文档文本内容
1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 - 解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等 边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 - 易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角）；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计 算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1（25-26 七年级下·上海浦东新·期末）如图，在 中， ， ， ， 则 的度数为________． 目 录 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】三角形的内角和定理求出 ，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在 中， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ . 题型模版 1.特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2.方法：设顶角或底角为x，利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1（25-26 八年级下·四川泸州·期末）如图，在 中， ， ， 边上的高为 ， 则 的度数为________． 【答案】 /20 度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 的度数，根据三角形高的定义求出 的度数， 再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在 中， ， ， ∴ ， ∵ 边上的高为 ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ． 3 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-2（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在 中， ， ， 交 于点 ，则 的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得 ，再由 ， 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ． 变式1-3（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图， ， 都是等腰三角形， ， ， 若 ， ，则 的度数是________． 【答案】 【分析】根据等边对等角得出 ， ，再根据三角形内角和定理得出 ， ，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． 4 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中， ， ， 是 的 垂直平分线， ，则 的长度为______． 【答案】 【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质得到 ，进而得到 ，求出 ，利用 直角三角形的性质可得 ，由 ，即可求解． 【详解】解：连接 ， 是 的垂直平分线， ， ∵ ， ， ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． 题型模版 5 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：已知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 2.方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式2-1（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，在 中， ， ， 的垂直平分 线分别交 ， 于点 ， ，若 ，则 的长为______． 【答案】 【分析】连接 ，由垂直平分线性质可得 ，所以 ，然后求出 ， 最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 变式2-2（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在 中， 是 边上的点， ， 点 在 的垂直平分线上， ，则 的长为_____． 6 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得 ，再根据线段垂直平分线的性质得 ，即得到 ， ，进而根据直角三角形的性质得到 ，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握 知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵点 在 的垂直平分线上， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 变式2-3（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰三角形 中， ， ，点 为线段 上一点， ， ，若 ，则 的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含 直角三角形的性质，灵活运用所学知识 7 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 ，然后利用含 直角三角形的性质得到 ， ，进而可计算 的值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 和 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：8． 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3（25-26 八年级下·江西九江·期末）将 绕直角边 的中点 旋转，得到 ．且 的直角顶点 落在 的斜边 上， 所在直线与 所在直线交于点 ，如图，若 是等腰三 角形，则 的度数为__________． 【答案】 或 【分析】先求出 ， ，则 ，进而可得 ， 8 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，再分三种情况：① ，② ，③ ，根据等腰三角形的性质建 立等式，据此求解即可． 【详解】解：∵点 为 直角边 的中点， ∴ ， ， 由旋转的性质得： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ①当 时， 是等腰三角形， ∴ ，即 ， 解得 ； ②当 时， 是等腰三角形， ∴ ，即 ， 解得 ； ③当 时， 是等腰三角形， ∴ ，即 ， 解得 ，不符合题意，舍去； 综上， 的度数为 或 ． 