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专题08 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训
【题型目录】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
【知识梳理】
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可．
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论．
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知 ， 两点是定点，找一点 构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当 时，以点 为圆心， 长为半径作⊙ ，点 在⊙ 上（ ， 除外）
②当 时，以点 为圆心， 长为半径作⊙ ，点 在⊙ 上（ ， 除外）
③当 时，作 的中垂线，点 在该中垂线上（ 除外）
【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题】
【例1】1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知 ，，若点 在坐标轴上，且 为等腰三角形，则满足条件的点 的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心， 为半径画圆；以B为圆心， 为半径画圆；作
的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置．
【详解】解：如图，①以A为圆心， 为半径画圆，交坐标轴于点B， ， ， ，得到以A为顶点的
等腰 ， ， ；
②以B为圆心， 为半径画圆，交坐标轴于点A， ， ， ，得到以B为顶点的等腰 ， ，
；
③作 的垂直平分线，交坐标原点于 ，得到以 为顶点的等腰 ，
∴符合条件的点C共7个，
故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在 中， ， ．点P为直线
上一动点，并沿直线 从右向左移动，若点P与 三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，
则将点P在直线 上进行标记．那么满足条件的点P（不与点B、C重合）的位置有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满
足条件的点 的个数．
【详解】解：如图：
中， ， ，
，
当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
当 与 重合时， 为等腰三角形（舍去）；
当 与 重合时， 为等腰三角形（舍去）；
当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
综上，满足条件的点 的位置有6个．
故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
2．（2023春·江西抚州·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，射线 于
点D，点M为射线 上一点，如果点M满足三角形 为等腰三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】根据等腰三角形的性质，得到 ，分三种情况讨论：①当 时；②当
时；③当 时，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解，即可得到答案．
【详解】解： ， ，
平分 ，
，
①如图1，当 时， 是等腰三角形，
，
，
，
；
②如图2，当 时， 是等腰三角形，
；
③如图3，当 时， 是等腰三角形，
，
，
综上可知，三角形 为等腰三角形， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始绕点
C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射线
与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图形，利用三角形
的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知 ， ，
当 时， ，
由三角形的外角性质得 ，即 ，
此情况不存在；当 时，
， ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的
关键．
4．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期中）如图，在等腰 中， ， ，点 在线段
上运动（点 不与点 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
(1)点 运动到图①位置时， ，则 _________， ________；
(2)如图②，当 时，求证：
(3)在点 的运动过程中， 的形状也在变化，判断当 是等腰三角形时， 等于多少度？
（请直接写出结果）
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3) 或
【分析】（1）根据三角形内角和与三角形外角等于与其不相邻两内角的和的关系进行求解即可；
（2）根据全等三角形的性质及判定定理综合运用求解即可；
（3）根据 是等腰三角形，分①当 ，② ，③ 三种情况进行讨论即可．
【详解】（1） ，
，
又 ，
，
是等腰三角形，
，
，
所以答案为 ， ；
（2）证明∵ ，
∴
∵ ， ，∴
在 和 中，
∴ ，
（3）①当 时， ，
， ，
， 不与 、 重合，
；
②当 时， ，
，
；
③当 时， ，
，
，
．
综上所述，当 是等腰三角形时， 度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查了三角形动点问题以及全等三角形和等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概
念是解题关键．
5．（2022秋·吉林四平·八年级四平市第三中学校校考期末）如图，在 中， ， ，
点D在边 上运动（D不与A，B重合），连接 ，作 ， 交 与点E．
(1)当 时，若 ，则 ．
(2)当 时，判断 的形状，并说明理由．
(3)在点D运动的过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 的度数；若不可以，
请说明理由．【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见详解
(3) 或
【分析】（1）先求出 ，根据 ，可得 ，进而可
得 ，在 中，可得 ，同理可得： ，问题随
之得解；
（2）由 得到 ，再由 ，得到 ，则
是直角三角形；
（3）分类讨论：当 时， ；当 时， ；当 时，
；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
【详解】（1）如图，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ 中， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3） 可以是等腰三角形．理由如下：
①当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
②当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
③当 时， ，
即 ，
∵ ，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上， 可以是等腰三角形，此时 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、外角的性质以及含 角的直角三角
形的性质等，关键在于运用数形结合的思想，熟练地运用相关的性质定理，认真地进行计算．
【知识梳理】
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论．
