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1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 题型二、根据等边三角形的性质求边 题型三、与等边三角形有关的多解题 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 题型六、含30°角的直角三角形 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。 - 解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三 角形；常作高线构造含30°的直角三角形。 - 易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件；忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定；30°直 角三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 典例1（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）如图， 是等边三角形，若 ， ， ，则 _____ ． 目 录 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。 2.方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。 变式1-1（2026·广东潮州·一模）如图，是等边三角形 中 边上任意一点，以点 为中心，把 顺时针旋转 得到 ．若 ，则 ________． 变式1-2（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边 中，点D，E分别是BC，AC 的中点， ， 点P 是AD 边上的一个动点，当 最小时，求 ______°． 变式1-3（25-26 八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，等边 的边长为2， 是 的中点，点 在 线段 上，连接 ，在 的下方作等边 ，连接 ， ，则 的度数是________，当 的周长最小时， 的度数是________． 题型二、根据等边三角形的性质求边 典例2（25-26 八年级下·四川达州·阶段检测）已知 为等边三角形， 为 的高，延长 至 E，使 ，连接 ，则 _____． 3 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：已知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2 倍边长。 2.方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1:√3:2，列式求解。 变式2-1（25-26 八年级下·河南平顶山·期末）如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ， 于点 ，若 ， 的长为________ ． 变式2-2（25-26 七年级下·海南海口·期末）如图，在等边 中，点 是边 上的一点， 关于 成轴对称，则 的度数是________°；点 是边 上任意一点，点 是边 上任意一点，若 ，则 的最小值是________． 变式2-3（25-26 七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点 是等边三角形 内任意一点，过点 向三边作垂线，垂足分别是 ，， ，若 ，则 的值为________． 题型三、与等边三角形有关的多解题 典例3（25-26 七年级下·四川成都·期末）在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上， 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 且 ．若 的边长为2， ，则线段 的长为________． 题型模版 1.特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。 2.方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。 变式3-1（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边 边长为 为 上一点， ．动 点 由 出发以 的速度沿 边向点 运动，同时动点 由点 出发以 的速度沿 边向点 运 动．若存在某一时刻使得 与 全等，则 _____ ． 变式3-2（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边 ，点D 为射线 上一点，连接 ，作 ，交直线 于点E．若 ，则 的长为_______． 变式3-3（25-26 七年级下·江西九江·期末）在等边 中，点 是 的中线 上一点， ， 点 是 边上一点，若 ，则 的度数为________． 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26 八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB 的同一侧作 和 ， 和 都是等边三角形，连接 、 交于点H，下列选项正确的序号是______． ① ；② ；③ ；④连接 ，则 平分 ； 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等）逐一推理论证或排除。 5 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-1（25-26 七年级下·四川达州·阶段检测）分别以 的两边 、 向形外作等边 和等 边 ， 、 分别交 、 于点H、G， 、 相交于点F，连接 并延长交 于M 点， 则下列结论中正确的是______．（填序号） ① ；② ；③ ；④ 平分 ；⑤ 平分 ． 变式4-2（25-26 八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知等边三角形 ，点 在 上， 点 在 的延长线上， 于点 于点 交 于点 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中一定正确的是____．（填序号） 变式4-3（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图，在等边 中， 于 ， 是线段 上一 点， 是边 上一点，且满足 ， 是 的中点，连接 ，则下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤当 时， ．其中正确的结论是 ________．