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2.方法：分类讨论（如锐角/钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，在 中， ， ，点 在直线 上，连接 ，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时， 的度数为_______． 9 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 的度数为 或 或 【分析】分 、 三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 若 ，则 ； 若 ，如图， 则 ； 若 ，如图， 则 ； 综上， 的度数为 或 或 ． 变式3-2（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， ，将边 绕点 顺时针旋转 （ ）得到线段 ， 的垂直平分线 交直线 于点 ，在旋转过程中，当 ， ， 三 点共线时， 的度数为______． 10 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 或 【分析】先由 中 算出 ，分点 在 上方、下方两种情况，均先由旋转得 求出 ，再由 的垂直平分线得 推出 ，接着结合图形用角的和差 表示出 ，列方程求解 即可． 【详解】解：在 中， ， ∴ ， 在旋转过程中，当 ， ， 三点共线时，分两种情况讨论： ①当点 在 上方时，点 在 延长线上，如图， 由旋转得 ， ， ∴ ， ∵ 的垂直平分线 交直线 于点 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，解得 ； ②当点 在 下方时，点 在 延长线上，如图， 由旋转得 ， ， ∴ ， ∵ 的垂直平分线 交直线 于点 ， ∴ ， 11 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，解得 ； 综上，当 ， ， 三点共线时， 的度数为 或 ． 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图， 是 的高， 平分 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，并交 于点 ．若 ，则下列结论中： ① ；② ；③ ；④ ． 正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，谁教学大纲等知识点，解 题的关键是掌握以上知识点． 根据 ， ，得出 ，可判断①；根据 证明 ，可判断 ②；根据全等三角形的性质得出 ，根据 平分 ，得出 ， 证出 ，即可得 ，可判断③；得出 ，即可判断④． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ，①正确； ∵ ∴ ， ∵ 是 的高， ∴ ， ∴ ， 12 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ， ∴ ，②正确； ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，③正确； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，④错误． 故答案为：①②③． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式4-1（25-26 八年级上·北京丰台·期中）在 中， ， ，将 按如图所示的 方式依次折叠： 有下面四个结论： ① 平分 ；② ；③ ；④ 的周长等于 的长．所有正确结论的序 号为_____． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，角平 13 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解： 沿着直线 折叠得到 ， ， ， 平分 ，故①正确； 沿着直线 折叠得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 沿着 折叠得到 ， ， ， ， ， ， ，故②错误； ， ，故③正确； ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长 ，故④正确； 故答案为：①③④． 变式4-2（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中，点 分别在边 上， ， 是 的平分线， ．给出下面四个结论：① ；② ；③若 ，则 14 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 是等边三角形；④若 平分 ，则 ．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知 识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得 ，据此可判断①；根据等边对等角和三角形 内角和定理可推出 ，进而得到 ，据此可判断②；若 ，则可导角证明 ，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵ ， ∴ 是等腰三角形． ∵ 是 的平分线， ∴ ． 故①符合题意； ②∵ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故②符合题意； ③∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 是等边三角形， 故③符合题意； ④若 平分 ， 15 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵无法判断是否 ∴无法证明 ． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 变式4-3（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，在 直角 中， ， ，点 为 中点，直角 绕点 旋转， ， 分别与边 ， 交于 ， 两点，下列结论： 是等 腰直角三角形； ； ； ，其中正确结论是___________ 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的 关键．根据等腰直角三角形的性质可得 ，根据同角的余角相等求出 ，然后 利用“角边角”证明 和 全等，判断出 正确；根据全等三角形对应边相等可得 、 ，从而得到 是等腰直角三角形，判断出 正确；再求出 ，判断出 正确；根据 ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得 ，判断出 错误． 【详解】解： ， ， 是等腰直角三角形， 点 为 中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， 16 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 故 正确； ， ， 是等腰直角三角形， 故 正确； ， ， ， 故 正确； ， 故 错误； 综上所述，正确的结论有 ． 故答案为： ． 