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知 ， 两点是定点，找一点 构成方法：两线一圆
具体图解：①当 时，过点 作 的垂线，点 在该垂线上（ 除外）
②当 时，过点 作 的垂线，点 在该垂线上（ 除外）
③当 时，以 为直径作圆，点 在该圆上（ ， 除外）
【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题】
【例2】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点 、 分别是边长为 的等边 的边 、
上的动点，点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都是 ，当运动时间为（ ）
秒时， 是直角三角形．
A．5 B．5或 C．5或 D． 或
【答案】A
【分析】先证明 ， ，由时间相同，速度相等，证明 ，可得
，利用全等三角形的性质得出 ，根据，可得 不可能是直角，只能是 是直角，然后利用含30度角的直角三角形的
性质即可得出答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，它们的速度都是 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 、 运动的过程中， 不变， ，
∵ ，
∴ 不可能是直角，
∴只能是 是直角，
当 是直角，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当运动时间为5秒时， 是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明
．
【变式训练】1．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
，若动点 以 的速度从 点出发，沿着 的方向运动，设 点的运动时间为 秒
（ ），连接 ，当 是直角三角形时， 的值为（ ）
A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7
【答案】D
【分析】由条件可求得 ，再求出点 从 点运动到点 所需的时间为6秒，然后根据 和
两种情况，根据当 为直角三角形时，只有 或 ，利用含 角的直角
三角形的性质求解即可得．
【详解】解：在 中， ， ， ， ，
∴ ，
∵点 以 的速度从 点出发，沿着 的方向运动，
点 从 点运动到 点所需的时间为 秒，
则分以下两种情况：
①当 时， ， ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；
当 时，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；
②当 时， ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，不符合题设，舍去；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；
综上， 的值为2或5或7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含 角的直角三角形的性质，正确分情况讨论是解题关键．
2．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点 、 分别是边长为 的等边 的边 、
上的动点，点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都是 ，当运动时间为（ ）秒时，
是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D． 或
【答案】A
【分析】先证明 ， ，由时间相同，速度相等，证明 ，可得
，利用全等三角形的性质得出 ，根据
，可得 不可能是直角，只能是 是直角，然后利用含30度角的直角三角形的
性质即可得出答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，它们的速度都是 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 、 运动的过程中， 不变， ，
∵ ，∴ 不可能是直角，
∴只能是 是直角，
当 是直角，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当运动时间为5秒时， 是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明
．
3．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，动点
P，Q同时从A，B两点出发，分别在 边上匀速运动，它们的速度分别为 ， ，
当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 ．
（1）当 时， 为等腰三角形；
（2）当 时， 为直角三角形．
【答案】 2或
【分析】（1）先求出 ， ；则当 为等腰三角形， 为等边三角形，由等边三角
形的性质得到 ，由此建立方程 进行求解；
（2）当 为直角三角形可分当 时和当 时两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1）∵在 中， ， ， ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 为等腰三角形时，由于 ，则 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，则 ，
∴ ，
则 ，
解得 ；
故答案为：2或 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解
题的关键．
4．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在 中， ， ， 平分
交 于点D，点E是 上一个动点．若 是直角三角形，则 的度数可以是 ．【答案】 或
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，根据角平分线的性质可得 ，再分两
种情况： ； ；进行讨论即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
当 时，
，
则： ；
当 时，
．
故 的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线，注意分类思想的应用．
5．（2022秋·四川泸州·八年级四川省泸县第四中学校考期末）如图1，已知等边 边长为 ，点
P、Q分别是边 上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为 ．连接
交于点M．
(1)求证： ；(2)连接 ，何时 是直角三角形？
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 上运动，直线 交于点M，求 的
度数．
【答案】(1)见解析
(2)点P、Q运动到第 秒或第 秒时， 为直角三角形
(3)120°
【分析】（1）由 证明 即可；
（2）分 和 两种情况，由含 角的直角三角形的性质得出方程，求解即可；
（3）证 ，得 ，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）在等边 中，
∵ ，
又∵点A、B同时出发，且它们的速度都为 ，
∴ ，
∴ ．
（2）设运动时间为t秒，则
①当 时，
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ，解得 ；
②当 时，
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ，解得 ；∴当点 P、Q 运动到第 秒或第 秒时， 为直角三角形．
（3）∵在等边 中， ，
∴ ，
∵点A、B同时出发，且它们的速度都为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含 角的直角三角形的性质、三角
形的外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证
明三角形全等是解题的关键．