（填序号） 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 典例5（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在 中， ， ，点 是 外 一点，连接 、 ， ，过点 作 分别交 、 于点 、 ． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： 是等边三角形； (2)连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长． 题型模版 1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。 2.方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。 变式5-1（25-26 八年级下·内蒙古·期末）如图， 是等边三角形， 是 的中点， ，垂 足为 ， 是由 沿 方向平移得到的，连接 ，已知 过点 ， 交 于点 ． (1)求 的度数； (2)若 ，求 的长度； (3)求证： 是等边三角形． 变式5-2（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点 为线段 上一点． ， 是等 边三角形，线段 ， 交于点 ，线段 ， 交于点 ，连接 ． (1)求证： ； 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)求证： 为等边三角形； (3)将 绕点 按逆时针方向旋转 ，其他条件不变，如图 ．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否 仍然成立（不要求证明）． 变式5-3（25-26 八年级上·辽宁大连·期末）在 中， ， 是高，E 是 上一 点． (1)如图1，若 平分 ， ①求 的度数；（用含 的式子表示） ②求证： ． (2)如图2，当 ， 时，若点F 在射线 上，且 ，求 的值． 题型六、含30°角的直角三角形 典例6（26-27 八年级上·全国·开学考试）如图，已知 ，点P 在边 上， ，点M，N 在边 上， ．若 ，则 的长是____． 题型模版 1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1:√3:2。 2.方法：利用特殊角边比关系，已知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。 变式6-1（25-26 八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱 垂直于横梁 ， ， ， ，则 的长度为______m． 8 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-2（2026·四川攀枝花·中考真题）在 中， 是 边上的中线， ， 则 的面积为_______． 变式6-3（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在 中， ， ， ， 的平分线 交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是__________． 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 典例7（26-27 八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位： ）测量某三角形 部件的尺寸．已知 ，点D 为边 的中点，点A，B 对应的刻度分别为2，8，则 的长为_____ 题型模版 1.特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。 2.方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。 变式7-1（25-26 八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点 和 顶点 分别在 轴正半轴及 轴正半轴上运动，若 ， ，则在运动过程中，线段 的最大值是 _____． 9 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式7-2（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 中， ， ， ， ， 线段 的两个端点 ， 分别在边 ， 上滑动，且 ，若点M，N 分别是 ， 的中点，则 的最小值为_____． 变式7-3（25-26 八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图， 中， ， ， 的垂直平分 线相交于点P，分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G． ，若 的周长是 ， 则 ________ ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 九年级上·云南曲靖·期末）在 ABC 中， 90 30 2 C A BC = = = ， ， ，则AB 的长为（ ） A．2 B．4 C．2 3 D．4 3 2．（25-26 八年级上·贵州黔南·期末）如图，在等边 ABC 中，点D，E 分别在AB BC ， 上，且BD CE AE = ， 与CD相交于点F，则 AFD 的度数为（ ） 10 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．30 B．60 C．45 D．50 3．（25-26 八年级上·北京西城·期末）如图，在 ABC 中，BA BC = ， 120 ABC = ，, P Q 分别是边 , AC BC 上的两个动点，连接 , BP PQ ．若当BP与PQ 的和最小时，PQ 的长为1，则AC 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（25-26 八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边 ABC 中，P 为边AB 上的一点，若 30 APE = ，D 为 边AC 上的一点，连接PD交BC 的延长线于点Q ，当PA CQ = 时， 1 DE = ，则 ABC 的周长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）等边ABC ， 点 D 、E 分别是 BC 、AC 上的点且BD EC = ， 连接AD、BE 相交于点 P ，以下结论： ①ABD BCE ≌ ；②1 2 = ；③ABE CAD ≌ ；④ 3 PAE = ； 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题 6． （25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，点D 为等腰 ABC 底边BC 上一点，且AD BD = ，如果 120 BAC = ， 5 BC = ，则AD = ． 