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形 的对角线 ， 交于点 ，点 在 上， ， ， ． (1)求证： ； (2)若 ，求证： ． 【答案】(1)证明： ， 17 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 即 ， 在 和 中， ， ， ； (2)∵ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ． 【分析】（1）通过角的和差关系得到 ，再结合已知条件用 证明 ，从而 证得 ； （2）根据等腰三角形三线合一得到 ，结合 可得 ，即 可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 1.特征：已知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2.方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰 中， ，点 是线段 延长线上一点，点 在线段 上，连接 交 于点 ， ． 18 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)证明： 是等腰三角形， ， ， 又 ， ， ， ∵ ， ∴ ； (2) 【分析】 由等腰三角形的性质得 ，进而得到 ，即得 ，再根据平行 线的性质即可求证； 由等腰三角形和直角三角形的性质可得 ，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 等腰 中， ， ， ， 由（1）知： ， ． 变式5-2（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 、 于 点 、 ，连接 ，过点 作 于点 ，点 在 上，连接 ， 与 互余． 19 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)判断 与 的位置关系，并说明理由． (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 又∵ 与 互余， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (2) 【分析】 （1）根据垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形内角和得到 ， 根据余角的定义得到 ，即 ，可知 ； （2）根据垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形三线合一求出 为 中点，即可求出 的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ． 变式5-3（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1， 是等腰三角形， ， ， 20 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点B 作 于点C，在 上截取 ，连接 、 并延长 交 于点P； (1)求证： ； (2)试说明 平分 ； (3)如图2，将 绕着点C 旋转一定的角度，那么 与 的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】(1)证明：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ (2)证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ 平分 （等腰三角形的三线合一） (3)不发生变化； 理由如下：∵ ， ， ∴ ， 21 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【分析】（1）由条件推出 ，即可求证 ，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由 推出 ，即可求证； （3）根据 证 ，再得出 即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6（25-26 八年级下·广东深圳·期末）如图，点 是 的边 的中点，且恰好在 的平分线上， ， ，垂足分别为 ， ． (1)求证： 是等腰三角形； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)证明： 平分 ， ， ， ， 是 的中点， 22 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段 ，结合中点推出 ，证明两个直角三角形全 等，得到 ，再依据等角对等边证出 ，从而证明 是等腰三角形． （2）在 中根据30°直角三角形性质求出 长度并算出 ，结合第一问等腰结论判定 为等边三角形，得到 总长，最后用线段和差算出 的长度． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， 在 中， ， ， ， ， 由（1）得 ，又 ， 是等边三角形， ， 为 中点， ，即 ， ， ． 题型模版 23 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2.方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1（25-26 八年级下·陕西西安·期末）在 中， ， ， 平分 ，交 边 于点D，点A 与点E 关于 所在直线对称，连接 ，延长 交 于点F．求证： (1) 是等腰三角形； (2) ． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵点A 与点E 关于直线 对称， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∴ 是等腰三角形； (2)证明：过D 作 于K，如图： ∵ 平分 ， 24 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【分析】（1）由 ， 是 的平分线，可得 ，即得 ，根据点A 与点E 关于直线 对称，可得 ， 故 ，从而 是等腰三角形； （2）过D 作 于K，证明 ，得 ，又 ， 可得 是等腰直角三角形， ，即知 ，而 ，有 ，故 ． 【详解】（1）略 （2）略 变式6-2（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知在 中， ，分别过 ， 两点作互相平行 的直线 ， ，过点 的直线分别交直线 ， 于点 ， ． 25 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若 ，求证： ； (2)如图2， ，判断线段 ， 与 之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：延长 交 于点 ，如图， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， ； 26 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)解： ，理由如下： 在 上截取 ，连接 ，如图， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 又 ， ，即 ． 