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1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 - 解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等 边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 - 易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角）；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计 算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰 中， ，若 ，则 的度 数为______． 目 录 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 / 度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据题意可知 ，据此即可求得答案． 【详解】∵ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为： 题型模版 1.特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2.方法：设顶角或底角为x，利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰 ， ， ，则 ________． 【答案】 /15 度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明 为等边三角形，可得 ，可得 的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵等腰 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 变式1-2（25-26 七年级上·山东烟台·期末）如图， ， ， 于点 ，若 ， 则 的度数为_________． 3 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 /65 度 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，直角三角形的性质．根据直角三角形两锐角互余求得 的度数，利用等边对等角求得 ，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 变式1-3（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在 中，已知 ， 的角平分线 交 于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的度数为____________． 【答案】 /20 度 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，得到 ，进而得到 ，根据 等腰三角形的性质，得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 故答案为： ． 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中， ， ， 是 的 垂直平分线， ，则 的长度为______． 【答案】 【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质得到 ，进而得到 ，求出 ，利用 直角三角形的性质可得 ，由 ，即可求解． 【详解】解：连接 ， 是 的垂直平分线， ， ∵ ， ， ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 5 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 题型模版 1.特征：已知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 2.方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式2-1（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，在 中， ， ， 的垂直平分 线分别交 ， 于点 ， ，若 ，则 的长为______． 【答案】 【分析】连接 ，由垂直平分线性质可得 ，所以 ，然后求出 ， 最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 变式2-2（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在 中， 是 边上的点， ， 点 在 的垂直平分线上， ，则 的长为_____． 6 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得 ，再根据线段垂直平分线的性质得 ，即得到 ， ，进而根据直角三角形的性质得到 ，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握 知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵点 在 的垂直平分线上， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 变式2-3（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰三角形 中， ， ，点 为线段 上一点， ， ，若 ，则 的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含 直角三角形的性质，灵活运用所学知识 7 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 ，然后利用含 直角三角形的性质得到 ， ，进而可计算 的值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 和 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：8． 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3（25-26 八年级下·江西九江·期末）将 绕直角边 的中点 旋转，得到 ．且 的直角顶点 落在 的斜边 上， 所在直线与 所在直线交于点 ，如图，若 是等腰三 角形，则 的度数为__________． 【答案】 或 【分析】先求出 ， ，则 ，进而可得 ， 8 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，再分三种情况：① ，② ，③ ，根据等腰三角形的性质建 立等式，据此求解即可． 