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热点 06 全等三角形与特殊三角形
中考数学中《全等三角形与特殊三角形》部分主要考向分为五类：
一、三角形的重要定理（每年1~2道，3~7分）
二、全等三角形（每年1道，4~8分）
三、等腰三角形（每年1~2题，3~7分）
四、直角三角形（每年1~2题，3~7分）
五、三角形的综合（每年1~2题，3~9分）
全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中
起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要。首先，
全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，
小题、简单题均有可能出现。而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌
握对应知识技巧后一半都能拿下。而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤
用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。
考向一：三角形的重要定理
【题型1三角形的三边关系】
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1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；实际操作时，只需要两较小边长之和大于最长
边即可；
2、在等腰三角形中考三边关系时，只需满足--两腰长之和大于底边长即可；
3、做题时，注意看题目中是让求第三边的长还是求三角形的周长，不要因此失分。
1．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．4
2．（2025·四川泸州·一模）已知△ABC中，AB=3，AC=5 ，第三边BC的长为一元二次方程
x2−7x+10=0的一个根，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2024·江苏扬州·一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方
形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（ ）
A．0<a<4 B．2<a<8 C．2<a<4 D．4<a<8
4．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知三角形的两边长分别为4cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．12cm
【题型2三角形的内角和定理与外角的性质】
1、三角形三个内角的和=180°，三角形的一个外角=与之不相邻2个内角的和；
2、三角形有关角的这两个定理通常可以交换着用，有时可用内角和又可用外角的题，可能外角用着更
方便；
3、等腰三角形顶角的外角=底角的2倍；
在求角度的问题中，内角和定理和外角的性质是常用的等量关系，也是求任何角度都要首选的等量关
系，这个思想要根深蒂固！
1．（2025·河南周口·一模）如图所示，直线a∥b，∠2=32°，∠1=65°，则∠A的度数（ ）
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A．32° B．33° C．34° D．35°
2．（2025·湖南长沙·模拟预测）将一副三角板如图放置，其中∠BAC=∠ADE=90°，∠E=45°，
∠C=30°，点D落在线段BC上，且AE∥BC，则∠AFD的度数为（ ）
A．90° B．85° C．75° D．65°
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，AB∥CD，M、N为直线AB上的两点，连接CN，ME⊥CN于点
E，点F在CN上，连接DF，CF=DF，若∠EMN=70∘，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
4．（2025·陕西榆林·一模）如图，点D，E分别在线段AC，BC上，连接AE，BD交于点F．若
∠A=27°，∠B=45°，∠C =38°，则∠DFE的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
5．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，
如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2025·广东·模拟预测）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F=30°，
∠E=45°，∠D=90°，则∠ABF的度数为（ ）
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A．30° B．15° C．60° D．25°
7．（2025·河北·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一
个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持
不变，则图中∠ECF应（ ）
A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10°
8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F．若AC=BD，
AB=ED，BC=BE，∠ACB=50°，则∠AFB= ．
【题型3 三角形中的“三线”】
三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：
1、中线
常见“用途”：平分线段、平分面积；
辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；
2、高线
常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；
辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；
3、角平分线
常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；
辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等
腰；
4、中垂线
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常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；
5、辅助线类型：连接两点
由△的三线组成的几个“心”：
△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；
△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；
△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，DE．若
△ABC的面积是8，则△BDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，D为AC中点，DE∥BC，若△ABC的面积为10，则
△BDE的面积为（ ）
A．5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
3．（2025·安徽亳州·一模）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若
BD
BF=3EF，则 =（ ）
DC
4 6 3 2
A． B． C． D．
3 5 2 3
4．（2025·陕西·模拟预测）如图，AD,AE分别是△ABC的高线和中线．若△ABC的面积为12，AD=4
，则BE的长为（ ）
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A．1.5 B．3 C．4 D．6
5．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是
（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
6．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点
E，若AB=2,BC=4，则△ABC的高AD与CE的比是（ ）
A．1:2 B．1:1 C．2:1 D．1:3
7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C
都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（ ）
5 2√10 √10 4√10
A． B． C． D．
4 5 2 5
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分别是边BC上的中线
和高，AE＝2，S =√5，则CE＝（ ）
△ABD
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3
A．√5－1 B．√3－1 C．1 D．
2
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若AB=AC=5，BC=6，点E为BC的中点，过点E作EF⊥AC
于点F，则EF的长为（ ）
9 12 5
A．2 B． C． D．
5 5 2
10．（2024·重庆·三模）如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，AB⊥CE于点E，CE与BD相交于点H，
已知AD=HD=2，CD=6，则△ABC的面积为 ．
考向二：全等三角形
【题型4 全等三角形的性质与判定】
1、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；
2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL
3、证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
4、有关三角形全等问题应用的三个方向：
①证边相等就证它们所在的三角形全等；
②证角相等就证它们所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等线段、相等角
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1．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件 ，使
△ACD≌△CBE．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
1
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大于 BC长为半径
2
画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长．
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4．（2024·云南·中考真题）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．
求证：△ABC≌△AED．
5．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF．
若________，则AB=CD．
