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专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根据等边三角形的性质求角
题型二、根据等边三角形的性质求边
题型三、与等边三角形有关的多解题
题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题
题型五、等边三角形的性质和判定综合题
题型六、含30°角的直角三角形
题型七、斜边的中线等于斜边的一半
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。
- 解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三
角形；常作高线构造含30°的直角三角形。
- 易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件；忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定；30°直
角三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根据等边三角形的性质求角
典例1（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）如图，
是等边三角形，若
，
，
，则
_____ ．
目 录
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【答案】
【分析】根据等边三角形的性质可得
，再根据
证明
，则可得
．
本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵
是等边三角形，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
题型模版
1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。
2.方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。
变式1-1（2026·广东潮州·一模）如图，是等边三角形
中
边上任意一点，以点
为中心，把
顺时针旋转
得到
．若
，则
________．
【答案】
/30 度
【分析】根据等边三角形的性质可知
，由旋转可知
，根据全等三角形的性
质可知
，根据直角三角形的两个锐角互余可得
．
【详解】解：
是等边三角形，
，
由旋转可知
，
，
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，
，
．
变式1-2（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边
中，点D，E分别是BC，AC 的中点，
，
点P 是AD 边上的一个动点，当
最小时，求
______°．
【答案】60
【分析】连接
，
，由等边三角形的性质得到
，
，
，则可
证明
，故当B、P、E 三点共线时，
有最小值，由等边对等角可得
，
再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接
，
，
∵等边
中，点
，
分别是
、
的中点，
，
，
，
∴
垂直平分
，
，
，
∴当B、P、E 三点共线时，
有最小值，
，
，
．
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变式1-3（25-26 八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，等边
的边长为2，
是
的中点，点
在
线段
上，连接
，在
的下方作等边
，连接
，
，则
的度数是________，当
的周长最小时，
的度数是________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一
般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
由条件可以得出
，再根据等边三角形的性质就可以证明
，从而可以得出
，作点
关于
的对称点
，连接
，
，
，则
，依据当
，
，
在同一直线上时，
的最小值等于线段
长，可得
的周长最小，再根据等边三角形的性质
即可得到
的度数．
【详解】解：
、
都是等边三角形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
是
的中点，
，
如图，作点
关于
的对称点
，连接
，
，
，则
，
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当
，
，
在同一直线上时，
的最小值等于线段
长，且
时，
的周长最小，
由轴对称的性质，可得
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：
；
．
题型二、根据等边三角形的性质求边
典例2（25-26 八年级下·四川达州·阶段检测）已知
为等边三角形，
为
的高，延长
至
E，使
，连接
，则
_____．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质得出
，
，即可得出
，最后根据
线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵
为等边三角形，
为
的高，
∴
，
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：已知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2 倍边长。
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2.方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1:√3:2，列式求解。
变式2-1（25-26 八年级下·河南平顶山·期末）如图，点
、
、
分别在等边
的各边上，且
于点
，
于点
，
于点
，若
，
的长为________
．
【答案】5
【分析】利用等边三角形内角均为
的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均
为
和
，证明
为等边三角形，得到
，进而证明三个小直角三角形全等，设
的
长度为
，根据
直角三角形的边长关系，将
、
等线段用含
的表达式表示，结合
的条件，列关于
的方程求解．
【详解】∵
是等边三角形，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
，
可得三个小直角三角形中
，
∴
，
同理可得
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
∴
，
∴
，
，
设
，
则
，
，
在
中，
角对的直角边是斜边的一半，
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∴
，
∴
，
解得
，
∴
．
变式2-2（25-26 七年级下·海南海口·期末）如图，在等边
中，点
是边
上的一点，
关于
成轴对称，则
的度数是________°；点
是边
上任意一点，点
是边
上任意一点，若
，则
的最小值是________．
【答案】 90 4
【分析】①利用轴对称的性质即可求解；②先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的
面积公式求解．
【详解】解：∵
关于
成轴对称，
∴
．
如图，过点
作
于点
，交
于点
， 连接
，
∵
关于
成轴对称，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴当点
与点
重合，点
与点
重合时，
的长为
的最小值，
∵
是等边三角形，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
的最小值是4．
变式2-3（25-26 七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点
是等边三角形
内任意一点，过点
向三边作垂线，垂足分别是
，，
，若
，则
的值为________．
【答案】9
【分析】根据点
是等边三角形
内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点
为等边三角形的三条
高线的交点时，
的值即可.
【详解】解：由题意，当点
为等边三角形的三条高线的交点时，
由三线合一可知：
为等边三角形
三边的中点，
∴
，
∴
的值为9.
题型三、与等边三角形有关的多解题
典例3（25-26 七年级下·四川成都·期末）在等边三角形
中，点
在直线
上，点
在直线
上，
且
．若
的边长为2，
，则线段
的长为________．
【答案】
或
【分析】点
在直线
上，需分两种情况讨论，分别是点
在线段
的延长线和点
在线段
的延长
线，过点
作
的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含
角的直角三角形的性质计
算
的长度．
【详解】解：当
在线段
的延长线上，
在线段
的延长线上时，
过
作
，垂足为
点，则
，
，
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为
的中点，即
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
则
；
当
在线段
的延长线上，
在线段
的延长线上时，
过
作
，垂足为
点，则
，
，
为
的中点，即
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
则
，
综上，
的值为
或
．
题型模版
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1.特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。
2.方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。
变式3-1（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边
边长为
为
上一点，
．动
点
由
出发以
的速度沿
边向点
运动，同时动点
由点
出发以
的速度沿
边向点
运
动．若存在某一时刻使得
与
全等，则
_____
．
【答案】
或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
设运动时间为
，用含有t 的式子将
表示出来，再根据题意，分为
和
两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：设运动时间为
，则
，
，
，
如图当
时，
可得
，
，
，
，
；
当
时，
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可得
，
，
，
，
；
综上所述，
为
或．
故答案为：
或．
变式3-2（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边
，点D 为射线
上一点，连接
，作
，交直线
于点E．若
，则
的长为_______．
【答案】4 或8/8 或4
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，
角直角三角形的性质．
过点
作
于点
，然后分两种情况讨论，点
在线段
上时或点
在线段
延长线上时，根
据
角直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：当点
在线段
上时，过点
作
于点
，
∵等边
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
当点
在线段
延长线上时，过点
作
于点
，
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∵等边
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为：4 或8．
变式3-3（25-26 七年级下·江西九江·期末）在等边
中，点
是
的中线
上一点，
，
点
是
边上一点，若
，则
的度数为________．
【答案】
或
或
【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到
垂直平分
，结合三角形内角和定理求出相关角的度
数，分点
在
、
、
三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算
的度数.