6．（2019秋·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）阅读材料：
如图①，在 中， ，若 ，则有 ；
利用以上结论解决问题：
如图②，等边 的边 长为 ，动点P从点B出发，以每秒 的速度向点A移动，动点Q从点
A出发，以每秒 的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．
设动点P的移动时间为t秒．(1)填空： ______（度）；t的取值范围是_____；
(2)试求当t取何值时， 的形状是等边三角形；
(3)试求当t取何值时， 的形状是直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)t的值为4或10
【分析】（1）由等边三角形的性质即可得 的度数；动点Q的速度大于动点P的速度，所以动点Q先
于动点P到达终点，由点Q的速度及运动距离即可求得其到达终点的时间，从而确定t的范围；
（2）当 时， 的形状是等边三角形，据此求出此时t的值即可；
（3）分两种情况： 时； 时，由此建立方程即可求得t的值．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ；
∵动点Q的速度大于动点P的速度，
∴动点Q先于动点P到达终点，点Q到达终点的时间为： （秒）
∴t的范围为： ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴当 时， 的形状是等边三角形，
由题意： ，
∴ ；
∴ ，
解得： ，
即当t为 秒时， 的形状是等边三角形；
（3）解：当 或 时，∵ ，
∴由题目材料结论知， 的形状是直角三角形；
①当 时，即 ，
得： ；
② 时，即 ，
得： ；
综上，当t的值为4或10时， 的形状是直角三角形．
【点睛】本题是动点问题，考查了等边三角形的性质与判定，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键．
在解答（3）小题时注意运用题中材料的结论．
【重难点训练】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
1．（2023·全国·九年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形底角的
度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【分析】在等腰 中， 为腰 上的高， ，讨论：当 在 内部时，
如图1，先计算出 ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出 ；当 在
外部时，如图2，先计算出 ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出
．
【详解】解：在等腰 中， 为腰 上的高， ，
当 在 内部时，如图1，
∵ 为高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 在 外部时，如图2，∵ 为高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角
形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）如图， 是等腰三角形， ， ，BP平分 ；点
D是射线BP上一点，如果点D满足 是等腰三角形，那么 的度数是（ ）．
A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°
【答案】D
【分析】由于 中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：当 时，如图所示，， ，
，
平分 ，
，
，
，
当 时，如图所示，
， ，
，
平分 ，
，
，
．
当 时，如图所示，， ，
，
平分 ，
，
，
，
故 的度数是： 、 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属
于中等题型．
3．（2021秋·河北邢台·八年级统考期末）若以 的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点
也在 的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】先以Rt△ABC三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角
形的第三个顶点，也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点．
【详解】解：如图 ，以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，则△BCD是等腰三角形；
如图 ，以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，则△ACD是等腰三角形；
如图 ，作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，则△BCD是等腰三角形；
如图 ，以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，交AB于点F，连接 ，CF则△BCD、△BCF
是等腰三角形；
如图 ，作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，则△BCD是等腰三角形；
如图 ，作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，△ACD是等腰三角形，
∴符合题意的等腰三角形最多能画 个，
故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．
4．（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）如图，在等腰三角形 中， ， ，D为
的中点，点E在 上， ，若点P是等腰三角形 的腰 上的一点，则当 为等腰
三角形时， 的度数是______．
【答案】 或
【分析】过D作 ， ，易证 ， ，再根据四边形
内角和 即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点P是等腰 的腰 上的一点， ，D为 的中点，
∴ ，
过D作 ， ，∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）（1）等腰三角形一条腰上的中线将
它的周长分成12和9两部分，则腰长为 ___．
（2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为 ___．
【答案】 8或6 40°或100°或140°
【分析】（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，但已知没有明确等腰三角形被中
线分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，分类讨论求解即可．
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A是顶角顶点，点A是底角顶点两种情况求解．【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图所示，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，
∵BD是腰上的中线
∴AD=DC=x
①若AB+AD的长为12，则2x+x=12
解得 x=4
∴AB=2x=8；
②若AB+AD的长为9，则2x+x=9
解得 x=3
∴AB=2x=6，
故答案为：8或6．
（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，
①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°；
②如图2，点A是底角顶点时，
顶角∠BCA=180°-40°×2=100°，③如图3，点A是顶角顶点时，
顶角∠BAC=180°-40°=140°，
综上所述，等腰△ABC的顶角的度数为40°或100°或140°．