【详解】解：∵点 为 直角边 的中点， ∴ ， ， 由旋转的性质得： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ①当 时， 是等腰三角形， ∴ ，即 ， 解得 ； ②当 时， 是等腰三角形， ∴ ，即 ， 解得 ； ③当 时， 是等腰三角形， ∴ ，即 ， 解得 ，不符合题意，舍去； 综上， 的度数为 或 ． 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2.方法：分类讨论（如锐角/钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，在 中， ， ，点 在直线 上，连接 ，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时， 的度数为_______． 9 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 的度数为 或 或 【分析】分 、 三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 若 ，则 ； 若 ，如图， 则 ； 若 ，如图， 则 ； 综上， 的度数为 或 或 ． 变式3-2（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， ，将边 绕点 顺时针旋转 （ ）得到线段 ， 的垂直平分线 交直线 于点 ，在旋转过程中，当 ， ， 三 点共线时， 的度数为______． 10 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 或 【分析】先由 中 算出 ，分点 在 上方、下方两种情况，均先由旋转得 求出 ，再由 的垂直平分线得 推出 ，接着结合图形用角的和差 表示出 ，列方程求解 即可． 【详解】解：在 中， ， ∴ ， 在旋转过程中，当 ， ， 三点共线时，分两种情况讨论： ①当点 在 上方时，点 在 延长线上，如图， 由旋转得 ， ， ∴ ， ∵ 的垂直平分线 交直线 于点 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，解得 ； ②当点 在 下方时，点 在 延长线上，如图， 由旋转得 ， ， ∴ ， ∵ 的垂直平分线 交直线 于点 ， ∴ ， 11 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，解得 ； 综上，当 ， ， 三点共线时， 的度数为 或 ． 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图， 是 的高， 平分 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，并交 于点 ．若 ，则下列结论中： ① ；② ；③ ；④ ． 正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，谁教学大纲等知识点，解 题的关键是掌握以上知识点． 根据 ， ，得出 ，可判断①；根据 证明 ，可判断 ②；根据全等三角形的性质得出 ，根据 平分 ，得出 ， 证出 ，即可得 ，可判断③；得出 ，即可判断④． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ，①正确； ∵ ∴ ， ∵ 是 的高， ∴ ， ∴ ， 12 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ， ∴ ，②正确； ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，③正确； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，④错误． 故答案为：①②③． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式4-1（25-26 八年级上·北京丰台·期中）在 中， ， ，将 按如图所示的 方式依次折叠： 有下面四个结论： ① 平分 ；② ；③ ；④ 的周长等于 的长．所有正确结论的序 号为_____． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，角平 13 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解： 沿着直线 折叠得到 ， ， ， 平分 ，故①正确； 沿着直线 折叠得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 沿着 折叠得到 ， ， ， ， ， ， ，故②错误； ， ，故③正确； ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长 ，故④正确； 故答案为：①③④． 变式4-2（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中，点 分别在边 上， ， 是 的平分线， ．给出下面四个结论：① ；② ；③若 ，则 14 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 是等边三角形；④若 平分 ，则 ．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知 识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得 ，据此可判断①；根据等边对等角和三角形 内角和定理可推出 ，进而得到 ，据此可判断②；若 ，则可导角证明 ，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵ ， ∴ 是等腰三角形． ∵ 是 的平分线， ∴ ． 故①符合题意； ②∵ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故②符合题意； ③∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 是等边三角形， 故③符合题意； ④若 平分 ， 15 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵无法判断是否 ∴无法证明 ． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 变式4-3（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，在 直角 中， ， ，点 为 中点，直角 绕点 旋转， ， 分别与边 ， 交于 ， 两点，下列结论： 是等 腰直角三角形； ； ； ，其中正确结论是___________ 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的 关键．