文档内容
专题13.3 等腰三角形的性质和应用（8个考点）
【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】
【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】
【考点4：判断等腰三角形的个数】
【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【考点6：等腰三角形的判定】
【考点7：等腰三角形的判定与性质】
【考点8 ：等腰三角形的实际应用】
【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
1．（2024春•丰顺县期中）等腰三角形的一边为 3，另一边为8，则这个三角形的周长
为（ ）
A．14 B．19 C．11 D．14或19
【答案】B
【解答】解：当腰长为3时，则三角形的三边长为：3、3、8；
∵3+3＜8，∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为8，则其周长＝8+8+3＝19．
故选：B．
2．（2024•广西模拟）△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴DC＝BD，∵△ABC的周长是14，
∴AB+BD＝7，
∵AB＝5，
∴BD＝2，
故选：B．
3．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点
E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC ＝2S△ABD ＝2× AB•DE＝AB•DE＝5AB，
∵S△ABC ＝ AC•BF，
∴ AC•BF＝5AB，
∵AC＝AB，
∴ BF＝5，
∴BF＝10（cm），
故选：B．
4．（2024•渝中区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O为AC的中点，连接
BO，在BO上取一点E，使得AE＝BE，若AB＝10，AC＝12，则BE的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵AB＝BC，点O为AC的中点，AC＝12，
∴BO⊥AC，AO＝ AC＝6，
∵AB＝10，
∴BO＝ ＝ ＝8，
设BE＝x，则EO＝BO﹣BE＝8﹣x，
∵AE＝BE，
∴AE＝x，
在Rt△AEO中，
∵AO2+OE2＝AE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ．
故选：A．
【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】
5．（2024春•三水区期中）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，则∠C的度数为（
）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴ ，
故选：A．6．（2024•息县二模）如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径
画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【解答】解：∵以顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BCD，
∵∠B＝30°，∠BCD＝∠BDC，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝105°，
故选：C．
7．（2024•碑林区校级四模）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点
C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（ ）
A．112° B．102° C．107° D．117°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，∵a∥b，
∴∠DAB+∠CBA＝∠2+∠CAB+∠CBA＝180°，
∵∠2＝34°，
∴∠CAB＝73°，
∴∠DAB＝34°+73°＝107°，
∴∠1＝∠DAB＝107°，
故选：C．
8．（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵一个等腰三角形的顶角等于140°，
且等腰三角形的底角相等，
∴它的底角＝ （180°﹣140°）＝20°，
故选：B．
9．（2024•岱岳区校级模拟）如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝
BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为（ ）
A．64° B．74° C．56° D．66°
【答案】B
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CBA＝∠CAB＝ ，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+44°＝74°．
故选：B．
10．（2023秋•龙华区校级期末）如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝
70°，则∠1等于（ ）A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠1＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA，
∵∠BAC＝70°，
∴∠OAB+∠OAC＝70°，
∴∠OBA+∠OCA＝70°，
∴∠1+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝40°，
∴∠1＝∠OCB＝20°，
故选：A．
11．（2023秋•乐山期末）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则
∠BAC的度数为（ ）
A．28° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠EAB＝∠ACD＝ ，∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，
故选：B
【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】
12．（2022秋•屯昌县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，
△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（ ）
A．11 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周长为24，
∴BD+CD+BC＝24，
∴AB+BC＝24，
∵BC＝10，
∴AC＝AB＝24﹣10＝14．
故选：B．
13．（2023秋•芜湖期中）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D．交AB于
点E，若∠B＝35°，AE＝AC，则∠ACD的度数为（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠B＝35°，
∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝70°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝70°，
∴∠ACD＝∠ACE+∠BCE＝105°．
故选：B．
14．（2022秋•海兴县期末）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C
＝64°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．18° C．12° D．10°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝64°，
∴∠C＝∠ABC＝64°，
∴∠A＝180°﹣64°×2＝52°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝52°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝12°，
故选：C．
15．（2023春•西安期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE
交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接
BE，BQ，则∠EBQ＝（ ）
A．62° B．58° C．52° D．46°
【答案】C【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°，