【详解】解：
是等边三角形，
是中线，点
是
上一点，
，
平分
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
∴
，
分三种情况讨论：
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①当点
在
边上时，
，
，
；
当点
在
边上时，此时点
和点
重合，
∵
，
；
当点
在
边上时，
，
，
，
，
，
又
，
；
综上：
的度数为
或
或
.
题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题
典例4（25-26 八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB 的同一侧作
和
，
和
都是等边三角形，连接
、
交于点H，下列选项正确的序号是______．
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①
；②
；③
；④连接
，则
平分
；
【答案】①②④
【分析】根据
和
都是等边三角形，得出
，可判断①②，根据
和
边
上的高相等，可判断④．
【详解】解：
和
都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
又
，
，
即
，故②正确；
没有理由能证明
，故③错误；
，
和
边上的高相等，即点B 到
和
边的距离相等，
平分
，故④正确；
综上可知，正确的结论是①②④．
题型模版
1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。
2.方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等）逐一推理论证或排除。
变式4-1（25-26 七年级下·四川达州·阶段检测）分别以
的两边
、
向形外作等边
和等
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边
，
、
分别交
、
于点H、G，
、
相交于点F，连接
并延长交
于M 点，
则下列结论中正确的是______．（填序号）
①
；②
；③
；④
平分
；⑤
平分
．
【答案】①②③⑤
【分析】由等边三角形的性质可得
，
，
，从而可得
，再利用“
”证明
，即可判断①正确；由全等三角形的性质可得
，
即可判断②正确；由全等三角形的性质可得
，再由三角形内角和定理并结合对顶角相等即
可判断③正确；作
于
，
于
，则
，证明
，再
结合角平分线的定义即可判断⑤正确；由全等三角形的性质可得
，再结合三角形外角的定义
及性质即可判断④错误．
【详解】解：①
和
都为等边三角形，
∴
，
，
，
，即
，
在
和
中，
，
∴
，①正确；
②
，
，②正确；
③
，
，
又
，
，
，
，③正确；
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⑤作
于
，
于
，如图所示：
则
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，⑤正确；
，
，
，
，只有
时，
，而
不一定
等于
，
不一定等于
，④不正确；
综上所述，正确的有①②③⑤．
变式4-2（25-26 八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知等边三角形
，点
在
上，
点
在
的延长线上，
于点
于点
交
于点
，则下列结论：①
；②
；③
；④
．其中一定正确的是____．（填序号）
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【答案】①②④
【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，可以证
，进而得出
，
据此可判断①，证明
，
，可知
，可得
，据
此可判断②④；根据现有条件无法证明
，则可判断③．
【详解】解：∵
是等边三角形，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
在
和
中，
,
∴
，
∴
，故①正确；
在
和
中，
，
∴
，故②正确；
∴
，
∵
，
∴
．
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∵
∴
，即
．故④正确．
根据现有条件无法证明
，故③错误；
故答案为：①②④．
变式4-3（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图，在等边
中，
于
，
是线段
上一
点，
是边
上一点，且满足
，
是
的中点，连接
，则下列四个结论：①
；②
；③
；④
；⑤当
时，
．其中正确的结论是
________．（填序号）
【答案】①②③④⑤
【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为
的直角三角形的性质，线段的垂直
平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接
，如图，根据等边三角形
的性质可得①符合题意；证明
，可得
，结合
，进一步可得②符合题意；证明
，可得
， 可得③
符合题意；证明
，进一步可得④符合题意；求解
，进一步可得⑤符合题意．
【详解】解：连接
，如图
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，故①符合题意；
∵
，
，
∴
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
∵
，
∴
， 故②符合题意；
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
， 故③符合题意；
∵
，
是
的中点，
，
故④符合题意；
，
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∴
，
又∵
∴
，
∴
，
∴
，故⑤符合题意．
故答案为：①②③④⑤．
题型五、等边三角形的性质和判定综合题
典例5（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在
中，
，
，点
是
外
一点，连接
、
，
，过点
作
分别交
、
于点
、
．
(1)求证：
是等边三角形；
(2)连接
交
于点
，若
，
，求
的长．
【答案】(1)证明：在
中，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
是等边三角形；
(2)
【分析】（1）可证得
是等边三角形，由
，得到
，
，即可证得
是等边三角形；
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（2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得
，由
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
，
，
∴
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。
2.方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。
变式5-1（25-26 八年级下·内蒙古·期末）如图，
是等边三角形，
是
的中点，
，垂
足为
，
是由
沿
方向平移得到的，连接
，已知
过点
，
交
于点
．
(1)求
的度数；
(2)若
，求
的长度；
(3)求证：
是等边三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)证明：
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，
，
在
和
中，
，
，
，
由（1）得
，即
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形的性质得
，由三线合一得到
，由
得
，则
．
（2）先求得
，由平移得
，则
，即可等量代换
，
则
．
（3）由
，求得
，可根据“
”证明
，得
，
而
，所以
，即可根据“有一个角等于
的等腰三角形是等边三角形”证明
是
等边三角形．
【详解】（1）解：
是等边三角形，
，
，
是
的中点，
，
，垂足为
，
，
，
的度数是
．
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（2）解：
，
，
，
∵
是由
沿
方向平移得到的，
∴
∵
，
，
，
，
∴
的长是
．
（3）略
变式5-2（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点
为线段
上一点．
，
是等
边三角形，线段
，
交于点
，线段
，
交于点
，连接
．
(1)求证：
；
(2)求证：
为等边三角形；
(3)将
绕点
按逆时针方向旋转
，其他条件不变，如图
．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否
仍然成立（不要求证明）．
【答案】(1)证明：
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
即
，
在
和
中，
，