根据等腰直角三角形的性质可得 ，根据同角的余角相等求出 ，然后 利用“角边角”证明 和 全等，判断出 正确；根据全等三角形对应边相等可得 、 ，从而得到 是等腰直角三角形，判断出 正确；再求出 ，判断出 正确；根据 ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得 ，判断出 错误． 【详解】解： ， ， 是等腰直角三角形， 点 为 中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， 16 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 故 正确； ， ， 是等腰直角三角形， 故 正确； ， ， ， 故 正确； ， 故 错误； 综上所述，正确的结论有 ． 故答案为： ． 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形 的对角线 ， 交于点 ，点 在 上， ， ， ． (1)求证： ； (2)若 ，求证： ． 【答案】(1)证明： ， 17 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 即 ， 在 和 中， ， ， ； (2)∵ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ． 【分析】（1）通过角的和差关系得到 ，再结合已知条件用 证明 ，从而 证得 ； （2）根据等腰三角形三线合一得到 ，结合 可得 ，即 可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 1.特征：已知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2.方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰 中， ，点 是线段 延长线上一点，点 在线段 上，连接 交 于点 ， ． 18 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)证明： 是等腰三角形， ， ， 又 ， ， ， ∵ ， ∴ ； (2) 【分析】 由等腰三角形的性质得 ，进而得到 ，即得 ，再根据平行 线的性质即可求证； 由等腰三角形和直角三角形的性质可得 ，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 等腰 中， ， ， ， 由（1）知： ， ． 变式5-2（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 、 于 点 、 ，连接 ，过点 作 于点 ，点 在 上，连接 ， 与 互余． 19 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)判断 与 的位置关系，并说明理由． (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 又∵ 与 互余， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (2) 【分析】 （1）根据垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形内角和得到 ， 根据余角的定义得到 ，即 ，可知 ； （2）根据垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形三线合一求出 为 中点，即可求出 的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ． 变式5-3（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1， 是等腰三角形， ， ， 20 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点B 作 于点C，在 上截取 ，连接 、 并延长 交 于点P； (1)求证： ； (2)试说明 平分 ； (3)如图2，将 绕着点C 旋转一定的角度，那么 与 的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】(1)证明：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ (2)证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ 平分 （等腰三角形的三线合一） (3)不发生变化； 理由如下：∵ ， ， ∴ ， 21 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【分析】（1）由条件推出 ，即可求证 ，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由 推出 ，即可求证； （3）根据 证 ，再得出 即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6（25-26 八年级下·广东深圳·期末）如图，点 是 的边 的中点，且恰好在 的平分线上， ， ，垂足分别为 ， ． (1)求证： 是等腰三角形； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)证明： 平分 ， ， ， ， 是 的中点， 22 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段 ，结合中点推出 ，证明两个直角三角形全 等，得到 ，再依据等角对等边证出 ，从而证明 是等腰三角形． （2）在 中根据30°直角三角形性质求出 长度并算出 ，结合第一问等腰结论判定 为等边三角形，得到 总长，最后用线段和差算出 的长度． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， 在 中， ， ， ， ， 由（1）得 ，又 ， 是等边三角形， ， 为 中点， ，即 ， ， ． 题型模版 23 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2.方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1（25-26 八年级下·陕西西安·期末）在 中， ， ， 平分 ，交 边 于点D，点A 与点E 关于 所在直线对称，连接 ，延长 交 于点F．求证： (1) 是等腰三角形； (2) ． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵点A 与点E 关于直线 对称， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∴ 是等腰三角形； (2)证明：过D 作 于K，如图： ∵ 平分 ， 24 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【分析】（1）由 ， 是 的平分线，可得 ，即得 ，根据点A 与点E 关于直线 对称，可得 ， 故 ，从而 是等腰三角形； （2）过D 作 于K，证明 ，得 ，又 ， 可得 是等腰直角三角形， ，即知 ，而 ，有 ，故 ． 