请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成
立，并说明理由．
【题型5 角平分线的性质】
1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题）
2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
1．（2024·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，作ED∥AB，交BC于
点D，若BD=6，AB=10，则DC的长为（ ）
24 18
A． B．9 C． D．8
5 5
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2.（2024·云南·模拟预测）在△ABC中，∠BAC,∠ACB的平分线相交于I，DE过点I且DE∥AC，若
AD=3cm,CE=5cm，则DE=（ ）cm
A．8 B．6 C．7 D．5
3．（2024·四川泸州·二模）在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D使BD=AB，连接AD，得
∠D=15°，设AC=a，则AB=DB=2a，BC=√3a，CD=(2+√3)a，Rt△ACD中
AC 1 2−√3
tan15°= = = =2−√3．类比这种方法，可以得到tan22.5°的值为（ ）
DC 2+√3 (2+√3)(2−√3)
1
A．√2+1 B．√2−1 C．√2 D．
2
4．（2024·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分
∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．√2 B．√3 C．2 D．3
5．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别
1
交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部
2
相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 ．
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6．（2024·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作
BF∥AC，且BF=AE，连接CF．若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为 ．
7．（2025·贵州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，以B为圆心，适当长为半径画弧，分
1
别交AB和BC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE长为半径画弧，两弧在∠ABC内部
2
3
交于点F，作射线BF交AC于点G，若CG= ，则△ABG的面积为 ．
2
8．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线
1
段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧
2
交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=2，AD=4MD，则
AM= ．
9．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，
点D为OA的中点，连接BD．点P为OC上一点，连接DP，先以点P为圆心，DP长为半径画弧，交
1
BD于点E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线PF交DE
2
于点C．若DG=DO，A(0,2)，则点P的坐标为 ．
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10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=8，
CD=5，则BD= ．
【题型5 线段垂直平分线性质】
1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；
1．（2025·山东济南·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=36°，分别以点A和B为圆心，
1
以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD，再以点A
2
为圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接AE．若AD=4，则BC的长为（ ）
A．2√5+2 B．2√5+1 C．3+√5 D．4+√5
1
2．（2025·贵州遵义·一模）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，
2
两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E．若D为BC的中点，
AC=8,CD=5，则△ABC的面积为（ ）
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A．40 B．36 C．24 D．20
3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，连接CD．
若∠A=70°，∠ABC=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．18° D．22°
考向三：等腰三角形
【题型7 等腰三角形的性质与判定】
1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一”
2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等
证等腰；
3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”；
4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，
F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18 B．9√2 C．9 D．6√2
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分
别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（ ）
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A．√5 B．√10 C．2 D．2√2
3．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，
则BD的长是（ ）
A．√10−√2 B．√6−√2 C．2√2−2 D．2√2−√6
4．（2024·江西·中考真题）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，
请判断△BDE的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线
于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知AB=3，BC=5，求CF的长．
【题型8 等腰三角形的常见模型】
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手拉手全等：
条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点
结论：有SAS类三角形全等；
双平等腰：
1．（2024·新疆·中考真题）【探究】
（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，
并说明理由．
【运用】
（2）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，点E在AC上，CE=2√3．点D是直线BC上的动点，连
接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出
BD的长．
2．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三
角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交与点O、AD与BC交于点P、BE与CD交于点Q．
求证：
(1)AD=BE；
(2)△CPQ是等边三角形
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3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
(1)求证：DB=DE；
(2)在BC上取一点F，连接EF，添加一个条件，使四边形BDEF为菱形，直接写出这个条件．
4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，已知
DE∥BC且DB=DE．
(1)求证：BE是△ABC的角平分线；
(2)若∠A=65°，∠C=45°，求∠AEB的度数．
考向四：直角三角形
【题型9 直角三角形的性质与判定】
1、直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余
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②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半
2、直角三角形的判定：
①有一个角是90°的三角形时直角三角形
②有两个角互余的三角形是直角三角形
③勾股定理的逆定理
1．（2025·贵州黔南·一模）将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1=40°，则
∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知
AB=4√3,∠B=30°，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．√3 D．2√3
3．（2025·河南开封·一模）用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图，∠ACB=90°，D为
边AB的中点，点A、B对应的刻度分别为1，6．则CD的长为（ ）
A．3.5cm B．3cm C．2.5cm D．2cm
4．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，将线段BA绕点B逆时
针旋转90°得到线段BD，过D作DE⊥BC于E，若AB=4，则CE长为（ ）
A．√3 B．2√3−2 C．√3−1 D．2
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【题型10 勾股定理】
勾股定理及其逆定理
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三
角形
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数
勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；
8,15,17及其倍数
☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三