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，
．
(2)证明：
，
，
又
，
．
在
和
中，
，
，
，
为等腰三角形．
又
，
为等边三角形．
(3)结论（1）成立，结论（2）不成立
【分析】（1）根据“
”证明
即可；
（2）先证明
，得出
，再根据有一个角为
的等腰三角形为等边三角形，即可
证明结论；
（3）证明
，得出
，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出
，从
而得出
，说明
不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立；
，
是等边三角形，
，
，
，
，即
在
和
中，
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，
，
．
如图，
交
的延长线于点
，
交
的延长线于点
，
将
绕点
按逆时针方向旋转
，
，
此时
，
不可能为等边三角形．
变式5-3（25-26 八年级上·辽宁大连·期末）在
中，
，
是高，E 是
上一
点．
(1)如图1，若
平分
，
①求
的度数；（用含
的式子表示）
②求证：
．
(2)如图2，当
，
时，若点F 在射线
上，且
，求
的值．
【答案】(1)①
；
②证明：如图1，在
上取点
，使得
，
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∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
(2) 或
．
【分析】（1）①求出
，
，根据
即可求出答案；②在
上取点
，使
得
，证明
，
，即可得到
；
（2）画出图形，分两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵
是高，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
；
②略
（2）如图，当
时，过点C 作
垂足分别为
，
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∵
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
同理可得，
，
∴
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
当
时，∵
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
,
∴
，
综上可知，
的值为或
．
题型六、含30°角的直角三角形
典例6（26-27 八年级上·全国·开学考试）如图，已知
，点P 在边
上，
，点M，N
在边
上，
．若
，则
的长是____．
【答案】3
【分析】过P 作
于点D，则
，从而得到
，根据含
角的
直角三角形的性质求出
，根据等腰三角形的“三线合一”求出
，从而根据线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过P 作
于点D，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴在
中，
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1:√3:2。
2.方法：利用特殊角边比关系，已知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。
变式6-1（25-26 八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱
垂直于横梁
，
，
，
，则
的长度为______m．
【答案】8
【分析】利用等边对等角得出
，再结合30 度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】解：
，
，
，
，
在
中，
，
，
．
变式6-2（2026·四川攀枝花·中考真题）在
中，
是
边上的中线，
，
则
的面积为_______．
【答案】
【分析】先根据中线定义求出
长度，再过
作
构造含
角的直角三角形，利用
直角三角
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形性质求高
，最后用三角形面积公式计算
面积。
【详解】解：∵
是
边上的中线，
，
∴
，
过点
作
于
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
变式6-3（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在
中，
，
，
，
的平分线
交
于点
，
、
分别是
和
上的动点，则
的最小值是__________．
【答案】
【分析】在
上取一点
，使得
，连接
，证明
，将
转化为
，根据垂线段最短可知当
、
、
三点共线且
时，
取得最小值，即点
到
的距离．
【详解】解：在
上取一点
，使得
，连接
，
平分
，
，
在
和
中，
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，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当点
、
、
在同一条直线上且
时，
有最小值，
即
的最小值为点
到
的距离，
过点
作
于点
，则
即为所求最小值，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
的最小值为．
题型七、斜边的中线等于斜边的一半
典例7（26-27 八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：
）测量某三角形
部件的尺寸．已知
，点D 为边
的中点，点A，B 对应的刻度分别为2，8，则
的长为_____
【答案】
【分析】根据题意可得
的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：由题意得，
，
∵
，点D 为边
的中点，
∴
．
题型模版
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1.特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。
2.方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。
变式7-1（25-26 八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，
的直角顶点
和
顶点
分别在
轴正半轴及
轴正半轴上运动，若
，
，则在运动过程中，线段
的最大值是
_____．
【答案】
/
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解答此题的关键．取
的中点E，连接
，当O，E 及C 三点共线时，
最大，此时
，由勾股定理求出
，
，即可得出结论．
【详解】解：取
的中点E，连接
，
则
，
当O，E 及C 共线时，
最大，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
变式7-2（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，
中，
，
，
，
，
线段
的两个端点
，
分别在边
，
上滑动，且
，若点M，N 分别是
，
的中点，则
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的最小值为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接
、
，则当C，M，N 三点在同一条直线
上时，
取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得
，
，即可求得
的最小值．
【详解】解：如图，连接
、
，则当C，M，N 三点在同一条直线上时，
取最小值，
∵
，
，
，点M、N 分别是
，
的中点，
∴
，
，
∴
的最小值为
．
故答案为：
.
变式7-3（25-26 八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，
中，
，
，
的垂直平分
线相交于点P，分别交
于点E，F，与
，
分别交于点D，G．
，若
的周长是
，
则
________
．
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【答案】6
【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定
及性质，掌握相关的知识是解题的关键．
连接
，
，
，由垂直平分线的性质得到
，
，从而由
的周长是
得到
，根据
，结合
，
，可得
，证明
，
，得到
，再由等腰
三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解．
【详解】解：连接
，
，
，
∵
垂直平分
，
垂直平分
，
∴
，
，
∵
的周长是
，即
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
垂直平分
，
垂直平分
，
∴
，
，
∴
，