【详解】（1）略 （2）略 变式6-2（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知在 中， ，分别过 ， 两点作互相平行 的直线 ， ，过点 的直线分别交直线 ， 于点 ， ． 25 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若 ，求证： ； (2)如图2， ，判断线段 ， 与 之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：延长 交 于点 ，如图， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， ； 26 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)解： ，理由如下： 在 上截取 ，连接 ，如图， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 又 ， ，即 ． 【分析】（1）添加辅助线，延长 交 于点 ，根据平行线的性质以及角边角的证明方法证明 和 全等，由此可证； （2）添加辅助线，在 上截取 ，连接 ，先得到 是等边三角形，再由角角边的证明方法 证明 与 全等，由此可得 ， ，再利用边的关系进行转化即可得解． 【详解】（1）略 27 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 变式6-3（25-26 七年级下·福建泉州·期末）在 中， ， ， (1) 平分 ，交 于点 ，点 为 延长线上的一点． ①如图1，当点 为线段 上一点时，连接 ，若 ，则 是________三角形； ②如图2，当点 为线段 的延长线上一点时，若 ，求证： ； (2)如图3，在 上取点 ，使得 ，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为 ，取 的 中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于点 ，连接 ， ①请补全图形； ②求证： ． 【答案】(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作 于F 点， ∵ 平分 ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， 28 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． (2)①如图： ②证明：如图，过D 点作 交 的延长线于G 点，则 ， ∵ 中， ， ， ∴ ， 根据翻折的性质可得 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， 29 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ∵F 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得 ，从而可得 是等腰三角 形． ②作 于F 点，根据 证明 ， ，从而可得 ， ．由 即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D 点作 交 的延长线于G 点，先根据 证明 ，则可得 ， ．由 可得 ．再根据 证明 ，则可得 ，由 可得 ． 【详解】（1）①解：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． 30 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②略 （2）①略 ②略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）在等腰 ABC 中，若 110 A = ，则 B 的度数为（ ） A．35 B．110 C．110或35 D．70 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；在等腰三角形中，钝角只能作为顶角，因此 A 为顶 角，两个底角相等，根据三角形内角和定理可求 B ． 【详解】解：∵ ABC 是等腰三角形，且 110 A = 为钝角， ∴ A 是顶角， B C = ， ∵ 180 A B C ++ = ， ∴ 110 2 180 B + = ， ∴ 2 70 B = ， ∴ 35 B = ， 故选A． 2．（25-26 八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为120，腰长为3cm ，则这个等腰三角形的底边 长为（ ） A．12cm B．3 3cm C．3cm D．6 3cm 【答案】B 【分析】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再 运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角为120，腰长 3 AB AC cm = = ， ∴ 底角 180 120 B C 30 2 − = = = ． 作高AD BC ⊥ ，则BD DC = ； 31 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt ABD 中， 30 3 ABD AB cm = = ， ， ∴ 3 3 3 3 3 2 2 2 BD AB cm = = = （30角邻边为斜边的 3 2 ）， ∴ 3 3 BC=2BD=2? =3 3cm 2 . 故选：B． 3．（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ，点E 在CA 的延长线上，EP BC ⊥ 于 点P ，交AB 于点F ，若 2 AF = ， 3 BF = ，则CE 的长度为（ ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明 E AFE = ，注意等边对等角，以及等角 对等边的使用． 根据等边对等角得出 B C = ，再根据EP BC ⊥ ，得出 90 C E += ， 90 B BFP + = ，从而得出 E BFP = ，再根据对顶角相等得出 E AFE = ，最后根据等角对等边得到 2 AE AF = = ， 2 3 5 AB AC AF BF = = + = + = ，进而求解即可． 