故答案为：40°或100°或140°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据题意分情况讨论．
6．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把
这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这
两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中， ，点 D 在 边上，且 ，则 _____度；
（2）在 中， 和 是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，
且 ， ，则 的度数为____________．
【答案】 或 ．
【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设 ，表示出 与 ，列出关于x的
方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出 的度数；
（2）设 ，①当 时，利用三角形外角的性质得到 ，解得 ，②当
时，利用三角形内角和定理得到 ，解得 ．
【详解】解：（1） ，
，
，
， ，
设 ，则 ， ，
即 ，
解得 ，
则 ，
故答案为： ；
（2）设 ，
①当 时，如图：
，
；
②当 时，如图：
，
，
所以 的度数为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形
的性质是解题的关键．
7．（2022·内蒙古呼和浩特·统考一模）在 中， ， ， ，在直线BC上取
一点P使得 是等腰三角形，则可以考虑点P在线段延长线上和______上的情况；当点P在线段延长
线上时，等腰三角形PAB的腰长为______．
【答案】 线段BC； 2
【分析】分P在线段BC上和线段的延长线上，按照等腰三角形的边两两相等分三种情况分析即可求解．
【详解】解：可以考虑点P在线段延长线上和线段BC上的情况，如图，∵由题意可得：在直线BC上取一点P
∴当点P在线段BC上时，等腰三角形 ，
点P在线段BC延长线时，
等腰三角形 ， =2
等腰三角形 ， =2
点P在线段CB延长线上时
等腰三角形 ， =2
∴当点P在线段延长线上时，等腰三角形PAB的腰长为2
故答案为∶线段BC；2；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图， 是等腰三角形， 平分 ；点
是射线 上一点，如果点 满足 是等腰三角形，那么 的度数是____．
【答案】40°、70°或100°【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得 的度数，再分①当 时，②当
BC=BD时，③当BC=DC时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴ ,
∵BP平分 ，
∴ ,
①当 ,即D点在D 处时，此时
1
；
②当BC=BD时，即D点在D 处时，此时
2
，
③当BC=DC时，即D点在D 处时，此时
3
,
综上所述 的度数是40°、70°或100°，
故答案为：40°、70°或100°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底
角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．
9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．
由此，请你探究如下几个问题．
（1）如图1，在 中， ， ， ，直线 交 于D，求证： 与都为等腰三角形；
（2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等
腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；
（3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角
形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数
均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两
个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解．
【分析】（1）根据等边对等角， ，易得∠C=72°，∠1=∠2=36°，那么∠BDC=72°，则可得
AD=BD=CB，因此△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；
（3）只要所给的三个角中有2个角是2倍关系都可得到等腰三角形．
【详解】（1）证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C= （180°-∠A）=72°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2= ∠ABC =36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；
（2）解：如下图所示：
（3）解：如下图所示：
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分
为两个等腰三角形的一般结论．
10．（2023春·上海长宁·七年级统考期末）在 中， ，点 代别在 上，且
，联结 交 于点 ．(1)如图1， 是 底边上的中线，且 ，
①试说明 的理由；
②如果 为等腰三角形，求 的度数：
(2)如图2，联结 并延长，交 延长线于点G．如果 ， ，试说明 的理由．
【答案】(1)①说明理由见解析；② 减45°
(2)说明理由见解析
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出 ，利用ASA证明 ，根据全等三
角形的性质得出 ，再根据等腰三角形的性质即可得解；②要使 为等腰三角形，只有
，所以 ，得 ，然后分情况讨论：当 时，
， ；当 时， ， ，进而可以解决
问题．
（2）证明 ，即可解决问题．
【详解】（1）证明：①∵ ，
∴ ，
在 与 中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 底边上的中线，∴ ，
∴ ．
②根据题意可知：要使 为等腰三角形，只有 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 底边上的中线，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，所以 ，
显出 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
，
①当 时， ， ．
②当 时， ， ．
综上， 减45°．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 与 中 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形
两锐角互余的性质，解题的关键是得到 ．
11．（2023春·甘肃白银·七年级统考期末）如图，在等边 中， ，现有M、N两
点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为 ，点N的速度
为 ．当点N第一次到达点B时，M、N两点同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边 ？（提示：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形）
(3)当点M、N在 边上运动时，是否存在以 为底边的等腰 ？若存在，请求出此时点M、N运
动的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)M、N运动12秒后，M、N两点重合
(2)点M、N运动4秒后，可得到等边
(3)存在，点M、N运动的时间为16秒
【分析】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，根据题意，列出方程，解方程求解即可；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边 ．则 ， ，因为 是等