∴∠A＝∠C＝32°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点
P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°，
故选：C．
16．（2022秋•济阳区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分
线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．12 B．8 C．15 D．13
【答案】C
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵腰长AB＝10，
∴AC＝AB＝10，
∴△BEC周长＝10+5＝15．
故选：C．
【考点4：判断等腰三角形的个数】
17．（2023秋•东平县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平
分∠ABC和∠ACB，相交于点F，则图中等腰三角形共有（ ）
A．7个 B．8个 C．6个 D．9个【答案】B
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠A）＝72°，
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°，∠ACE＝∠BCE＝ ∠ACB＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
同理∠BEC＝72°，
∠EFB＝∠DFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，∠A＝∠ABD＝36°，∠BEC＝∠ABC＝72°，∠BDC＝∠ACB＝
72°，∠BEF＝∠EFB＝72°，∠BDC＝∠DFC＝72°，∠FBC＝∠FCB＝36°，
∴△ABD，△ACE，△FBC，△EFB，△DFC，△BDC，△BEC，△ABC都是等腰三角
形，共8个等腰三角形，
故选：B．
18．（2023 秋•朝阳区校级期中）根据图中所示的角度，找出等腰三角形的个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】
解：∵∠ODC＝∠OCD＝36°，
∴∠AOC＝∠ADC+∠OCD＝72°，
∵∠A＝∠B＝72°，∴∠A＝∠B＝∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝CO，OD＝OC，BD＝OD，
∵∠BCD＝36°，∠B＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠B，
∴BC＝CD，
同理AD＝CD，
即等腰三角形有△ACO、△BDO、△ADC、△BCD、△OCD，共5个，
故选：D．
【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
19．（2023秋•沂南县期中）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点（小正方形的顶
点）A，B，连接AB，在网格
中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：如图：
分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C ，C ，C 即为所求；
1 2 3当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C ，C ，C ，C ，C 即为所求；
4 5 6 7 8
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点C的个数是8，
故选：C．
20．（2023秋•汇川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，点P为直线
CB上一动点，并沿直线CB从右向左移动．若点P与△ABC三个顶点中的至少两个顶点
构造成等腰三角形时，则将点P在直线CB上进行标记，那么满足条件的点P的位置有
（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解答】解：如图：
∵在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
当∠CAP＝∠CPA＝35°时，△CAP为等腰三角形；
当∠ABP＝∠BAP＝70°时，△BAP为等腰三角形；
当P与C重合时，△APB为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当∠ACP＝∠CAP＝70°时，△CAP为等腰三角形；
当∠BAP＝∠BPA＝35°时，△BAP为等腰三角形；
综上，满足条件的点P的位置有6个．
故选：C．21．（2023秋•惠东县期中）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上
的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P
的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【解答】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
22．（2023秋•西山区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为
（3，4），点P是坐标轴上的一点，使△OAP为等腰三角形的点P的个数有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解答】解：如图，满足条件的点P的个数为8个．故选：D．
23．（2023秋•吕梁期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴上，
OB＞OA，若点M在y轴上．且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：如图：分三种情况：
当BA＝BM时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交y轴于点M ，M ，
1 2
当AB＝AM时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交y轴于点M ，
3
当MB＝MA时，作AB的垂直平分线交y轴于点M ；
4
综上所述：若点M在y轴上，且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有4个，
故选：A．
24．（2023秋•靖西市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC
或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，共2个点；
②第2个点是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），
交射线AC于一点，共2个点；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC
的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．∴答案应该是2+2+3﹣2＝5个点
故选：C．
【考点6：等腰三角形的判定】
25．（2023秋•无为市期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，求证：△CDE
是等腰三角形．
【答案】见解析过程．
【解答】证明：∵CD是△ABC 的角平分线，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BC∥DE，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC，
∴△CDE是等腰三角形．
26．（2023秋•志丹县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的
平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接
AF．求证：
（1）EF是AB的垂直平分线；
（2）△ACF为等腰三角形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD是∠ABC的平分线，
∴ ，
∴∠ABD＝∠BAD＝36°，
∴AD＝BD，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，AE＝BE，
∴EF是AB的垂直平分线；
（2）∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝72°，
∴∠CAF＝∠CFA＝36°，
∴△ACF为等腰三角形．
27．（2023秋•云梦县期中）如图，AB∥CD，AC平分∠BCD，求证：△ABC是等腰三角