【详解】解：在 ABC 中，AB AC = ， B C = ， EP BC ⊥ ， 90 C E += ， 90 B BFP + = ， E BFP = ， 又 BFP AFE = ， E AFE = ， 32 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 AE AF = = ， ∵ 3 BF = ， 2 3 5 AB AC AF BF = = + = + = ， 5 2 7 CE AE AC = + = + = ． 故选：A． 4．（25-26 八年级上·湖南郴州·期末）约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O转 动，C 点固定，OC CD DE = = ，点D ，E 可在槽中滑动，若 66 BDE = ，则 AOB 的度数是（ ） A．22 B．33 C．44 D．66 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得 AOB CDO = ，DCE DEC = ，结合三角形外角性质得 3 66 BDE AOB = = ， 故 22 AOB = ，即可作答． 【详解】解：∵OC CD DE = = ， ∴ AOB CDO = ， DCE DEC = ， 又∵ O AOB DCE CD = + ， ∴ 2 B DEC DC O E A = = ， 又∵ BDE AOB DEC = + ， 66 BDE = ， ∴ 3 66 BDE AOB = = ， ∴ 22 AOB = ， 故选：A． 5．（25-26 八年级上·北京大兴·期末）如图，在 ABC 中，AC BC = ， 45 ACB = ，BD AC ⊥ 于点D，CE AB ⊥ 于点E，BD与CE 相交于点F．给出下面三个结论：① 22.5 EBF = ；② 2 CF AE = ；③BC BD DF = + ．所 有正确结论的序号是（ ） 33 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． 先由等边对等角以及三角形内角和定理求出 ( ) 1 180 45 67.5 2 A CBA = = − = ，然后得到 DBC △ 为等腰直 角三角形，则 45 DBC = ，再由角的和差求解 22.5 EBF = ，即可判断①；证明 ( ) ASA DCF DBA ≌ ， 则CF AB = ，DF AD = ，再由等腰三角形三线合一得到 2 AB AE = ，即可判断②；而 BC AC AD CD AD BD = = + = + ，结合DF AD = 即可判断③． 【详解】解：∵ , 45 AC BC ACB = = ， ∴ ( ) 1 180 45 67.5 2 A CBA = = − = ， ∵BD AC ⊥ ， ∴ 90 CDB = ， ∴ 45 DBC = ， ∴ 67.5 45 22.5 EBF CBA DBC = − = − = ，故①正确； ∵ 45 DBC ACB = = ， ∴ DCB △ 是等腰直角三角形， ∴DC DB = ， ∵ , = ⊥ AC BC CE AB ， ∴ 90 22.5 CEB ECB ACE = = = , ， ∴ 22.5 DCF ABD = = ， 在DCF 和DBA 中， 90 BDA CDF DC DB DCF DBA = = = = ， ∴ ( ) ASA DCF DBA ≌ ， 34 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴CF AB = ， ∵ , = ⊥ AC BC CE AB ， ∴ 2 AB AE = ， ∴ 2 CF AE = ，故②正确； ∵BC AC AD CD AD BD = = + = + ， ∵DCF DBA ≌ ， ∴DF AD = ， ∴BC BD DF = + ，故③正确， ∴所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 二、填空题 6．（2025 八年级上·全国·专题练习）在 ABC 中， 60 4 A B BC = = = , ，则AC = ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定：等角对等边．根据等角对等边即可得到 4 AC BC = = ． 【详解】解：∵ 60 4 A B BC = = = , ∴ 4 AC BC = = ， 故答案为：4． 7． （25-26 八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形 ABC 中，AB AC = ，在AC 上取一点F ，使FC BC = ， 过点F 作FD BC ⊥ 交BC 于点D ，过点C 作CE AB ⊥ 交AB 于点E，CE 交DF 于点O．若 152 AFD = ，则 EOF = °． 【答案】62 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出 28 CFD = ，进而求出 62 ACB = ，再根据等边对等角得 62 ABC ACB = = ，即可得 34 FCO = 然后根据三角形外角的性质得出答案． 35 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵ 152 AFD = ， ∴ 180 152 28 CFD = − = ， ∴ 90 28 62 ACB = − = ． ∵AB AC = ， ∴ 62 ABC ACB = = ， ∴ 90 62 28 BCE = − = ， ∴ 62 28 34 FCO = − = ． ∵ EOF 是COF 的外角， ∴ 28 34 62 EOF CFO FCO = + = + = ． 故答案为：62． 8．（25-26 八年级上·辽宁营口·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 90 BAC = ，点D 为BC 的中点， 点E 为CA 延长线上一点，连接DE 交AB 于点G ，过点D 作 ⊥ DF DE ，与AB 的延长线相交于点F ，若 4 BF = ， 2 AG = ， DGF △ 的面积是36，则BD的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ABD △ 的面积是解题的关 键． 连接AD，先证BDF ADE ≌ ，得到 4 BF AE = = ，进而得到 4 AEG S = △ ，再由 4 36 DGF ABD S S = + = ，得到 32 ABD S = ，再结合三角形面积公式求出BD的长． 【详解】连接AD， 在 ABC 中，AB AC = ， 90 BAC = ， 36 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 45 ABC ACB = = ， 180 45 135 DBF = − = ， 点D为BC 的中点， AD BC ⊥ ， 90 DAC ACD + = ， 45 DAC = ， 135 DAE = ， 90 45 45 BAD = − = ， BAD ABD = ， BD AD = ， ⊥ DF DE ， 90 EDF BDE BDF = + = ， 又 90 ADB BDE ADE = + = ， BDF ADE = ， 在BDF 和 ADE 中， BDF ADE BD AD DBF DAE = = = ， ( ) ASA BDF ADE ≌ ， 4 BF AE = = ， 90 BAC = ， 90 GAE = ， 1 1 4 2 4 2 2 AEG S AE AG = = = ， ∵ DGF BDF BDG BDG ADE S S S S S = + = + BDG ADG AEG S S S = + + 4 36 ABD AEG ABD S S S = + = + = , ∴ 32 ABD S = ，即 2 1 1 32 2 2 AD BD BD = = ， 解得 8 BD = ． 