【分析】（1）添加辅助线，延长 交 于点 ，根据平行线的性质以及角边角的证明方法证明 和 全等，由此可证； （2）添加辅助线，在 上截取 ，连接 ，先得到 是等边三角形，再由角角边的证明方法 证明 与 全等，由此可得 ， ，再利用边的关系进行转化即可得解． 【详解】（1）略 27 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 变式6-3（25-26 七年级下·福建泉州·期末）在 中， ， ， (1) 平分 ，交 于点 ，点 为 延长线上的一点． ①如图1，当点 为线段 上一点时，连接 ，若 ，则 是________三角形； ②如图2，当点 为线段 的延长线上一点时，若 ，求证： ； (2)如图3，在 上取点 ，使得 ，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为 ，取 的 中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于点 ，连接 ， ①请补全图形； ②求证： ． 【答案】(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作 于F 点， ∵ 平分 ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， 28 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． (2)①如图： ②证明：如图，过D 点作 交 的延长线于G 点，则 ， ∵ 中， ， ， ∴ ， 根据翻折的性质可得 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， 29 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ∵F 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得 ，从而可得 是等腰三角 形． ②作 于F 点，根据 证明 ， ，从而可得 ， ．由 即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D 点作 交 的延长线于G 点，先根据 证明 ，则可得 ， ．由 可得 ．再根据 证明 ，则可得 ，由 可得 ． 【详解】（1）①解：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． 30 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②略 （2）①略 ②略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角的度数为（ ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】C 【分析】分 外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解 顶角度数． 【详解】解：若 是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为 ． 若 是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为 ，两底角和为 ，不符 合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为 ． 2．（25-26 七年级下·上海浦东新·期末）如图，在 中，点D 在边 上， ．若 ， ，则 的周长为（ ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得 ，再根据等腰三角形的判定可得 ，然后根据 的周长 得出答案． 【详解】解：∵ 是 的外角， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 31 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即 ， ∴ ． ∵ ， ∴ 的周长为 ． 3．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在 中， ，点 在边 上，延长 至 点 ，使得 ，连接 ， 是 的中线，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出 ，再求出 ，继而根据三角形的内角和 进行求解即可． 【详解】解：∵ 是 的中线， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 4．（23-24 八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在等腰 中，在 上分别截取 ，使 ．再分别以点P，Q 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点R，作射线 ， 交 于点D．已知 若点M、N 分别是线段 和线段 上的动点，则 的 最小值为（ ） 32 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】过点 作 于点 ，证明 的最小值为 的长，再利用面积法求出 即可． 【详解】解：由作图步骤可得 平分 ， 如图，过点 作 于点 ． ， ∴ 垂直平分 ， ， 关于 对称， 作点 关于 的对称点 ，则点N 落在 上，连接 ， ， 的最小值为 的长． ， 平分 ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 5．（22-23 八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ，把 折叠，使 落 在 上，点 与 上的点 重合，展开后，折痕 交 于点 ，连结 、 ．下列结论：①图中 有4 对全等三角形；②若将 沿 折叠，则点 不一定落在 上；③ ；④ ， 上述结论中正确的个数是（ ） 33 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得 ， ，由折叠的性质可 得 ， ， ，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 把 折叠，使 落在 上，点 与 上的点 重合， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， 34 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， 图中共有4 对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将 沿 折叠，则点 一定落在 上，故②错误； ， ， ， ，故③正确； 连接 ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 二、填空题 6． （26-27 九年级上·全国·课后作业）如图，在 中，点D 是 的中点， ，则 _______． 35 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出 ， ，再根据三角形内角和定理得出 ，即可得出答案． 