边三角形，所以 ，即 ，求解即可；
（3）设当点M、N在BC边上运动时，点M、N运动的时间为y秒， 是等腰三角形，所以， ，由 ，得 ，求解即可．
【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合．
根据题意，得 ，解得 ．
即M、N运动12秒后，M、N两点重合．
（2）解：如图，设点M、N运动t秒后，可得到等边 ．
根据题意，得 ， ，
因为 是等边三角形，所以 ，解得 ，
所以点M、N运动4秒后，可得到等边 ．
（3）解：当点M、N在 边上运动时，存在以 为底边的等腰 ．
由（1）知12秒时M、N两点重合，且恰好在顶点C处．
如图，假设 是等腰三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 是等边三角形，所以 ．
在 和 中，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ．
设当点M、N在 边上运动时，点M、N运动的时间为y秒， 是等腰三角形，
所以 ， ，由 ，得 ，解得 ．故假设成立．
所以当点M、N在 边上运动时，存在以 为底边的等腰 ，此时点M、N运动的时间为16秒．
【点睛】此题是三角形的综合问题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三
角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键，
注意分类讨论．12．（2023春·山东济南·七年级统考期末）在 中， ，点D是 上一点，将 沿
翻折后得到 ，边 交射线 于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对
应角相等）
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，是否存在这样的x的值，使得 是以 为腰的等
腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在， 或
【分析】（1）根据折叠的性质得到 ，根据平行线的性质定理证明；
（2）根据 ，求得 ，然后分 、 两种情况，
列方程解答即可；
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，∠B=∠CAF，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知： ，
∴ ， ，①当 时， ，
解得： ，
②当 时， ，
解得， ，
综上所述，当 或 时， 是以 为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三
角形内角和等于 、翻转变换的性质是解题的关键．
13．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）已知在 中， ，点 是边 上一点，
．
(1)如图1，试说明 的理由；
(2)如图2，过点 作 ，垂足为点 ， 与 相交于点 ．
①试说明 的理由；
②如果 是等腰三角形，求 的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②当 时， 或当 时， ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得 ，推得 ，根据等
腰三角形的判定即可证明 ；
（2）①根据三角形内角和可推得 ，设 ，则 ，推得
， ，即可得到 ；
②根据等腰三角形的性质进行分类讨论：当 时， ，推得 ，
，即可求得 ；
当 时， ，推得 ，即可求得 ；
当 时， ， ，故不存在 ．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）①∵ ，∴ ，
∵ ，∴
设 ，则 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
②∵ 是等腰三角形，
∴ⅰ） ；ⅱ） ；ⅲ） ，
ⅰ）当 时， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
ⅱ）当 时， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
ⅲ）当 时， ，
∵ ，
∴不存在 ．
综上所述，当 时， 或当 时， ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题
的关键．
14．（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三
角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当 和
为等腰三角形时， 为 的等腰分割线．
(1)如图2， 中， ，线段 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．求证： 是
的一条等腰分割线．
(2)如图3，在 中， ， ， ，请你用两种不同的方法完成 的等腰分割，
并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
(3)在 中， 为 的等腰分割线，且 ， ，请直接写出 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)第一种：等腰 的顶角 ，等腰 的顶角 ；第二种：等腰 的顶角
，等腰 的顶角 ；等腰分割见解析
(3) 或 或
【分析】（1）证明 ， ，从而得出结论；
（2） 是腰时， ， ； 是底时， ， ，可画出图形；
（3）分为 ， 及 三种情形，进一步得出结果．
【详解】（1）证明： 是 的垂直平分线，
，
， 是等腰三角形，
，
，，
，
是等腰三角形，
是 的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，
第一种：等腰 的顶角 ，等腰 的顶角 ；
第二种：等腰 的顶角 ，等腰 的顶角 ．
（3）解：如图2，
当 ， 时， ，
如图3，
当 ， 时， ，
如图4，
当 ， 时， ，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类讨论问题，三角形内角和定理，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
15．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，点O是等边 内一点，以OC为边作等边三角
形OCD，连接OD．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 为多少度时， 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2) 或 或
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明结论即可；
（2）分 、 、 三种情况，先用 表示出 三个角的度数，再利用等腰三角
形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
，
，
当 时， ，则 ，∴ ，
当 时， ，则 ，
∴ ；
当 时， ，则 ，
∴ ，
综上，当 为 或 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性
质、解一元一次方程，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求
解是解答的关键．
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
1．（2020秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在
边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此△同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运
动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当 APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