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：8． 9．（25-26 八年级上·陕西商洛·月考）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 140 BAC = ， AEC △ 和 AEF △ 关 于直线AE 对称，BAF 的平分线交BC 于点D ，连接DF ．当DEF 是以DE 为腰的等腰三角形时，DEF 的度数为 ． 【答案】40或100 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理的应 用；根据折叠的性质与全等三角形的性质得出 40 DFE = ，结合DEF 是以DE 为腰的等腰三角形，分类 讨论，即可求解． 【详解】解： AB AC = ， 140 BAC = ， 20 B C = = ． ∵ AEC △ 和 AEF △ 关于直线AE 对称， ∴AC AF = ， 20 AFE C = = ， ∴AB AF = ∵ BAF 的平分线交BC 于点D ， ∴ BAD FAD = 又∵AD AD = ∴ ( ) SAS ADB ADF ≌ ∴ 20 AFD B = = ∴ 40 DFE AFD AFE = + = ， 当DE DF = 时， 40 DEF DFE = = ， 当ED EF = 时， 180 2 40 100 DEF = − = ， 故答案为：40或100． 10．（25-26 八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC是长方 形，点A，C 的坐标分别为 ( ) 10,0 A ，( ) 0,4 C ，点D 是OA的中点，点P 在BC 上运动，当ODP 是腰长为5 的等腰三角形时，点P 的坐标为 ． 38 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】( ) 2,4 或( ) 3,4 或( ) 8,4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：OP OD = 或DP DP OD = = 或OP PD = ，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O 为圆心，以5 为半径画弧交BC 于P 点，此时 5 OP OD = = ，如图， 在Rt OPC 中， 4 OC = ， 5 OP = ， ∴ 2 2 3 PC OP OC = − = ， ∴P 的坐标是( ) 3,4 ； ②以D 为圆心，以5 为半径画弧交BC 于P和P点，此时 5 DP DP OD = = = ，如图，过P作P N OA ⊥ 于 N，过P作P M OA ⊥ 于M， 由作图可知四边形CP NO 和四边形BP MA 为长方形， ∴CP ON = ，BP MA = ，P N OC = ，P M BA = ， 在Rt P ND 中，设CP x = ，则 5 DN OD ON x = − = − ， 4 P N = ， 5 DP= ， ∴ ( ) 2 2 2 4 5 5 x + − = ， 解得 2 x = ， 则P的坐标是( ) 2,4 ； 39 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设BP a = ，则 5 DM AD AM a = − = − ， 4 P M = ， 5 DP= ， 在Rt DP M 中，( ) 2 2 2 5 4 5 a − + = ， 解得 2 a = ， 2 BP = ， 10 2 8 CP= − = ， 即P的坐标是( ) 8,4 ； ③假设OP PD = ，则由P 点向OD 边作垂线，交点为Q ，如图， 则有 2 2 2 PQ QD PD + = ， 5 OP PD OD = = = ， 此时的 OPD △ 为等边三角形， ∴ 4 PQ = ， 1 2.5 2 QD OD = = ， 5 PD = ， 代入 2 2 2 PQ QD PD + = ， 得 2 2 2 4 2.5 5 + ， ∴排除此种可能． 综上所述，点P 的坐标为( ) 2,4 或( ) 3,4 或( ) 8,4 ． 故答案为：( ) 2,4 或( ) 3,4 或( ) 8,4 ． 三、解答题 11．（25-26 八年级上·广东汕头·期末）如图，ABC 中，AB AC = ， B 的平分线交AC 于D ，AE BC ∥ 交 BD的延长线于点E ，AF AB ⊥ 交BE 于点F ． 40 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 40 BAC = ．求 AFE 的度数； (2)若AD CD = ， 2 AF = ，求BF 的长． 【答案】(1)125 (2)4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可知 ABC ，再根据角平分线以及垂直关系即可求解； （2）根据平行条件，可证明ADE CDB ≌ ,从而可知 ABC 为等边三角形，进而可知BF 的长度． 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全 等是解题的关键． 【详解】（1）解： AB AC = ， 40 BAC = ， 180 40 70 2 ABC − = = ， BD 平分 ABC ， 1 70 35 2 ABD DBC = = = ， AF AB ⊥ ， 90 BAF = ， 90 35 125 AFE BAF ABD = + = + = ． 答： AFE 的度数为125． （2） AE BC ∥ ， E DBC = ， 在 ADE 和 CDB △ 中， E DBC ADE CDB AD CD = = = ， ( ) AAS ADE CDB ≌ ， AE CB = ， 41 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 E DBC = ， ABD DBC = ， E ABD = ， AB AE = ∴ ， AB CB AC = = ， ABC 为等边三角形， 60 ABC = ， 30 ABD = ， 2 AF = ， 4 BF = ， 答：BF 的长为4． 12．