角形勾股定理方向去想。
1．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC
上一点E，若AB=3，AE=2，则DE的长为（ ）
A．2√3 B．4√2 C．5 D．6
2．（2025·安徽阜阳·一模）如图，折叠矩形纸片ABCD，使得顶点A，C重合，点D落在D′处，然后还原，
得到折痕EF．已知：AB=9，BC=3，则折痕EF的长为（ ）
10 15
A．√10 B．2√3 C． D．
3 4
3．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则
AD的长为（ ）
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A．2 B．2√2 C．2√3 D．4
4．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点
A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1−√3 C．0 D．3−2√3
5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是边AC的中
点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE=
．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将点C折叠到AB边的点
E处，折痕为∠AD，则CD的长为 ．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若
AB=4，BC=6，则CF= ．
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考向五：三角形的综合题
【题型11 全等三角形与特殊三角形的综合应用】
1．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分线于点E．
【发现结论】
结论1：∠AEB=___________∠ACB；
结论2：当图1中∠ACB=90°时，如图2所示，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于
点G，交AC的延长线于点H．则AE与EG的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：AH=GF；
（2）在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求证：FN=NH+√2AE．
2．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
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(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关
系是______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、
位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
3．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若
∠BAD=∠C，则AB2=BD⋅BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E
在AB上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，
∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．
4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α(0°<α<45°)．将线段CA绕
点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
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图1 图2 图3
(1)如图1，求证：△ABC≌△CED；
(2)如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交
于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接
EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD=20，求△CEF的面积．
1
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN= ∠BAC，
2
∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间
的数量关系．
（1）如图①，当∠BAC=90°时，探究如下：
由∠BAC=90°，AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN=BP且
∠PBM=90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP=MN，在Rt△PBM中，
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BM2+BP2=M P2，则有BM2+NC2=M N2．
（2）当∠BAC=60°时，如图②：当∠BAC=120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之
间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2025·安徽·一模）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，点D，E在边BC上，且∠DAE=45°，
DC＝1，则DE的长是（ ）
5 4 3
A． B． C． D．√2
3 3 2
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋
转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（ ）
A．65° B．70° C．80° D．85°
3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水
深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．13
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点
N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最
小值为（ ）
A．15 B．5+5√5 C．10+5√2 D．18
5．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图
案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（
△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若
EF：AH=1：3，则sin∠ABE=（ ）
√5 3 4 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于
1
AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；
2
以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大
1
于 HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
2
1
①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S = S ．
△BEF 6 △ABC
其中，正确结论的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当
1
长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
2
两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
8．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→C→B以1
cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y(cm2)随时间x（s）变化的函数图象，
则该三角形的斜边AB的长为（ ）
A．5 B．7 C．3√2 D．2√3
二、填空题
9．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，将△ABC绕
点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连结BB′，则△A′BB′的周长为
．
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10．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．如果
∠BAF=55°，那么∠DAE= ，∠AEF= ，∠EFC= ．
11．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点
F，若AD=4，则EF= ．
三、解答题85．
12．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一
道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进
10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很
直）
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(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的
地方OA″，两次位置的高度差PQ=h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含
α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
13.如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，
且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，
且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．
15．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
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（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线
段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用
等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，
AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
28