△
A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s
【答案】D
【分析】先根据时间和速度确定两动点P和Q的路程：AP＝BQ＝t，根据直角三角形30度的性质得AB的
长，分两种情况：当∠APQ＝90°和∠AQP＝90°，根据AQ＝2AP和AP＝2AQ列方程可得结论．
【详解】解：由题意得：AP＝BQ＝t，
Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴当△APQ是直角三角形时，有两种情况：
①当∠APQ＝90°时，如图1，∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，
∴6﹣t＝2t，
t＝2；
②当∠AQP＝90°时，如图2，
当0＜t≤3时，AP＝2AQ，即t＝2(6﹣t)，
t＝4（不符合题意），
当t＞3时，P与C重合，则AQ＝ ＝6﹣t，
t＝4.5，
综上，t的值为2s或4.5s；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形中的动点问题，涉及含30°直角三角形的性质，解题的关键是用时间和速度表
达出线段的长度，并熟悉直角三角形的性质．
2．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）等边 的边长为 ，点 、 分别
是边 、 上的动点，点 、 分别从顶点 、 同时出发，且速度都是 ，则经过______秒后，
是直角三角形．【答案】 或
【分析】根据题意得出 ，求出 ，根据等边三角形的性质得出 ，
①若 时， ，根据含 角的直角三角形的性质得出 ，得出方程
，求出方程的解即可；②若 ， ，根据 ，得出方程
，求出方程的解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
若 时， ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
若 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
所以当 或 时， 是直角三角形；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的应用，分情况讨论是解
题的关键．
3．（2023·湖北武汉·一模）如图，在 中， ， ，点P是BC边上的动点，设
，当 为直角三角形时，x的值是______．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论：① ，② ，分别作图利用等腰三角形的性质和三角形内
角和定理即可解出x．
【详解】①当 时，如图所示，
在 中，
， ,
②当 时，如图所示，在 中， ，
，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，等边三角形 中， ， 于点D，点E、F分别是
、 上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点C落在 上的点 处，当 是直角三角形
时， 的值为______．
【答案】 或
【分析】由等边三角形的性质可得 ，由 是直角三角形，分两种情况讨论，由含 的
直角三角形的性质可求 的长．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
由折叠可得 ，
分两种情况：
①若 ，
∵ ，
∴ ，则： ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，②若 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴
对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．（2023春·八年级课时练习）如图， 中， ，现有两点M、N分别从点A、点
B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为 /s，点N的速度为2 /s．当点N第一次
到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 _____秒后，可得到直角三角形 ．
【答案】 或 或 或9
【分析】分点N在 ， ， 上运动的三种情况，再分别就 和 列方程求解
可得．
【详解】当点N在 上运动时，如图3，若 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
如图4，若 ，
由 得 ，
解得 ；
当点N在 上运动时，点M也在 上，此时A，M，N不能构成三角形；
当点N在 上运动时，
如图5，
当点N位于 中点处时，由 是等边三角形知 ，即 是直角三角形，
则 ，
解得 ；
如图6，当点M位于 中点处时，由 时等边三角形知 ，即 是直角三角形，
则 ；
综上，当 或 或 或9时，可得到直角三角形 ．
故答案为： 或 或 或9．
【点睛】此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的定义与性质、一元一次
方程的应用，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
6．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，等边三角形 的边长是2，点 在等边三角形
的边 上（除点 外），以 为一边作等边三角形 ，顶点 、 、 逆时针排序．若三角形
是直角三角形时，则 的长度是____________．
【答案】1
【分析】根据等边三角形的性质以及三角形全等的判定可证 ，再根据 是直角
三角形，以及三角形内角和定理可求出 ，然后再根据含 直角三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：∵等边三角形 的边长是2，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ， ，又∵ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，含 角的直角三角形的三边关
系，解题关键是证出 ．
7．（2022秋·北京顺义·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，
点 为 中点，若动点 以1cm/s的速度出发，沿着由 的方向运动，设点E运动的时间为 秒，连
接 ，当 为直角三角形时 的值为______．
【答案】2秒或 秒．
【分析】先求出 的长，再分 时， 时，利用含 的直角三角形的性质求解
即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
当 时，而 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为 的中点，∴ ，
∴ ，则 ，
∴
当 时，如图，
由 ， ，可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
综上所述，t的值为2秒或 秒．
故答案为：2秒或 秒．
【点睛】本题考查了含 的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，清晰的分
类讨论 解本题的关键．
8．（2023·河北·模拟预测）如图，等边三角形 的边长为 ，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，
沿 方向匀速运动，点P的速度是 ，点Q的速度是 ，当Q到达C点时，P、Q两点停止
运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若 为直角三角形，则t的值是___________．
【答案】 或3【分析】用含t的代数式表示出 ， ，再分 和 两种情况，利用30度角所对的
直角边等于斜边的一半，列出等式，即可求解．
【详解】解： 等边三角形 的边长为 ，
， ，
由题意可知，点Q到达C点所用时间为： ，
．
t秒时， ， ，
若 为直角三角形，分以下两种情况：
当 时， ，
，
，
；
当 时， ，
，
，
，
综上可知，t的值是 或3．
故答案为： 或3．
【点睛】本题考查列代数式，等边三角的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是牢记直角