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∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，
∵
，
，
∴点H 是
的中点，
∴
．
故答案为：6．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 九年级上·云南曲靖·期末）在
ABC
中，
90
30
2
C
A
BC
=
=
=
，
，
，则AB 的长为（ ）
A．2
B．4
C．2 3
D．4 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30 度角所对的直角边的长为斜
边长的一半，据此可得答案．
【详解】解：∵在
ABC
中，
90
30
2
C
A
BC
=
=
=
，
，
，
∴
2
4
AB
BC
=
=
，
故选：B．
2．（25-26 八年级上·贵州黔南·期末）如图，在等边
ABC
中，点D，E 分别在AB
BC
，
上，且BD
CE
AE
=
，
与CD相交于点F，则
AFD
的度数为（ ）
A．30
B．60
C．45
D．50
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【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形
的判定与性质是关键．
根据题意，可证
SAS
AEC
CDB
≌
（
），得到
CAE
BCD
=
，再根据三角形外角性质计算即可．
【详解】等边
ABC
中，
60
AB
BC
AC
ABC
ACB
=
=
=
=
，∠
∠
，
又
BD
CE
=
，
SAS
AEC
CDB
≌
（
），
CAE
BCD
=
．
60
AFD
CAE
ACD
BCD
ACD
ACB
=
+
=
+
=
=
．
故选：B．
3．（25-26 八年级上·北京西城·期末）如图，在
ABC
中，BA
BC
=
，
120
ABC
=
，,
P Q 分别是边
,
AC BC
上的两个动点，连接
,
BP PQ ．若当BP与PQ 的和最小时，PQ 的长为1，则AC 的长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】考查了轴对称-最短路径问题，等腰三角形三线合一的性质，含30 度角的直角三角形的性质，如图，
作点B 关于直线AC 的对称点B，交AC 于点D，过点B作B Q
BC
⊥
于点Q，交AC 于点P，连接BP，此
时，BP
BP
= ，BP
PQ
B P
PQ
B Q
+
=
+
=
，即BP与PQ 的和最小，
1
PQ = ，根据等腰三角形三线合一的性
质得AD
CD
=
，根据含30 度角的直角三角形的性质分别求出PC 、DP即可求得AC 的长．
【详解】解：如图，作点B 关于直线AC 的对称点B，交AC 于点D，过点B作B Q
BC
⊥
于点Q，交AC 于
点P，连接BP，
此时，BP
BP
= ，BP
PQ
B P
PQ
B Q
+
=
+
=
，即BP与PQ 的和最小，
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∵在
ABC
中，BA
BC
=
，
120
ABC
=
，
∴
(
)
1 180
30
2
A
C
ABC
=
=
−
=
， AD
CD
=
，
∴
60
ABD
CBD
=
=
，
∵
1
PQ = ，
∴
2
2
PC
PQ
=
=
，
∵
90
B DP
PQC
=
=
，
DPB
CPQ
=
，
∴
30
B
C
=
=
，
∴
30
B
DBP
=
=
，
∴
30
PBC
=
，
∴
2
BP
PC
=
=
，
∴
1
1
2
DP
BP
=
= ，
∴
3
DC
DP
PC
=
+
=
，
∴
2
6
AC
CD
=
= ．
故选：C．
4．（25-26 八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边
ABC
中，P 为边AB 上的一点，若
30
APE
=
，D 为
边AC 上的一点，连接PD交BC 的延长线于点Q ，当PA
CQ
=
时，
1
DE = ，则
ABC
的周长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】过P 作PF
BC
交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP
PF
QC
=
=
，根据等腰三角形性质求出
EF
AE
=
，证PFD
QCD
≌
，推出FD
CD
=
，推出
1
2
DE
AC
=
即可．
【详解】解：过P 作PF
BC
交AC 于F ．
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∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
PF
BC
∥
，
∴
60 ,
60
APF
ABC
AFP
ACB
=
=
=
=
，
∴APF
是等边三角形，
AP
PF
AF
=
=
，
30
APE
=
，
1
2
APE
APF
=
，
AE
EF
=
，
AP
PF
=
，AP
CQ
=
，
PF
CQ
=
，
PF
BC
∥
PFD
QCD
=
又
PDF
QDC
=
，
PFD
≌
(AAS)
QCD
，
FD
CD
=
，
AE
EF
=
，
EF
FD
AE
CD
+
=
+
，
1
2
AE
CD
DE
AC
+
=
=
，
∵
1
DE =
2
AC
=
，
ABC
的周长为6，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的
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性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
5．（25-26 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）等边ABC
， 点 D 、E 分别是 BC 、AC 上的点且BD
EC
=
，
连接AD、BE 相交于点 P ，以下结论：
①ABD
BCE
≌
；②1
2
= ；③ABE
CAD
≌
；④
3
PAE
=
；
其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，找出对应的等量关系是解题的关键．
由ABC
为等边三角形，得出
60
ABD
BCE
=
=
，AB
BC
=
，结合BD
EC
=
，可证结论①，由结论①可
证出结论②，由角度和边长的等量关系，通过线段和差证出AE
CD
=
，即可证明结论③，由结论③证出结
论④．
【详解】解：∵ABC
为等边三角形，
∴
60
ABD
BCE
=
=
，AB
BC
=
，
∵BD
EC
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
BCE
≌
，故结论①正确；
∵ABD
BCE
≌
，
∴
CBE
BAD
=
，
即1
2
= ，故结论②正确；
∵AC
BC
=
，BD
CE
=
，
DC
BC
BD
=
−
，AE
AC
CE
=
−
，
∴AE
CD
=
，
∵
60
BAE
ACD
=
=
，AB
AC
=
，
∴
(
)
SAS
ABE
CAD
≌
，故结论③正确；
∵ABE
CAD
≌
，
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∴
ABE
DAC
=
，
∴
3
PAE
=
，故结论④正确；
综上，正确的结论有4 个，
故选D．
二、填空题
6．
（25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，点D 为等腰
ABC
底边BC 上一点，且AD
BD
=
，如果
120
BAC
=
，
5
BC = ，则AD = ．
【答案】5
3
【分析】本题考查等边对等角，含30 度角的直角三角形的性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定
理，推出ACD
为含30 度角的直角三角形，进而得到
2
CD
AD
=
，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵点D 为等腰
ABC
底边BC 上一点，且AD
BD
=
，
120
BAC
=
，
∴
(
)
1 180
30
2
BAD
B
C
BAC
=
=
=
−
=
，
∴
90
DAC
BAC
BAD
=
−
=
，
∴
2
CD
AD
=
，
∴
2
5
BC
BD CD
AD
AD
=
+
=
+
= ，
∴
5
3
AD =
；
故答案为：5
3 ．
7．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含30角的直角三角板和直尺按如图所示的方
式放置，若
60
ADC
=
，点E，F 表示的刻度分别为2，6，则线段AF 的长为 ．
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【答案】4
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和，等边三角形的判定和性质，两点间的距离；由EF
CD
得
60
ADC
AEF
=
=
，由三角形内角和得
60
A
=
，证得
AEF
△
是等边三角形，再根据两点间的距离即可
解答．
