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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 - 解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等 边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 - 易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角）；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计 算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰 中， ，若 ，则 的度 数为______． 目 录 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2.方法：设顶角或底角为x，利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰 ， ， ，则 ________． 变式1-2（25-26 七年级上·山东烟台·期末）如图， ， ， 于点 ，若 ， 则 的度数为_________． 变式1-3（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在 中，已知 ， 的角平分线 交 于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的度数为____________． 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中， ， ， 是 的 垂直平分线， ，则 的长度为______． 题型模版 1.特征：已知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式2-1（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，在 中， ， ， 的垂直平分 线分别交 ， 于点 ， ，若 ，则 的长为______． 变式2-2（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在 中， 是 边上的点， ， 点 在 的垂直平分线上， ，则 的长为_____． 变式2-3（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰三角形 中， ， ，点 为线段 上一点， ， ，若 ，则 的值为___________． 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3（25-26 八年级下·江西九江·期末）将 绕直角边 的中点 旋转，得到 ．且 的直角顶点 落在 的斜边 上， 所在直线与 所在直线交于点 ，如图，若 是等腰三 角形，则 的度数为__________． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2.方法：分类讨论（如锐角/钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，在 中， ， ，点 在直线 上，连接 ，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时， 的度数为_______． 变式3-2（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， ，将边 绕点 顺时针旋转 （ ）得到线段 ， 的垂直平分线 交直线 于点 ，在旋转过程中，当 ， ， 三 点共线时， 的度数为______． 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图， 是 的高， 平分 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，并交 于点 ．若 ，则下列结论中： ① ；② ；③ ；④ ． 正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 题型模版 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式4-1（25-26 八年级上·北京丰台·期中）在 中， ， ，将 按如图所示的 方式依次折叠： 有下面四个结论： ① 平分 ；② ；③ ；④ 的周长等于 的长．所有正确结论的序 号为_____． 变式4-2（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中，点 分别在边 上， ， 是 的平分线， ．给出下面四个结论：① ；② ；③若 ，则 是等边三角形；④若 平分 ，则 ．上述结论中，正确结论的序号有______． 变式4-3（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，在 直角 中， ， ，点 为 中点，直角 绕点 旋转， ， 分别与边 ， 交于 ， 两点，下列结论： 是等 腰直角三角形； ； ； ，其中正确结论是___________ 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形 的对角线 ， 交于点 ，点 在 上， ， ， ． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)若 ，求证： ． 题型模版 1.特征：已知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2.方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰 中， ，点 是线段 延长线上一点，点 在线段 上，连接 交 于点 ， ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 变式5-2（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 、 于 点 、 ，连接 ，过点 作 于点 ，点 在 上，连接 ， 与 互余． (1)判断 与 的位置关系，并说明理由． 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 ， ，求 的长． 变式5-3（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1， 是等腰三角形， ， ， 过点B 作 于点C，在 上截取 ，连接 、 并延长 交 于点P； (1)求证： ； (2)试说明 平分 ； (3)如图2，将 绕着点C 旋转一定的角度，那么 与 的位置关系是否发生变化，说明理由． 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6（25-26 八年级下·广东深圳·期末）如图，点 是 的边 的中点，且恰好在 的平分线上， ， ，垂足分别为 ， ． (1)求证： 是等腰三角形； (2)若 ， ，求 的长． 