三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，注意分情况讨论，避免漏解．
9．（2022秋·浙江金华·八年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）如图，已知 ，P点是射线
上的一个动点， ，（1）当 ______时， 是直角三角形；
（2）设 ，则 满足______时， 是钝角三角形．
【答案】 6或24 或
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出 ，然后分类讨论，根据直角三角形的性质解答；
（2）根据（1）的结论和钝角三角形的定义解答．
【详解】解：（1）当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
故答案为：6或24；
（2）当 或 时， 为钝角三角形，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握 所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）在 中，若过顶点 的一条直线把这个三角形分割成两个三角
形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点 的二分割线．例如：
如图 ，在 中， ， ，若过顶点 的一条直线 交 于点 ，且 ，
则直线 是 的关于点 的二分割线．如图 ，已知 ， 同时满足：① 为最小角；
②存在关于点 的二分割线，则 的度数为______．
【答案】 或 或
【分析】根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论．
【详解】解：如图2所示： ，如图3所示： ，
如图所示： ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“ ABC的关于点B的二分割线”是解
题的关键． △
11．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，已知 是边长为 的等边三角形，动点P从A点
出发，以 的速度向B运动，同时点Q从B点出发以 速度向C运动，当Q点到达 点时，
两点停止运动．设点P的运动时间为t（ ），则(1) ___________ ， ___________ ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时， 是等边三角形？
(3)当t为何值时， 是直角三角形？
【答案】(1) ，
(2)2
(3) 或3
【分析】（1）根据等边三角形得到 ，再根据运动方向和速度可列代数式；
（2）根据等边三角形的判定得： ，列等式可得 的值；
（3）分两种情况：①当 时， ，则 ；②当 时， ，
则 ，分别求出 的值．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
， ，
故答案为： ；
（2） 是等边三角形，
，
当 时， 是等边三角形，
则 ，
解得： ，
当 时， 为等边三角形；（3）分两种情况：
①如图，当 时，
，
，
，
则 ，
解得： ；
②如图，当 时，
，
，
，
，
解得： ，由题意得： ，
当 或3时， 为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、 角的直角三角形的性质、动点运动问题，本题的关键
是熟练掌握等边三角形的性质和判定，要注意直角三角形分情况讨论．
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图1所示，在边长为12的等边 中，动点P以 的
速度从点A出发，沿线段 向点B运动设点P的运动时间为 ， ．
(1)当 _____时， 是直角三角形；
(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段 向点A运动，且动点P，Q均以 的速度同时出发，
那么当 _____时， 是直角三角形
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线 方向运动，且动点P，Q均以 的速度同时出发．当
点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接 交 于点D，过点P作 于E，试问线段
的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出 的长度．
【答案】(1)3
(2)2或4
(3)线段 长度不变，
【分析】（1）根据等边三角形的性质，当 ，即 为 的中点时， 是直角三角形，据此求
解即可；
（2）分①当 时，②当 时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解
即可；
（3）过 作 ，进而证明 ，可得 ，问题得解．
【详解】（1）解：依题意， ，当 是直角三角形时， ，
是等边三角形，
则此时 为 的中点，
，
，
故答案为：3；
（2）解：依题意， ， ，
①当 时，如图，
是等边三角形，
， ，
，则 ，
在 中， ，
，
，
即 ，
解得 ；
②当 时，如图，
同理可得 ，即 ，
解得 ；
综上所述，当t为 或 时， 是直角三角形；
（3）线段 长度不变，理由如下：
如图，过点 作 ，交 于点F，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
∴ ，
，
，
，
， ，
的速度相等，
，
∴ ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
13．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在等边 中，
厘米， 厘米．如果点 以3厘米/秒的速度运动．
(1)如果点 在线段 上由点 向点 运动，点 在线段 上由 点向 点运动．它们同时出发，若点
的运动速度与点 的运动速度相等．经过2秒后， 和 是否全等？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时， 是一个直角三角形？
(3)若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，点 从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出
发，都顺时针沿 三边运动，经过25秒点 与点 第一次相遇，请直接写出点 的运动速度是多少
厘米/秒？
【答案】(1) ，理由见解析
(2)当运动时间为 秒或 秒时， 是直角三角形
(3) 厘米/秒或 厘米/秒
【分析】（1）分别求出运动2秒后， 的长，然后利用 证明 即可；
（2）设运动时间为t秒，分别表示 和 ．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：当
；当 ；
（2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：点M运动速度快；点N运动速度快．分别列方程求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
由题意得，运动2秒后， 厘米， 厘米，
∴ 厘米，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ 厘米， 厘米，
∴ ；
（2）解：设运动时间为 秒， 是直角三角形有两种情况：当 时，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
解得 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述，当运动时间为 秒或 秒时， 是直角三角形；
（3）解：分两种情况讨论：
若点 运动速度快，则 ，解得 ；
若点 运动速度快，则 ，解得 ；
综上所述，点N的运动速度为 厘米/秒或 厘米/秒．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，一元一次方程的应用，解题的关键在于
运用分类讨论的思想列出方程求解．
14．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图①， 和 中， ， ，且