（25-26 八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在 ABD △ 中， 100 BAC = ，AD平分 BAC （D 为ABC 外一点）， 80 ADB = ． (1)求证： ABD △ 是等腰三角形； (2)如果CD AC ⊥ ，求证： 2 AB AC = ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出 ABD BAD = ，根据等角对等边即可得证； （2）过点D 作DE AB ⊥ ，垂足为点E ，根据三线合一可得 2 AB AE = ，进而证明 ADE ADC △ △ ≌ 得出 AC AE = ，即可得 2 AB AC = ． 【详解】（1）证明：∵ 100 BAC = ，AD平分 BAC ， ∴ 1 50 2 BAD CAD BAC = = = ． ∵ 180 ADB ABD BAD + + = ， 80 ADB = ， ∴ 50 ABD = ． 42 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ABD BAD = ． ∴AD BD = ， 即 ABD △ 是等腰三角形． （2）证明：过点D作DE AB ⊥ ，垂足为点E ． ∵DB DA = ，DE AB ⊥ ， ∴ 2 AB AE = ． ∵CD AC ⊥ ，DE AB ⊥ ， ∴ 90 AED ACD = = ． 在 ADE 和 ADC △ 中， ∵ AED ACD BAD DAC AD AD = = = ， ， ， ∴ ADE ADC △ △ ≌ ． ∴AC AE = ． ∴ 2 AB AC = ． 13．（24-25 八年级下·广东清远·期中）如图，在 ABC 中，BAC 的平分线交BC 于点D，过点D 作DE AB ∥ 交AC 于点E． (1)求证： AED △ 是等腰三角形； (2)若 110 C = ， 30 B = ，求 AED 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 140 AED = 43 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质， 平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得 BAD CAD = ，由DE AB ∥ ，根据平行线的性质得 BAD ADE = ，到 CAD ADE = ，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出 40 BAC = ，由DE AB ∥ ，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AD是 BAC 的平分线， BAD CAD = ， DE AB ∥ ， BAD ADE = ， CAD ADE = ， AE DE = ， ∴ AED △ 是等腰三角形； （2）解： 110 , 30 C B = = ， 180 40 BAC C B = −− = ， DE AB ∥ ， 180 AED BAC + = ， 140 AED = ． 14．（25-26 八年级上·广西南宁·期中）已知，ABC 中， , BAC AB AC = = ，点D，E 分别在BC ，AC 边 上( D 不与B 、C 重合)，且 BAD CDE = ． (1)如图1，若 60 = ，则 B =___________；若AD平分 BAC ，则 ADE 的度数为___________． (2)如图2，若 90 = ，且点D 是BC 边上的任意一点． ①当AD DE = 时，求证： ABD DCE ≌ △ △ ； ②求证： ADE 的度数为定值．（定值是指在某个变化过程中，始终保持不变的量或数值） (3)如图3，若 100 = ，当 BDA 等于多少度时， ADE 是等腰三角形？ 44 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)60；60 (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)80或110 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的 判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得 60 B C = = ，再根据等腰三角形的三线合一可得AD BC ⊥ ， 1 30 2 BAD BAC = = ，则可得 30 = CDE ，由此即可得； （2）①先根据等腰三角形的性质可得 B C = ，再根据AAS定理即可得证； ②先根据等腰三角形的性质可得 45 B C = = ∠ ，则可得 45 CDE = ，再根据三角形的外角性质可得 45 ADE = ，由此即可得证； （3）先根据等腰三角形的性质可得 40 B C = = ，再设 BAD CDE x = = ，则 100 DAE x = − ， 40 AED x = + ， 40 ADE = ，然后两种情况：①AD DE = 和②DE AE = ，根据等腰三角形的性质可得x 的 值，在 ABD △ 中，利用三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：若 60 = ，则 60 BAC = ， ∵AB AC = ， ∴ 18 60 0 2 B B C AC − = = = ； ∵AD平分 BAC ， ∴AD BC ⊥ ， 1 30 2 BAD BAC = = ， ∵ BAD CDE = ， ∴ 30 = CDE ， ∴ 90 60 ADE CDE = − = ， 故答案为：60；60． （2）证明：①∵AB AC = ， ∴ B C = ， 在 ABD △ 和 DCE △ 中， B C BAD CDE AD DE = = = ， 45 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) AAS ABD DCE ≌ ． ②∵AB AC = ， 90 BAC = = ， ∴ 45 B C = = ∠ ， ∴ 45 ADC B BAD BAD = + = + ， ∵ ADC ADE CDE = + ， BAD CDE = ， ∴ ADC ADE BAD = + ， ∴ 45 ADE BAD BAD + = + ， ∴ 45 ADE = ， ∴ ADE 的度数为定值． （3）解：∵AB AC = ， 100 BAC = = ， ∴ 40 B C = = ， 设 ( ) 0 BAD CDE x x = = ，则 100 DAE BAC BAD x = − = −， ∴ 40 AED C CDE x = + = + ， ∴ ( ) 180 40 ADE AED DAE = − + = ， ∴ AED ADE ， 则分以下两种情况： ①当AD DE = 时， ADE 是等腰三角形， ∴ DAE AED = ，即100 40 x x − = + ， 解得 30 x = ， ∴此时 180 110 BDA B BAD = −− = ； ②当DE AE = 时， ADE 是等腰三角形， ∴ DAE ADE = ，即100 40 x − = ， 解得 60 x = ， ∴此时 180 80 BDA B BAD = −− = ； 综上，当 BDA 等于80或110时， ADE 是等腰三角形．