题型模版 1.特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2.方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1（25-26 八年级下·陕西西安·期末）在 中， ， ， 平分 ，交 边 于点D，点A 与点E 关于 所在直线对称，连接 ，延长 交 于点F．求证： 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1) 是等腰三角形； (2) ． 变式6-2（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知在 中， ，分别过 ， 两点作互相平行 的直线 ， ，过点 的直线分别交直线 ， 于点 ， ． (1)如图1，若 ，求证： ； (2)如图2， ，判断线段 ， 与 之间的关系，并说明理由． 变式6-3（25-26 七年级下·福建泉州·期末）在 中， ， ， (1) 平分 ，交 于点 ，点 为 延长线上的一点． ①如图1，当点 为线段 上一点时，连接 ，若 ，则 是________三角形； ②如图2，当点 为线段 的延长线上一点时，若 ，求证： ； (2)如图3，在 上取点 ，使得 ，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为 ，取 的 中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于点 ，连接 ， ①请补全图形； ②求证： ． 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）在等腰 ABC 中，若 110 A = ，则 B 的度数为（ ） A．35 B．110 C．110或35 D．70 2．（25-26 八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为120，腰长为3cm ，则这个等腰三角形的底边 长为（ ） A．12cm B．3 3cm C．3cm D．6 3cm 3．（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ，点E 在CA 的延长线上，EP BC ⊥ 于 点P ，交AB 于点F ，若 2 AF = ， 3 BF = ，则CE 的长度为（ ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 4．（25-26 八年级上·湖南郴州·期末）约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O转 动，C 点固定，OC CD DE = = ，点D ，E 可在槽中滑动，若 66 BDE = ，则 AOB 的度数是（ ） A．22 B．33 C．44 D．66 5．（25-26 八年级上·北京大兴·期末）如图，在 ABC 中，AC BC = ， 45 ACB = ，BD AC ⊥ 于点D，CE AB ⊥ 于点E，BD与CE 相交于点F．给出下面三个结论：① 22.5 EBF = ；② 2 CF AE = ；③BC BD DF = + ．所 有正确结论的序号是（ ） 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 6．（2025 八年级上·全国·专题练习）在 ABC 中， 60 4 A B BC = = = , ，则AC = ． 7． （25-26 八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形 ABC 中，AB AC = ，在AC 上取一点F ，使FC BC = ， 过点F 作FD BC ⊥ 交BC 于点D ，过点C 作CE AB ⊥ 交AB 于点E，CE 交DF 于点O．若 152 AFD = ，则 EOF = °． 8．（25-26 八年级上·辽宁营口·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 90 BAC = ，点D 为BC 的中点， 点E 为CA 延长线上一点，连接DE 交AB 于点G ，过点D 作 ⊥ DF DE ，与AB 的延长线相交于点F ，若 4 BF = ， 2 AG = ， DGF △ 的面积是36，则BD的长为 ． 9．（25-26 八年级上·陕西商洛·月考）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 140 BAC = ， AEC △ 和 AEF △ 关 于直线AE 对称，BAF 的平分线交BC 于点D ，连接DF ．当DEF 是以DE 为腰的等腰三角形时，DEF 的度数为 ． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10．（25-26 八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC是长方 形，点A，C 的坐标分别为 ( ) 10,0 A ，( ) 0,4 C ，点D 是OA的中点，点P 在BC 上运动，当ODP 是腰长为5 的等腰三角形时，点P 的坐标为 ． 三、解答题 11．（25-26 八年级上·广东汕头·期末）如图，ABC 中，AB AC = ， B 的平分线交AC 于D ，AE BC ∥ 交 BD的延长线于点E ，AF AB ⊥ 交BE 于点F ． (1)若 40 BAC = ．求 AFE 的度数； (2)若AD CD = ， 2 AF = ，求BF 的长． 12．（25-26 八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在 ABD △ 中， 100 BAC = ，AD平分 BAC （D 为ABC 外一点）， 80 ADB = ． (1)求证： ABD △ 是等腰三角形； (2)如果CD AC ⊥ ，求证： 2 AB AC = ． 13．（24-25 八年级下·广东清远·期中）如图，在 ABC 中，BAC 的平分线交BC 于点D，过点D 作DE AB ∥ 交AC 于点E． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： AED △ 是等腰三角形； (2)若 110 C = ， 30 B = ，求 AED 的度数． 14．（25-26 八年级上·广西南宁·期中）已知，ABC 中， , BAC AB AC = = ，点D，E 分别在BC ，AC 边 上( D 不与B 、C 重合)，且 BAD CDE = ． (1)如图1，若 60 = ，则 B =___________；若AD平分 BAC ，则 ADE 的度数为___________． (2)如图2，若 90 = ，且点D 是BC 边上的任意一点． ①当AD DE = 时，求证： ABD DCE ≌ △ △ ； ②求证： ADE 的度数为定值．（定值是指在某个变化过程中，始终保持不变的量或数值） (3)如图3，若 100 = ，当 BDA 等于多少度时， ADE 是等腰三角形？