形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴CB＝BA，
∴△ABC是等腰三角形．
28．（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝ ∠C，AB＝AC，BD＝AD．
（1）求∠A的度数．
（2）求证：△DBC是等腰三角形．【答案】（1）36°；（2）见详解．
【解答】（1）解：设∠A＝x．
∵∠A＝∠ C，AB＝AC，
∠ABC＝∠ACB＝2∠A＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
解得 x＝36°，
∴∠A＝36°，
（2）证明：由（1）可知∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，即△DBC是等腰三角形．
29．（2022秋•西峰区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
DE∥BC．求证：△EBD是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．∴∠EDB＝∠ABD．
∴BE＝ED．
即△EBD是等腰三角形．
【考点7：等腰三角形的判定与性质】
30．（2023秋•拱墅区期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，
AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长；
（2）求证：△AEG是等腰三角形．
【答案】（1）8；（2）见解答．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG＝90°，
∵EA＝EG，EF⊥AG，
∴AG＝2FG，
∵G为CE中点，
∴EG＝GC＝EC，
∵EB＝EC＝10，
∴GC＝EC＝5，
∵∠EFG＝∠CDG＝90°，∠EGF＝∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS），
∴FG＝DG，在Rt△CDG中，CD＝3，
∴DG＝ ＝4，
∴FG＝DG＝4，
∴AG＝2FG＝8，
∴AG的长为8．
（2）∵BE＝CE，EF⊥BC，
∴∠BEF＝∠CEF
∵EF∥AD，
∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴EA＝EG，
∴△AEG是等腰三角形．
31．（2023秋•青秀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分
∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）108°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝36°，
∴∠AEB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠DAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠AED＝∠CEB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠AED，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
32．（2023秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，
DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．
求证：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，
∴DH＝FH，在△AFH和△BFE中，
，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，
∴DH＝FH＝EF，
∴DF＝2EF．
33．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平
分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：△BCD为等腰三角形．
（2）求∠EDC的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠EDC＝55°．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴DB＝DC，
∴△BCD为等腰三角形；（2）解：∵∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵DB＝DC，E为BC的中点，
∴ ．
34．（2023秋•河北区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD
的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．
（1）求证：BC＝EC．
（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）46°．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝ ∠ABC．
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∴∠CBF＝∠E，
∴BC＝CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ABC＝52°，
∴∠BCD＝128°．
∵F是BE的中点，BC＝CE，
∴CG平分∠BCD，
∴∠GCD＝ ∠BCD＝64°，∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，
∴∠CGD＝110°﹣64°＝46°．
35．（2023秋•龙泉市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点
O．过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E．
（1）求证：△BOD为等腰三角形；
（2）若BD＝6，DE＝11，求EC的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠OBC，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DOB＝∠OBC，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝DO，
即△BOD为等腰三角形；
（2）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴DE＝BD+CE，
∵BD＝6，DE＝11，
∴CE＝11﹣6＝5．
36．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交
∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝ （180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．【考点8 ：等腰三角形的实际应用】
37．（2022秋•铁锋区期中）数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔 M在北
偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M
的距离是 1 4 海里 ，灯塔M在轮船的 南偏东 60 ° 方向上．
【答案】（1）14海里；
（2）轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向．
【解答】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠BMA，
∴∠BMA＝30°，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴AB＝BM，
∴AB＝28×0.5＝14，
∴BM＝14，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴CM＝BC，∠BCM＝60°，∴CM＝14，
答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向上，
故答案为：14海里，南偏东60°．
38．（2022秋•新会区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，
1nmile/h＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得
∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从海岛B到灯塔C的距离．
【答案】从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