【详解】解：由图可知EF
CD
，
∴
60
ADC
AEF
=
=
，
∵直角三角板中
30
B
=
，
∴
90
30
60
A
=
−
=
，
∴
AEF
△
是等边三角形，
∵点E，F 表示的刻度分别为2，6，
∴
6
2
4
EF =
−
=
，
∴
4
AF
EF
=
= ，
故答案为4．
8．（25-26 八年级上·天津西青·期末）如图，已知等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BC 延长线上
一点，且CE
CD
=
，作DM
BC
⊥
，垂足为M，连接DE ，若
12
AB =
，则BM 的长度为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接BD，
根据等边三角形的性质可得
30
DBC
=
，再利用三角形的外角性质推出
30
E
=
，从而得到BDE
为等腰
三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M 是BE 的中点，即可求解．
【详解】证明：如图，连接BD．
∵在等边
ABC
中，点D 是AC 的中点，
12
AB =
，
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∴
1
1
60
30
2
2
=
=
=
DBC
ABC
，
60
ACB
=
，
12
BC
AC
=
=
，
∴
6
AD
CD
=
=
，
∵CE
CD
=
，
∴
CDE
E
=
，
6
CE =
，
∴
18
BE
BC
CE
=
+
=
，
∵
ACB
CDE
E
=
+，
∴
1
30
2
E
ACB
=
=
，
∴
30
DBC
E
=
=
，
∴BD
ED
=
，
∴BDE
为等腰三角形．
又∵DM
BC
⊥
，
∴点M 是BE 的中点，
∴
1
9
2
BM
BE
=
=
．
故答案为：9．
9．
（25-26 八年级上·陕西西安·月考）在等边
ABC
中，BD是AC 边上的中线，点E 是AB 边上一点，若BDE
为等腰三角形，则
EDA
= ．
【答案】15或60
【分析】本题考查了等边三角形的性质．
根据等边三角形的性质，可得BD垂直于AC ，且
30
ABD
=
．分类讨论BDE
为等腰三角形的三种情况：
BE
DE
=
、BD
BE
=
、BD
DE
=
，其中BD
DE
=
不可能，故只考虑前两种情况，分别计算
EDA
∠
的度数．
【详解】解：∵
ABC
为等边三角形，BD是AC 边上的中线，
∴BD
AC
⊥
，
30
ABD
=
，
90
BDA
=
，
当BE
DE
=
时，
则
30
ABD
EDB
=
=
，
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∴
60
EDA
=
；
当BD
BE
=
时，
计算得
(
)
1 180
75
2
BDE
BED
ABD
=
=
−
=
，
∴
90
75
15
EDA
=
−
=
；
当BD
DE
=
时，点E 不在AB 边上，舍去；
综上，
15
EDA
=
或60．
故答案为：15或60．
10．（25-26 八年级上·天津·期中）如图，
ABC
是边长为6 的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由点A向
点C 运动（与A，C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由点B 向CB 延长线方向运
动（点Q 不与点B 重合），过点P 作PE
AB
⊥
于点E ，连接PQ 交AB 于点D ．
（1）若设AP
x
=
，则PC ；（用含x 的式子表示）
（2）当
30
BQD
=
时，求CQ = ；
（3）在运动过程中，线段DE 的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE 的长；如果变化，请说明理
由 ．
【答案】 6
x
− 8 不变，
3
DE =
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，30角直角三角形的性质，一元
一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据题意得AP
QB
x
=
=
，然后得到
6
PC
AC
AP
x
，；
（2）在Rt
QCP
△
中利用30角直角三角形的性质列方程求解，根据
6
QC
BQ
BC
x
=
+
=
+
即可求解；
（3）过点P 作BC 的平行线交AB 于点M ，首先证明出AMP是等边三角形，然后得到
1
2
AE
EM
AM
=
=
，
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然后证明出
(
)
AAS
DMP
DBQ
≌
，得到
1
2
DM
DB
BM
=
=
，进而求解即可．
【详解】解：（1）根据题意可得，AP
QB
x
=
=
，
∵
ABC
是边长为6 的等边三角形，
∴
60
C
=
，
6
AC
BC
=
=
，
∴
6
PC
AC
AP
x
；
故答案为：6
x
−；
（2）在Rt
QCP
△
中，
30
BQD
=
，
∴
90
QPC
=
，
∴
1
2
PC
QC
=
，
∵
6
QC
BQ
BC
x
=
+
=
+
，
∴
(
)
1
6
6
2
x
x
−
=
+
，
解得
2
x =
，
∴
6
2
6
8
QC
x
=
+
=
+
=
，
故答案为：8．
（3）当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变，
3
DE = ，
理由如下：
如图：过点P 作BC 的平行线交AB 于点M ，
MP
BC
∥
，
60
AMP
ABC
A
=
= =
，
PMD
DBQ
=
，
AMP是等边三角形，
MP
AP
=
，
PE
AB
⊥
，
1
2
AE
EM
AM
=
=
，
QB
AP
=
，
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MP
QB
=
，
又
MDP
BDQ
=
，
PMD
DBQ
=
，
(
)
AAS
DMP
DBQ
≌
，
1
2
DM
DB
BM
=
=
，
(
)
1
1
1
1
3
2
2
2
2
DE
ME
DM
AM
BM
AM
BM
AB
=
+
=
+
=
+
=
= ．
故答案为：不变，
3
DE = ．
三、解答题
11．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图，
ABC
是等边三角形，点D 是AC 边上一点，延长BC 至E，
使CE
AD
=
．若点D 是AC 的中点．
(1)求证：BD
DE
=
；
(2)延长ED交AB 于点F，若
15
BF
CE
+
=
，求AF 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
AF =
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30 度角直角三角形的性质等知识，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质即可证明；
（2）首先易得
90
AFD
BFE
=
=
，再由含30度角直角三角形的性质得
2
BE
BF
=
，
2
AD
AF
=
，进而得
6
BE
AF
=
，
3
BF
AF
=
，由
15
BF
CE
+
=
建立方程可求得AF ．
【详解】（1）证明：
ABC
是等边三角形，点D 是AC 的中点，
60
ACB
=
，AD
CD
=
，
=90
BDC
，
60
E
CDE
+
=
，
30
CBD
=
，
CE
AD
=
，
CE
CD
=
，
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30
E
CDE
=
=
，
30
E
CBD
=
=
，
BD
DE
=
；
（2）解：
ABC
是等边三角形，
60
A
=
，AB
AC
BC
=
=
，
30
ADF
CDE
=
=
，
90
AFD
BFE
=
=
，
30
E
ADF
=
=
，
2
BE
BF
=
，
2
AD
AF
=
，
2
CE
AD
CD
AF
=
=
=
，
4
BC
AC
AF
=
=
，
6
BE
AF
=
，
3
BF
AF
=
，
15
BF
CE
+
=
，
3
2
15
AF
AF
+
=
，
3
AF =
．
12．（2026 八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含30角的直角三角板ABC 和ADC 按右图所示的方式
摆放，
ABD
的平分线交AD于点E ，交AC 于点F ．
(1)求证：AF
EF
=
．
(2)若
5
CF = ，求DE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
20
DE =
【分析】本题主要运用三角形内角和定理、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含30角的直角
三角形的性质来求解，解题的关键是掌握上述知识点．
（1）通过角度计算证明AEF
是等边三角形从而得出边相等；
（2）利用含30角的直角三角形的性质结合
5
CF = 求出
10
BF =
，再根据角度关系得出DE 的长度即可．
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【详解】（1）证明：由题意，得