【详解】解：∵点D 是 的中点， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ． 7．（25-26 七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在 中， ， 为 中点，点 ， 分别 是 ， 上的动点，若 的面积为12，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出 垂直平分 ，过点 作 于点 ， 交 于点 ， 则此时 取最小值，最小值为 的长，在 中，利用面积法可求出 的长度，此题得解． 【详解】解： ， 为 中点， 垂直平分 ， ， 如图，过点 作 于点 ， 交 于点 ，则此时 取最小值，最小值为 的长，如图所 示． 36 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 即 的最小值为 ． 8．（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在 中， ， ，点 、 、 分 别是 边、 边、 边上的动点，连接 、 、 ，使 ，若 是等腰三角形， 那么 的度数为____________． 【答案】 或 或 ． 【分析】分三种情况：当 时，再根据等边对等角得 ，进而求出 ，然后根据 ，可得 ；当 时， 当 时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 分三种情况：当 时， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ； 当 时， 37 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ； 当 时， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 所以 的度数为 或 或 ． 9．（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中， ， ， 和 关 于直线 对称， 的平分线交 于点 ，连接 ，当 为等腰三角形时， 的度数为 ________． 【答案】 或 或 【分析】令 ，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用 表示出 三个内角的度数，再对等 腰 进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵ ， 38 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 令 ， ∵ 和 关于直线 对称， ， ， ，且 平分 ， ， ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， 当 时， ，即 ， 解得： ， ； 当 时， ； 当 时， ； 综上所述， 的度数为： 或 或 ． 10．（25-26 八年级上·四川南充·期中）如图， 分别是 的高和角平分线， 与 相交于 G， 平分 交 于E，交 于M，连接 交 于H，且 ．有下列结论：① ； ② 是等腰三角形；③ ；④ ．其中，正确结论的个数 有________． 39 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】2 个 【分析】首先利用三角形内角和及角平分线性质计算 的度数判断①；其次通过证明 得出 判断②；再次通过延长 构造全等三角形，结合三角形边角关系判断③；最后利用全等三 角形面积相等及中线性质进行面积转化判断④． 【详解】解：∵ 是 的高， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形， 40 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故②正确； 如图，延长 交 于点 ， ∵ 平分 ， ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故③错误； ∵ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， 41 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 平分 ， ∴ 是 的中线， ∴ ， ∴ ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有②④，一共2 个． 三、解答题 11．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图， 是等腰三角形， ， 是 的角 平分线，且 ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，点 是 上的动点，求 的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得出 ，根据角平分线的定义得出 ， 根据三角形内角和定理即可求出 的度数； （2）根据垂线段最短得出 时， 最小，根据角平分线的性质得出 ，即可得出答案． 42 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ． （2）解：如图，过点 作 于 ， ∵点 是 上的动点， ∴当 时， 最小， ∵ 平分 ， ， ， ， ∴ ， ∴ 的最小值为． 12．（25-26 七年级下·上海·期末）如图，已知在 中， ， 是边 上的中线，点 为 边上一点， 与 交于点 ， ， 交 的延长线于点 ． (1)如果 平分 ， ，求 的度数； (2)如果点 是边 中点，连接 ，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接 ， 43 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由（1）得 ， 又 ， ， ， ， ， 是边 上的中线， 是 的角平分线， ， ，即 ； 点 是边 中点， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 【分析】（1）由等边对等角得 ，由三线合一得 ，再由三角形外角的性质求解； （2）先证 ，由平行线的性质得 ， ，由三线合一得 是 的角 平分线，等量代换得出 ；证明 ，推出 ，再证 ，即可证明 ． 【详解】（1）解： 中， ， ， ， 44 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 平分 ， ， ， 是边 上的中线， ， ， ． （2）略 13．（25-26 八年级下·四川成都·期末）已知 是等腰三角形， ， ，点 是边 上一点，连接 并延长与经过点 的直线相交于点 ，连接 ． (1)若 ，求 的度数； (2)当 是 的中点，过点 作 的平行线与经过点 的直线相交于点 ，点 在 延长线上，连接 ． 若 ，求证： ； 若 ，求证： 且 ． 