， ， 的延长线交 交于点 ．
(1)求证： ；(2)当 是等边三角形时，求 的度数；
(3)如图②，当 是直角三角形时，请直接写出 的度数为________；如图③，当 是任意等
腰三角形时，请直接写出 与 某个内角之间的数量关系为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ；
【分析】（1）先证明 ，再根据 即可证明 ；
（2）由 ，推出 ，再根据三角形的外角性质即可求解；
（3）同理证明 ，推出 ，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
， ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
设 ， 交于点 ，
则 ，
∴ ；
（3）解：当 是直角三角形时，
同理 ，
∴ ，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ， 交于点 ，
则 ，
∴ ；
当 是任意等腰三角形时，
同理 ，
∴ ，
设 ， 交于点 ，
则 ，
∴ ；
故答案为： ； ．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识与方法，
根据等腰三角形的性质得出三角形的两条边相等，据此根据判定证三角形的全等是解题的关键．
15．（2023春·河南郑州·八年级统考阶段练习）如图，已知等边 的边长为 ，现有两点 M、N
分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为 ，已知点 M的速度 ，点 N的速
度为 ．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．(1)当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
(2)当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时
M、N 运动的时间．
(3)当 为直角三角形时，运动时间t的值是
【答案】(1)线段 的中点，6
(2)存在，当M、N运动8秒时，能得到以 为底的等腰三角形
(3) ， ， ，9
【分析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
可得 ，再解方程即可；
（2）先证明 ，可得 ，再建立方程 ，即可得到答案；
（3）当点N在 上运动时，如图3，若 ，如图4，当 ，再利用含 的直角三
角形的性质列方程即可，当点N在 上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点
N在 上运动时，如图5，当点N位于 中点处时，由 为等边三角形知 ，如图6，当点
M位于 中点处时，由 时等边三角形知 ，即 是直角三角形，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：当点 N 第一次到达 B 点时， ，
此时 运动了 ，
∴点M的位置在线段BC的中点，
设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， ，
解得： ，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M．（2）当点M、N在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，AB=AC，
在 和 中，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
解得 ，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以 为底的等腰三角形．
（3）当点N在 上运动时，如图3，
若 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 ．如图4，当 ，
同理可得：由 得 ，解得 ；
当点N在 上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：
当点N在 上运动时，
如图5，当点N位于 中点处时，由 为等边三角形知 ，
即 是直角三角形，
则 ，解得 ．
如图6，当点M位于 中点处时，由 时等边三角形知 ，即 是直角三角形，
则 ；
综上，当 ， ， ，9时，可得到直角三角形 ．
【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含 的直角三角形的性
质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
16．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）在 中， ， 是边 上的动点，过点 作
交 于点 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．(1)如图1，若点 恰好落在边 上，判断 的形状，并证明；
(2)如图2，若点 落在 内，且 的延长线恰好经过点 ， ，求 的度数；
(3)若 ，当 是直角三角形时，直接写出 的长．
【答案】(1) 是等边三角形；见解析
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到 的长度．
【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：由折叠可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ ；
（3）解： 的长是 或 ，理由如下：当 时，点 在 内（如图所示）
∵ ，
∴ ，
∴
由折叠得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，点 在 外，
同理可得 ，
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质， 直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意
画出图形是解题的关键．
17．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）如图1，在 中， ， ，点 从点 出发沿
射线 方向，在射线 上运动．在点 运动的过程中，连接 ，并以 为边在射线 上方，作等
边 ，连接 ．(1)当 时， ___________；
(2)请添加一个条件：___________，使得 为等边三角形；
①如图1，当 为等边三角形时，求证： ；
②如图2，当点 运动到线段 之外时，其它条件不变，当 为等边三角形， 是以 为斜边
的直角三角形时，请直接写出线段 长度．
【答案】(1)
(2) ；（答案不唯一）；①见解析；②4
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 ，继而由含 度角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用含一个 角的等腰三角形是等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的
判定证明 ，从而利用全等三角形的性质求解；②利用等边三角形的性质求得 ，
， ，再根据 是以 为斜边的直角三角形，求得 ，进而根
据含 度角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）当 时，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵在 中， ，
∴当 时，可得 ABC为等边三角形；
故答案为 ；（△答案不唯一）
①如图1中，∵ 与 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
②如图2中，
∵ 与 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，即 ，
又 ，
∴ ,
∴ ,
又 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查含 角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，熟练掌
握基本知识点是解题关键．