60
ABD
CAD
=
=
，AC
BD
⊥
．
BE
平分
ABD
，
1
30
2
ABE
DBE
ABD
=
=
=
，
90
60
CFB
DBE
=
−
=
，
60
AFE
CFB
=
=
，
60
AFE
FAE
=
=
，
AEF
是等边三角形，
AF
EF
=
．
（2）解：由（1）可知，
30
DBE
=
．
90
BCF
=
，
5
CF = ，
2
10
BF
CF
=
=
．
又
30
BAC
ABE
=
=
，
10
AF
BF
=
=
，
10
EF
AF
=
=
，
20
BE
BF
EF
=
+
=
．
30
DBE
D
=
=
，
20
DE
BE
=
=
．
13．（25-26 八年级上·河南洛阳·月考）如图，已知AE
BC
⊥
，
120
ADB
=
，
30
CAE
=
．
(1)求证：ACD
为等边三角形；
(2)若
42
B
=
，求
BAC
的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
78
BAC
=
．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是
解题的关键．
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（1）根据补角求出
ADC
，通过互余求出
C
，再运用内角和定理可求出ACD
三个角都为60，即为等
边三角形；
（2）由（1）可得
60
C
=
，运用三角形内角和定理可求出
BAC
的度数．
【详解】（1）解：证明：∵
120
ADB
=
，
∴
180
180
120
60
ADC
ADB
=
−
=
−
=
．
∵AE
BC
⊥
，
30
CAE
=
，
∴
90
90
30
60
C
CAE
=
−
=
−
=
，
∴
180
60
DAC
ADC
C
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∴ACD
为等边三角形．
（2）解：由（1）得
60
C
=
，
又∵
42
B
=
，
∴
180
180
42
60
78
BAC
B
C
=
−−
=
−
−
=
．
14．（25-26 八年级上·广东汕头·期末）如图1，ABC
是等边三角形，延长AB 至点D ，过点D 作DE
BC
∥
，
交AC 的延长线于点E ．
(1)求证：
ADE
是等边三角形．
(2)如图2，延长DE 至点F ，使得EF
AB
=
，连接CF ，CD．求证：CF
CD
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键；
（1）通过等边三角形性质和平行线的基本性质可得
60
A
D
E
=
= =
，进而得证；
（2）通过等边三角形性质和线段的和差关系得到BD
CE
=
，EF
BC
=
，再利用SAS 证得DBC
CEF
≌
，
进而可得证．
【详解】（1）证明：
ABC
是等边三角形，
60
A
ABC
ACB
=
=
=
，
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DE
BC
，
60
D
ABC
=
=
，
60
E
ACB
=
=
，
60
A
D
E
=
=
=
，
ADE
是等边三角形；
（2）证明
ABC
和
ADE
是等边三角形，
AB
AC
BC
=
=
，AD
AE
=
，
AD
AB
AE
AC
−
=
−
，
即BD
CE
=
，
∵EF
AB
=
，
∴EF
BC
=
，
60
ABC
AED
=
=
，
180
180
ABC
AED
−
=
−
DBC
CEF
=
，
在
DBC
△
和
CEF
△
中，
BC
EF
DBC
CEF
BD
CE
=
=
=
(
)
DBC
CEF SAS
≌
，
CF
CD
=
．
15．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，且
,
AB
AC D
=
是BC 边上动点（不
与
,
B C 重合），点E 在AC 边上，连接
,
,
,
AD DE AD
AE AF
=
平分
BAD
交BC 于点F，连接EF ．
(1)当
AEF
△
为等边三角形时，求
EDC
的度数；
(2)探究
BAF
与
EDC
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)30
(2)
BAF
EDC
=
．理由见解析
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【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．
（1）根据等边三角形的性质得到
60
EAF
=
，根据角平分线的定义得到
30
BAF
FAD
=
=
，即
30
DAE
=
，
根据等边对等角得到
45
B
C
=
=
∠
，
75
AED
ADE
=
=
，根据三角形外角的性质即可求出
EDC
的度
数；
（2）设
EDC
x
=
，则
45
AED
x
=
+
，根据等边对等角得到
45
ADE
AED
x
=
=
+
，根据三角形内角和
求出
90
2
DAE
x
=
−
∠
，根据余角的定义得到
2
BAD
x
=
，根据角平分线的定义得到
BAF
x
= ，即可得到
BAF
EDC
=
．
【详解】（1）解：
AEF
为等边三角形，
60
EAF
=
，
又
90 ,
BAC
AF
=
平分
BAD
，
30
BAF
FAD
=
=
，
30
DAE
=
，
,
AB
AC AD
AE
=
=
，
180
90
45
2
B
C
−
=
=
=
，
180
30
75
2
AED
ADE
−
=
=
=
又
AED
EDC
C
，
75
45
30
EDC
=
−
=
；
（2）解：
BAF
EDC
=
．理由如下：
∵
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
180
90
45
2
B
C
−
=
=
=
，
设
EDC
x
=
，则
45
AED
x
=
+
，
AD
AE
=
，
45
ADE
AED
x
=
=
+ ，
(
)
180
2 45
90
2
DAE
x
x
=
−
+
=
−
，
(
)
90
90
2
2
BAD
x
x
=
−
−
=
，
AF
平分
BAD
，
1
2
BAF
BAD
x
=
=
，
BAF
EDC
=
．
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16．（25-26 八年级上·山东德州·期末）如图，已知在等边三角形ABC 中，点D、E 分别在直线AB、直线AC
上，且AE
BD
=
．
(1)当点D、E 分别在边AC 、边AB 上时，如图1 所示，EB与CD相交于点G，求
CGE
的度数；
(2)当点D、E 分别在边CA、边AB 的延长线上时，如图2 所示，
CGE
的度数是否变化？如不变，请说明
理由．如变化，请求出
CGE
的度数．
【答案】(1)60°
(2)不变；60°
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到
,
60
AB
BC
A
ABC
=
=
=
, 推出ABE
BCD
≌
, 根据全等三角形的性质
得到
ABE
BCD
=
, 根据三角形外角的性质即可得到结论：
（2）由三角形ABC 为等边三角形，利用等边三角形的性质得到
,
60
AB
BC
ACB
ABC
=
=
=
, 利用等角
的补角相等得到夹角相等，利用SAS 得到ABE
与
BCD
全等，利用全等三角形的对应角相等得到
D
E
=
, 利用外角性质及等量代换即可得证
【详解】（1）证明：
ABC
为等边三角形，
,
60
AB
BC
A
ABC
=
=
=
,
在ABE
和BCD
中
,
,
AE
BD
A
DBC AB
BC
=
=
=
,
ABE
BCD
≌
,
ABE
BCD
=
,
60
ABE
CBG
+
=
,
60
BCD
CBG
+
=
,
CGE
BCG
CBG
=
+
,
60
CGE
=
,
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（2）证明：
ABC
为等边三角形，
,
60
AB
BC
CAB
ABC
=
=
=
，
120
EAB
CBD
=
=
，
在ABE
和BCD
中，
,
,
AB
BC
EAB
CBD AE
BD
=
=
=
，
(
)
SAS
ABE
BCD
≌
，
D
E
=
，
,
60
ABE
DBG
CAB
E
ABE
=
=
+
=
，
60
CGE
D
DBG
=
+
=
．
17．（24-25 八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是
ABC
内一点，D 是
ABC
外的一点，
110
AOB
=
，
BOC
=
，BOC
ADC
≌
，
60
OCD
=
，连接OD ．
(1)求证：OCD
是等边三角形；
(2)当
150
=
时，试判断
AOD
△
的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，
AOD
△
是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
AOD
△
是直角三角形，理由见解析
(3)当等于110或140或125时，
AOD
△
是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识.