【答案】(1) ； (2)证明： 如图，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的中点， 45 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图，过 作 交 延长线于点 ，连接 ，过 作 交 延长线于点 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 46 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 由 得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 为 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 【分析】 过 作 ，交 于点 ，证明 ，所以 ，故有 ； 连接 ，由 ， ，得 ，故有 垂直平分 ，则 ， 根据等边对等角得 ，设 ，则 ， ， ， 则 ，所以 ，从而有 ，所以 ； 过 作 交 延长线于点 ，连接 ，过 作 交 延长线于点 ，证明 ，所以 ，由 得 ，所以 ，又 ，所以 ，则有 ，故有 ，即 为 中点，从而得 ，因为 ，所以 ，即 ． 【详解】（1）解：如图，过 作 ，交 于点 ， ∴ ， ∴ ， 小学 初中 47 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 的度数为 ； （2） 略； 略． 14．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）已知 和 均为等腰三角形，且 ． (1)如图1，若 ， ，则 的度数为 ； (2)如图2，当 时， ①求证： ； ②过点 作 ，交 的延长线于点 ．若 ，求点 到 的距离． 【答案】(1) (2)①证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ② 48 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据等边对等角先得出 ，结合三角形内角和定理得到 ， 再根据角的和差求解即可； （2）①先得出 ， ，再得出 ，根据平行线的判定即可得证； ②过点 作 于点 ，得出 ，即 平分 ，根据角平分线的性质定理求解即 可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）①略． ②解：如图，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴ ， 由（2）①已证： ， ∴ ， ， ∴ ，即 平分 ， 又∵ ， ， ∴ （角平分线的性质定理）， ∵ ， ∴ ， 即点 到 的距离为 ． 49 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15．（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）如图1，在 中， ，点D 是边 上一点，连接 ， 在 上取一点E，使得 ，连接 ． (1)试说明 ； (2)如图2，点F 是线段 上一点，且 ，连接 ．试说明 ； (3)如图3，若 ， ，求 的度数． 【答案】(1)因为在 中， ， 又因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ； (2)由（1）得， ，即 ， 在 和 中， 所以 ，所以 ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理推出 ，由 ，即可得到 结论； （2）证明 ，即可得到 ； 50 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）取 的中点为G，连接 ，证明 ，得到 ，再由 ， ，得到 ，结合 ，得到 ，由此求出 ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：取 的中点为G，连接 ，则 ， 因为 ，所以 ， 由（1）得 ，即 ． 在 和 中， ， 所以 所以 ． 因为 ， ， 所以 ，因为 ．所以 ， 所以 ．所以 ．所以 16．（25-26 七年级下·四川成都·期末）在 中， ， ，点E 为线段 上一点， 且 ，D 为线段 中点，作射线 ，过点E 作 交射线 于点F． (1)如图1，求证： ； 51 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图2，过A 点作射线 ，使 ，过点D 作 交射线 于点G，连接 ， ，求 证： ； (3)如图3，过点F 作 于点M，连接 ． ①求证： ； ②若 ， 的面积为6，当 周长最小时，求线段 的值． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴ ， ∵D 为线段 中点， ∴ ， ∵ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ； (2)证明：连接 ，如图， 由（1）可知， ， ∵在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即D 为线段 中点， 52 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ 为 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ； (3)①证明：过点A 作 交 于点H，如图， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 53 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵在 中， ， ， ∴H 为线段 中点， ∴ ， ∴ ； ② 【分析】（1）由角角边的证明方法证明 与 全等即可； （2）添加辅助线，连接 ，得到 为 的垂直平分线，从而得到 ，再使用边角边的证明方 法证明 与 全等，由此可得 ； （3）①添加辅助线，过点A 作 交 于点H，证明 与 全等，即可得到 ， 再利用等腰三角形三线合一的性质可得 ，由此可证明； ②先由 的面积求出 的长度，再添加辅助线，利用平移与对称的性质将边进行转化，得到若使 周长最小，则只需 最小，再根据边的关系，使点 ，点M，点 三点共线时， 最小，为 ，先证明 与 全等，由此可得 ， ，再证明 与 全等，得到点 为 的中点，从而求解 的长度，由此可解线段 的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②解：∵ ， 的面积为6， ∴ ，即 ，可得 ， ∵ ， ∴ ， 54 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 周长为 ， 若使 周长最小，则只需 最小， 平移 至 ，使点E 与点M 重合，点A 与点 重合，连接 ， ， 作点A 关于 的对称点为点 ，连接 交 于点 ，连接 ，如图， 由平移的性质可得 ， ， 由对称的性质可得 ， ， 则 ， 若使 最小，则需 最小， 则点 ，点M，点 三点共线时， 最小，为 ， 由①可知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴在 与 中， 55 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ， ∴ ， ∴点 为 的中点， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ 故当 周长最小时，线段 的值为 ．