7．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含30角的直角三角板和直尺按如图所示的方 式放置，若 60 ADC = ，点E，F 表示的刻度分别为2，6，则线段AF 的长为 ． 8．（25-26 八年级上·天津西青·期末）如图，已知等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BC 延长线上 一点，且CE CD = ，作DM BC ⊥ ，垂足为M，连接DE ，若 12 AB = ，则BM 的长度为 ． 9． （25-26 八年级上·陕西西安·月考）在等边 ABC 中，BD是AC 边上的中线，点E 是AB 边上一点，若BDE 为等腰三角形，则 EDA = ． 10．（25-26 八年级上·天津·期中）如图， ABC 是边长为6 的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由点A向 点C 运动（与A，C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由点B 向CB 延长线方向运 动（点Q 不与点B 重合），过点P 作PE AB ⊥ 于点E ，连接PQ 交AB 于点D ． （1）若设AP x = ，则PC ；（用含x 的式子表示） （2）当 30 BQD = 时，求CQ = ； （3）在运动过程中，线段DE 的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE 的长；如果变化，请说明理 由 ． 12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题 11．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图， ABC 是等边三角形，点D 是AC 边上一点，延长BC 至E， 使CE AD = ．若点D 是AC 的中点． (1)求证：BD DE = ； (2)延长ED交AB 于点F，若 15 BF CE + = ，求AF 的长． 12．（2026 八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含30角的直角三角板ABC 和ADC 按右图所示的方式 摆放， ABD 的平分线交AD于点E ，交AC 于点F ． (1)求证：AF EF = ． (2)若 5 CF = ，求DE 的长． 13．（25-26 八年级上·河南洛阳·月考）如图，已知AE BC ⊥ ， 120 ADB = ， 30 CAE = ． (1)求证：ACD 为等边三角形； (2)若 42 B = ，求 BAC 的度数． 13 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14．（25-26 八年级上·广东汕头·期末）如图1，ABC 是等边三角形，延长AB 至点D ，过点D 作DE BC ∥ ， 交AC 的延长线于点E ． (1)求证： ADE 是等边三角形． (2)如图2，延长DE 至点F ，使得EF AB = ，连接CF ，CD．求证：CF CD = ． 15．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在 ABC 中， 90 BAC = ，且 , AB AC D = 是BC 边上动点（不 与 , B C 重合），点E 在AC 边上，连接 , , , AD DE AD AE AF = 平分 BAD 交BC 于点F，连接EF ． (1)当 AEF △ 为等边三角形时，求 EDC 的度数； (2)探究 BAF 与 EDC 之间的数量关系，并说明理由． 16．（25-26 八年级上·山东德州·期末）如图，已知在等边三角形ABC 中，点D、E 分别在直线AB、直线AC 上，且AE BD = ． (1)当点D、E 分别在边AC 、边AB 上时，如图1 所示，EB与CD相交于点G，求 CGE 的度数； (2)当点D、E 分别在边CA、边AB 的延长线上时，如图2 所示， CGE 的度数是否变化？如不变，请说明 理由．如变化，请求出 CGE 的度数． 17．（24-25 八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是 ABC 内一点，D 是 ABC 外的一点， 110 AOB = ， BOC = ，BOC ADC ≌ ， 60 OCD = ，连接OD ． 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：OCD 是等边三角形； (2)当 150 = 时，试判断 AOD △ 的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时， AOD △ 是等腰三角形． 18．（25-26 八年级上·广东湛江·期中）如图，在 ABC 中， cm 9 AB AC BC = = = ，点M 、N 分别从点A、 点B 同时出发，沿 ABC 的边运动，已知点M 的速度是1cm/s ，点N 的速度是2cm/s，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动． (1)点M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？ (2)点M 、N 同时运动几秒后，可得到等边AMN ？ (3)点M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ，如果能，请求出此时M 、N 运动 的时间． 19．（25-26 八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知 ABC 是等边三角形，点P 是边AC 上一点． (1)如图1，过点P 作PF BC ∥ ，交AB 于点F ，图中有 个等边三角形； (2)如图2，点P 在AC 上运动(不与A C ，重合)，点Q 是CB 延长线上一点，且BQ AP = ，过P 作PE AB ⊥ 于 E，连接PQ 交AB 于D ，试说明：在点P 运动的过程中，线段ED的长是定值(即 1 2 DE AB = )； (3)若将条件中“ ABC 是等边三角形”改为“ ABC 是等腰三角形，CA CB = ”，如图3 所示，（2）中的结论是 否还成立？请说明理由． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20． （25-26 八年级上·辽宁大连·期中） （1）在 ABC 中，点D，E，F 分别在边 , , AB BC AC 上，且满足 = DE EF ， 60 DEF = ． ①如图（1），若 ABC 为等边三角形，求证：BD CE = ； ②如图（2），若 90 A = ， =60 B ，且 5, 8 AD CE = = ，求BE 的长； （2）如图（3），在四边形ABCD中， 60 BAD BCD = = ，BC CD = ．过点C 分别作 , AB AD 的垂线，垂 足分别为M，N．若 2 BM DN = ，求AB AD 的值．