(1)根据全等三角形的性质得到
,
OC
DC
BCO
ACD
=
=
，再证明
60
OCD
=
，即可证明OCD
是等边三
角形；
( 2 )先求出
60
ODC
=
，根据全等的性质得到
150
ADC
=
，即可求出
90
ADO
=
，从而得到AOD
是直
角三角形；
(3)分别表示出
190
AOD
a
=
−
，
60
ADO
a
=
−
，
180
50
OAD
AOD
ADO
=
−
−
=
，分①AO
AD
=
，
②DO
AD
=
，③AO
DO
=
三种情况讨论即可求解.
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【详解】（1）证明：∵BOC
ADC
≌
，
∴CO
CD
=
，
∵
60
OCD
=
，
∴OCD
是等边三角形；
（2）解：
AOD
△
是直角三角形，理由如下：
∵OCD
是等边三角形，
∴
60
ODC
=
，
∵BOC
ADC
≌
，
∴
150
BOC
ADC
=
=
，
∴
90
ADO
=
，
∴
360
110
150
60
40
AOD
=
−
−
−
=
，
∴AOD
是直角三角形；
（3）解：由题意得：
60
ADO
=
−
，
360
110
60
190
AOD
=
−
−
−
=
−
，
∴
(
)
(
)
180
180
190
60
50
OAD
AOD
ADO
=
−
+
=
−
−
+
−
=
；
①若OA
OD
=
，则
OAD
ADO
=
，即50
60
=
−
，
∴
110
=
；
②若OA
AD
=
，则
AOD
ADO
=
，即190
60
−
=
−
，
∴
125
=
；
③若OD
AD
=
，则
AOD
OAD
=
，即190
50
−
=
，
∴
140
=
；
综上，当等于110或140或125时，
AOD
△
是等腰三角形．
18．（25-26 八年级上·广东湛江·期中）如图，在
ABC
中，
cm
9
AB
AC
BC
=
=
=
，点M 、N 分别从点A、
点B 同时出发，沿
ABC
的边运动，已知点M 的速度是1cm/s ，点N 的速度是2cm/s，当点N 第一次到达B
点时，M 、N 同时停止运动．
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(1)点M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？
(2)点M 、N 同时运动几秒后，可得到等边AMN
？
(3)点M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN
，如果能，请求出此时M 、N 运动
的时间．
【答案】(1)9 秒
(2)3 秒
(3)能；12 秒
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理、等边三角形的性质是解题的关键．
（1）设点M、N 运动t 秒后，M、N 两点重合，表示出M、N 的运动路程，N 的运动路程比M 的运动路程
多9cm，列出方程求解即可；
（2）设点M、N 运动t 秒后，得到等边三角形AMN ，表示出AM ，AN 的长，根据
60
A
=
，只要AM
AN
=
，
三角形ANM 就是等边三角形，列式计算即可；
（3）根据AAS证明AMC
ANB
≌
得CM
BN
=
，列式计算即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t 秒，M 、N 两点重合，则：2
9
t
t
−=
，解得
9
t =
，
∴点M 、N 同时运动9 秒时，M 、N 两点重合；
（2）解：设运动时间为t 秒，
∵AMN
为等边三角形，
∴AM
AN
=
，
∴
9
2
t
t
=
−
，
∴
3
t =
，
∴点M 、N 同时运动3 秒时，可得到等边三角形AMN ；
（3）解：如图，∵AB
AC
=
，
∴
60
B
C
=
=
，
∵AMN
是以MN 为底边的等腰三角形，
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∴
AMN
ANM
=
，
∴
AMC
ANB
=
，
∴AMC
(
)
AAS
ANB
≌
，
∴CM
BN
=
，
∴
9
27
2
t
t
−=
−
，
解得：
12
t =
，
此时
,
M N 运动的时间为12 秒．
19．（25-26 八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知
ABC
是等边三角形，点P 是边AC 上一点．
(1)如图1，过点P 作PF
BC
∥
，交AB 于点F ，图中有 个等边三角形；
(2)如图2，点P 在AC 上运动(不与A C
，重合)，点Q 是CB 延长线上一点，且BQ
AP
=
，过P 作PE
AB
⊥
于
E，连接PQ 交AB 于D ，试说明：在点P 运动的过程中，线段ED的长是定值(即
1
2
DE
AB
=
)；
(3)若将条件中“
ABC
是等边三角形”改为“
ABC
是等腰三角形，CA
CB
=
”，如图3 所示，（2）中的结论是
否还成立？请说明理由．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)还成立，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用．
（1）根据ABC
是等边三角形，PF
BC
，得出AFP
、ABC
是等边三角形即可；
（2）作PF
BC
交AB 于F ，先判定AFP
为等边三角形，再根据三线合一，得到AE
EF
=
，然后判定
(
)
AAS
QBD
PFD
≌
，得到FD
DB
=
，进而得到
1
2
DE
AB
=
；
（3）作QH
AB
⊥
于H ，先判定
(
)
AAS
APE
BQH
≌
，得到AE
BH
=
，QH
PE
=
，再判定
(
)
AAS
PED
QHD
≌
，
得到DE
DH
=
，进而得到（2）中的结论还成立．
【详解】（1）解：如图1，
ABC
是等边三角形
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60
A
ABC
=
=
，
PF
BC
，
60
AFP
ABC
=
=
，
AFP
为等边三角形，
AFP
、ABC
是等边三角形，共2 个
故答案为：2 ；
（2）线段ED的长是定值，即
1
2
DE
AB
=
，理由如下：
如图2 ，作PF
BC
交AB 于F ，
ABC
是等边三角形
60
A
ABC
=
=
，
PF
BC
，
60
AFP
ABC
=
=
，
AFP
为等边三角形，
PF
PA
=
，
又
PE
AB
⊥
，
AE
EF
=
，
QB
PA
=
，PF
PA
=
，
BQ
PF
=
，
180
120
DBQ
ABC
=
−
=
，
180
120
DFP
AFP
=
−
=
，
DBQ
DFP
=
，
在QBD
和PFD
中，
DBQ
DFP
QDB
FDP
BQ
PF
=
=
=
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(
)
AAS
QBD
PFD
≌
，
FD
BD
=
，
(
)
1
1
1
1
;
2
2
2
2
ED
EF
FD
AF
BF
AF
BF
AB
=
+
=
+
=
+
=
（3）（2）中的结论还成立．
理由：如图3，过点Q 作QH
AB
⊥
于H ，
,
CA
CB
=
ABC
QBH
=
,
A
ABC
QBH
=
=
在
APE
与BQH
中，
90
A
QBH
AEP
H
PA
QB
=
=
=
=
(
)
AAS ,
APE
BQH
≌
,
,
AE
BH QH
PE
=
=
在
PED
与
QHD
△
中，
QDH
EDP
QHD
PED
QH
PE
=
=
=
(
)
AAS
PED
QHD
≌
,
DE
DH
=
(
)
(
)
1
1
1
1
.
