DC
4 6 3 2
A． B． C． D．
3 5 2 3
6．（2023·浙江杭州·三模）如图，在△ABC中，点D,E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一
DN 1 DN 2
点，连接AM交DE于点N，若 = , = ，则下列选项不成立的是（ ）
NE 3 BM 3
S 1 BM 1
A． △ADN = B． =
S 4 MC 3
△ADE
S 1
C．S <2S D． 四边形DBMN =
△ANE 四边形DBMN S 3
四边形NMCE
7．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，AD是△ABC的中线，∠B=90°,AB=3,CE⊥BC于点C,CE=5，
且∠ADE=90°，则AE的长为（ ）
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A．13 B．11 C．8 D．6
8．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，D为BC上一
点，且满足AD=CD，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
9．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像
投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′．设
AB=36cm，A′B′=24cm．小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.3米，
长臂端点升高 米．
11．（2025·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于原点O位似，点B的坐
标为(3,1)，点B′的坐标为(6,2)，点A的坐标为(1,2)，则点A′的坐标为 ．
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12．（2023·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知
OA 2
= ，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 ．
A′ A 5
13．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是△ABC中BC上的中点，连接AD，BE是△ABD的中线，BE
S
的延长线与AC交于点F，则 △ADF = ．
S
△CDF
14．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、
E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB=2，BC=10，S =40，则当矩形
△ABC
GD
DEFG的面积最大时， = ．
DE
15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕
北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃
塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案：
方
方案① 方案②
案
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测
量
示
意
图
测量员在地面上的点C处测得塔顶 测量员在地面上的点C处测得塔顶A的仰角
A的仰角∠ACB的度数，在地面 ∠ACB的度数，在地面上的点D处放置一面
测
上竖立一根标杆DE，发现地面上 平面镜（大小不计），测量员站在地面上的
量
的点F、标杆顶端E和塔顶A在一 点E处，眼睛位于点F处时恰好在平面镜内看
说
条直线上，AB⊥BC、ED⊥BC 到塔顶A的像，AB⊥BE、FE⊥BE，点
明
，点B、D、F、C在一条直线 B、C、D、E在一条直线上，图中所有的
上，图中所有的点都在同一平面内 点都在同一平面内
测 ∠ACB=45∘，DE=3m， ∠ACB=45∘，CD=9m，DE=2m，
量 DF=2m，CF=9m EF=1.5m
结
果
请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度AB．
你选择的是方案_____．
16．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边BC上.
将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE、以CE为底边在其上
方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF．
【尝试探究】（1）如图1，当α=60°时，易知AF=BE；如图2，当α=45°时，则AF与BE的数量关
系为______；
（2）如图3，请判断∠EBC与∠FAC的数量关系，并说明理由；
1
【拓展应用】（3）如图4，当α=30°且点B，E、F三点共线时.若AF=2√3，BD= BC，请求出
5
CF的长．
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17．（2025·贵州·一模）【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，
该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根
据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决．
【初步探究】
（1）如图②，M，N是正方形ABCD内的点，且△ABM≌△CDN，AM⊥BM，连接MN，则
∠CNM的度数为 ；（M，N不重合）
【问题解决】
（2）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AC边上一个动点（不与点A，C重合），连接
BP，过点C作CD⊥BP于点D，E是BP上一点，且CD=DE，过点E作EF⊥DB交BC于点F，试
判断三条线段CD，PD，EF之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
EF 1
（3）在（2）的条件下，当 = ，BC=5时，求线段PD的长．
CD 2
22