2
2
2
2
DE
EH
EB
BH
EB
AE
AB
=
=
+
=
+
=
20．
（25-26 八年级上·辽宁大连·期中）
（1）在
ABC
中，点D，E，F 分别在边
,
,
AB BC AC 上，且满足
=
DE
EF ，
60
DEF
=
．
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①如图（1），若
ABC
为等边三角形，求证：BD
CE
=
；
②如图（2），若
90
A
=
，
=60
B
，且
5,
8
AD
CE
=
=
，求BE 的长；
（2）如图（3），在四边形ABCD中，
60
BAD
BCD
=
=
，BC
CD
=
．过点C 分别作
,
AB AD 的垂线，垂
足分别为M，N．若
2
BM
DN
=
，求AB
AD 的值．
【答案】（1）①证明见解析；②BE 的长为6；（2）4
5
【分析】（1）①由等边三角形的性质得出
B
C
=
，再由三角形外角的定义得出
BDE
CEF
=
，即可证
得BDE
CEF
≌
，由全等三角形的性质即可得出BD
CE
=
．
②在EC 取点G，使得
60
FGE
=
，连接FG ．同（1）得DBE
EGF
≌
，由全等三角形的性质得出DB
EG
=
，
BE
FG
=
，由直角三角形性质得出
30
C
=
，由三角形外角的定义和性质可得出
GFC
，由等角对等边可
得出FG
CG
=
，设BE
FG
CG
x
=
=
=
则
8
DB
EG
x
=
= −，
13
AB
x
=
−
，
8
BC
x
=
+ ．由含30 度直角三角形
的性质得出
2
BC
AB
=
，代入即可求出x．
（2）延长AM 至点E，连接CE ，使得
60
E
=
，延长EC ，AD交于点F，连接BD．先证明
BCD
△
和
AEF
△
为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明ADB
FCD
≌
，由全等三角形的性质可得出CF
AD
=
，
AB
FD
=
，同理可证
ADB
EBC
≌
△
△
，FCD
EBC
≌
，则AD
BE
CF
=
=
，AB
FD
EC
=
=
，设DN
a
=
，
2
BM
a
=
，AD
BE
CF
x
=
=
=
，AB
FD
EC
y
=
=
=
，则
2
ME
x
a
=
−
，NF
y
a
=
−
，由含30 度直角三角形的
性质即可得出答案．
【详解】证明：（1）①∵
ABC
是等边三角形
∴
60
B
C
=
=
，
∵
DEC
B
BDE
DEF
CEF
= +
=
+
，
60
DEF
=
，
∴
BDE
CEF
=
，
在BDE
与
CEF
△
中，
B
C
BDE
CEF
DF
EF
=
=
=
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∴
(
)
AAS
BDE
CEF
≌
，
∴BD
CE
=
②解：在EC 取点G，使得
60
FGE
=
，连接FG ．
同（1）得DBE
EGF
≌
，
∴DB
EG
=
，BE
FG
=
，
∵
60
FGE
B
= =
，且
90
A
=
．
∴
30
C
=
，
∵
EGF
C
GFC
=
+
，即60
30
GFC
=
+
，
∴
30
GFC
=
，
∴FG
CG
=
，
设BE
FG
CG
x
=
=
=
，
∵
8
CE =
，
5
AD = ，
∴
8
DB
EG
x
=
= −，
8
5
13
AB
AD
DB
x
x
=
+
= −+ =
−，
8
BC
BE
CE
x
=
+
=
+ ．
∵
90
A
=
，
60
B
=
，
∴
30
C
=
，
∴
2
BC
AB
=
，
∴
8
26
2
x
x
+ =
−
，解得
6
x =
，
∴
6
BE =
．
（2）延长AM 至点E，连接CE ，使得
60
E
=
，延长EC ，与AD交于点F，连接BD，如图，
∵
60
BCD
=
，BC
CD
=
，
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∴
BCD
△
为等边三角形，
∴CD
CB
BD
=
=
，
60
CBD
CDB
=
=
，
∵
60
E
=
，
60
A
=
，
∴
180
180
60
60
60
F
E
A
=
−−=
−
−
=
，
∴
AEF
△
为等边三角形，
∴AE
EF
AF
=
=
，
∵
CDN
BDC
ABD
A
+
=
+，
60
A
CDB
=
=
，
∴
CDN
ABD
=
，
又∵
60
A
F
=
=
，BD
DC
=
，
∴
(
)
AAS
ADB
FCD
≌
∴CF
AD
=
，AB
FD
=
，
同理可证∶
ADB
EBC
≌
△
△
，FCD
EBC
≌
，
∴AD
BE
CF
=
=
，AB
FD
EC
=
=
，
∵
2
BM
DN
=
，
设DN
a
=
，AD
BE
CF
x
=
=
=
，AB
FD
EC
y
=
=
=
，
则
2
BM
a
=
，
2
ME
x
a
=
−
，NF
y
a
=
−
，
∵CM
AB
⊥
，CN
AD
⊥
，
60
E
F
=
=
，
∴
30
ECM
NCF
=
=
，
∴
2
EC
ME
=
，
2
CF
NF
=
，
即
(
)
(
)
2
2
2
y
x
a
x
y
a
=
−
=
−
，
解得：
10
3
8
3
x
a
y
a
=
=
，
∴
8
4
3
10
5
3
a
AB
y
AD
x
a
=
=
=
．
